1、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念(1) 定義：一般地，我們把函數(shù)y 三 QgaX(a0,且 1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x 是自變量，函數(shù)的定義域是(0 ,+ ).(2) 對(duì)數(shù)函數(shù)的特征：logax 的系數(shù)：1特征引 ogax 的底數(shù)：常數(shù)，且是不等于1 的正實(shí)數(shù)jogaX 的真數(shù)：僅是自變量 X判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)，只需看此函數(shù)是否具備了對(duì)數(shù)函數(shù)的特征.比如函數(shù) y = log7X 是對(duì)數(shù)函數(shù)，而函數(shù) y = - 3log4X 和 y = logx2 均不是對(duì)數(shù)函數(shù)，其原因是 不符合對(duì)數(shù)函數(shù)解析式的特點(diǎn).2【例 1 - 1】函數(shù) f(x)= (a - a+ 1)log(a+1)x 是對(duì)數(shù)函數(shù)

2、，則實(shí)數(shù) a =_.解析：由 a2- a + 1= 1，解得 a= 0,1 .又 a+ 1 0，且 a+ 1 工 1， a = 1.答案：1【例 1-2】下列函數(shù)中是對(duì)數(shù)函數(shù)的為 _ .(1)y= loga. X (a 0，且 a 1) ； (2)y = log2X + 2；(3) y= 8log2(x + 1) ； (4)y= logx6(x 0，且 x 1);(5)y= logex.解析：序號(hào)是否理由(1)X真數(shù)是 J X，不是自變量 X(2)X對(duì)數(shù)式后加 2(3)X真數(shù)為 x+ 1，不是 X，且系數(shù)為 8，不是 1(4)X底數(shù)是自變量 X，不是常數(shù)(5)V底數(shù)是 6，真數(shù)是 x2.對(duì)數(shù)函

3、數(shù) y= logax(a0，且 a 1)的圖象與性質(zhì)(1)圖象與性質(zhì)a10vav1圖 象加| 11、性質(zhì)(1)定義域x|x 0值域y|y R當(dāng) x= 1 時(shí)，y= 0，即過定點(diǎn)(1,0)(4)當(dāng) x 1 時(shí)，y0;當(dāng) 0vxv1 時(shí)，yv0當(dāng)x 1時(shí)， yv0； 當(dāng)0vxv1 時(shí)，y0(5)在(0，+ )上是增函數(shù)(5)在(0，+s)上是減函數(shù)談重點(diǎn)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象恒在 y 軸右側(cè)，其單調(diào)性取決于底數(shù).a 1 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；0vav1 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減理解和掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的 關(guān)鍵是會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，在掌握?qǐng)D象的基礎(chǔ)上性質(zhì)就容易理解了.我們要注意數(shù)形結(jié)合思

4、想的應(yīng)用.(2)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較解析式xy = a (a0,且 aM1)y= logax (a0，且 aM1)性質(zhì)定義域R(0，+ )值域(0，+s)R過定點(diǎn)(0,1)(1,0)單調(diào)性單調(diào)性一致，同為增函數(shù)或減函數(shù)奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(3)底數(shù) a 對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的影響1底數(shù) a 與 1 的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當(dāng) a 1 時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當(dāng) 0vav1 時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象“下降”.2底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是a 1 還是 0vav1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大.-431【例 2】如

5、圖所示的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y= logax 的圖象.已知 a 從3, 一中取值,3510則相應(yīng)曲線 Ci，C2, C3, C4的 a 值依次為()3,4,3,1.答案：A3510點(diǎn)技巧 根據(jù)圖象判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小的方法(1)方法一：利用底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象影響的規(guī)律：在 x 軸上方“底大圖右”，在 x 軸下方“底大圖左” ；(2)方法二：作直線 y= 1 , 它與各曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是各對(duì)數(shù)的底數(shù)，由此判斷各底數(shù)的大小.3.反函數(shù)(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)指數(shù)函數(shù) y = ax(a 0,且 a 1)與對(duì)數(shù)函數(shù) y= logax(a0,且 a 1)互為反函數(shù).互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系1原函數(shù)的

6、定義域、值域是其反函數(shù)的值域、定義域；2互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y = x 對(duì)稱.求已知函數(shù)的反函數(shù)，一般步驟如下：1由 y= f(x)解岀 x，即用 y 表示岀 x；2把 x 替換為 y, y 替換為 x;3根據(jù) y = f(x)的值域，寫岀其反函數(shù)的定義域.【例 3 1】若函數(shù) y= f(x)是函數(shù) y= ax(a 0,且 a 工 1)的反函數(shù)，且 f(2) = 1，則 f(x)=()解析：因?yàn)楹瘮?shù) y = ax(a 0,且 a 1)的反函數(shù)是 f(x) = logax,A. 、34, ,3,1B.34, ,1- ,3351031054C .,3,3,14D.,3,1- ,335

7、103105解析：由底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響這一性質(zhì)可知,C4的底數(shù)VC3的底數(shù)VC2的底數(shù)VCiA. log2X12xC.log1x2的底數(shù)故相應(yīng)于曲線Ci, C2, C3, C4的底數(shù)依次是又f(2)=，即loga2 = 1,所以 a = 2.故 f(x)= log2x.答案：A【例 3 2】函數(shù) f(x)= 3x(0vx 2)的反函數(shù)的定義域?yàn)?)解析：/ 0Vx 2 ,A1V3x 0,且 a 1)中僅含有一個(gè)常數(shù)a，則只需要一個(gè)條件即可確定對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式，這樣的條件往往是已知f(m)= n 或圖象過點(diǎn)(m, n)等等.通常利用待定系數(shù)法求解，設(shè)岀對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式f(x) = loga

8、x(a0,且 a 1),利用已知條件列方程求岀常數(shù)a的值.利用待定系數(shù)法求對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，常常遇到解方程，比如式 logam= n 化為指數(shù)式的形式an= m,把 m 化為以 n 為指數(shù)的指數(shù)幕形式1a =mn，再利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)仿法二)令e= 5,貝 U x= ln 5，所以 f(5) = ln 5 .答案：C【例【例4- 2】已知對(duì)數(shù)函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)L 2 L 試求 f(3)的值.9,分析：設(shè)岀函數(shù) f(x)的解析式，利用待定系數(shù)法即可求岀.- f(x) =log1x. f(3) =log13 = log13331f(x)的反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2,9)，且 f(b)=，

9、試求 b 的值.2且 a 1)，則它的反函數(shù)為 y = ax(a0,且 a 1),由條件知 a2=932,從而 a= 3 .于是 f(x)= log3x，則 f(b)= log3b =，解得 b=32 3.2【例【例3-3】若函數(shù) y= f(x)的反函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,5)，則函數(shù) y = f(x)的圖象必過點(diǎn)(A. (5,1)B. (1,5)C. (1,1)D . (5,5)y = x 對(duì)稱，而點(diǎn)(1,5)關(guān)于直線 y= x 的對(duì)稱點(diǎn)為logam= n,這時(shí)先把對(duì)數(shù)m= kn(k 0，且1),1mn.則解得 a= k 0 還可以直接寫岀例如：解方程 loga4=- 2,則a-2=4由于4=:1

10、然，也可以直接寫岀a=4，再利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，得_2，所以a二J1.又21a 0，所以a.當(dāng)2【例 4- 1】已知 f(ex) = x,則 f(5)=()A. e5B . 5eC .In 5D. Iog5e解析：(方法一)令 t= ex，則 x= ln t，所以 f(t) = ln t，即f(x)= In x .所以 f(5) = In 5 .解：設(shè) f(x)= logax(a 0, 且1),對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)門29,= loga；=2.a2【例【例4-3】已知對(duì)數(shù)函數(shù)解：設(shè) f(x) = logax(a 0,15 對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域的求解(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?(0,+ ).

11、在求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于o,底數(shù)大于 o，且不等于 1 若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時(shí)需要保證各個(gè)方面都有意義.一般地，判斷類似于 y = logaf(x)的定義域時(shí)，應(yīng)首先保證 f(x) 0 (3)求函數(shù)的定義域應(yīng)滿足以下原則：1分式中分母不等于零；2偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零；3指數(shù)為零的幕的底數(shù)不等于零；4對(duì)數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;5對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，如果在一個(gè)函數(shù)中數(shù)條并存，求交集.【例 5】求下列函數(shù)的定義域.(1)y= log5(1 -x); (2)y = log(2x-1)(5x 4);y二log.5(4x -3)分析：利

12、用對(duì)數(shù)函數(shù) y= logax(a0,且 a 工 1)的定義求解. 解：(1)要使函數(shù)有意義，則 1 x0，解得xv1，所以函數(shù) y = log5(1 x)的定義域是x|xv1.5x -40,4要使函數(shù)有意義，則2x -10，解得 x 且XK1,52x -1 =1,所以函數(shù) y = log(2x-1)(5x 4)的定義域是f4x -3 0,3要使函數(shù)有意義，則解得vx0,且 a 工 1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下:1分解成 y = logau, u = f(x)這兩個(gè)函數(shù)；2求 f(x)的定義域；;(1,所以函數(shù)y = Jlog0.5(4x-3)的定義域是3VX43求 u 的取值范圍；4利

13、用 y = logau 的單調(diào)性求解.對(duì)于函數(shù) y = f(logax)(a0，且 1)，可利用換元法，設(shè)logax= t，則函數(shù) f(t)(t R)的值域就是函數(shù) f(logax)(a0，且 a 工 1)的值域.注意：(1)若對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)是含字母的代數(shù)式(或單獨(dú)一個(gè)字母)，要考查其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.(2)求對(duì)數(shù)函數(shù)的值域時(shí)，一定要注意定義域?qū)λ挠绊懏?dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，有時(shí) 需討論參數(shù)的取值范圍.【例 6- 1】求下列函數(shù)的值域：22(1)y= log2(x + 4) ；(2)y=log1(3+2x-x ).2解：/ x2+ 4 4， log2(x2+ 4) log24

14、 = 2.二函數(shù) y = log2(x2+ 4)的值域?yàn)?，+).設(shè) u= 3+ 2x- x2，貝Uu=- (x- 1)2+ 40， Ovu- 2. 函數(shù) y=log1(3+2x-x2)的值2 2 2域?yàn)?2，+ ).【例 6- 2】已知 f(x)= 2 + log3X, x，1,3，求 y =f(x)2+ f(x2)的最大值及相應(yīng)的x 的值.分析：先確定 y=f(x)2+ f(x2)的定義域，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于log3X 的一個(gè)一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)求最值.解：/ f(x)= 2+ log3X,1,3， y= f(x)2+ f(x2) = (Iog3x)2+ 6log3x+ 6 且定義域

15、為1,3.令 t = log3x( 1,3) . / t = log3x 在區(qū)間1,3上是增函數(shù)， 0 t0，且 a 1)過定點(diǎn)(1,0)，即對(duì)任意的 a0，且 a 1 都有 loga1 = 0.這 是解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問題的關(guān)鍵.對(duì)于函數(shù) y = b+ klogaf(x)(k，b 均為常數(shù)，且 心 0)，令 f(x)= 1，解方程得 x= m，則該函數(shù) 恒過定點(diǎn)(m，b) 方程 f(x) = 0 的解的個(gè)數(shù)等于該函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2) 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換的問題、，向左(b0)或向右(b 0，且 a 1)移-b|個(gè)單位長(zhǎng)度-f函數(shù)y=loga(x + b)(a 0，且 a 工

16、 1)、,向上(b0)或向下(b 0，且 a 1)移同個(gè)單位長(zhǎng)度-函數(shù)y=logax+ b (a 0，且 az1)當(dāng) x0 時(shí)，兩函數(shù)圖象相同3函數(shù)y=logax(a0，且az1)當(dāng)X0 時(shí)的圖象關(guān)于f軸對(duì)稱函數(shù)y=loga|xl(a 0,且az1)保留 X 軸上方的圖象4函數(shù)y=logaX(a0，且az1)同時(shí)將 x 軸下方的圖象祚關(guān)于-x 軸的對(duì)稱變換T-f函數(shù)y= llogaxl(a0，且 az1)【例 7- 1】若函數(shù) y= loga（x +b）+ c（a 0,且 1）的圖象恒過定點(diǎn)（3,2），則實(shí)數(shù) b, c 的值 分另V 為_.解析：函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（3,2）,將（3,2）代入

17、y = loga（x + b） + c（a 0，且 a 工 1）,得 2 = loga（3 + b） + c.又當(dāng) a 0,且 a 1 時(shí)，Ioga1 = 0 恒成立， c= 2. Ioga（3 + b）= 0. b=- 2.答案：一 2,2【例 7- 2】作岀函數(shù) y= |Iog2（x+ 1）| + 2 的圖象.解：（第一步）作函數(shù) y= Iog2x 的圖象，如圖 ；（第二步）將函數(shù) y = Iog2x 的圖象沿 x 軸向左平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù) y= Iog2（x + 1）的圖象， 如圖；（第三步）將函數(shù) y = Iog2（x + 1）在 x 軸下方的圖象作關(guān)于x 軸的對(duì)稱變換，得函

18、數(shù) y = |Iog2（x +1）1 的圖象，如圖；（第四步）將函數(shù) y = |Iog2（x + 1）|的圖象，沿 y 軸方向向上平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度，便得到所求函數(shù) 的圖象，如圖.國(guó)IS8.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小比較有以下幾種情況：（1）底數(shù)相同，真數(shù)不同.比較同底數(shù)（是具體的數(shù)值）的對(duì)數(shù)大小，構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.要注意：明確所給的兩個(gè)值是哪個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值；明確對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1 的大小關(guān)系；最后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小.底數(shù)不同，真數(shù)相同若對(duì)數(shù)式的底數(shù)不同而真數(shù)相同時(shí)，可以利用順時(shí)針方向底數(shù)增 大畫岀函數(shù)的圖象，再進(jìn)行比較，也可以先

19、用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較.（3）底數(shù)不同，真數(shù)也不同.對(duì)數(shù)式的底數(shù)不同且指數(shù)也不同時(shí)，常借助中間量 0,1 進(jìn)行比較.對(duì)于多個(gè)對(duì)數(shù)式的大小比較，應(yīng)先根據(jù)每個(gè)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，以及它們與“0”和“ 1”的大小情況，進(jìn)行分組，再比較各組內(nèi)的數(shù)值的大小即可.注意：對(duì)于含有參數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較，要注意對(duì)底數(shù)是否大于1 進(jìn)行分類討論.【例 8- 1】比較下列各組中兩個(gè)值的大小.(1) log3l.9,log32；(2)log23,logo.32；loganIoga3.141.分析：(1)構(gòu)造函數(shù) y= log3X，利用其單調(diào)性比較；分別比較與 0 的大??；分類討論底數(shù)的取值范圍.解：因?yàn)楹瘮?shù)

20、y= log3x 在(0 ,+a)上是增函數(shù)，所以f(1.9)vf(2).所以 log3l.9 log2l = 0, logo.32logo.32 .(3) 當(dāng) a 1 時(shí)，函數(shù) y= logax 在定義域上是增函數(shù)，則有l(wèi)oganloga3.141 ；當(dāng) 0 a 1 時(shí)，函數(shù) y= logax 在定義域上是減函數(shù)，則有l(wèi)ogan 1 時(shí)，loganloga3.141 ； 當(dāng) 0 a 1 時(shí)，logan b a 1,試比較loga,logb, logba, logab 的大小.ba分析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象進(jìn)行判斷.a解：/ ba 1 , 0 1.ba二loga logaa = 1 ,b

21、logb1 logba logbb,即卩 0 logba 1.由于 1 b b, 0logbb b 1, 1.blogb0,即卩l(xiāng)ogbalogb.ba,. b-logab logba logb- a. aab.9.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對(duì)數(shù)不等式(1)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a0,且 1 時(shí)，有l(wèi)ogaf(x) = logag(x)= f(x) = g(x)(f(x) 0, g(x) 0)；當(dāng) a1時(shí),logaf(x) logag(x)：= f(x) g(x)(f(x) 0, g(x)0)；當(dāng) 0 a logag(x)：= f(x)0, g(x) 0).(2)常見的對(duì)數(shù)不等式有三種類型:形如

22、logaf(x) logag(x)的不等式，借助函數(shù) y= logax 的單調(diào)性求解，如果 a 的取值不確定, 需分 a 1與 0a b 的不等式，應(yīng)將 b 化為以 a 為對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)式的形式，再借助函數(shù) 的單調(diào)性求解.y= logax形如 logaf(x) logbg(x)的不等式，基本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值，利用 對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來脫去對(duì)數(shù)符號(hào)，同時(shí)應(yīng)保證真數(shù)大于零，取交集作為不等式的解集.4形如 f(logax) 0 的不等式，可用換元法(令 t = logax)，先解 f(t) 0,得到 t 的取值范圍.然 后再解 X 的范圍.【例 9- 1】解下列不等式：(i)logj

23、X log1( x)；logx(2x + 1) logx(3 x).x0,I解：由已知，得4-X 0,解得 0vxv2所以原不等式的解集是 x|0vxv2.x3-x,當(dāng) x 1 時(shí)，有2x 10,解得 1vxv3；3-x0,2x 10,解得 0vxv一33-x0,r2i所以原不等式的解集是 ？x Ovxv上或1x 0)的單調(diào)性，當(dāng) a 1 時(shí)相同，當(dāng) 0vav1 時(shí)相反.例如：求函數(shù) y = log2(3 2x)的單調(diào)區(qū)間.2v1，-1vloga-v1 2logaa： ：loga3：logaa(1)J當(dāng) a 1 時(shí)，y= logax 為增函數(shù),2 ，結(jié)合 a 1，可知22一a.3 a的取值范圍

24、是a0a3.分析：首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)y= log2(3 2x)是由對(duì)數(shù)函數(shù) y= log2u 和一次函數(shù) u= 3令 u(x) = x2 ax a, f(x)=log1u(x)在2,a1，1即1 a 1wa冬a-0.2-0，42(1、1 IQQ上是減函數(shù)，且u(x) 01 12j1 2 丿上恒成立.- u(x)在-2x 復(fù)合而成，求其單調(diào)區(qū)間或值域時(shí)，應(yīng)從函數(shù) y=log2u 的單調(diào)性考慮.u= 3 - 2x 的單調(diào)性、值域入手，并結(jié)合函數(shù)解：由 3- 2x0,解得函數(shù) y= log2(3 2x)的定義域是i，i.設(shè) u= 3 2x, x 三，2 上是減函數(shù)，且 y= log2u 在(

25、0,+%)上單調(diào)遞增,函數(shù) y= log2(3 2x)在 一I|上是減函數(shù).函數(shù) y= log2(3 2x)的單調(diào)減區(qū)間是【例【例10 1】求函數(shù) y= loga(a ax)的單調(diào)區(qū)間.解：若 a 1,則函數(shù) y = logat 遞增，且函數(shù) t = a ax遞減.又a ax即 axva， (2)若 0vav1，則函數(shù) y= logat 遞減，且函數(shù) t = a ax遞增.即 axva， x 1. 函數(shù) y= loga(a a)在(1,+)上遞減.綜上所述，函數(shù)xy =loga(a a )在其定義域上遞減.析規(guī)律 判斷函數(shù) y= logaf(x)的單調(diào)性的方法函數(shù) y= logaf(x)可看成

26、是 y = logaU 與 u= f(x)兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律即可判斷需特別注意的是，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，首先要考慮函數(shù)的定義域，即“定義域優(yōu)先”.【例【例10 2】已知 f(x) =log1(x2 ax a)在OQ1上是增函數(shù)，求 a 的取值范圍.，21 . .Ico .I 2丿由于是對(duì)數(shù)函數(shù)，還需保證真數(shù)大于 0.解:- 是函數(shù) f(x)的遞增區(qū)間，說明 i ：I 2丿是函數(shù) u = x2 ax a 的遞減區(qū)間,- i 上是增函數(shù),，2a 1i2空 f 1U2滿足條件的a的取值范圍是2 a1a蘭丄.I2J11對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題判斷與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)

27、的函數(shù)奇偶性的步驟是:(1)求函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱時(shí)，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)， 當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，判斷f(- X)與 f(x)或f(x)是否相等；當(dāng) f( x) = f(x)時(shí)，此函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)f( x) = f(x)時(shí)，此函數(shù)是奇函數(shù)；(3)當(dāng) f( x) = f(x)且 f( x) = f(x)時(shí)，此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；當(dāng) f( x)工 f(x)且 f( x)工f(x)時(shí)，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例如，判斷函數(shù) f(x)=loga( x21+x)(xR，a 0,且 1)的奇偶性.解：/f(x)+f(x)=loga( . X21 -X)+log

28、a( X21+X)22=loga(x + 1 X )= loga1 = 0， f( x) = f(x) . f(x)為奇函數(shù).1 + x【例 11】已知函數(shù) f(x)=loga- (a 0,且 a 1).1 -x(1) 求函數(shù) f(x)的定義域；判斷函數(shù) f(x)的奇偶性；求使 f(x) 0 的 x 的取值范圍.分析：對(duì)于第 問，依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可對(duì)于第(3)問，利用函數(shù)的單調(diào)性去掉對(duì)數(shù)符號(hào)，解出不等式.1 + X解：由 -0,得一 1vxv1,故函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?一 1,1).1 -X1 X1 + x(2) f(x)=loga =- loga =f(x)，1 +x1-x又由(1)知函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù) f(x)是奇函數(shù).1 + X1 + x(3) 當(dāng) a 1 時(shí)，由loga-0= loga1，得- 1，解得 0vxv1；1 -x1 -x1 + x1 + X當(dāng) 0vav1 時(shí)，由loga- 0= loga1，得 0v -v1,解得一 1vx