1、分式方程的解法及其典例分析一、內(nèi)容綜述：1 .解分式方程的基本思想在學(xué)習(xí)簡單的分式方程的解法時(shí)，是將分式方程化為一元一次方程，復(fù)雜的(可化為一元二次方程)分式方程的基本思想也一樣， 就是設(shè)法將分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程.即 分式方程 W 整式方程2.解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程兩邊同時(shí)乘以各分式的最簡公分母，使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.但要注意，可能會(huì)產(chǎn)生增根。所以，必須驗(yàn)根。產(chǎn)生增根的原因：當(dāng)最簡公分母等于 0 時(shí)，這種變形不符合方程的同解原理(方程的兩邊都乘以或除以同一個(gè)不等于零的數(shù)，所得方程與原方程同解)，這時(shí)得到的整式方程的解不一定是原方程的解

2、.檢驗(yàn)根的方法：(1) 將整式方程得到的解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，看方程左右兩邊是否相等。(2)為了簡便，可把解得的根直接代入最簡公分母中，如果不使公分母等于0,就是原方程的根；如果使公分母等于0,就是原方程的增根。必須舍去.注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母為0.用去分母法解分式方程的一般步驟：(1) 去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；(ii)解所得的整式方程；(iii)驗(yàn)根做答(2) 換元法為了解決某些難度較大的代數(shù)問題，可通過添設(shè)輔助元素(或者叫輔助未知數(shù))來解2決.輔助元素的添設(shè)是使原來的未知量替換成新的未知量，從而把問題化繁為簡，化難為易，使未知量向已知

3、量轉(zhuǎn)化，這種思維方法就是換元法.換元法是解分式方程的一種常用技巧， 利用它可以簡化求解過程.用換元法解分式方程的一般步驟：去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8),去括號(hào)，整理，得 x=7.(i)設(shè)輔助未知數(shù)，并用含輔助未知數(shù)的代數(shù)式去表示方程中另外的代數(shù)式；(ii)解所得到的關(guān)于輔助未知數(shù)的新方程，求出輔助未知數(shù)的值；(iii)把輔助未知數(shù)的值代回原設(shè)中，求出原未知數(shù)的值；(iv)檢驗(yàn)做答.注意：(1 )換元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用換元法把原方程化簡，把解一個(gè)比較復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)比較簡單的方程。(2) 分式方程解法的選

4、擇順序是先特殊后一般，即先考慮能否用換元法解，不能用換 元法解的，再用去分母法。(3) 無論用什么方法解分式方程，驗(yàn)根都是必不可少的重要步驟。二、例題精析：x + 412例 i.解分式方程：-2 2iox2+2x x十2 x分析：解分式方程的思路是把方程去分母化為整式方程。解：方程兩邊都乘以 x(x+2)，約去分母，得 x+4-x=2(x+2)+x(x+2)整理后，得 x2+4x=0解這個(gè)方程，得 Xi=O, x2=-4,代入公分母檢驗(yàn)：當(dāng) xi=0 時(shí)，x(x+2)=0X(0+2)=0, x=0 是增根；當(dāng) X2=-4 時(shí)，x(x+2)=- 4X(- 4+2)豐0, x= -4 是原方程的根

5、。故原方程的根是 x=-4o例 2 .解方程：口 口二口 口。x -9 x -5 x -6 x -8分析：本題中各個(gè)分式的分子與分母是同次多項(xiàng)式，故從中析出一個(gè)整數(shù)來 (用拆分分x 72式的方法)，-=1 -;考慮方程中有四個(gè)分式,x9x9把分式拆項(xiàng)，將方程化簡。x-9 2 x-5 2 x-6 2 x-8 2- 1-=-十-x9 x5 x6 x 8即1 1x 9 x 51丄x-6x-8可以移項(xiàng)后利用公式ab解:41 1_ 1 1x9x8 x-6x-5x -8 - x 9(x -9)(x -8)x5 - x 6(x _6)(x _5)亦即1_ 1(x_9)(x_8) (x_6)(x_5)移項(xiàng)，整

6、理，得去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8),去括號(hào)，整理，得 x=7.經(jīng)檢驗(yàn)，x=7 是原方程的根。原方程的根是 x=7。x 3 x 4例 3 .解萬程x + 4 x+5解法 1:方程兩邊都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3) =(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)即4=。，X，經(jīng)檢驗(yàn)知X是原方程的解。解法 2:方程兩邊分別通分，得(x +3)(x + 5) - (x + 4)2.(芹 +1)(開 +-(x+ 2)(x + 5)(x + 4)(j + 2)U + 3)X由2，解

7、得x -2經(jīng)檢驗(yàn) X1=4, x2=3,由亠x-2都是原方程的根。例 5 用換元法解方程2X2 3x - 4二解：設(shè) 2x2+3x=y，于是原方程變?yōu)閥-4，整理，得 y2-4y-5=0y-1-1, (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)(x 5)( x 4) (x 3)( x 2)解得x =。2解法 3:利用拆分分式的方法將原來的方程變形。1原方程可化為11 -x +4 x +51 1即：二x +5 x +4兩邊分別通分，得例 4 .解方程解：設(shè) y =丄x+3-1-1(x 5)(x4) (x 3)(x 2)，解之，得X2X( )-5( ) 6 = 0。x_2 x_2xx-2，則原方程變

8、形為2y -5y+6=0,解得 y1=2, y2=3,2(x+4)(x+5)X1=4;=3，解得 X2=3.52x23x6解得 y1=5, y2=-1.去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8),去括號(hào)，整理，得 x=7.當(dāng) y=-1 時(shí),2X2+3X=-1，解得 X3=-1,5經(jīng)檢驗(yàn)，X1= 1,X2, X3=-1,X4=251原方程的根為 Xi=1,X2, X3=-1,X4：22分析：利用方程左邊結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造一元二次方程來解。解：設(shè)y經(jīng)檢驗(yàn)，X1=0, X2=2 是原方程的解。211例 7解方程2(X2飛)-3(x ) =1.XX2112分析：此方程初看起來容易把，(x2)視為

9、(X ),而實(shí)際上XX12 2121 12 21 12(X) = X22，所以(X2) = (X)但是(X2) =(X) -2,就XXXXXX一 一121是說原方程可變形為2(x )2-2 -3(X ) =1,變形后才可用換元法解此方程。XX121解：原方程可化為2(X)2_ 2 -3(X) =1XX即2(x丄)2-3(x 1) -5 = 0,XX125設(shè)Xy,則原方程可化為：2y -3y-5=0 解得 y1=-1, y2=,X212當(dāng) y=-1 時(shí)，X1,去分母整理，得X+X+1=0X解這個(gè)方程， 0, 方程無解。5151當(dāng) y=5 時(shí)，即2X2+3X=5,解得 Xi=1,5X222例 6

10、解方程1OX3=7。x-3x2-6521X4x -3整理得：y2-7y+10=0解得 y1=2, y2=5,當(dāng) y1=2 時(shí)，即X2-6_- =2 ,.x1=0,X2=2;x -3當(dāng) y2=5 時(shí),X2-6x -32即X-5X+9=O( 0,此方程無實(shí)根)8當(dāng)y= 時(shí)，X,去分母整理，得2X-5X+2=0解得 X1=2,X2,2X 221經(jīng)檢驗(yàn)，xi=2,x2都是原方程的根。2121 12原方程的根是 X1=2,X2。(注意：切勿把(X2)看作(x )2xx例 8 若分式方程 亠2=0有增根 x=2，求 a 的值。x2 X-4a1分析：將方程22=0的兩邊同乘以最簡公分母(x+2)(x-2),x-2 x -4得 a(x+2)+1+2(x+2)