1、一、集合的概念與表示，集合間的關(guān)系與運(yùn)算1理解用描述法表示的集合中元素的屬性是解決集合問(wèn)題的重要基本功 例1(1)集合Ay|yx，By|yx2，則AB_.(2)集合A(x，y)|yx，B(x，y)|yx2，則AB_.解析(1)集合A是函數(shù)yx的值域，AR，集合B是函數(shù)yx2的值域，By|y0，ABy|y0故填y|y0(2)集合A是直線yx上的點(diǎn)的集合，集合B是拋物線yx2的圖象上點(diǎn)的集合，AB是方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合，AB(0,0)，(1,1)2熟練地用數(shù)軸與Venn圖來(lái)表達(dá)集合之間的關(guān)系與運(yùn)算能起到事半功倍的效果 例2集合Ax|x2，Bx|4xp0，若，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_ 解析Bx|

2、x 結(jié)合數(shù)軸可知1，p4.例3設(shè)全集Ua，b，c，d，e，若ABb，(UA)Bd，(UA)(UB)a，e，則下列結(jié)論中正確的為()AcA且cBBcA且cB CcA且cB DcA且cB 答案B解析畫出Venn圖如圖，依次據(jù)條件將元素填入，ABb，故b填在A與B公共部分，(UA)Bd，故d填在A圈外，B圈內(nèi)，又(UA)(UB)a，e，a，e填在A、B兩圈外，只剩下一元素c不能填在上述三個(gè)位置，故應(yīng)填在A內(nèi)B外，cA且cB，選B.3含字母的集合的相等、包含、運(yùn)算關(guān)系問(wèn)題常常要進(jìn)行分類討論討論時(shí)要特別注意集合元素的互異性例4集合Aa，1，Ba2，ab,0，若AB，則a2009b2010_.解析由條件知

3、，或，但由互異性知，a1，a2009b20101.4空集是任何集合的子集，解題時(shí)要特別注意 例5集合Ax|x2xa0，B2,1，若AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析當(dāng)14a時(shí)，A，滿足AB；當(dāng)0即a時(shí)，A，不合題意當(dāng)0時(shí)，集合A中有兩相異元素，故AB不可能成立，綜上所述a.5新定義集合，關(guān)鍵是理解“定義”的含義，弄清集合中的元素是什么 例6A、B都是非空集合，定義A*Bx|xabab，aA，bB且bAB，若A1,2，B0,2,3，則A*B中元素的和為_ 解析由A*B的定義知，a可取1,2，b可取0,3，A*B中的元素xabab，A*B1,7,2,11，其元素之和為21.6熟練掌握ABABAABB

4、及集合的運(yùn)算是解決一些集合問(wèn)題的基礎(chǔ) 例7(1)如果全集Ux|x25x60，xN，A2,3，B1,3,5，則U(AB)_，AUB_.(2)設(shè)Ax|xa0，Bx|ax10，且ABB，則實(shí)數(shù)a的值為()A1 B1C1或1 D1，1或0解析(1)Ux|(xb)(x1)0，xNx|1x0)個(gè)單位，可以得到函數(shù)yf(xa)(yf(xa)的圖象將yf(x)的圖象上各點(diǎn)向上(下)平移a(a0)個(gè)單位，可以得到y(tǒng)f(x)a(或yf(x)a)的圖象(7)y|f(x)|的圖象可由yf(x)的圖象位于x軸及上方的部分不變，下方圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱翻折而得到 yf(|x|)的圖象在y軸及其右側(cè)部分與yf(x)圖象相同

5、，而yf(|x|)是偶函數(shù)，再在y軸左側(cè)作右側(cè)部分的對(duì)稱圖形即可例3已知函數(shù)f(x)x22ax2，x5,5(1)當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù) 分析第(1)問(wèn)，將a1代入，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得出結(jié)論；第(2)問(wèn)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸的位置確定單調(diào)性解析(1)當(dāng)a1時(shí)， f(x)x22x2(x1)21，x5,5，f(x)的對(duì)稱軸為x1. x1時(shí)，f(x)取最小值1； x5時(shí)，f(x)取最大值37.(2)f(x)x22ax2(xa)22a2的對(duì)稱軸為xa，f(x)在5,5上是單調(diào)函數(shù)a5，或a5，即a5，或a5. 三、注重?cái)?shù)

6、學(xué)思想與方法的提煉與掌握，養(yǎng)成自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維習(xí)慣 1數(shù)形結(jié)合的思想例1設(shè)函數(shù)f(x)x22|x|1(3x3)(1)證明f(x)是偶函數(shù)；(2)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)；(3)求函數(shù)的值域解析(1)f(x)(x)22|x|1 x22|x|1f(x)，f(x)是偶函數(shù) (2)當(dāng)x0，時(shí)，f(x)x22x1(x1)22，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x1(x1)22，根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象，如下圖所示函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為3，1)，1,0)，0,1)，1,3 f(x)在區(qū)間3，1，0,1上為減函數(shù)，在1，0)

7、，1,3上為增函數(shù)(3)當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為2，最大值為f(3)2. 當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)(x1)22的最小值為2，最大值為f(3)2；故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,2例2已知關(guān)于x的方程x24|x|5m有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_ 解析設(shè)y1x24|x|5，y2m，由于y1x24|x|5為偶函數(shù)，畫出x0的圖象，再由對(duì)稱性可畫出x0時(shí)的圖象，由圖可見(jiàn)1m5時(shí)方程有4個(gè)根1m0的解集為()A(，4)(4，)B(4,0)(0,4)C(，4)(0,4)D(4,0)(4，)解析作出示意圖如圖，xf(x)0或，x4或4x1情形2：a0)()的根的分布情況可以用(1

8、)判別式(b24ac)與韋達(dá)定理(x1x2，x1x2)或(2)構(gòu)造函數(shù)(f(x)ax2bxc)結(jié)合圖象和求根公式兩種思路來(lái)討論方程()有兩不等實(shí)根0，方程()有兩相等實(shí)根0，方程()無(wú)實(shí)根0 (a0) .方程()有兩負(fù)根 較大的根x0.方程()有一正一負(fù)兩實(shí)根f(0)0.方程()有一正一負(fù)兩實(shí)根且正根絕對(duì)值較大.方程()有一正一負(fù)兩實(shí)根且負(fù)根絕對(duì)值較大.方程()的兩根都在區(qū)間Am，n內(nèi)(A是其它區(qū)間時(shí)類似討論).方程()有且僅有一個(gè)實(shí)根在區(qū)間Am，n內(nèi)f(m)f(n)0.方程()兩根x1，x2滿足mx1n0 Bk4C4k0 Dk0 解析設(shè)f(x)2kx22x3k2，由題意知kf(1)0， k0

9、或kax的解集為x|4xb，求a、b的值解析運(yùn)用方程與不等式的關(guān)系可知，4和b是方程ax的兩根，a，b36.3分類討論的思想 在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題中，遇到下列情形常常要進(jìn)行分類討論涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的；運(yùn)用的數(shù)學(xué)定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的；求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論有多種情況或多種可能性；由運(yùn)算的限制條件引起的分類由實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義引起的分類數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有參變量，這些參變量的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果較復(fù)雜的或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要采取分類討論的解題策略來(lái)解決的由圖形的不確定性引起分類 例8若f(x)(m1)x2(m1)x3(m1)0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍是()A(1，)B(

10、，1)C(，1D(，1解析當(dāng)m10時(shí)，顯然成立當(dāng)m10時(shí)，2，b2，比較ab與ab的大小 解析令a2x，b2y，則x0，y0，ab(ab)(2x)(2y)(4xy)xyxy0，abab. 點(diǎn)評(píng)將a2，b2的條件量化，化不等關(guān)系為相等關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)的正負(fù)判斷，促成了問(wèn)題的解決例12定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在0，)上的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)ab0，給出下列不等式，其中成立的是() f(b)f(a)g(a)g(b)； f(b)f(a)g(b)g(a)； f(a)f(b)0時(shí)，0f(x)1.(1)證明：f(0)1且x1；(2)證明：f(x)在R上單調(diào)遞減 分析解決這類問(wèn)

11、題應(yīng)去掉抽象函數(shù)符號(hào)，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，化為普通函數(shù)解析(1)在f(mn)f(m)f(n)中，取m0，n0，有f(m)f(m)f(0)x0時(shí)，0f(x)1，f(m)0，f(0)1. 又設(shè)mx0，則0f(x)1，f(mn)f(0)f(x)f(x)，(2)設(shè)x10.0f(x2x1)0. yf(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1) f(x1)f(x2x1)10且a1)的性質(zhì)，可類比指數(shù)函數(shù)f(x)ax，結(jié)合已知條件進(jìn)行討論 5換元法例15求函數(shù)y2x3的值域解析令t(t0)則2x(13t2)y(13t2)3tt2t(t1)24(t0)y，當(dāng)t0時(shí)取等號(hào)，函數(shù)

12、的值域是(， 總結(jié)評(píng)述：此題解法稱為“換元法”，通過(guò)換元法把函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)，然后求出二次函數(shù)在t0時(shí)的值域即得原函數(shù)的值域，用換元法解題，換元后一定要先確定新元的取值范圍此題也可利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解例16已知f(x1)x22x，求f(x) 解析令tx1，則xt1，f(t)(t1)22(t1)t24t3，f(x)x24x3.7待定系數(shù)法 例19一次函數(shù)yf(x)滿足：當(dāng)x1時(shí)，y2，當(dāng)x2時(shí)，y4，則f(5)_. 解析設(shè)一次函數(shù)解析式為ykxb(k0)，則，f(x)2x，f(5)108關(guān)于對(duì)稱與平移 例21已知f(x)是偶函數(shù)，且其圖象與x軸有n(nN)個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)0的所有實(shí)

13、根之和為()A4B2C1D0 解析由f(x)是偶函數(shù)可知，f(x)與x軸的n個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即f(x)0的n個(gè)根x1，x2，x3xn中，若有一根在x軸右側(cè)，則必有關(guān)于y軸對(duì)稱的另一根在左側(cè)，x1x2xn0.選D.例22設(shè)函數(shù)yf(x)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)yf(x1)與yf(1x)的圖象關(guān)于()A直線y0對(duì)稱 B直線x0對(duì)稱C直線y1對(duì)稱 D直線x1對(duì)稱 解析應(yīng)用復(fù)合函數(shù)知識(shí)，令x1u，則yf(x1)f(u)，yf(1x)f(u)顯然f(u)與f(u)關(guān)于直線u0對(duì)稱，即關(guān)于x10對(duì)稱所以yf(x1)與yf(1x)關(guān)于直線x1對(duì)稱選D.四、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 例1某廠生產(chǎn)某種零件，每個(gè)零件的成本為40元，出廠單價(jià)定為60元，該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購(gòu)，決定當(dāng)一次訂購(gòu)量超過(guò)100個(gè)時(shí)，每多訂購(gòu)一個(gè)多訂購(gòu)的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元(1)當(dāng)一次訂購(gòu)量為多少個(gè)時(shí)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元？(2)設(shè)一次訂購(gòu)量為x個(gè)，零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元，寫出函數(shù)Pf(x)的表達(dá)式；(3)當(dāng)銷售商一次訂購(gòu)500個(gè)零件時(shí)，該廠獲得的利潤(rùn)是多少元？如果訂購(gòu)1000個(gè)，利潤(rùn)又是多少元？(工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)實(shí)際出廠單價(jià)成本)解析(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元時(shí)，一次訂購(gòu)量為x0個(gè)，則x01005