1、1 在經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在傳在經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上的，而傳遞函數(shù)的概念是建立在拉氏變遞函數(shù)基礎(chǔ)上的，而傳遞函數(shù)的概念是建立在拉氏變換基礎(chǔ)上的，所以拉氏變換是經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基換基礎(chǔ)上的，所以拉氏變換是經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。礎(chǔ)。直接解微分方程 復(fù)習(xí)拉普拉斯變換復(fù)習(xí)拉普拉斯變換( (附錄附錄C)C)2 1 1、 拉普拉斯變換定義拉普拉斯變換定義 設(shè)設(shè) f(t) 是是時間時間t 的函數(shù)，當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，當(dāng)t0t0時，時，f(t)=0；則則 f(t)的拉普拉斯變換定義為：的拉普拉斯變換定義為：0( )( )( )stF sf t edtL f t 是是

2、的的象函數(shù)象函數(shù)，或稱，或稱 的拉普拉斯變換。的拉普拉斯變換。 是是 的的原函數(shù)原函數(shù)或拉普拉斯反變換?；蚶绽狗醋儞Q。 )(sF)(tf) (tf)(tf)(sF式中式中 是復(fù)變量是復(fù)變量 sjw 變換對：變換對： f( t ) F( s ) 電壓： u( t ) U( s ) 電流： i( t ) I( s )3常采用的典型信號的函數(shù)圖像常采用的典型信號的函數(shù)圖像（a）單位階躍信號（c）單位加速度信號（b）單位斜坡信號（d）單位脈沖信號4例例1 1 階躍函數(shù)的拉氏變換階躍函數(shù)的拉氏變換1t0f(t)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)( ) 1( )f tt已知單位階躍函數(shù)為：已知單位階躍函數(shù)為：

3、001( )1( )|ststeL f tt edtss則有：則有： 可得反變換可得反變換: :111Ls5例例2 2 求指數(shù)函數(shù)的求指數(shù)函數(shù)的拉拉氏變換氏變換( ) 0(0)(0)atf ttet()()0|()()1s a ts a teesasasa11atLesa于是可得反變換于是可得反變換已知指數(shù)函數(shù)為：已知指數(shù)函數(shù)為： ()00( )atstsa tL f teedtedt則有則有: : 6例例3 3 求斜坡函數(shù)的拉氏變換求斜坡函數(shù)的拉氏變換( )0(0)(0)y tttt11ty(t)已知單位斜坡函數(shù)為：已知單位斜坡函數(shù)為： 單位斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)00002( )|11stst

4、ststL f ttedteetdtssedtss則有：則有： 于是可得反變換：于是可得反變換： 121Lts1!nnnts推廣推廣7例例4 4 時間遲延時間遲延函數(shù)的拉氏變換函數(shù)的拉氏變換ta)(atf )(tf延遲延遲a a個時間單位個時間單位, ,可表示成可表示成)(00ttf）（設(shè)設(shè)0)(atfat時時0)()()(aasstdefdteatf則可完成以下變換則可完成以下變換 00)()()(defedefsasas）（）（sFeatfLas即即atf(t)0圖圖 延遲函數(shù)延遲函數(shù)于是于是如令如令8例例5 單位脈沖函數(shù)的拉斯變換單位脈沖函數(shù)的拉斯變換 單位脈沖函數(shù)為：單位脈沖函數(shù)為：1

5、)(000)(dttttt 單位脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換為單位脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換為 1)()()(0000dtetdtettLsFsst9(t)11(t)S1t21Sateas 1tsin22S常用函數(shù)拉氏變換對照表常用函數(shù)拉氏變換對照表tcos22SS原函數(shù)原函數(shù)f(t)象函數(shù)象函數(shù)F(S)詳見詳見P275 附錄附錄B10 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 線性系統(tǒng)的主要特征是具有線性系統(tǒng)的主要特征是具有齊次性齊次性和和疊加性疊加性。 2 2、拉氏變換的性質(zhì)、拉氏變換的性質(zhì)例例ttAtf21cossin)()()(),()(2211sFtfsFtf若)()()()(22112211sFasFatfatfa

6、則解：解：2222121)(ssssAsFtetf21)()(tf解：解：)2(2211)()(sssstfLsF11如 2、微分性質(zhì)、微分性質(zhì))()(sFtf若)0()()(fssFtf則)0()(d)(dcccussUCttuC 表明表明：函數(shù)函數(shù)f( t )求導(dǎo)后的拉氏變換是原函數(shù)的象函數(shù)乘求導(dǎo)后的拉氏變換是原函數(shù)的象函數(shù)乘以復(fù)量以復(fù)量s，再減去原函數(shù)，再減去原函數(shù)f( t )在在0 時的值。時的值。)0()(d)(dLLLissILttiL推廣：推廣：)0()0()()(2 fsfsFstf1213140,e)(2)(3)(3 ttytytyt。求)(, 2)0(, 1)0(sYyy解

7、解 對方程取拉氏變換，對方程取拉氏變換，得得31)(2)0()( 3)0()0()(2ssYyssYysysYs即即2816( )(1)(2)(3)ssY ssss例：例：設(shè)有方程設(shè)有方程)0()0()()(2 fsfsFstf15 3、積分性質(zhì)、積分性質(zhì))()(sFtf若ssFft)(d )(0則 表明表明：一個函數(shù)積分后的信號拉氏變換等于原函數(shù)的象一個函數(shù)積分后的信號拉氏變換等于原函數(shù)的象函數(shù)除以復(fù)量函數(shù)除以復(fù)量s。如如tiCutu0ccd)(1)0()(則則sCsIsusU)()0()(cc164、位移性質(zhì)、位移性質(zhì)若若 ，則，則 )()(sFtfL)()(asFtfeLat例例 求求t

8、eatsin的拉氏變換。的拉氏變換。22)(sinasteLat22sinstL解：解： 因為因為 故故 ：17 5、延時性質(zhì)、延時性質(zhì))()(sFtf若()( )sf teF s則 如圖所示，原函數(shù)沿時間軸如圖所示，原函數(shù)沿時間軸平移平移，平移后的函數(shù)為，平移后的函數(shù)為f (t-)18拉氏變換基本定理拉氏變換基本定理)()()()(22112211sFasFatfatfaL)()(asFtfeLat)()(sFetfLs)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(lim0ssFtfst( )( )(0)df tLsF sfdtssFdttfL)()( 相似定理相似定理)(asaFatf

9、L）（終值定理終值定理初值定理初值定理積分定理積分定理微分定理微分定理位移定理位移定理線性定理線性定理延時定理延時定理222( )( )(0)(0)d f tLs F ssffdt；指數(shù)函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù)的拉氏變換 ( )( )L f tF s19課堂練習(xí)課堂練習(xí)1、求拉氏變換、求拉氏變換3( )1,( )tf teF s 已知求11( )3F sss解解：2、 ( )1f tt 211( )F sss3、3( )tf tte21( )(3)F ss203 3、拉普拉斯反變換、拉普拉斯反變換)()()()(21sFsFsFsFn如果如果 能分解成能分解成 為如下形式為如下形式)(sF并假定

10、各分項的并假定各分項的拉氏反變換可以容易地求出，那么拉氏反變換可以容易地求出，那么 )()()()(121111sFLsFLsFLsFLn)()(21tfftfn對于一般形式的對于一般形式的拉普拉斯變換如何求其反變換？拉普拉斯變換如何求其反變換？由象函數(shù)由象函數(shù) F(s) 求原函數(shù)求原函數(shù) f(t) 的運算叫拉普拉斯反變換。的運算叫拉普拉斯反變換。21342)(2ssssF例例 已知已知，求，求?)(tf解解. .121122321313(1)(3)CCC sCC sCsF(s)(s)(s)ssss1212132CCCC321121 ssF(s)tteef(t)32121 120.50.5CC

11、解得：留數(shù)法留數(shù)法系數(shù)比較法（解系數(shù)方程）系數(shù)比較法（解系數(shù)方程）22拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 留數(shù)法留數(shù)法一般有一般有)(.)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm 設(shè)設(shè))()(.)(21011nnnnnpspspsasasasA121121( ) ( )ninp tp tp tp tniif tLF sa ea ea eae其中：其中：limiiispa(sp ).F(s)-Pi 是是 A(s)=0的根的根12112nniiniaaaaF(s)spspspsp1. 當(dāng)當(dāng) 的所有根均為不同實根時的所有根均為不同實根時( )0A s等式兩邊分別乘以等式兩

12、邊分別乘以（s+pi)23拉普拉斯反變換練習(xí)拉普拉斯反變換練習(xí)1 1223)2)(1(3)1(111ssssssssa22233(2)1(1)(2)1ssssassss 233)(2ssssF像函數(shù)像函數(shù)21) 2)(1(3)(21sasassssF部分分式展開為部分分式展開為)0(2)()(21teetfsFLtt因此因此()kkkspaspF s（ ）240,e)(2)(3)(3 ttytytyt。求)(, 2)0(, 1)0(sYyy解解 對方程取拉氏變換，對方程取拉氏變換，得得31)(2)0()( 3)0()0()(2ssYyssYysysYs即即2816( )(1)(2)(3)ssY

13、 ssss例：例：設(shè)有方程設(shè)有方程)0()0()()(2 fsfsFstf求上述微分方程的解求上述微分方程的解 y(t)課堂練習(xí)課堂練習(xí)252816( )(1)(2)(3)ssY ssss 所以所以 y(t) = L 1Y(s)=4.5e t 4e 2t + 0.5e 3t 2312816( )(1)(2)(3)123aaassY sssssss解：解：2118161 8 16lim (1)4.5(1)(2)(3)2sssassss 2228164 1616lim (2)4(1)(2)(3)1sssassss 23381692416lim (3)0.5(1)(2)(3)2sssassss262

14、23)(2ssssF例例4 4 已知已知，求，求?)(tft etef(t)ttsin2cos 解解 . .22113)(ssF(s)22221112111)(s)(ss221121)(ss可用可用配方（比較系數(shù)）配方（比較系數(shù)）的方法解的方法解2. 2. 當(dāng)當(dāng) 有共軛復(fù)根時有共軛復(fù)根時 ( )0A s ()kkkspaspF s（ ）12112nniiniaaaaF(s)spspspsp27拉普拉斯反變換練習(xí)拉普拉斯反變換練習(xí)2 252122)(2ssssF像函數(shù)像函數(shù)1( )( )5sin22cos2ttLF sf tetet因此因此22)(sinsteLt22)(cossasteLt由于

15、由于222222) 1(122) 1(2552122)(sssssssF像函數(shù)展成像函數(shù)展成28111222111( )()aaB sF(s)sp(sp )(sp )1121112121limlimspspa(sp ) F(s)da(sp ) F(s)ds3. 3. 當(dāng)當(dāng) 有重根時有重根時( (以二重根為例以二重根為例) )( )0A s 29例例 設(shè) ，求f ( t )。123)(2ssssF解解 1) 1() 1(3123)(1221122sKsKssssssF其中其中 2) 1(3) 1()() 1(1221211ssssssFsK1)3(dd) 1(3) 1( dd)() 1( dd11221212ssssssssssFssK0,ee2)(tttftt則則 11) 1(2)(2sssF22231212( )(1)(1)(1)(1)ssF sssss 另解另解30) 1(1)(2sssF例例 已知已知，求，求?)(tf解解. .3111221cccF(s)sss21111F(s)sss1tf(t)te 211201lim11sCss (s)212220011limlim111ssdCsdss (s)(s) 1111lim213)(ss)(sCs312)3)(2(1)(ssssF，求，求?)(tf解解. .311122332cccF(s)(s)