1、 研究系統(tǒng)的目的:更好地了解系統(tǒng)和控制系統(tǒng).含義1: 控制作用: 對(duì)狀態(tài)變量的支配 能控性. 系統(tǒng)輸出能否反映狀態(tài)變量 能觀性.含義2: 能控性:能否找到使任意初態(tài) 確定終態(tài) 能觀性:能否由輸出量的測(cè)量值 各狀態(tài) 多變系統(tǒng)兩個(gè)基本問(wèn)題: 在有限時(shí)間內(nèi),控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)? 在有限時(shí)間內(nèi),能否通過(guò)系統(tǒng)輸出的測(cè)量估計(jì)系統(tǒng)的初始狀態(tài)?簡(jiǎn)單地說(shuō): 如果系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來(lái)影響和控制,而由任意的始任意的始點(diǎn)點(diǎn)達(dá)到終點(diǎn),則系統(tǒng)能控(狀態(tài)能控). 如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量的任意形任意形式式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映,則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測(cè)的.例1: 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描

2、述: 解:展開 表明:狀態(tài)變量 , 都可通過(guò)選擇輸入u而由始點(diǎn) 終點(diǎn)完全能控. 輸出y只能反映狀態(tài)變量 ,所以 不能觀測(cè). xyuxxxx60215004212.1.222.11.625 4xyuxxuxx1x2x2x1x3.1線性系統(tǒng)能控性和能觀性的概念含義：能控性：u(t) x(t) 狀態(tài)方程能觀性：y(t) x(t) 輸出方程1.定義：設(shè)若存在一分段連續(xù)控制向量u(t)，能在內(nèi)將系統(tǒng)從任意任意狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到任意任意終態(tài)，則該系統(tǒng)完全能控完全能控BuAxx. 0ftt)(0tx)(ftx說(shuō)明：任意初態(tài)(狀態(tài)空間中任一點(diǎn)),零終態(tài)能控能控零初態(tài)零初態(tài)任意終態(tài)任意終態(tài)xtx)(0)(ftx0)(

3、0txxtxf)(能達(dá)2. 定理1xAx Bu設(shè)11nncB ABA BnrankSrank B ABA Bnc狀態(tài)完全可控的充要條件是能控性矩陣：S的秩為即：例：判斷能控性u(píng)xx111112310020231.321.xxxx21.uuu解：rank =23,不能控不能控442211442211452312 2BAABBSccS 對(duì)于：行數(shù)列數(shù)的情況下求秩時(shí)： rank =rankcSnnTccSS3. 定理2：若，若為對(duì)角型，則狀態(tài)完全能控的充要條件為：中沒(méi)有任意一行的元素全為零BuAxx.ubbbbbbbbbxxnpnnppnnn21222211121121.00ppubububxx12

4、12111111ppubububxx2222121222例：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中：試判斷該系統(tǒng)的能控性buAxx.2100A21bbb解：如果rank =2, 則必須要求 AbbSc)( 1221222111bbbbbbAbbSccS0, 021bb4. 定理3：設(shè)，若為約當(dāng)型約當(dāng)型，則狀態(tài)完全能控的充要條件是：對(duì)應(yīng)的每一個(gè)約當(dāng)塊的最后一行相應(yīng)的陣中所有的行元素不全為零BuAxx.例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中：試判斷系統(tǒng)的能控性buAxx.2101A21bbb解：而b1是任意值，且rank =2則該系統(tǒng)能控 AbbSc0 222122111bbbbbbAbbSccS5. 當(dāng)?shù)奶卣髦?, ，且

5、 則可以經(jīng)過(guò) 將A化為約當(dāng)型. 如下: 重根）11(重根）22(重根）ll(nl21xPxnnlJJJA0021pnlBBBB2112iiiiiiiJJJJpiiiiiiBBBB21ikikrriiiikJ11112iiiiirrr且例：設(shè)，已知BuAxx.1111122110101A001010001100010001000B0010101Br2100rB行線性無(wú)關(guān)不全為零能控6. 線性變換后系統(tǒng)的能控性不變?cè)O(shè)令則：其中：BuAxx. 1BAABBSnCxPx uBxAx.BPBAPPA11, 1BABABSnCCnnnncSrankBAABBrankBAABBPrankBAPABPBPra

6、nkBPAPPBPAPPBPrankSrank )()( 1111111111111系統(tǒng)的能控性不變系統(tǒng)的能控性不變1P滿秩矩陣7. 定理4：設(shè)如果系統(tǒng)能控，則則必存在一個(gè)非奇異變換可將狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)型：xAxbu 1BAABBSnC1xP xxAxbu其中：1 PAPApbb 1321100001000010naaaaA1000b 且：1111nAPAPPP111 10 0bAAbbPn證明：(由 推得 )PAPA 1 PAPAnnnPPPaaaaAPPP2113212110000010000103212PAPAP21PAP1212nnnPAPAPnnnPAPAP1111111nAPA

7、PPP11110001nPbPAbbPbPAb 100011bAAbbPn10 0 11bAAbbPn111 100 0 bAAbbPn例：求能控標(biāo)準(zhǔn)型uxx110111.解：rank Sc=2 能控1101 AbbSC11011CS1111011 01P101111APPP10111P則11101PAPA10Pbb3.2線性離散系統(tǒng)的能控性1.定義：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程: 其中)()() 1(kBukAxkxnRkx)(PRku)(nnRAn pBR若存在控制向量序列能在有限時(shí)間內(nèi)，將系統(tǒng) 第從k步的X(k)轉(zhuǎn)移到至第n步的x(n)=0，則稱系統(tǒng)在第k步上是能控的如果每個(gè)k系統(tǒng)的所有

8、狀態(tài)能控，則稱系統(tǒng)為完全能控完全能控) 1(),1(),(nkukuku,kT nT2.定理：設(shè)則系統(tǒng)完全能控的充要條件： rankSc=n其中： )()() 1(kBukAxkx 1BAABBSnC證明：(以單輸入為例)設(shè)假設(shè)：)()() 1(kbukAxkx)()0()(101ibuAxAnxniinn0)(nx ) 1() 1 ()0( )1() 1 ()0()()0(2121101nuuubAbAbAnbuAbuAbuAibuAxnnnii)0( ) 1()2() 1 (121xbAbAbAnuuun這里x(0)是任意的nbAbAbArankn 21要求為滿秩矩陣可求出u(0),u(1

9、), u(n-1)nAnbAAbbAranknn 1nbAAbbrankSnC 1當(dāng)例1：判斷系統(tǒng)的能控性1001(1)022( )0( )1101x kx ku k 解：311220111 2bAAbbSc3 CSrank該系統(tǒng)能控若已知 求u(0),u(1),u(2) 012)0(x)0()0() 1 (buAxx) 1 ()0()0() 1 () 1 ()2(2buAbuxAbuAxx32(3)(2)(2)(0)(0)(1)(2)xAxbuA xA buAbubu31001 (3)022(0)2(0)110311 2(1)0(2)11xxuuu 設(shè)x(3)=03111(0)100220(

10、1)022(0)311(2)110uuxu 解得： 因此，對(duì)于任意x(0)，都能求出 u(0),u(1),u(2), 使 x(0) x(3)=0(0)5(1)11(2)8uuu例2：判斷能控性能否存在 對(duì)任意x(0) x(1)=0？)()(1kBukAxkx041020122A011000B)()()(21kukuku)0()0()0(21uuu解： 2 0012240102041004110CSB AB A Brank Sc=3因此該系統(tǒng)能控所以一定可使任意x(0) x(3)=00)0()0() 1 (BuAxx)0()0(325.0021)0()0( 211uuBuAx1(0)0 ,2x設(shè)

11、-12-12-1 00.5 00.5022-32-32rankrank u(0)1,u(0)0可求出10)0()0()0(21uuu35 .02)0(x設(shè)但不能對(duì)任意x(0) x(1)=03.4 線性定常系統(tǒng)的輸出能控性 在分析和設(shè)計(jì)控制中,系統(tǒng)的被控量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài),而是系統(tǒng)輸出,必須研究系統(tǒng)的輸出是否能控.設(shè): 定義:在 上,任意解出u(t),輸出能控輸出能控BuAxx.DuCxypqnRuRyRx,0ftt0)()(0ftyty2. 定理：系統(tǒng)輸出完全能控的充要條件：qDBCACABCBrankn 1例：判斷系統(tǒng)是否輸出能控解：rankCB CABD=rank1 -2 0=1=q 輸

12、出能控rankSc=rankb Ab=12 狀態(tài)不能控uxx213214.xy013.5 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的能觀性 在實(shí)際工程實(shí)踐中,往往需要知道狀態(tài)變量,而由于各種原因,不一定都能直接獲取,但輸出變量總是可以獲取和測(cè)量的. 能觀性能觀性能否通過(guò)對(duì)輸出的測(cè)量來(lái)確定系統(tǒng)的狀態(tài)變量0tft設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表式：1. 定義：對(duì)任意給定u(t)，在內(nèi)輸出y(t)可唯一確定系統(tǒng)的初態(tài)x(),則系統(tǒng)是完全能觀的y x( ) 能觀y x( ) 能檢0t,0ftt確定確定BuAxx.DuCxy2. 定理定理1：系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要條件：nSrankSrankT00 )( 10TnTTTTCACAC

13、STnTCACACS 10證明：設(shè)00)()0( )( )( )tA t tA ttx tex teBud（dBueCtxCetytttAttA)()()(00)(0)(0)(tu00t)0()()()()0()()0()()0()()0()()0()(1110111010 xCACACItaItaItaxCAtaCAxtaCxtaxAtaCxCetynqnqqnnmnmmAt這里：是一個(gè)單位陣 要使y(t) x(0)q qqIR確定nrankSrankST00 3. 定理2:若A為對(duì)角型，則系統(tǒng)完全能控能觀的充要條件是：輸出陣C中沒(méi)有沒(méi)有任何一列的元素全為零 例：系統(tǒng)狀態(tài)方程為ubbxx21

14、21.00 xccy21TTTCACS 0)(12210ccS01c02c)(21系統(tǒng)能控能觀則要求即rank =20S4. 定理3：若A為約當(dāng)型，則系統(tǒng)完全能觀的充要條件是：C陣中與每個(gè)約當(dāng)塊的第一列第一列相對(duì)應(yīng)的各列中，沒(méi)有一列的元素全為零如：能觀ubbbxx321211.000001xccccccy232221131211112100cc 132300cc 例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：判斷系統(tǒng)的能觀性解：ubbxx2121.01xccy2121121110 cccccCACSTTT210cS 2 0Srank能觀01c5. 約當(dāng)型判據(jù)： 設(shè)A有 ( 重根)， ( 重根)， ( 重根) ， b

15、uAxx.duCxyudxCyubxAx.xpx 1122llnl21lJJJA0021.nqlCCCC2112iiiiiiiJJJJ iqiliiiCCCC21li, 2 , 1ikikrriikJ1121ikrqikikikikCCCC221ik, 2 , 1且要使系統(tǒng)完全能觀，則由的第一列組成的矩陣： 對(duì) 均列線性無(wú)關(guān)列線性無(wú)關(guān)。iiiiirrr21), 2 , 1(iikkCiiiiiCCCC11121li, 2 , 16. 定理定理4: 設(shè) 如果系統(tǒng)能觀，但不是能觀標(biāo)準(zhǔn)型，則存在 ，將原系統(tǒng)化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型：buAxx.Cxy (單輸入單輸出系統(tǒng))xpxTxCyubxAx.其中1210

16、100010001000naaaaATTTTAPAPbPbCCP 其中：12110001nCC APC AC A1111nPPA PAP7. 線性變換后系統(tǒng)能觀性不變 設(shè) 令buAxx.DuCxy)( 1T0TTnTTCACACSxPx xCyubxAx.APPA1BPB1CPCDD)( 1T0TTnTTCACACS01111110 )( )( )( )()()()( )(SrankCACACrankCACACPrankCAPCAPCPrankCPAPPCPAPPCPrankSrankTTnTTTTTnTTTTTTnTTTTTTTTnTTTTP 滿秩矩陣3.6 線性定常離散系統(tǒng)的能觀性 設(shè)1.

17、 定義：已知u(k)，如果能由 確定x(k)，則第k步是能觀的。如果每個(gè)k步都能觀，則系統(tǒng)完完全能觀全能觀。)()() 1(kBukAxkx)()(kCxky) 1(),(kyky) 1(nky y(k) y(k+1) y(k+n-1) 已知u(k)x(k)=)()()(21kxkxkxn2. 定理：系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀的充要充要條件： 其中： nSrankSrankT00 )( 10TnTTTTCACACS10 nTCACACS證明：令u(k)=0 k=0 y(0)=Cx(0) k=1 y(1)=Cx(1)=CAx(0) k=n-1 y(n-1)= )0(1xCAn)0() 1() 1 ()0(

18、1xCACACnyyyn_) 1() 1 ()0()0(11nyyyCACACxn 當(dāng) 時(shí)，x(0)有解。nSrankT0 例：解：)(112)(203120101) 1(kukxkx)(010kxy 04312001020CACACST能觀 3 0TSrank3.7 對(duì)偶原理由第二章：對(duì)偶原理：o TTTCoCCoAABBCC1:,SxAxBu yCx( , ,)A B C2:,TTTSzA zC v wB z(,)TTTACB 其中: 與 互為對(duì)偶. qpnnnRvyRwuRARzx, , , 1S2S1:SBAABBSnc112:S1201()() ()() )() TTTTTTTTnT

19、TcSBABABS11()TTTTnTOSCA CAC:2S:1S121()TTTTnTcOSCA CACS12 SS能控能觀能控能觀21 SS:1S11( )()G sC SIAB:2S112( )()() TTTTTTG sB SIACBSIAC)()( 12sGsGT對(duì)偶原理應(yīng)用 把可觀的SISO系統(tǒng)化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型 將其對(duì)偶系統(tǒng)化為可控標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)偶原理1:,SxAxbu yCx2:,TTTSzA zc v wb z可觀可控定理4：設(shè)如果系統(tǒng)能控，則則必存在一個(gè)非奇異變換可將狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)型：xAxbu 1BAABBSnC1xP xxAxbu其中：1 PAPApbb 13211000

20、01000010naaaaA1000b 且：1111nAPAPPP111 10 0bAAbbPn3.8 G(s)為能控性和能觀性的關(guān)系設(shè) 單輸入定理:系統(tǒng)能控能觀的充要條件是G(s)中沒(méi)沒(méi) 有零極點(diǎn)對(duì)消有零極點(diǎn)對(duì)消buAxx.ycx)()()()()(1sDsNbASIASIadjCbASICsG設(shè)A的特征值: , 則系統(tǒng)可化為:n,21ubbbxxnn2121.niiinxCxCCCy121當(dāng)當(dāng)00iiCb不能控不能觀ixix00iiCb系統(tǒng)能控能觀驗(yàn)證能控性: 設(shè) 不能控,則一定存在零極點(diǎn)對(duì)消. 01b1xbASI1)(1122111321212210()1001()()()()()()(

21、)()1nnnnnnnnssbSIAbsbsbssbsssssssbbs驗(yàn)證能觀性: 設(shè) 不能觀,則 一定存在零極點(diǎn)對(duì)消.01C1)( AsIC121210)(nnsssCCAsIC1xnnnnnnCssCsssssssCsCs)()()()(0 )()(01223211221例:解:能控型: 5 . 25 . 15 . 2) 1)(5 . 2(5 . 2)(2sssssssGuxx105 . 15 . 210.xy15 . 215 . 215 . 20CACST1 0TSrank不能觀 能觀型:uxx15 . 25 . 115 . 20.xy102.52.5,111CcSBABrankS不能

22、控 不能控不能觀:uxx015 . 2001.10yx不能控不能觀2x3.9 線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解000cocccxxxx0cx0cxx-能控能觀-能控不能觀-不能控能觀-不能控不能觀coxcox1. 系統(tǒng)的能控性分解 設(shè) 其中 ,系統(tǒng)不能控. 引入 變換, 中r個(gè)線性無(wú)關(guān)列向量. 任意n-r個(gè)列向量. 存在.xAxBuCxy nrSrankc 1CTxTxC11CTCT則uBxAx.22121110AAAATTAcc211CCCTCc0rCBBTBccxxxrcRx rncRx -能控狀態(tài)子向量-不能控狀態(tài)子向量rn-rrn-rrn rn rr則有:能控子系統(tǒng):不能控子系統(tǒng):ccxAx22.

23、uBxAxAxccc11211.11121cccxA xA xB u2121yyxCxCycccxCy11CxCy2222ccxA xyu1Bs/11C11A12As/12C22Acxcx cx cx1y2y1111111211222( )( )()()()()00ccccG sG sC sIABCTsIT ATT BAABCCsIA111121122211111112221121221111100()()()00()()( )( )ccsIAABCCsIAsIAsIAAsIABCCsIAC sIABG sG s能控子系統(tǒng)例1：進(jìn)行能控性分解解：所以不能控xyuxx210 0113103011

24、00.32210311101 2rankbAAbbrankSrankc選取通過(guò)則11121122131 1100112011CCTTxTxC1.01111220 1120010 xxu yx 能控子系統(tǒng)：不能控子系統(tǒng)：ccccxyuxxx11012121101ccxx .cxy222. 系統(tǒng)的能觀性分解設(shè)其中所以不能觀引入變換：中 個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量任意 個(gè)行向量存在則BuAxx.Cxy Torank Sln1oT1oxTxoTToS1oTuBxAx.xCy lnl1121220TooAAT ATAA12oBBT BB110oCCTCooxxx loxRn loxR-能觀子狀態(tài)-不能觀子狀態(tài)l

25、nlnllnllqplnl則能觀子系統(tǒng)：不能觀子系統(tǒng)：uBxAx10110.21222oooxA xA xB u1oyC x11111, oooxA xB uyC xy212222 , 0oooxA xA xB uy1Bs/11C11As/12B22Aox oxuyy 121Aox ox例：進(jìn)行能觀性分解解：xuxx2-10y 0113103011002012 12323234ToCrank SrankCArankCA不能觀選取經(jīng)過(guò)012123,001oT 1211102001oT1oxTx.010112011010 xxu xy001能觀子系統(tǒng)：不能觀子系統(tǒng)：1011 10121oooxxu

26、yx210 , 0oooxxxy3. 系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)分解：假設(shè)系統(tǒng)：不能控也不能觀 BuAxx.Cxy cccxxTx1能控性分解11cococoxxTx能控子系統(tǒng)能觀性分解 12cococoxxTx不能控子系統(tǒng)，能觀性分解1cccxxTx11112cocooccoocoxxTxTxTxxTx11Tx11131212223242334344000000000cocococococococoAAxxBxxAAAABuxxAxxAA13123400cocococoxxyyyyyCCxx1xTx經(jīng)過(guò)的線性變換后，系統(tǒng)化為：能控能觀:能控不能觀:不能控能觀 不能控 不能觀1113111 cocococoxA xA xB uyC x2122232422 0cococococoxA xA xA xA xB uy:co:co:co