1、高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)專題特殊模型和抽象函數(shù)特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x)+f(y)冪函數(shù) f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y) 或指數(shù)函數(shù) f(x)=ax (a>0且a1)f(x+y)=f(x)f(y) 對數(shù)函數(shù) f(x)=logax (a>0且a1)f(xy)=f(x)+f(y) 正、余弦函數(shù) f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函數(shù) f(x)=tanx余切函數(shù) f(x)=cotx一.定義域問題 -多為簡單函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的定義域互求。例1.若函數(shù)y = f（x）的定義域是2，2，則函數(shù)y = f（x+1）+f

2、（x1）的定義域?yàn)?練習(xí)：已知函數(shù)f(x)的定義域是 ，求函數(shù) 的定義域。例2：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，11，求函數(shù)f(x)的定義域 。練習(xí)：定義在上的函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋羲姆春瘮?shù)為f-1(x)，則y=f-1(2-3x)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?。二、求值問題-抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決。例3.對任意實(shí)數(shù)x,y，均滿足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(1)0,則f(2001)=_. R上的奇函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f-1(x),由y=f(x+1)與y=f-1(x+2)互為反函數(shù)，則f(2009)= .例4.已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f

3、(1)=1,且對任意xR都有f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2002)=_.練習(xí)：1. f(x)的定義域?yàn)?，對任意正?shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，則 2. 。 .3、對任意整數(shù)函數(shù)滿足：，若，則（ ） A.-1 B.1 C. 19 D. 434、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對都有成立，若，則=（ ） A . 2005 B. 2 C.1 D.05、定義在R上的函數(shù)Y=f(x)有反函數(shù)Y=f-1(x)，又Y=f(x)過點(diǎn)（2，1），Y=f(2x)的反函數(shù)為Y=f-1(2x)，則Y=f-1(16)為（ ）A）

4、B） C）8 D）16 三、值域問題例4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，對于任意實(shí)數(shù)x、y，f(x+y)=f(x)f(y)總成立，且存在,使得，求函數(shù)f(x)的值域。四、求解析式問題（換元法，解方程組，待定系數(shù)法，遞推法，區(qū)間轉(zhuǎn)移法，例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)例6、設(shè)對滿足x0,x1的所有實(shí)數(shù)x，函數(shù)f(x)滿足, ,求f(x)的解析式。例7.已知f(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).例8.是否存在這樣的函數(shù)f(x),使下列三個(gè)條件:f(n)>0,nN;f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2N

5、*;f(2)=4同時(shí)成立? 若存在,求出函數(shù)f(x)的解析式；若不存在，說明理由.例9、已知是定義在R上的偶函數(shù)，且恒成立，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，函數(shù)的解析式為（ ） A B C D 練習(xí)：1、2.（重慶）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；（）設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)=x0，求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式。3、函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0，（1）求的值； （2）對任意的，都有f(x1)+2<logax2成立時(shí)，求a的取

6、值范圍五、單調(diào)性問題 （抽象函數(shù)的單調(diào)性多用定義法解決） 例10.設(shè)函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時(shí)f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值. 練習(xí)：設(shè)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1,且對于任意實(shí)數(shù)x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求證：f(x)在R上為增函數(shù)。例11、已知偶函數(shù)f(x)的定義域是x0的一切實(shí)數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x1,x2都有，且當(dāng)時(shí)， （1）f(x)在(0,+)上是增函數(shù)； （2）解不等式練習(xí)：已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對m、nR,恒有f(m+

7、n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,當(dāng)x>時(shí)，f(x)>0.求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；例12、定義在R+上的函數(shù)f(x)滿足: 對任意實(shí)數(shù)m,f(xm)=mf(x); f(2)=1。(1)求證:f(xy)=f(x)+f(y)對任意正數(shù)x,y都成立; (2)證明f(x)是R+上的單調(diào)增函數(shù); (3)若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范圍.練習(xí)1 定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）0，當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，且對任意的a、bR，有f（a+b）=f（a）·f（b）. （1）求證：f（0）=1；（2）求證：對任意的xR，恒有f（x）0；（3）求證：f（x）是R上

8、的增函數(shù)；（4）若f（x）·f（2xx2）1，求x的取值范圍.練習(xí)2、已知函數(shù)f(x)對任何正數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,當(dāng)x>1時(shí),f(x)<1。試判斷f(x)在(0,+)上的單調(diào)性。六、奇偶性問題例13. （1）已知函數(shù)f(x)(x0的實(shí)數(shù))對任意不等于零的實(shí)數(shù)x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。例14：已知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且滿足，（2）存在正常數(shù)a，使f(a)=1.求證：f(x)是奇函數(shù)。例15：設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又。求實(shí)數(shù)的取值范圍。例16：定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x

9、)滿足f(3)=log3且對任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求證f(x)為奇函數(shù)；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0對任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍練習(xí)：1、已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的函數(shù)a,b都滿足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;(3)若f(2)=2,un=f(2n) (nN*),求證:un+1>un (nN*).2. 定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：對于任意的實(shí)數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當(dāng)x0時(shí)f(x)0恒

10、成立.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(2)證明f(x)為減函數(shù)；若函數(shù)f(x)在-3，3）上總有f(x)6成立，試確定f(1)應(yīng)滿足的條件；3、已知f(x)是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若a,b1,1,a+b0時(shí)，有0.(1)判斷函數(shù)f(x)在1，1上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；(2)解不等式：f(x+)f();(3)若f(x)m22pm+1對所有x1,1,p1,1(p是常數(shù)）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.七、周期性與對稱性問題（由恒等式簡單判斷：同號(hào)看周期，異號(hào)看對稱）編號(hào)周 期 性對 稱 性1T=2對稱軸Û是偶函數(shù)；對稱中心（a,0）

11、9;是奇函數(shù)2T=對稱軸；對稱中心；3f(x)= -f(x+a)T=2f(x)= -f(-x+a)對稱中心4T=2對稱中心5f(x)=±T=2f(x)= b-f(-x+a)對稱中心6f(x)=1-T=3結(jié)論：(1)    函數(shù)圖象關(guān)于兩條直線x=a，x=b對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|a-b| (2)    函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2|a-b| (3)    函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a，及點(diǎn)M(b,0)對稱，則函數(shù)y=f(x

12、)是周期函數(shù)，且T=4|a-b| (4) 應(yīng)注意區(qū)分一個(gè)函數(shù)的對稱性和兩個(gè)函數(shù)的對稱性的區(qū)別:y=f(a+x)與y=f(b-x)關(guān)于對稱；y=f(a+x)與y=-f(b-x)關(guān)于點(diǎn)對稱例17：已知定義在R上的奇函數(shù)f (x)滿足f (x+2) = f (x)，則f (6)的值為（ ）A. 1 B. 0 C. 1 D. 2函數(shù)f(x)對于任意的實(shí)數(shù)x都有f(1+2x)=f(1-2x)，則f(2x)的圖像關(guān)于 對稱。例18. 已知函數(shù)y=f(x)滿足，求的值。例19. 奇函數(shù)f (x)定義在R上，且對常數(shù)T > 0，恒有f (x + T ) = f (x)，則在區(qū)間0，2T上，方程f (x)

13、 = 0根的個(gè)數(shù)最小值為（ ） . 3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)練習(xí)1、函數(shù)是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于 對稱。2、函數(shù)滿足，且，則 。3、函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且,則 4、已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)是的反函數(shù)，若則( )A）2 B）0 C）1 D）-25.設(shè)f(x)是R的奇函數(shù),f(x+2)= f(x),當(dāng)0x1,時(shí),f(x)=x,則f(7.5)= - 0.5 6.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)+f(x)=3,則f-1(x)+f-1(3-x)= .7、 f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f（2）=0，則方程f（x）=0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（ ）A.4 B.5 C.6 D.78、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,3,且函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對稱,已知當(dāng)x 2,3時(shí)f(x)= 2x,求當(dāng)x 1,2時(shí),f(x)的解析式.9、（山東）已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且