1、平面幾何問題的解答及其它1. 在OAB 與OCD 中, OA = OB, OC = OD. 直線 AB 與 CD 交于點(diǎn) P, (PBC)與(PDA)的外接圓 交于 P、Q 兩點(diǎn). 求證: OQPQ.AOBCPQD這是第 26 屆 IMO 的一道幾何題的推廣. 第 26 屆 IMO 的那道幾何題的條件是 A、B、C、D 四點(diǎn)共圓, 且 O 為圓心.思路 1 欲證明 OQPQ, 可考慮證明點(diǎn) O 在過點(diǎn) Q 且垂直于 PQ 的直線上.證法 1 如圖 1 所示, 過點(diǎn) Q 作 PQ 的垂線分別交PAD 與PBC 的外接圓交于 I、J 兩點(diǎn), 則 AIPA, BJPA, 所以 AIBJ, 因而 AB

2、 的垂直平分線過 IJ 的中點(diǎn); 同理, CD 的垂直平分線也過 IJ 的中點(diǎn). 顯然, O 是 AB 的垂直平分線與 CD 的垂直平分線的交點(diǎn), 因此, O 為 IJ 的中點(diǎn). 故 OQPQ.思路 2 如果有割線過相交兩圓的一個(gè)交點(diǎn), 則我們可以以兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)為中心作位似旋轉(zhuǎn)變換, 使其中一個(gè)圓變?yōu)榱硪粋€(gè)圓, 此時(shí), 割線與兩圓的另一交點(diǎn)即為兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn). 沿著這條思路走下去, 可能 使問題得到解決.證法 2 如圖 2 所示, 以 Q 為位似中心作位似旋轉(zhuǎn)變換, 使圓 PDA圓 PBC, 則 AB, DC, 于是, 以Q 為位似中心作位似旋轉(zhuǎn)變換, 使 AD, 則 B C. 再設(shè) AB、C

3、D 的中點(diǎn)分別為 M、N, 則 MN, 因而 P、 Q、M、N 四點(diǎn)共圓, 但(PMN)顯然以 OP 為直徑, 這說明點(diǎn) Q 在以 OP 為直徑的圓上, 故 OQPQ.AOMBC NPQ1AOMJDDBC NPQ思路 3 設(shè) M、N 分別為 AB、CD 的中點(diǎn), 則從證法 1 可以看出, 只要證明了 P、Q、N、M 四點(diǎn)共圓, 問題便得到解決.1.三弦定理及其逆一個(gè)不可小覷的證明四點(diǎn)共圓的方法我們知道, 對于圓內(nèi)接四邊形來說, 有一個(gè)關(guān)于四邊長與對角線長之間的一個(gè)度量等式, 這就是著名 的 Ptolemy 定理, 即設(shè) ABCD 是一個(gè)圓內(nèi)接凸四邊形, 則 AB × CD + BC

4、× DA = AC × BD .Ptolemy 定理是處理圓內(nèi)接四邊形問題的一個(gè)有力工具, 其逆定理也是成立的, 即 在凸四邊形 ABCD 中, 若 AB × CD + BC × DA = AC × BD , 則 ABCD 是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形.從表面上看來, Ptolemy 定理之逆可以證明四點(diǎn)共圓, 但在解題實(shí)踐中, 欲用 Ptolemy 定理之逆證明四點(diǎn)共圓似乎是一件奢侈的事件. 下面介紹 Ptolemy 定理的一個(gè)等價(jià)定理三弦定理.三弦定理 設(shè) PA、PB、PC 是一圓 內(nèi)有一公共端點(diǎn)的三條弦,BPC = a ,APB = b , 則PA

5、sina + PC sin b = PBsin (a + b )證明 設(shè)圓 的半徑為 R, 由正弦定理,BC = 2Rsina ,AB = 2Rsin b ,AC = 2Rsin (a + b ) , 于是PAsina + PC sin b = PBsin (a + b ) ÛPA× 2Rsina + PC × 2Rsin b = PB × 2Rsin (a + b ) ÛPA× BC + PC × AB = PB × AC .而 PABC 是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形, 由 Ptolemy 定理, PA× BC

6、+ PC × AB = PB × AC . 故三弦定理成立. 且三弦定 理與 Ptolemy 定理等價(jià).三弦定理之逆 設(shè) PA、PB、PC 是有一公共端點(diǎn)的三條線段,BPC = a ,APB = b . 若PAsina + PC sin b = PBsin (a + b ) .則 P、A、B、C 四點(diǎn)共圓.證明 設(shè)過 P、A、B 三點(diǎn)的圓與直線 PC 交于 P、C兩點(diǎn), 由三弦定理, 有PAsina + PC¢sin b = PBsin (a + b ) .比較條件, 得 C = C, 故 P、A、B、C 四點(diǎn)共圓.PAPACC ( C' )BB與 Pto

7、lemy 定理一樣, 三弦定理可以用來處理有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的問題, 而且因?yàn)槿叶ɡ砼c三角函 數(shù)聯(lián)系在一起, 因此, 用三弦定理處理某些圓內(nèi)接四邊形問題比 Ptolemy 定理還要方便. 我們在這里不準(zhǔn) 備論及. 而三弦定理之逆與 Ptolemy 定理之逆就不一樣了, 也就是說, 三弦定理之逆在證明四點(diǎn)共圓時(shí)表 現(xiàn)得夠大方的. 其原因也在于它與三角函數(shù)聯(lián)系起來了, 我們可以充分利用三角函數(shù)這一工具.例 1 設(shè)點(diǎn) P、Q、R 分別在銳角 ABC 的三條高 AD、BE、CF 上, 且 PBC、 QCA、 RAB 的面 積之和等于 ABC 的面積. 證明: P、Q、R、H 四點(diǎn)共圓. 其中, H 為

8、 ABC 的垂心.(2001, 第 27 屆俄羅斯 數(shù)學(xué)奧林匹克)證明 如圖所示, 不妨設(shè) R 在 HAB 內(nèi). 因 SDPBC + SDQCA + SDRAB = SDABC = SDHBC + SDHCA + SDHAB , 所以SDHAB - SDRAB = (SDPBC - SDHBC ) + (SDQCA - SDHCA)即 1 HR × AB = 1 HP × BC + 1 HQ × CA , 再由正弦定理, 得 HRsin C = HPsin A + HQsin B . 而222ÐPHQ = ÐDHE = 180° -

9、C ,ÐRHQ = A ,ÐPHR = B ,所以, HRsinÐPHQ = HPsinÐRHQ + HQsinÐPHR , 故由三弦定理之逆, P、Q、R、H 四點(diǎn)共圓.FRPEQHAAEFOBDCBDC例 2 設(shè) D 是ABC 的邊 BC 上一點(diǎn), DC 的垂直平分線交 CA 于 E, BD 的垂直平分線交 AB 于 F, O 是ABC 的外心. 求證: O、E、A、F 四點(diǎn)共圓. (第 27 屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克, 2001)證明 設(shè) BC = a , CA = b , AB = c , 仍用 A、B、C 表示ABC 的三個(gè)對應(yīng)的內(nèi)角,

10、則BF = BD ,2cos BEC = DC ,2cos C所以, AF = c - BD ,2cos BOAC = 90° - B , 即得AE = b - DC . 又由正弦定理,2cos COAsin A = a , 于是再注意FAO = 90° - C ,AF sinOAC + AE sinBAO = OAsin A Û AF cos B + AE cosC = OAsin A Û(c - BD ) cos B + (b - DC ) cosC = a Û c cos B + bcosC = a2cos B2cos C2OAC + A

11、E sin BAO = OAsin而最后一式即眾所周知的三角形的射影定理, 因而等式 AF sin三弦定理之逆, O、E、A、F 四點(diǎn)共圓.A 成立. 由例 3 設(shè) H 為ABC 的垂心, D、E、F 分別為ABC 的三邊 BC、CA、AB 上的點(diǎn), 且 DB = DF, DC = DE.求證: E、A、F、H 四點(diǎn)共圓.證明 設(shè) BC = a , CA = b , AB = c , 仍用 A、B、C 表示ABC 的三個(gè)對應(yīng)的內(nèi)角, 則所以,AF = c - 2BDcos B ,BF = 2BDcos B ,AE = b - 2DC cosC .EC = 2DC cosC ,再設(shè)ABC 的外接

12、圓半徑為 R, 則不難知道,AH = 2R cos A . 又HAE = 90° - C ,FAH = 90° - B ,AEFH于是, 由正弦定理, 并注意 cos A = -cos(B + C) = sin Bsin C - cos B cosC , 得AF sinHAE + AE sinFAH = AH sin A ÛAF cosC + AE cos B = a cos A Û( c - 2BDcos B )cosC + ( b - 2DC cosC )cos B = a cos A Ûbcos B + c cosC = a ( 2cos

13、 B cosC + cos A) Ûbcos B + c cosC = a (cos B cosC + sin B sinC) Ûbcos B + c cosC = a cos(B - C)而由正弦定理、倍角公式及和差化積公式, 有bcos B + c cosC = 2R (sin B cos B + sin C cosC ) =BDCR (sin 2B + sin 2C ) = 2Rsin(B + C)cos(B - C) =2Rsin Acos(B - C) = a cos (B - C) .HAE+ AEsinFAH= AHs即 bcos B + c cosC = a

14、 cos (B - C) 成立, 因而 AF sin之逆, E、A、F、H 四點(diǎn)共圓. 第 1 題的證法 3in 成立, 故由三弦定理1 在OAB 與OCD 中, OA = OB, OC = OD. 直線 AB 與 CD 交于點(diǎn) P, PBC 與PDA 的外接圓交 于 P、Q 兩點(diǎn). 求證: OQPQ.證明 設(shè)QPD = a, CPA = b, 則由三弦定理, 有兩式相加, 得PAsina + PQsin b = PDsin(a + b) ,PBsina + PQsin b = PC sin(a + b) ,(PA + PB)sina + 2PQsin b = (PC+PD)sin(a + b

15、) .設(shè) AB 與 CD 的中點(diǎn)分別為 M、N, 則 PA + PB = 2PM, PC + PD = 2PN, 所以PM sina + PQsin b = PN sin(a + b).由三弦定理之逆, M、P、Q、N 四點(diǎn)共圓. 但 O、M、P、N 四點(diǎn)共圓, 所以 O、M、P、Q 四點(diǎn)共圓. 而PMOM, 故 OQPQ.AOMBC NPQAEFPDBDMC第 19 題的證明19. 設(shè) D、E、F 分別是ABC 的邊 BC、CA、AB 上的點(diǎn), 且 DEAB, DFAC. 求證: () AEF 的外接圓通過一個(gè)定點(diǎn) P.() 若 M 為 BC 的中點(diǎn), 則BAM =PAC.證明 設(shè)AEF 的

16、外接圓與ABC 的 A-陪位中線的另一交點(diǎn)為 P, 由三弦定理, 有APsin A = AE sinÐBAP + AF sinÐPAC .再設(shè) BDBC= l , 則 DCBC= 1 - l , 所以, AE = FD = lAC ,AF = ED = (1- l)AB , 于是APsin A = l AC sinÐBAP + (1- l)ABsinÐPAC = ABsinÐPAC + l(AC sinÐBAP - ABsinÐPAC) = ABsinÐBAM + l(AC sinÐMAC - ABsin

17、ÐBAM)再注意 M 是 BC 的中點(diǎn), 由分角線定理,1 = BM = AB sin ÐBAM , 所以MBAC sin ÐMAC因此,AC sinÐMAC = ABsinÐBAMAPsin A = ABsinÐBAM , 從而 AP = AB sin ÐBAM 為定長. 故 P 是一個(gè)定點(diǎn), 且BAM =PAC.sin A2.圓過三角形的外心與一個(gè)頂點(diǎn)的條件2001 年舉行的第 27 屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克的一道幾何題(例 2)說明, 設(shè) O 是ABC 的外心, D 是ABC 的邊 BC 上一點(diǎn), DC 的垂直平分線交 C

18、A 于 E, BD 的垂直平分線交 AB 于 F, 則 O、E、A、F 四點(diǎn) 共圓.我們可以證明, 如果一個(gè)過ABC 的外心和頂點(diǎn) A 的圓與 AC、AB 分別交于 E、F 時(shí), 一定在 BC 上 存在一點(diǎn) D, 使 E、F 分別在 DC 的垂直平分線和 BD 的垂直平分線上.事實(shí)上, 由三弦定理,AF sin ÐOAC + AE sin ÐBAO = OAsin A . 而sinÐOAC = cos B , sinÐBAO = cosC ,所以,AF cos B + AE cosC = OAsin A = 1 BC . 設(shè) F、E 在 BC 上的射影分

19、別為 M、N, 則2MN = AF cos B + AE cosC = 1 BC2是一個(gè)常數(shù)(與圓的位置無關(guān)), 且這個(gè)常數(shù)為邊 BC 的一半. 于是, 設(shè)點(diǎn) B 關(guān)于 FM 的對稱點(diǎn)為 D, 則 D、C 關(guān)于 EN 對稱.這就證明了, 一個(gè)圓過ABC 的外心和頂點(diǎn) A 的充分必要條件是: 這個(gè)圓與 AC、AB 分別交于 E、FAQPO時(shí), 線段 EF 在 BC 上的射影長等于 BC 的一半.AEFOBMDNCBC第 17 題的證明17. 設(shè)ABC 的外心為 O, 點(diǎn) P、Q 分別在邊 AB、CA 上, 且 BP = PQ = QC . 求證: A、P、O、QCABCABAQPO四點(diǎn)共圓.證明

20、 作RQP, 使RQPABC, 且 R 與 A 在 PQ 的兩側(cè),則 PR PQ QR BP PQ QCCA = BC =AB . 而 CA = BC =AB , 所以 RP = BP, QR =QC, 因此, PRB =RBP, CRQ =QCR. 這樣CRQ +QRP +PRB =QCR +BAC +RBA.另一方面, 因 (CRQ +QRP +PRB) + (QCR +BAC +RBA) = 360°, 所以CRQ +QRP +PRB = 180°.這說明點(diǎn) R 在ABC 的邊 BC 上. 因 P 為 BR 的垂直平分線與 AB 的交點(diǎn), Q 為 RC 的垂直平分線與

21、 AC 的交點(diǎn), 故 A、P、Q、O 四 點(diǎn)共圓.附: 例 2 的另兩個(gè)證法BRC例 2 設(shè) D 是ABC 的邊 BC 上一點(diǎn), DC 的垂直平分線交 CA 于 E, BD 的垂直平分線交 AB 于 F, O 是ABC 的外心. 求證: A、E、O、F 四點(diǎn)共圓.（第 27 屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克）分析 1 當(dāng) E、F 分別是外心 O 在 CA、AB 上的射影時(shí), 點(diǎn) D 為 A 在 BC 上的射影, 此時(shí), 欲證結(jié)論顯 然成立. 以此為出發(fā)點(diǎn), 我們可以得到如下的證明.證法 1 過點(diǎn) A 作 BC 的垂線,垂足為 L, 再設(shè) M、N 分別為 CA、AB 的中點(diǎn), 則 ML= MC, NL =

22、NB, 所以 LMDE, LNDE, 進(jìn)而 EM = MC , DL = BL . 兩式相乘, 得DLLCFNBN EM MC BL AC BN AC BNFN =LC × BN =AB × LC= LC × AB .但ALCBON, ABLCOM, 所以 AC= OB , BL= OM , 代入上式, 并注意 OB = OC 即得 EM OMLCONABOCFN = ON. 于是OMEONF, 從而OEM =OFN, 故 A、E、O、F 四點(diǎn)共圓.分析 2 如果 E、A、F、O 四點(diǎn)共圓. 因 B、D、C 三點(diǎn)在一直線上, 由 Pascal 定理, 直線 DE

23、與 BO 的 交點(diǎn)則也應(yīng)在這個(gè)圓上. 循著這個(gè)思路, 我們便得到證法 2.證法 2 設(shè)直線 BO 與 DE 交于 P. 因BPD =CDE CBP =ACB (90°BAC) = 90°CBA. 又 FD = FB, 所以, BFD = 180°2CBA = 2BPD, 再由 FD = FB 即知, 點(diǎn) F 是PBD 的外心, 所以, FP = FD = FB, 因此, FPD =EDF =180° (FDB +EDC) = 180° (CBA +ACB) =BAC, 這說明 P、E、A、F 四點(diǎn)共圓. 又FPB =PBF =BAO, 所以,

24、O、P、A、F 四點(diǎn)共圓. 故 E、A、F、O 四點(diǎn)共圓.AENMFOAEFPOBDLCBDC3一類四點(diǎn)共圓問題揭秘象例 2、例 3 這類四點(diǎn)共圓的問題還有更深刻的背景. 它們涉及到同向相似三角形的相似中心. 兩個(gè)同向相似三角形, 只要其相似系數(shù)不等于 1, 則它們必有相似中心. 這個(gè)相似中心可以按如下方法作出.設(shè)ABC 與ABC同向相似. 當(dāng) ABAB 時(shí), 直線 AA 與 BB 的交點(diǎn) O 即ABC 與ABC的相似 中心. 當(dāng) ABAB 時(shí), 如圖 1 和圖 2.所示, 設(shè)直線 AB與 AB 交于點(diǎn) P, 則(PAA)與(PBB)的第二個(gè)交 點(diǎn) O 即ABC 與ABC的相似中心.BPA&#

25、39;AOBB'A'POB'A當(dāng)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在三角形的三邊所在直線上時(shí), 我們稱三角形是三角形的內(nèi)接三角形. 定理 設(shè)PQR 是ABC 的內(nèi)接三角形, 則ABC 的所有與PQR 同向相似的內(nèi)接三角形(對應(yīng)頂點(diǎn)在ABC 的同一邊所在直線上)都有同一個(gè)相似中心. 這個(gè)定理的證明簡單. 其相似中心即PQR 關(guān)于ABC 的密克點(diǎn).根據(jù)這個(gè)定理, 如果我們確定了ABC 的內(nèi)接PQR 的形狀, 就可以確定其相似中心, 那么, ABC 的頂點(diǎn) A, PQR 在 AB、AC 上的兩個(gè)頂點(diǎn), 相似中心, 這四點(diǎn)必然共圓. 但直接這樣表現(xiàn), 則太過明顯, 于是, 我們作PQR 的外接圓

26、與 BC 的另一交點(diǎn), 再將條件轉(zhuǎn)換, 一道四點(diǎn)共圓問題便出籠了.例 1 如圖所示, 設(shè)PEFABC, 則可證ABC 的外心 O 是所有這樣的PEF 的相似中心, 因此,O、E、A、F 四點(diǎn)共圓. 再設(shè)PEF 的外接圓與 BC 的另一交點(diǎn)為 D, 則FDB =FEP =CBA, CDE =PFE =ACB, 所以, F、E 分別是 BD、DC 的垂直平分線與 AB、AC 的交點(diǎn), 于是便有第 27 屆俄羅斯數(shù) 學(xué)奧林匹克的那道幾何題. 而第 17 題則是PQR 的外接圓與 BC 相切的情形.AEFOAQPOBDPCBRC例 2 如圖所示, 設(shè)XYZ 是非直角ABC 的垂足三角形, ABC 的內(nèi)

27、接PEFXYZ, 則不難證明PEF 與XYZ 的相似中心是ABC 的垂心 H. 再設(shè)PEF 的外接圓與 BC 的另一交點(diǎn)為 D, 則FDB =FEP =ZYX = 180°2CBA, CDE =PFE =XZY =180°2ACB, 所以, BFD =CBA, DEC=ACB, 因此, DF = DB, DE = DC. 于是有題 1 設(shè) H 為ABC 的垂心, D、E、F 分別ABC 的三邊 BC、CA、AB 上的點(diǎn), 且 DB = DF, DC = DE.求證: E、A、F、H 四點(diǎn)共圓.AZFEYHDXPAEFHBCBDC容易看出, AEF 的外心在PEF 的外接圓上

28、.事實(shí)上, 設(shè)AEF 的外心為 O, 則FOE = 2BAC, 而EPF =180°2BAC, 所以, FOE +EPF=180°, 故 O 在PEF 的外接圓上. 因此, PEF 的外接圓即OEF 的外接圓.當(dāng)OEF 的外接圓與 BC 相切時(shí), P、D 重合. 此時(shí), 因?yàn)?DB = DF, DC = DE, 而DEFXYZ, 這 樣便有 DC XYDB =XZ . 于是有題 2 設(shè) AD、BE、CF 是銳角ABC 的三條高, H 是ABC 的垂心. 過 A、H 兩點(diǎn)的O 與 AB、AC分別交于 Q、P (均異于 A). 求證: 若OPQ 的外接圓與 BC 相切于 R,

29、則 RC= DE .RBDF這正是美國國家隊(duì) 2006 年選拔考試題.AFZOYEAPFOEQBDXCBRDC例 3 如圖所示, 設(shè)PEF 與ABC 反向相似, AL 是高, M、N 分別是 AB、AC 的中點(diǎn), MAL 的外接 圓與NLC 的外接圓交于 L、K 兩點(diǎn), 則可以證明 K 是所有這樣的與ABC 反向相似的PEF 的相似中 心. 再設(shè)PEF 的外接圓與 BC 的另一交點(diǎn)為 D, 則FDB =FEP =ACB, CDE =PFE =CBA, 所 以, FDAC, EDAB, 于是, 我們有題 3 ABC 中, 點(diǎn) A 在直線 BC 上的射影為 D, M、N 分別為 AB、AC 的中點(diǎn)

30、, MBL 的外接圓 1 與NLC 的外接圓 2 相交于 D、K 兩點(diǎn). 對 BC 邊上的任意一點(diǎn) P, 過 P 作 AB、AC 的平行線分別與 AC、 AB 交于 E、F. 求證: K、E、A、F 四點(diǎn)共圓.AEMN1FK2BDLCAEMNFKBDLPC這是 2010 年中國國家集訓(xùn)隊(duì)測試題.又可以證明, K 在ABC 的 A-陪位中線上, 于是便得到第 19 題:設(shè) D、E、F 分別是ABC 的邊 BC、CA、AB 上的點(diǎn), 且 DEAB, DFAC. 求證: () AEF 的外接圓通過一個(gè)定點(diǎn) P.AEF1() 若 M 為 BC 的中點(diǎn), 則BAM =PAC.AEFPBDMCBDC類似的

31、與內(nèi)心有關(guān)的問題是設(shè) I 是ABC 的內(nèi)心, D、E、F 分別邊 BC、CA、AB 上的點(diǎn), 且 BF = BD, CD = CE, 則 E、A、F、I四點(diǎn)共圓.但這個(gè)問題太簡單. 事實(shí)上, 由對稱性, IEC =CDI =IFA, 故 E、A、F、I 四點(diǎn)共圓.4等角線及其性質(zhì)給定一個(gè)角AOB, OC 是它的角平分線, 過 O 點(diǎn)作兩條關(guān)于 OC 對稱的直線 OX 和 OY，則稱 OY 是 OX 關(guān)于AOB 的等角線. 顯然 OX,OY 關(guān)于AOB 互為等角線.一個(gè)角的兩邊（所在直線）是本角的等角 線; 一個(gè)角的平分線是重合的等角線, 即自等角線. 一角的鄰補(bǔ)角的平分線也是自等角線.NMPC

32、DOOAXTYBAB定理 1 自AOB 的頂點(diǎn) O 引兩條直線 OC、OD, P 是直線 OC 上一點(diǎn), 過 P 作直線 OA、OB 作垂線, 垂 足分別為 M、N, 則 OC、OD 是AOB 的兩條等角線的充分必要條件是 ODMN.NPMABOACDBDEC定理 2 設(shè) D、E 是ABC 的邊 BC 上兩點(diǎn), 則BAD =EAC 的充分必要條件是:定理 3設(shè) D、E 是ABC 的邊 BC 上兩點(diǎn), 且BAD =EAC, 則有AB2AC2= BD × BE .DC × ECBD × BE × DC × ECAD AE = AB AC .最常見的

33、等角線是三角形的同一頂點(diǎn)引出的三角形的高與外接圓的直徑是該頂角的兩條等角線. 實(shí) 際上, 定理 1 已經(jīng)包含了這一結(jié)果.利用等角線的性質(zhì)可以簡捷地處理一些競賽中的平面幾何問題.例 1. 設(shè) O 是ABC 的外心, K 是BOC 的外心, 直線 AB、AC 分別交BOC 的外接圓于另一點(diǎn) M、 N, L 是點(diǎn) K 關(guān)于直線 MN 的反射點(diǎn). 求證: ALBC.(俄羅斯, 2000)證明 因OMA =OCB = 90°-BAC, 即OMA +BAN = 90°, 所以 MOAN. 同理, NOAM, 這 說明 O 為AMN 的垂心, 于是OMN 的外接圓與AMN 的外接圓是等圓

34、, 它們關(guān)于直線 MN 對稱. 由于 K 為OMN 的外心, 所以 L 為AMN 的外心, 從而 AL 與 AO 是ÐBAC 的兩條等角線, 但 O 為ABC 的外 心, 故 ALBC.第 4 題的證明4. 在銳角ABC 中, ABAC. 過 A 作 BC 的垂線 AD, P 為 AB 延長線上一點(diǎn), Q 為 AC 延長線上一點(diǎn), 且P、B、C、Q 四點(diǎn)共圓, DP = DQ. 求證: D 是APQ 的外心.證明 設(shè) O 為ABC 的外心, 則 AD 與 AO 是BAC 的兩條等角線, 而 P、B、C、Q 四點(diǎn)共圓, 所以APQ 與ACB 反向相似, 因此APQ 的外心在直線 AD

35、上.另一方面, 因 ABAC, 所以 BC 與 PQ 不平行, 因此, PQ 的垂直平分線與直線 AD 不重合. 而 DP = DQ, 所以 D 是 PQ 的垂直平分線與直線 AD 的交點(diǎn). 而APQ 的外心既在直線 AD 上, 也在 PQ 的垂直平分線 上, 故 D 是APQ 的外心.AOBDCAOLMBCNPQK5三角形的陪位中線三角形的中線的等角線稱為陪位中線. 為方便計(jì), 過ABC 的頂點(diǎn) A 的中線的陪位中線稱為ABC 的 A-陪位中線.下面的定理 1 是三角形的陪位中線的一個(gè)基本性質(zhì). BDAB2定理 1 設(shè) D 是ABC 的邊 BC 上一點(diǎn), 則 AD 是ABC 的 A-陪位中線

36、的充分必要條件是 DC =定理 2 與定理 3 是三角形的陪位中線的兩個(gè)判定定理.AC2定理 2 已知ABC, 1 是過 A、B 兩點(diǎn)且與 AC 相切的圓, 2 是過 A、C 兩點(diǎn)且與 AB 相切的圓, 圓 1與圓 2 交于 A、D 兩點(diǎn), 則 AD 是ABC 的 A-陪位中線.ABCA2D1BEKCFP定理 3 設(shè) ABC 的外接圓在 B、C 兩點(diǎn)的切線交于 P, 則 AP 是ABC 的 A-陪位中線.證明 設(shè) AD 與 BC 交于 K, BC 與 1、2 的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 E、F, 則由圓冪定理, 有EK × BK = KD × KA = KF × KC .

37、兩邊同加上 BK × KC 即得 BK × EC = KC × BF , 即 BK = BF .KCEC另一方面, 因?yàn)閳A 1、2 分別與 AC、AB 都相切于點(diǎn) A, 所以 BF × BC = AB2 , EC × BC = AC2 , 因此 BF =AB2. 于是, BK =AB2. 故 AD 為ABC 的陪位中線.ECAC2KCAC2利用三角形的陪位中線的理論可以方便地處理有關(guān)平面幾何問題.例 1 圓 1 與圓 2 交于 A、B 兩點(diǎn). 點(diǎn) P 在圓 1 上. 直線 PA 與 PB 分別交圓 2 于 C、D(不同于 A、 B), 圓 1

38、在 A、B 兩點(diǎn)的切線交于 Q. 如果 P 在圓 2 的外部, C、D 均在 1 的外部. 求證：直線 PQ 平分 線段 CD. (圣彼德堡, 1997)證明 因 PQ 是 PAB 的 P-對稱中線, 而 PAB 與 PDC 反向相似, 所以 PQ 為 PDC 的 P-中線, 即直線 PQ 通過 CD 的中點(diǎn). 換句話說, 直線 PQ 平分線段 CD.ACPQ21BDABMCB1TC1S例 2 設(shè) 是ABC 的外接圓, 圓 在 B、C 兩點(diǎn)的切線交于 T. 過 A 且垂直于 AT 的直線與直線 BC 交于 S, 點(diǎn) B1、C1 在直線 ST 上(B1、B 在 BC 的垂直平分線的同側(cè)), 且

39、TB1 =TC1 =TB. 求證: AB1C1 ABC.(美國國家隊(duì)選拔考試, 2006)證明 設(shè) M 為 BC 的中點(diǎn), 則 AM、AT 是BAC 的兩條等角線, 所以BAT=MAC. 又TBC =BAC,所以TBA =TBC +CBA =BAC +CBA =180°ACB. 于是, 由 TC1 = TB 及正弦定理, 得TC1 = TB = sin ÐBAT = sin ÐMAC = MC .ATATsin ÐTBAsin ÐACBAM另一方面, 因TMS = 90° =TAS, 所以 A、M、T、S 四點(diǎn)共圓, 于是, STA

40、=SMA, 即 C1TA =CMA, 因此, ATC1AMC. 同理, AB1TABM. 故AB1C1ABC. 第 6 題的證明6. 設(shè) ABC 的 A-中線關(guān)于BAC 的角平分線的對稱直線與 BC 交于 D. ADC 的外接圓與 AB 的另一個(gè)交點(diǎn)為 E, ABD 的外接圓與 AC 的另一個(gè)交點(diǎn)為 F. 求證: EFBC. BDAB2證明 因 AD 是 ABC 的陪位中線. 于是 DC =. 另一方面, 由圓冪定理, BD × BC = EB × AB ,AC2DC × BC = FC × AC . 因此, BD = EB × AB , 于是

41、 KB = AB , 故 EFBC.DCFC × ACLCACAEFBDC AEFPBDMC第 19 題的證法 219. 設(shè) D、E、F 分別是ABC 的邊 BC、CA、AB 上的點(diǎn), 且 DEAB, DFAC. 求證: () AEF 的外接圓通過一個(gè)定點(diǎn) P.() 若 M 為 BC 的中點(diǎn), 則BAM =PAC.證明 設(shè)過 A、B 兩點(diǎn)且與 AC 相切的圓和過 A、C 兩點(diǎn)且與 AB 相切的圓交于 A、P 兩點(diǎn), 則 P 是一 個(gè)定點(diǎn). 且由定理 2, AP 是ABC 的 A-陪位中線, 也就是說, BAM =PAC.由弦切角定理, PAC =PBA, ACP =BAP, 所以PC

42、APAB. 又 DEAB, DFAC, 所以 CE CD AFEA = DB =FB , 這說明 E、F 是兩個(gè)相似三角形 PCA 與 PAB 的相似對應(yīng)點(diǎn), 因此, PEC =PFA. 故E、A、F、P 四點(diǎn)共圓. 換句話說, AEF 的外接圓通過定點(diǎn) P.6三角形的等角共軛點(diǎn)容易證明以下事實(shí)設(shè) P 是ABC 所在平面上的一點(diǎn), 則 AP、BP、CP 分別關(guān)于BAC、CBA、ACB 的等角線交于 一點(diǎn)或互相平行. 而且, 這三條等角線互相平行當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) P 在ABC 的外接圓上.這個(gè)事實(shí)的既可以用 Ceva 定理的角元形式證明, 也可以用等角線的定理 1 和 Ceva 定理證明.如果 AP、

43、BP、CP 分別關(guān)于BAC、CBA、ACB 的等角線交于一點(diǎn) Q, 則點(diǎn) Q 稱為點(diǎn) P 關(guān)于ABC 的等角共軛點(diǎn). 如, 三角形的外心和垂心即三角形的兩個(gè)等角共軛點(diǎn).定理 1 設(shè) P、Q 是ABC 的兩個(gè)等角共軛點(diǎn), 則 APAQ= sin ÐBQC .sin ÐBPC定理 2 設(shè) P、Q 是ABC 的兩個(gè)等角共軛點(diǎn), 則 BPC +BQC =BAC .定理 3 三角形的兩個(gè)等角共軛點(diǎn)到各邊的垂足在一個(gè)圓上, 且它的圓心是這兩點(diǎn)連線的中點(diǎn).定理 4 設(shè) P、Q 是ABC 的兩個(gè)等角共軛點(diǎn), D、E、F 是點(diǎn) P 分別關(guān)于 BC、CA、AB 的對稱點(diǎn), 則 點(diǎn) Q 是DEF

44、 的外心.證明 如圖所示, 因 E、F 是點(diǎn) P 分別關(guān)于 CA、AB 的對稱點(diǎn), 所以 AE = AP = AF, 因此, 點(diǎn) A 在線段 EF 的垂直平分線上. 設(shè) PE 與 CA 交于 M, PF 與 AB 交于 N, 則 M、N 分別為 PE、PF 的中點(diǎn), 所以, EF MN. 又 PMCA, PNAB, 由性質(zhì) 1.2, AQMN, 所以 AQEF, 因而 AQ 即線段 EF 的垂直平分線. 同理,BQ 是線段 FD 的垂直平分線. 故點(diǎn) Q 是DEF 的外心.AFNQ MPCDPQDAEBCBP'Q'定理 5 設(shè) P、Q 是ABC 的兩個(gè)等角共軛點(diǎn), 直線 AP

45、關(guān)于BPC 的等角線為 l1 , 直線 AQ 關(guān)于BQC 的等角線為 l2 , 則 l1 與 l2 關(guān)于直線 BC 對稱.事實(shí)上, 如圖所示, 設(shè) P、Q 兩點(diǎn)關(guān)于 BC 的對稱點(diǎn)分別為 P、Q, 則QBC =CBQ =PBA, BCQ=QCB =ACP, 所以, Q、A 是PBC 的兩個(gè)等角共軛點(diǎn), 因而 PQ、PA 是BPC 的兩條等角線. 同理,QP、QA 是BQC 的兩條等角線. 顯然, PQ與 PQ 關(guān)于 BC 對稱, 因此, PQ與 PQ 交于 BC 上一點(diǎn). 由此即可得到美國 2010 年選拔考試的一道幾何題:設(shè) P、Q 是ABC 內(nèi)兩點(diǎn), 且ABP =QBC, ACP =QCB

46、, 點(diǎn) D 在 BC 邊上. 求證: APB +DPC = 180°的充分必要條件是AQC +DQB =180°.事實(shí)上, 由條件知, P、Q 是ABC 的兩個(gè)等角共軛點(diǎn), PD 與 PA 是BPC 的兩條等角線. 由于 QA 關(guān) 于BQC 的等角線與 PA 關(guān)于BPC 的等角線關(guān)于 BC 對稱, 它們的交點(diǎn)必在 BC 上, 因此, QD 即 QA 關(guān) 于BQC 的等角線.可以證明: 三角形的外接圓與內(nèi)切圓的內(nèi)位似中心和外位似中心分別是三角形的 Gergonne 點(diǎn)的等角 共軛點(diǎn)和三角形的 Nagel 點(diǎn)的等角共軛點(diǎn).三角形的等角共軛點(diǎn)可以用來處理角的相等或互補(bǔ)、三線共點(diǎn)等

47、問題.例 1 設(shè) ABC 的外接圓在 B、C 兩點(diǎn)的切線交于 P, 則 AP 是ABC 的 A-陪位中線.證明 設(shè)點(diǎn) A 關(guān)于 BC 的中點(diǎn) M 的對稱點(diǎn)為 Q, 則 ABQC 是一個(gè)平行四邊形, 由此可知, BQ、BP 是 CBA 的兩條等角線, CQ、CP 是ACB 的兩條等角線, 因而 P、Q 是ABC 的兩個(gè)等角共軛點(diǎn), 所以 AQ、 AP 是BAC 的兩條等角線. 而 AQ 過 BC 的中點(diǎn) M, 故 AP 是ABC 的 A-陪位中線.AAPMBMCBCQPQ第 51 屆波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克的一道試題為在ABC 中, AB = AC, P 是三角形內(nèi)部一點(diǎn), 使得CBP =ACP,M 是

48、邊 AB 的中點(diǎn). 求證:BPM +CPA = 180°.這實(shí)際上就是上面這個(gè)問題. 只不過 P、A 換了個(gè)位置而已.例 2 在凸四邊形 ABCD 中, 對角線 BD 既不是平分ÐABC, 也不平分ÐCDA, 點(diǎn) P 在四邊形的內(nèi)部, 滿足PBC =DBA, PDC =BDA. 證明: 四邊形 ABCD 內(nèi)接于圓的充分必要條件是 PA = PC. (第 45 屆 IMO, 2004)證明 條件PBC =DBA, PDC =BDA 表明 A、C 是BDP 的等角共軛點(diǎn), 所以PA×sinÐBAD = PC ×sinÐDCB .

49、又由定理 1,BAD +BCD =BPD ,所以, BAD DCB =180°DPB. 而BPD 180°, 因此,BAD DCB. 于是, PA = PC Û sinÐBAD = sinÐDCB ÛBAD +BCD =180°Û 四邊形 ABCD 內(nèi)接 于圓.F'QFEPDCAADE'PBBCD'第 15 題的證明15. 設(shè) P、Q 是ABC 的兩個(gè)等角共軛點(diǎn), 點(diǎn) P 在 BC、CA、AB 上的射影分別為 D、E、F. 求證: EDF= 90°的充分必要條件是 Q 為AEF 的

50、垂心.證明 如圖所示, 設(shè)點(diǎn) P 關(guān)于 BC、CA、AB 的對稱點(diǎn)分別為 D、E、F, 則EDF =EDF. 由定理4, Q 是DEF的外心. 因 PEAE, PFAF, E、F 分別為 PE、PF的中點(diǎn), 于是EDF = 90°ÛEDF =90°當(dāng)且僅當(dāng) E、Q、F三點(diǎn)共線, 且 Q 為 EF的中點(diǎn) Û PQ 與 EF 互相平分 ÛPEQF 是一個(gè)平行四邊形Û EQPF, 且 FQEFÛEQAF, FQAE Û Q 為AEF 的垂心. 第 16 題的證明16設(shè)ABC 的內(nèi)切圓與邊 BC、CA、AB 分別切于 D、

51、E、F, 點(diǎn) D 關(guān)于BAC 的外角平分線的對稱點(diǎn)為 P, 點(diǎn) E 關(guān)于CBA 的外角平分線的對稱點(diǎn)為 Q, 點(diǎn) F 關(guān)于ACB 的外角平分線的對稱點(diǎn)為 R, 則PQR 與ABC 是位似的.證明 因 AD、BE、CF 交于一點(diǎn) X, 而直線 AP 與 AD 是BAC 的兩條等角線, BQ 與 BE 是CBA 的 兩條等角線, CR 與 CF 是ACB 的兩條等角線, 所以 AP、BQ、CR 三直線交于點(diǎn) X 關(guān)于ABC 的等角共 軛點(diǎn) Y.另一方面, 由正弦定理, AD = sin C , BE = sin C . 但 DC = CE, DAC =BAY, CBEDCsinÐDACC

52、EsinÐCBE=YBA, 所以 AD sin ÐCBE sin ÐYBA YA YA AD AP YA YBBE = sin ÐDAC= sin ÐBAY= YB . 又 AP = AD, BQ = BE, 所以,YB = BE= BQ , 即AP = BQ , 于是 PQAB. 同理, QRBC, RPCA. 故XYZ 與ABC 是位似的.AFYXE C BDLAB2C1EFMNA2DCPBQR第 20 題的證明P A1B1C220設(shè) AD、BE、CF 是 ABC 的三條高線(D、E、F 別在 BC、CA、AB 上), P 為 ABC 所在平面上 任意一點(diǎn), 點(diǎn) P 在直線 BC、CA、AB、AD、