1、第六章第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分桿件橫截面上的應(yīng)力分析析主要內(nèi)容主要內(nèi)容 6.1 拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力 6.2 受扭圓軸橫截面上的應(yīng)力受扭圓軸橫截面上的應(yīng)力 6.3 彎曲梁橫截面上的應(yīng)力彎曲梁橫截面上的應(yīng)力第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析引引 言言 問題提出問題提出兩桿橫截面上的軸力始終相同，完成了桿件的內(nèi)力分析，還不足以解決桿件的強(qiáng)度問題。解決桿件的強(qiáng)度問題，還須對桿件進(jìn)行應(yīng)力分析。兩根拉桿：材料相同，粗細(xì)不同，拉力相同并同步增大。細(xì)桿先被拉斷。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析 桿件橫截面上應(yīng)力分析的方法桿件橫截面上應(yīng)力分析的方法分析截

2、面上的應(yīng)力，首先必須了解應(yīng)力在截面上的分布規(guī)律。由于應(yīng)力是不可見的，桿件受力后產(chǎn)生的應(yīng)變卻是可見的，而應(yīng)力和應(yīng)變之間存在著一定的關(guān)系。對桿件進(jìn)行應(yīng)力分析時(shí)，通常須借助相應(yīng)的變形實(shí)驗(yàn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)中所觀察到的桿件表面的變形現(xiàn)象，據(jù)此建立一些關(guān)于變形的假設(shè)，并作出由表及里的推測，以獲得應(yīng)力在截面上的分布規(guī)律，從而推導(dǎo)出相應(yīng)的應(yīng)力計(jì)算公式。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析6.1 拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力6.1.1 拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力1 .拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力軸向拉伸實(shí)驗(yàn)軸向拉伸實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象(1) 各橫向線仍保持直線，

3、任意兩相鄰橫向線沿軸線發(fā)生相對平移；(2) 橫向線仍然垂直于縱向線，縱向線仍然保持與桿件的軸線平行。 原來的矩形網(wǎng)格仍為矩形。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析假設(shè)與推理假設(shè)與推理變形前原為平面的橫截面，變形后仍然保持為平面變形前原為平面的橫截面，變形后仍然保持為平面 且仍垂直于桿件的軸線。且仍垂直于桿件的軸線。l橫截面上各點(diǎn)處僅有正應(yīng)力橫截面上各點(diǎn)處僅有正應(yīng)力s s， 并沿截面均勻分布并沿截面均勻分布。設(shè)橫截面的面積為A，由靜力學(xué)關(guān)系：其中： 為拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力（符號規(guī)定：拉為正、壓為負(fù)）； FN為桿件橫截面上的軸力； A 為桿件橫截面面積。l拉（壓）桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式拉（壓）

4、桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式NFA s sAFNs s（此即為拉（此即為拉(壓壓)桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式）桿橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式）（3） 用公式計(jì)算桿件橫截面上的應(yīng)力時(shí)，其軸力的大小往往僅用公式計(jì)算桿件橫截面上的應(yīng)力時(shí)，其軸力的大小往往僅 取決于物體所受外力合力的大小，而很少考慮外力的分布取決于物體所受外力合力的大小，而很少考慮外力的分布 方式。事實(shí)上，不同的外力作用方式對外力作用點(diǎn)附近區(qū)方式。事實(shí)上，不同的外力作用方式對外力作用點(diǎn)附近區(qū) 域內(nèi)的應(yīng)力分布有著很大的影響，至于該影響到底有多大，域內(nèi)的應(yīng)力分布有著很大的影響，至于該影響到底有多大， 可由可由圣維南原理圣維南原理加以說明。加以說

5、明。 （2）對于桿件橫面尺寸沿軸線）對于桿件橫面尺寸沿軸線緩慢變化緩慢變化的變截面直桿：的變截面直桿：)()()(NxAxFx s su備注備注:（1）公式也適用于公式也適用于FN為壓力時(shí)的應(yīng)力計(jì)算。但要注意對于細(xì)為壓力時(shí)的應(yīng)力計(jì)算。但要注意對于細(xì) 長壓桿受壓時(shí)容易被壓彎，屬于穩(wěn)定性問題（這一內(nèi)容長壓桿受壓時(shí)容易被壓彎，屬于穩(wěn)定性問題（這一內(nèi)容 將在后面專門研究），這里所指的是受壓桿未被壓彎的將在后面專門研究），這里所指的是受壓桿未被壓彎的 情況。情況。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析2 .圣維南原理圣維南原理 當(dāng)桿端承受集中載荷或其他非均勻分布的載荷時(shí)，桿件并非所有的橫截面都保持平面，從而產(chǎn)生

6、均勻的軸向變形，這種情況下， 公式：AFNs s并不對桿件所有橫截面都適用。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析圣維南原理圣維南原理: 將原力系用靜力等效的新力系來替代，除了對原力系作用附近的應(yīng)力分布有明顯影響外，在離力系作用區(qū)域略遠(yuǎn)處，該影響就非常小。有限元分析的圣維南原理第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析6.1.2 應(yīng)力集中應(yīng)力集中 由圣維南原理知，等直桿受軸向拉伸或壓縮時(shí)，在離開外力作用處較遠(yuǎn)的橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的。但是，如果桿截面尺寸有突然變化，比如桿上有孔洞、溝槽或者制成階梯時(shí)，截面突變處局部區(qū)域的應(yīng)力將急劇增大，但在離開圓孔或切口稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力就迅速降低且趨于均勻。 由于截面急劇變化所

7、引起的應(yīng)力局部增大現(xiàn)象，稱為由于截面急劇變化所引起的應(yīng)力局部增大現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中應(yīng)力集中。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析有圓孔或切口或倒角的受拉板條第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析理論應(yīng)力集中系數(shù)理論應(yīng)力集中系數(shù) s ss s maxmaxs應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力。應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力。由解析理論、實(shí)驗(yàn)或數(shù)值方法確定。s s削弱以后橫截面上的平均應(yīng)力。削弱以后橫截面上的平均應(yīng)力。不考慮應(yīng)力集中條件下求得的應(yīng)力值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：截面尺寸改變越急劇，孔越小，圓角越小，截面尺寸改變越急劇，孔越小，圓角越小，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重應(yīng)力集中對脆性材料的影

8、響嚴(yán)重，應(yīng)特別注意。應(yīng)力集中對脆性材料的影響嚴(yán)重，應(yīng)特別注意。應(yīng)力集中能促使疲勞裂紋的形成和擴(kuò)展，因而對構(gòu)件的疲勞應(yīng)力集中能促使疲勞裂紋的形成和擴(kuò)展，因而對構(gòu)件的疲勞強(qiáng)度影響極大。強(qiáng)度影響極大。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析mm20dkN101FkN402FkN503FkN204F【例題例題6-1】等截面直桿的直徑 ，受載如圖所示，其中： ， ， ， 。試求桿的最大正應(yīng)力。解：解：1.畫軸力圖，確定桿件內(nèi)各畫軸力圖，確定桿件內(nèi)各截面的軸力。截面的軸力。畫出桿件的軸力圖如圖所示。由軸力圖可知，桿件的BC段的軸力最大，且kN30maxNF2.求最大正應(yīng)力。求最大正應(yīng)力

9、。95.54MPaPa1054.95m102014. 3N103044626-232maxNmaxNmaxdFAFsBC段軸力是壓力，故得到的應(yīng)力是壓應(yīng)力。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析【例題例題6-2】一等截面的柱體，橫截面面積為A，高度為l，材料密度為，如圖所示。試求其由于自重引起的最大正應(yīng)力。分析：分析：在需要考慮力的內(nèi)效應(yīng)時(shí)，桿件的在需要考慮力的內(nèi)效應(yīng)時(shí)，桿件的自重不能作為集中力而須作為分布載荷看自重不能作為集中力而須作為分布載荷看待，因此需先求出軸力函數(shù)。待，因此需先求出軸力函數(shù)。解：解：2.求軸力函數(shù)并畫軸力圖，確定危險(xiǎn)截面。求軸力函數(shù)并畫軸力圖，確定危險(xiǎn)截面。1.求重力集度求重力

10、集度q。在需要考慮力的內(nèi)效應(yīng)時(shí)，桿件的自重不能作為集中力而須作為分布載荷看待（如圖(a)），重力集度（即單位桿長的重量）為：Agq 第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析在距離柱頂端任意位置x處，用截面法將柱體沿該處截開，取上半段為研究對象，其受力圖如圖(b)所示。)0()(NlxgAxxF 由平衡方程可得軸力函數(shù):畫軸力圖如圖(c)所示。由軸力圖可知，底端截面為危險(xiǎn)截面，且gAlF=maxN3.求最大正應(yīng)力。求最大正應(yīng)力。glAgAlAFN=maxmax（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）【例題例題6-3】 起重吊環(huán)的尺寸如圖所示，若起吊重量 ，試求吊環(huán)內(nèi)的最大正應(yīng)力。kN38F第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析分析：

11、分析：從吊環(huán)的受力情況和截面法可知，從吊環(huán)的受力情況和截面法可知，軸力沿吊環(huán)軸線是不變的，故最大正應(yīng)力軸力沿吊環(huán)軸線是不變的，故最大正應(yīng)力必然發(fā)生在最小橫截面上。必然發(fā)生在最小橫截面上。解：解：2.求吊環(huán)的最小橫截面面積。求吊環(huán)的最小橫截面面積。1.求吊環(huán)的軸力。求吊環(huán)的軸力。由截面法易知，吊環(huán)的軸力為：kN38N FF分別計(jì)算孔?22處、銷子處和接近凹槽底部處的橫截面面積A1、 A2和A3：第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析21mm560mm20mm)2250(A22mm840mm15mm)2250(2A23mm600mm15mm202A故吊環(huán)的最小橫截面面積21minmm560 AA3.求吊環(huán)

12、內(nèi)的最大正應(yīng)力。求吊環(huán)內(nèi)的最大正應(yīng)力。吊環(huán)內(nèi)的最大正應(yīng)力MPa9 .67Pa109 .67m10560N10386263minNmaxAFs6.2 受扭圓軸橫截面上的應(yīng)力受扭圓軸橫截面上的應(yīng)力扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（1）所有軸向線軸向線仍近似為直線，且都傾斜了相同的微小角度。（2）所有圓周線圓周線保持原有的大小、形狀及其相互之間的距離， 在橫截面內(nèi)繞軸線轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度，稱為扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角。（3）變形前小矩形abcd，變形后錯(cuò)動(dòng)成平行四邊形 ， 即發(fā)生了剪切變形。dcba第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析假設(shè)與推理假設(shè)與推理l平面假設(shè)平面假設(shè) ：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前為平面的橫截面，變形后仍為大小

13、相同的平面，其半徑仍保持為直線；且相鄰兩橫截 面之間的距離不變。l扭轉(zhuǎn)圓軸橫截面上無正應(yīng)力，只存在切應(yīng)力。扭轉(zhuǎn)圓軸橫截面上無正應(yīng)力，只存在切應(yīng)力。l受扭圓軸橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式受扭圓軸橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式1. 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 dd)( x其中 表示扭轉(zhuǎn)角沿軸線長度方向的變化率。xdd同一截面上 為常數(shù)，因此 與 成正比xdd)( xdd)( 第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析2. 物理關(guān)系物理關(guān)系在剪切比例極限內(nèi)xGGdd)()( )( 由于 發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，所以 也應(yīng)與半徑垂直。)( )( 第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析3. 靜力關(guān)系靜力關(guān)系微剪力 ()dA其對圓心的

14、微力矩 ()dA)橫截面上所有微力矩之和等于扭矩，即TAAd )( xGGdd)()( TAxGAddd2第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析記記AAId2ppddGITx TAAd )( xGGdd)()( TAxGAddd2截面極慣性矩截面極慣性矩 p)(IT受扭圓軸橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式受扭圓軸橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式其中：T為橫截面上的扭矩 Ip為橫截面的極慣性矩 為所求切應(yīng)力點(diǎn)到圓心的距離公式的適用條件公式的適用條件 等直圓軸等直圓軸 線彈性范圍線彈性范圍第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析u受扭圓軸橫截面上的最大切應(yīng)力受扭圓軸橫截面上的最大切應(yīng)力對某一橫截面而言

15、，T 為常數(shù)， Ip 也是常數(shù)，因此橫截面上的切應(yīng)力是 的線性函數(shù)圓心處 0 0 外表面 max maxRITITRIT/pppmaxmax RIWpp記抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)pWTmax 第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析受扭圓軸橫截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析u截面極慣性矩和抗扭截面系數(shù)截面極慣性矩和抗扭截面系數(shù)（1）實(shí)心圓軸）實(shí)心圓軸 202043p32ddDDI1623ppDDIW（2）空心圓軸）空心圓軸內(nèi)外徑之比內(nèi)外徑之比:D/d 4444p()(1)3232DdDI4434p()(1)32( /2)16DdDWD第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析（3）薄壁圓筒）薄壁

16、圓筒內(nèi)外徑之比:9 . 0D/d 30p2 RI 200pp2 RRIW20pmax2 RTWTR0平均半徑 壁厚橫截面上的切應(yīng)力橫截面上的切應(yīng)力( (認(rèn)為均勻分布認(rèn)為均勻分布) )第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析【例題例題6-4】 一直徑為 的實(shí)心圓軸，受到扭矩 作用。試求在距離軸心 處的切應(yīng)力，并求軸橫截面上的最大切應(yīng)力。mm50DmkN4Tmm10解：解：2.求求()及及max1.求截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)求截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)471244pm10133. 632105032DI35933pm10453. 216105016DWMPa22.65Pa1022.6510101013

17、3. 6104)(6373pmm10IT163.07MPaPa1007.16310453. 2104653pmaxWT第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析【例題例題6-5】 如將上題中的實(shí)心圓軸改為內(nèi)、外徑之比為 的空心圓軸，若兩軸的最大切應(yīng)力相等，求此時(shí)空心圓軸的外徑，并比較實(shí)心軸和空心軸的重量。5 . 0解：解：1.求空心圓軸的外徑求空心圓軸的外徑記空心軸的外徑為D1，則由題意有：實(shí)空max431max)1 (16TDTWp故空心軸的外徑mm1 .51Pa1007.1635 . 01N10416)1 (1636433max41）（實(shí)TD第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析2.比較實(shí)心軸和空心軸的重量比

18、較實(shí)心軸和空心軸的重量由于兩軸長度相等、材料相同，故兩軸重量之比等于橫截面面積之比：78. 050)5 . 01 (1 .51)1 (44)1 (22222212221DDDDAAWW實(shí)空實(shí)空可見在載荷相同的條件下，空心軸的重量只有實(shí)心軸的78%，說明空心截面比實(shí)心節(jié)省材料。如果將空心截面改為薄壁截面，可以發(fā)現(xiàn)節(jié)省材料的效果更為明顯。但是如果壁太薄，軸可能由于皺褶失穩(wěn)破壞。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析6.3 彎曲梁橫截面上的應(yīng)力彎曲梁橫截面上的應(yīng)力u 引引 言言 平面彎曲的概念平面彎曲的概念工程問題中，大多數(shù)梁的橫截面都有一根對稱軸，因而梁有一個(gè)包含軸線的縱向?qū)ΨQ面（如圖所示的y軸）。如果作

19、用在梁上的所有外力(偶)都在或可簡化到此縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，則變形后的梁軸線也將在這個(gè)平面中，且成為一條曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析剪力FS是相切于橫截面的內(nèi)力系的合力；彎矩M是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力。剪力FS只與橫截面上的切應(yīng)力 有關(guān)；彎矩M只與橫截面上的正應(yīng)力 s 有關(guān)。 彎曲內(nèi)力分量與應(yīng)力分量的關(guān)系彎曲內(nèi)力分量與應(yīng)力分量的關(guān)系第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析 純彎曲純彎曲AC、DB段既有剪力又有彎矩，橫截面上同時(shí)存在正應(yīng)力和切應(yīng)力，這種情況稱為橫力彎曲橫力彎曲。CD段只有彎矩，橫截面上就只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力，這種情況稱為純彎曲純彎曲。1. 純彎曲的概念純彎曲的概

20、念第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析2. 純彎曲實(shí)驗(yàn)純彎曲實(shí)驗(yàn)變形前變形前變形后變形后（1）縱向線都彎曲成弧線，凸邊 弧線長度增加，而凹邊弧線 長度減小。l實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象（2）橫向線仍為直線，但相對原 來的位置轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度， 且仍與縱向線正交。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析 由于彎曲的作用，由于彎曲的作用，上上部纖維部纖維縮短縮短，下下部纖維部纖維伸長伸長。 中間必有一層保持原長，這一層稱中間必有一層保持原長，這一層稱為為: 中性層中性層。變形后變形后中性層和橫截面的交線（中性層和橫截面的交線（cc），稱為），稱為中性軸中性軸。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析平面假設(shè)：平面假設(shè)：變形前為平面的梁

21、的橫截面變形后仍保持為平面， 且仍然垂直于變形后的梁軸線，只是繞橫截面內(nèi)某 一條直線轉(zhuǎn)過一個(gè)角度。l假設(shè)假設(shè)變形后變形后單向受力假設(shè)：單向受力假設(shè)：梁內(nèi)各縱向纖維僅受到單向拉伸或壓縮，彼此 間互不擠壓、互不牽拉。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析6.3.1 彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力1. 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系從純彎曲梁中沿軸線取dx 的微段:中性層位于OOmm 變形前長度:dd xmmmm 變形后長度:d)(ymmmm 位置的線應(yīng)變:yyyddd)()(表明: 距離中性層為y的任一縱向纖維的線應(yīng)變與y 成正比。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析 為中性層曲率半徑， 系一待定常數(shù)。

22、2. 物理關(guān)系物理關(guān)系縱向纖維之間無正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或者壓縮，小變形時(shí)純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認(rèn)為梁內(nèi)各梁內(nèi)各點(diǎn)均處于單點(diǎn)均處于單向向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)。sEyy )(得到syEy )( 梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時(shí)，有第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析syEy )( 這表明：梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按線性規(guī)律變化。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析3. 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系微面積上的微內(nèi)力(y)dA 組成一與梁軸線平行的空間平行力系。因橫截面上只有彎矩M，故有:AAyF0d)(Ns0d)(AyAzyMsMAyyMAzd)(s第六章 桿

23、件橫截面上的應(yīng)力分析AAyF0d)(Ns0d)(AyAzyMsMAyyMAzd)(sAAyF0d)(NsAAyF0d)(NsAAyF0d)(NsAAyF0d)(NssyEy )(AAydAEdAy s s)(0zSzSE 0E0zSz軸軸(中性軸中性軸)過截面形心過截面形心第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析AAyF0d)(Ns0d)(AyAzyMsMAyyMAzd)(ssyEy )(0d)(AyAzyMs0d)(AyAzyMsAAyzdAEdAy s s)(0yzIyzIE 0E0yzI因?yàn)橐驗(yàn)閥軸為截面縱向?qū)ΨQ軸軸為截面縱向?qū)ΨQ軸（自動(dòng)滿足）（自動(dòng)滿足）第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析AAyF0d

24、)(Ns0d)(AyAzyMsMAyyMAzd)(ssyEy )(MAyyMAzd)(sMAyyMAzd)(sAAdAyEdAyM2)( s szIzIE zEIM 1yIMyz)(s ssyEy )(1 / 為梁軸線的曲率為梁軸線的曲率EI z為為梁的抗彎剛度梁的抗彎剛度 此即為梁純彎曲此即為梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式力的計(jì)算公式第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析 純彎梁橫截面內(nèi)正應(yīng)力s 隨高度 y 呈線性分布線性分布，以中性層為界，以中性層為界，一側(cè)受拉，另一側(cè)受壓一側(cè)受拉，另一側(cè)受壓。yIMyz)(s s 梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式梁純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算

25、公式第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析u 梁橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式的適用條件梁橫截面上正應(yīng)力計(jì)算公式的適用條件 純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式是在平面假設(shè)的前提條件下純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式是在平面假設(shè)的前提條件下推導(dǎo)出來的。實(shí)際工程中，純彎曲是一種較少見的承載形式。當(dāng)梁發(fā)生推導(dǎo)出來的。實(shí)際工程中，純彎曲是一種較少見的承載形式。當(dāng)梁發(fā)生橫力彎曲時(shí)，由于剪力的存在，梁的橫截面上將產(chǎn)生非均勻分布的切應(yīng)橫力彎曲時(shí)，由于剪力的存在，梁的橫截面上將產(chǎn)生非均勻分布的切應(yīng)力，梁的橫截面不再保持為平面。雖然橫力彎曲和純彎曲之間存在這些力，梁的橫截面不再保持為平面。雖然橫力彎曲和純彎曲之間存在這些差異，但

26、進(jìn)一步分析表明，在細(xì)長梁情況下，用純彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算差異，但進(jìn)一步分析表明，在細(xì)長梁情況下，用純彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，并不會(huì)引起很大的誤差，其計(jì)算結(jié)果能公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力，并不會(huì)引起很大的誤差，其計(jì)算結(jié)果能夠滿足一般工程問題的精度要求。因此，對細(xì)長梁，公式仍然適用。夠滿足一般工程問題的精度要求。因此，對細(xì)長梁，公式仍然適用。 在推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式的過程中用到了拉（壓）在推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式的過程中用到了拉（壓）胡克定律，要求梁的變形在（線）彈性范圍。胡克定律，要求梁的變形在（線）彈性范圍。故故公式公式適用條件適用條件 平面彎曲

27、平面彎曲 彈性范圍彈性范圍yIMyz)(s s第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析u 梁橫截面上的最大正應(yīng)力梁橫截面上的最大正應(yīng)力梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在距離中性軸的最遠(yuǎn)處，即maxzmaxzmax/ yIMyIMs smaxzyIWz記抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù)zWMmaxs s橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩隨截面位置的不同而變化。確定最大正應(yīng)力要綜合考慮彎矩值、截面的形狀和尺寸，按下式計(jì)算：maxmaxyIMzs s第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析u 梁的抗彎截面系數(shù)梁的抗彎截面系數(shù)l實(shí)心矩形截面實(shí)心矩形截面maxyIWzz2123hbh62bhl實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面maxyIWzz2644dd3

28、23d其他形狀的截面及型鋼幾何性質(zhì)可參見附錄其他形狀的截面及型鋼幾何性質(zhì)可參見附錄第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析【例題例題6-6】 矩形截面梁AB受載及截面尺寸分別如圖(a)、(b)所示。試求梁A端右側(cè)截面上a、b、c、d四點(diǎn)處的正應(yīng)力。解：解：1.求梁求梁A端右側(cè)端右側(cè) 截面上的彎矩截面上的彎矩畫梁的彎矩圖如圖(c)所示。mkN20M可知梁為純彎曲，梁A端右側(cè)截面上的彎矩：2.求橫截面的慣性矩求橫截面的慣性矩Iz 和抗彎截面系數(shù)和抗彎截面系數(shù)Wz441233m10375. 3121030015012bhIz33922m1025. 26103001506bhWz第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析3

29、.求各點(diǎn)的正應(yīng)力求各點(diǎn)的正應(yīng)力8.89MPaPa108.8910375. 31015010206433zaaIMys（拉應(yīng)力）拉應(yīng)力）4.44MPaPa1044. 410375. 3107510206433zbbIMys（拉應(yīng)力）拉應(yīng)力）點(diǎn)點(diǎn)c在中性軸上，故在中性軸上，故0=c點(diǎn)點(diǎn)d和點(diǎn)和點(diǎn)a關(guān)于中性軸對稱，故關(guān)于中性軸對稱，故MPa89. 8adss（壓（壓應(yīng)力）應(yīng)力）第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析【例題例題6-7】 圖(a)示大梁由NO.50a工字鋼制成，跨中作用一集中力 。試求梁危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力以及翼緣與腹板交界處的正應(yīng)力。kN140F解：解：1.畫梁的計(jì)算簡圖并求支座反力畫梁的計(jì)

30、算簡圖并求支座反力畫梁的計(jì)算簡圖如圖(b)所示。支座反力：kN70=BAFF2.畫梁的彎矩圖，確定危險(xiǎn)截面畫梁的彎矩圖，確定危險(xiǎn)截面畫梁的彎矩圖如圖(c)所示。故截面C為危險(xiǎn)截面，且mkN280maxM第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析3.由附錄由附錄查得型鋼相關(guān)參數(shù)。查得型鋼相關(guān)參數(shù)。查得NO.50a工字鋼的相關(guān)參數(shù)為：慣性矩：4.求彎曲正應(yīng)力求彎曲正應(yīng)力危險(xiǎn)截面C上的最大正應(yīng)力危險(xiǎn)截面C上翼緣與腹板交界處的正應(yīng)力抗彎截面系數(shù)：4cm46470=zI3cm1860zWmm2302025002thy翼緣與腹板交界處到中性軸的距離：150.5MPaPa105 .15010186010280663ma

31、xmaxzWMs137.7MPaPa107 .137104647010230102806833maxzIyMs第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析【例題例題6-8】 T形截面梁受載及截面尺寸分別如圖(a)、(b)所示。試求梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。已知 ， 。46mm1064. 7=zImm52=1y解：解：1.求支座反力求支座反力畫梁的彎矩圖如圖(c)所示。故截面B和C為可能的危險(xiǎn)截面，且該兩截面的彎矩分別為：kN25. 1=AFkN25. 5=BF2.畫彎矩圖，確定危險(xiǎn)畫彎矩圖，確定危險(xiǎn) 截面截面mkN4BMmkN5 . 2CM第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析 不難分析出最大壓應(yīng)力一定發(fā)生在截面

32、B的下邊緣，而最大拉應(yīng)力可能發(fā)生在截面B的上邊緣或截面C的下邊緣。故最大壓應(yīng)力：3.求梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力求梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力46.1MPaPa101 .461064. 7108810466332maxmaxzBBccIyMss截面B的最大拉應(yīng)力：故最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面C的下邊緣，且：截面C的最大拉應(yīng)力：27.2MPaPa102 .271064. 7105210466331maxzBBtIyMs28.8MPaPa108 .281064. 71088105 . 266332maxzCCtIyMsMPa8 .28=maxmaxCtt第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析6.3.1 彎曲梁橫截

33、面上的切應(yīng)力彎曲梁橫截面上的切應(yīng)力 橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上既有彎矩又有剪力，因此梁的橫截面上除正應(yīng)力外，還有切應(yīng)力。彎曲切應(yīng)力的分布規(guī)律要比正應(yīng)力復(fù)雜。橫截面形狀不同，彎曲切應(yīng)力分布情況也隨之不同。對形狀簡單的截面，可以直接就彎曲切應(yīng)力的分布規(guī)律作出合理的假設(shè)，然后利用靜力關(guān)系建立起相應(yīng)的計(jì)算公式。但對于形狀復(fù)雜的截面，需借助彈性力學(xué)理論或?qū)嶒?yàn)比擬方法來進(jìn)行研究。 本節(jié)介紹幾種常見的簡單形狀截面梁彎曲切應(yīng)力的分布規(guī)律，并直接給出相應(yīng)的計(jì)算公式。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析56/681. 矩形截面梁矩形截面梁l儒拉夫斯基假設(shè)儒拉夫斯基假設(shè)（1）截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力 的方向和 該截面上的剪力

34、FS的方向平行。（2）切應(yīng)力沿寬度均勻分布，即 的大小只 與距離中性軸的距離有關(guān)，而與截面 寬度無關(guān)。56/68第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析l矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式 根據(jù)上述假設(shè)，可得矩形截面梁橫截面上縱坐標(biāo)為y的任意一點(diǎn)的彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式：zzbISFy*S)( 其中：Fs 為橫截面上的剪力 Sz* 為梁橫截面上距中性軸為 y 的橫線以外 部分的面積（圖中A1*）對中性軸的靜矩 的絕對值 b 為橫截面寬度 Iz 為整個(gè)橫截面對中性軸z的慣性矩第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析zzbISFy*S=)(22*1*4222121yhbhyyhbyAS

35、Cz22S42)(yhIFyz（1）沿截面高度，彎曲切應(yīng)力的大 小按圖示的拋物線規(guī)律變化。（2）在上、下邊緣各點(diǎn)處 ， 彎曲切應(yīng)力為零。（3）在中性軸上的各點(diǎn)處(y=0)，切 應(yīng)力最大，且最大切應(yīng)力為：這表明：)2(hyAF23=Smax其中：其中：A=bh 為橫截面面積。為橫截面面積。即：矩形截面梁的最大切應(yīng)力為橫即：矩形截面梁的最大切應(yīng)力為橫截面上名義平均切應(yīng)力的截面上名義平均切應(yīng)力的1.5倍。倍。第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析2. 工字形截面梁工字形截面梁工字形截面由翼緣和腹板組成上翼緣下翼緣腹板由于腹板截面是狹長矩形，因此儒拉夫斯基假設(shè)仍然適用。即：)4(2)(8)(220202SyhdhhbdIFyz 若要計(jì)算腹板上距中性軸y處的切應(yīng)力，Sz*是圖中黃色部分面積對中性軸的靜矩。易得腹板上彎曲切應(yīng)力的計(jì)算公式為：zzbISFy*S)( 第六章 桿件橫截面上的應(yīng)力分析u備注 l在與上、下翼緣交界處( )的各點(diǎn)，切 應(yīng)力最小，為02hy l在中性軸上( )的各點(diǎn)，切應(yīng)力最大，為0y l沿腹板高度方向，彎曲切應(yīng)力照拋物線規(guī)律變化。()202Smin8hhIdbFz()202Smax8hdbbhdIbFzl當(dāng)腹板厚度d遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于翼緣寬度b時(shí) 0sminmax