1、可測(cè)函數(shù)空間的完備性學(xué)生姓名：張權(quán) 指導(dǎo)老師：宋儒瑛太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系14011班 山西·太原 030012【內(nèi)容提要】 是定義在上的 Lebesgue可測(cè)函數(shù)全體構(gòu)成的可測(cè)函數(shù)空間,假設(shè),引入距離 ,那么為度量空間。在本文中，獲得一個(gè)主要結(jié)論：可測(cè)函數(shù)空間中,只要每一個(gè)Cauchy函數(shù)列 依測(cè)度收斂于某一可測(cè)函數(shù)，那么這樣的空間就是完備的。【關(guān)鍵詞】 可測(cè)函數(shù) 度量空間 完備性在定義積分時(shí)，對(duì)被積函數(shù)的一個(gè)根本要求是這個(gè)函數(shù)必須是可測(cè)的。所以，可測(cè)函數(shù)是一類很廣泛的函數(shù)。特別是Lebesgue可測(cè)函數(shù)更為廣泛。我們知道,實(shí)數(shù)域有一條重要性質(zhì),即其中任一滿足柯西條件的序列必收斂.這條

2、性質(zhì)稱為實(shí)數(shù)域的完備性,在數(shù)學(xué)分析中有重要作用。本文試圖對(duì)定義在上的 Lebesgue可測(cè)函數(shù)全體構(gòu)成的可測(cè)函數(shù)空間的完備性做進(jìn)一步的探討。 一、可測(cè)函數(shù)空間與度量空間設(shè)為上實(shí)值的可測(cè)函數(shù)全體，為L(zhǎng)ebesgue測(cè)度，假設(shè)。對(duì)任意兩個(gè)可測(cè)函數(shù)及，由于。故這是X上的可積函數(shù)。令 如果把中兩個(gè)幾乎處處相等的函數(shù)視為中同一元；那么按上述距離成為度量空間。下面驗(yàn)證一下：在中任取及。0顯然。假設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，也是顯然的。 因?yàn)?，所以?注意函數(shù)求導(dǎo)大于0是單調(diào)上升的，那么，任取有 從而上的實(shí)值Lebesgue可測(cè)函數(shù)有由前面知，上式兩邊均可積分。那么 即，。所以，按構(gòu)成度量空間。二、可測(cè)函數(shù)空間的完備性

3、定義：Cauchy點(diǎn)列或根本點(diǎn)列：在度量空間中，是中的點(diǎn)列，如果對(duì)于任意正數(shù)，在自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，必有。那么稱是中的Cauchy點(diǎn)列或根本點(diǎn)列。如果度量空間中每個(gè)柯西點(diǎn)列都收斂，那么稱是完備的度量空間。 的完備性：設(shè)及分別是中的點(diǎn)列和點(diǎn)，那么點(diǎn)列收斂于的充要條件是函數(shù)列依測(cè)度收斂于。證明：充分性：假設(shè)依測(cè)度收斂于，那么對(duì)任何的，有。對(duì)任意給定的正數(shù)(不妨設(shè)).取，那么，對(duì)于這個(gè)，由依測(cè)度收斂于，存在自然數(shù),使時(shí)，。所以， 即必要性：假設(shè)對(duì)任何的，由于 故，且，由此可知。即依測(cè)度收斂于。【結(jié)論】可見，可測(cè)函數(shù)空間中,只要每一個(gè)Cauchy函數(shù)列 依測(cè)度收斂于，那么這樣的空間就是完備的。 三、一個(gè)

4、例子在這個(gè)例子中，將用到一個(gè)引理：假設(shè)柯西列內(nèi)有收斂子序列，那么它本身是收斂序列。例：可測(cè)函數(shù)空間是完備的。證明：設(shè)是柯西列，任取，有自然數(shù)，使得對(duì)每一對(duì)，都有。據(jù)此，對(duì)每一自然數(shù)可以找到一個(gè)自然數(shù), 使它滿足條件：由此得，。由Levi定理知級(jí)數(shù)在 上幾乎處處收斂。任取它的一個(gè)收斂點(diǎn)，那么對(duì)充分大的總有 。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有。由于是收斂點(diǎn)，故產(chǎn)生矛盾。于是，對(duì)充分大的總有。由此得，收斂。從而便知在幾乎處處收斂。這相當(dāng)于序列的幾乎處處收斂。由于幾乎處處收斂蘊(yùn)含依測(cè)度收斂，那么是一依的距離收斂的序列。而它是的子列，故是依測(cè)度收斂的。從而證明了的完備性。【參考資料】1 孫永生等 ? 泛函分析講義? 北京師

5、范大學(xué)出版社 北京 1986,52 侯友良等 ?實(shí)變函數(shù)根底? 武漢大學(xué)出版社 武漢 2002,33 程其襄等 ?實(shí)變函數(shù)與泛函分析根底? 高等教育出版社 北京 2002,14 許天周等 ?應(yīng)用泛函分析根底? 科學(xué)出版社 北京 2003,6The Completion of Measurable Function SpaceName of the student ,Zhang quan Sponsor,Song ruying(Mathematics department of Taiyuan teachers college,class14011 Shanxi·Taiyuan 030

6、012)【Abstract】 is a measurable function space which defined on the and is made up of the whole measurable function of Lebesgue . If exists andwe bring into . We can info is a metric space .In this thesis ,we can get an important conclusion “in the measurable function space ,only if each Cauchy function sequence , converges at measurable with measurement, the space is complete .【Key words】 measurable function , metric