1、第二章 隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 隨機(jī)變量及其分布 一、隨機(jī)變量的概念與分類一、隨機(jī)變量的概念與分類 在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念. (1)、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）就是一個(gè)數(shù)）. 例如例如: 擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X； 七月份桂林的最低與最高溫度七月份桂林的最低與最高溫度(X,Y)每天從天津站下火車的人數(shù)每天從天津站下火車的人數(shù)N；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)N； 每天進(jìn)入某超市的顧客數(shù)每天進(jìn)入某超市的顧客數(shù)X;

2、 購買商品的購買商品的件數(shù)件數(shù)Y; 顧客排隊(duì)等候付款的時(shí)間顧客排隊(duì)等候付款的時(shí)間T 等等等等.(2)、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)值、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果各種結(jié)果. 也就是說，也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化. 如如 檢測檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果 , 可以用一個(gè)離散變量來描述可以用一個(gè)離散變量來描述1,( )0,X=次品=正品 想一想想一想, ,檢測三件產(chǎn)品時(shí)檢測三件產(chǎn)品時(shí), ,若若X X“三三件產(chǎn)品中的次品數(shù)件產(chǎn)品中的次品數(shù)”, X, X與樣本點(diǎn)之間

3、的與樣本點(diǎn)之間的關(guān)系關(guān)系、取值時(shí)表示的事件及各取值時(shí)的概取值時(shí)表示的事件及各取值時(shí)的概率如何率如何? ?正如裁判員在運(yùn)動(dòng)正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場上不叫運(yùn)動(dòng)員的場上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系. Problem: 這種實(shí)值函數(shù)與數(shù)學(xué)分析中這種實(shí)值函數(shù)與數(shù)學(xué)分析中的函數(shù)一樣嗎？的函數(shù)一樣嗎？這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù).X()R這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù)實(shí)值函數(shù).X()R它是試驗(yàn)結(jié)果它是試驗(yàn)結(jié)果的函數(shù)，故的函數(shù)，故X()的定義域

4、為的定義域?yàn)闃颖究臻g樣本空間. 又由于又由于的隨機(jī)性，因此每次試的隨機(jī)性，因此每次試驗(yàn)前不能預(yù)先肯定驗(yàn)前不能預(yù)先肯定X()將取哪個(gè)值，而只能知將取哪個(gè)值，而只能知道它的取值范圍道它的取值范圍.由于試驗(yàn)結(jié)果由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于的出現(xiàn)具有一定的概率，于是是X()取每個(gè)值或每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一取每個(gè)值或每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率定的概率.設(shè)設(shè) 是試驗(yàn)是試驗(yàn)E的的樣本空間樣本空間, 若若則稱則稱 X ( ) 為為 上的上的 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 r.v.一般用大寫一般用大寫字母字母 X, Y , Z , 表示表示 )(X實(shí)數(shù)1、定義定義按一定法則按一定法則簡記為簡記為 r.v.

5、X (random variable) 而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí)而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí), 一般一般采用小寫字母采用小寫字母x,y,z等表示等表示.引入隨機(jī)變量后，能否直接引入隨機(jī)變量后，能否直接用實(shí)數(shù)用實(shí)數(shù)表示表示隨機(jī)事件隨機(jī)事件？ X = 1 表示事件表示事件 點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)數(shù)為 1 ，例例，擲骰子試驗(yàn)中，擲骰子試驗(yàn)中， X 4 表示事件表示事件 點(diǎn)數(shù)不超過點(diǎn)數(shù)不超過 3 ，用隨機(jī)變量的取值或取值范圍來表示隨機(jī)事件用隨機(jī)變量的取值或取值范圍來表示隨機(jī)事件再如再如，明年七月份桂林的最高溫度；，明年七月份桂林的最高溫度； 35 1.7 ) )=？ P( (X 1.5 ) )= ? P( (1.5X

6、x ), ), ( ( x1 X x2 ), ), 我們研究的對(duì)象是隨機(jī)事件的概率我們研究的對(duì)象是隨機(jī)事件的概率隨機(jī)變量的取值或取值范圍隨機(jī)變量的取值或取值范圍由此引進(jìn)了由此引進(jìn)了分布函數(shù)分布函數(shù)的概念：的概念： 能否選用一個(gè)事件將所有事件都表達(dá)出來？能否選用一個(gè)事件將所有事件都表達(dá)出來？ ( ( X x ) ) A ( ( X x ) ) X( ( ) )P( ( ) ) P本質(zhì)是什么？本質(zhì)是什么？ P 這種選擇并這種選擇并不是唯一的不是唯一的 函數(shù)函數(shù)變量變量 ？ )(1aXP 將將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，分布函數(shù)分布函數(shù) F( (x) )的值就表示的值就表示

7、 X 落在區(qū)間落在區(qū)間(-(- , ,x 的概率的概率.二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)1. 定義定義2.1.2設(shè)設(shè) X 是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，)(xXP )( x為為 X 的的分布函數(shù)分布函數(shù). ()aXb 在上式中在上式中 X, x 皆為變量，二者有什么區(qū)別？皆為變量，二者有什么區(qū)別？ X 是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，x 是自變量是自變量. xX x F ( x ) 起什么作用？起什么作用？稱稱 ()()XbXa )(aXP)(1aF 隨機(jī)點(diǎn)落在任意區(qū)隨機(jī)點(diǎn)落在任意區(qū)間間( (a, b 的概率的概率)()(aFbF 分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù), ,通過它通過

8、它, , 我們就可以用分析的我們就可以用分析的工具來研究隨機(jī)變量的取值規(guī)律工具來研究隨機(jī)變量的取值規(guī)律 )(xF特殊形式事件的概率特殊形式事件的概率 請(qǐng)看下例：請(qǐng)看下例： 分布函數(shù)是對(duì)各類隨機(jī)變量以及其概率問題的一個(gè)分布函數(shù)是對(duì)各類隨機(jī)變量以及其概率問題的一個(gè)統(tǒng)一的統(tǒng)一的描述方法描述方法.P P P .0, 1出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面，出現(xiàn)正面；出現(xiàn)正面；X解解 . 1, 1;10,2/1;0, 0)(xxxxF 求求 X 的的分布函數(shù)分布函數(shù) F( (x) )和概率和概率P( (0 2).). 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)，故故 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 = P( ( ) )= 0，當(dāng)當(dāng) 0 x 1 時(shí)

9、，時(shí)，= P( (X = 0) ) = 1/ 2， 當(dāng)當(dāng) x 1 時(shí)，時(shí)，= P(X = 1 X = 0)= P( (X = 1)+)+ P( (X = 0) ) = 1.P( (0 2) ) = F( (1)-)-F( (0) ) = 11/2 = 1 - - F( (2) ) = 1- -1 = 0. 且且 1/2 ； .0 1X F 。1 . 。1/2擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣, 觀察出現(xiàn)的是正面還是反面觀察出現(xiàn)的是正面還是反面, 例例注意到注意到 X 的所有可能取值為的所有可能取值為 0 和和 1，. . 0 1 xF( (x) )= P( (X x) ) x F( (x

10、) )= P( (X x) ) F( (x) )= P( (X x) ) 2 2、分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(1)(單調(diào)性單調(diào)性) )F ( x ) 單調(diào)不減，即單調(diào)不減，即)()(,2121xFxFxx且且()lim( )1,()lim( )0 xxFF xFF x(3)(右連續(xù)性右連續(xù)性) F(x)是右連續(xù)函數(shù)是右連續(xù)函數(shù), 即對(duì)任意的即對(duì)任意的x 有有)()(lim)0(0 xFtFxFxt1)(0 xF(2)(2)( (有界性有界性) ) 注注:可以證明可以證明 F(x)為某一隨機(jī)變量的分為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充要條件是布函數(shù)的充要條件是F(x)具有以上三個(gè)性質(zhì)具有以上三個(gè)性質(zhì).

11、 .()( )( )P aXbF bF a() 1( )P X bF b ()( )(0)P XaF aF a3、用分布函數(shù)計(jì)算概率的公式、用分布函數(shù)計(jì)算概率的公式() 1(0)P X bF b ()( )P XaF a()(0)P XbF b(0)( )F aF a特別地特別地, ,若若F F(x)(x)在某點(diǎn)在某點(diǎn)x=ax=a連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí), ,有有()P aXb()P aXb()P aXb請(qǐng)請(qǐng)?zhí)钐羁湛?0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF注注: 由于由于X的分布函數(shù)刻畫了的分布函數(shù)刻畫了X 取值的概率規(guī)取值的概率規(guī)律，因此常說律，因此常說X服從服從F(x), 記為記為 X

12、 F(x) 例例3 3 如下的反正切函數(shù)如下的反正切函數(shù)1( )arctan,2F xxx 滿足分布函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)滿足分布函數(shù)的三個(gè)性質(zhì),故為某個(gè)隨機(jī)變量的故為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù),稱之為稱之為柯西柯西(Cauchy)分布分布函數(shù)函數(shù). 若若r.v.Xr.v.X服從柯西分布服從柯西分布, ,求求( 11)PX 例例4 已知已知X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為( )arctan,xF xAe求常數(shù)求常數(shù)A 和和 P(X0) 及及 P(0 X 2).2、隨機(jī)變量的分類、隨機(jī)變量的分類 通常分為兩類：通常分為兩類： 如如“取到次品的個(gè)數(shù)取到次品的個(gè)數(shù)” ; “110每天收到的呼叫次每天收到的呼叫

13、次 數(shù)數(shù)” 等等.隨隨機(jī)機(jī)變變量量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)所有取值可以逐個(gè)一一列舉一一列舉例如，例如，“電視機(jī)的壽命電視機(jī)的壽命”; 實(shí)實(shí)際中常遇到的際中常遇到的“測量誤差測量誤差”等等.全部可能取值不僅全部可能取值不僅無窮多，而且還不能無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間一個(gè)區(qū)間.非離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量 其中一種重要的類型為其中一種重要的類型為連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量. 三三、離散型隨機(jī)變量及其分布列離散型隨機(jī)變量及其分布列 1 1、 定義定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可所有可能取值為能取值為 ，稱，稱 (),1, 2

14、,.kkPXxpk為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量X X的概率分布列或分布列的概率分布列或分布列（分布律）（分布律）. . 記為記為12,.,.nxxx iXp注注: 離散型隨機(jī)變量的分布列也被稱做分布離散型隨機(jī)變量的分布列也被稱做分布一般地,離散型隨機(jī)變量的分布列用以下方法表示或1212kkxxxXpppLLLL（2）列表法：）列表法：12kxxxLLP 12kpppLLX(),1, 2,kkP XxpkL(1）公式法：）公式法：2、表示方法、表示方法 從盒中任取從盒中任取3 個(gè)球個(gè)球取到的白球數(shù)取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是可能取的值是0,1,2X取每個(gè)值的概率為

15、取每個(gè)值的概率為101) 0(3533CCXP106) 1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例例所以所以X的分布列為的分布列為（1）列表法：）列表法：(2）公式法）公式法103106101210 2 , 1 , 0,)(35233kCCCkXPkkX 則則 (k=1,2, ) 滿足：滿足：kp,0kp k=1,2, （1）11kip（2）注注: 這兩條性質(zhì)是判斷這兩條性質(zhì)是判斷某個(gè)數(shù)列是否是一個(gè)某個(gè)數(shù)列是否是一個(gè)概率分布列的充要條件概率分布列的充要條件3、分布列的基本性質(zhì)分布列的基本性質(zhì)設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X X 的分布列為的分布列為(), 2 .1,kkP

16、Xxpk非負(fù)性非負(fù)性正則性正則性P59 一批產(chǎn)品的次品率為一批產(chǎn)品的次品率為p, 現(xiàn)現(xiàn)檢測三件產(chǎn)檢測三件產(chǎn)品品, ,若若X=“=“三個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)三個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)”, ,試寫試寫出出X的概率分布的概率分布. .解解: 依據(jù)概率分布的性質(zhì)依據(jù)概率分布的性質(zhì):kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0從中解得從中解得欲使上述函數(shù)為概率分布欲使上述函數(shù)為概率分布應(yīng)有應(yīng)有 ea0!kkek例例6. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：的概率分布為：,!)(kakXPkk =0,1,2, ,試確定常數(shù)試確定常數(shù)a .0(),0,1,2,.:!kP Xkekkoisson稱為參數(shù)是的P

17、注分布.4、分布列與分布函數(shù)的關(guān)系分布列與分布函數(shù)的關(guān)系1()( )()kkkkpP XxF xF x反過來，( )()()kkxxF xP XxPXxU()kkkkxxxxP Xxp其中 kkxx1相鄰。設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X X 的分布列為的分布列為(), 2 .1,kkPXxpk則則 從盒中任取從盒中任取3 個(gè)球個(gè)球取到的白球數(shù)取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是可能取的值是0,1,2前面例，前面例，由例由例5（1）, X的分布列為的分布列為103106101210 X求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x),并求并求(1.5),(0.52)P XPX注注: :

18、離散型離散型r.v.Xr.v.X的分布函數(shù)的圖形為右連續(xù)的分布函數(shù)的圖形為右連續(xù)的階梯形的階梯形. .在在 X 的可能取值的可能取值 處發(fā)生間斷處發(fā)生間斷, 間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn), 在間斷點(diǎn)處有躍度在間斷點(diǎn)處有躍度 pk . 離散型離散型r.v.r.v.分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)F(x)是一個(gè)右連續(xù)的是一個(gè)右連續(xù)的階梯函數(shù)階梯函數(shù), ,在在x=xx=xk k(k=1,2)(k=1,2)處有跳躍值處有跳躍值 p pk k=PX=x=PX=xk k,如下圖如下圖 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間區(qū)間, 對(duì)這種類型的隨機(jī)變量對(duì)這種類

19、型的隨機(jī)變量, 不能象離散型不能象離散型隨機(jī)變量那樣隨機(jī)變量那樣, 以指定它取每個(gè)值概率的方式以指定它取每個(gè)值概率的方式, 去給出其概率分布去給出其概率分布, 而是通過給出所謂而是通過給出所謂“概率概率密度函數(shù)密度函數(shù)”的方式的方式. 下面我們就來介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描下面我們就來介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法述方法. 設(shè)設(shè) X 是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, 若存在一個(gè)非負(fù)若存在一個(gè)非負(fù) 可積函數(shù)可積函數(shù) p ( x ), 使得使得( )( ) dxF xp ttx 其中其中F ( x )是它的分布函數(shù)是它的分布函數(shù) 則稱則稱 X 是是 連續(xù)型連續(xù)型 r.v. ，p( x )是它的是它的概率概率密

20、度函數(shù)密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)（或密度），簡稱密度函數(shù)（或密度）, 記為記為 1 1、定義、定義( )Xp x四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)引入引入 直方圖和概率密度函數(shù)直方圖和概率密度函數(shù) 即分布函數(shù)是密度函數(shù)的積分上限函數(shù)即分布函數(shù)是密度函數(shù)的積分上限函數(shù). . 它描述的是它描述的是r.v.Xr.v.X落入落入 的概率的概率, ,是圖是圖形中陰影部分的面積形中陰影部分的面積. .(, x注注: 若若 X 是連續(xù)型是連續(xù)型r.v.， X p(x) , 則則 F(x) = P(X x) = ( )xp t dt2 2、求密度的公式、求密度的公式1( )arctan,2F xxx 例如，例如，r.v.Xr.v.X服從柯西分布服從柯西分布, ,則分布函數(shù)為則分布函數(shù)為21( ),(1)P xxx 密度函數(shù)密度函數(shù)x( )p x在在F(x)的連續(xù)可導(dǎo)點(diǎn)，的連續(xù)可導(dǎo)點(diǎn)，( )( )dF xp xdx3、 概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì)(1)( )0p x ( 2 )( )1p x dx這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)函數(shù) p(x)是否為某是否為某r.vX的的概率密度函數(shù)的充要條件概率密度函數(shù)的充要條件 p (x)xo面積為面積為1非負(fù)性非負(fù)性正則性正則性 注注: