1、第六章波色系統(tǒng)超流6.2 液He II的特性 二流體模型液He II的特性：液He II能沿極細的毛細管流動而不呈現(xiàn)任何粘滯性，這稱為超流性。而且存在一個臨界速度，在這個速度以上，超流性被破壞。如用一細絲懸掛一薄圓盤浸泡在液He II里，并讓圓盤作扭轉(zhuǎn)振動，可以用來測粘滯系數(shù)。結(jié)果比“毛細管”法測得的大10倍（與正常相的相似）。且測得的系數(shù)強烈依賴于溫度，隨T0K而趨于零。當液He II由容器A通過多孔塞（或極細的毛細管）流出時，A內(nèi)液He II的溫度升高（見右下圖）。這稱為機械熱效應，其逆過程稱為熱機械效應。液He II的熱導率很大，數(shù)量級為室溫下銅的800 倍，而且其熱導與通常流體不同，并

2、不正比于 溫度梯度。二流體模型二流體模型的解釋：液He II由正常流體和超流體兩種成分組成。超流體沒有粘滯性，熵也為零；正常流體具有粘滯性和熵，用 和 表示超流體和正常流體的質(zhì)量密度，速度場為 和 ，則總質(zhì)量密度為： ，總質(zhì)量流為： T=0K時，全部液體為超流體； 時，全部為正常成分。二者之間時 是溫度的函數(shù)。超流成分的速度場是無旋的，即 。且兩種流體成分可以相對流動而彼此間無摩擦（無動量交換）。只有超流成分可通過毛細管，這解釋了特性一；只有正常流體成分才對圓盤振動起阻尼作用，這解釋了特性二；機械制熱效應：由毛細管流出的只是超流成分，不帶走熵。因而容器內(nèi)流體的單位質(zhì)量的熵將增加，導致溫度增加。

3、這解釋了特性三；特性四：設想均勻溫度的液He II中，某點附近溫度突然稍稍上升。按二流體模型，熱點的 要增加，而 將減小，造成兩種成分的密度漲落。為恢復平衡，熱點附近的超流成分將向熱點流動，同時正常成分將向反方向流動而離開熱點，這稱作“內(nèi)運流”。這種內(nèi)部調(diào)整進行的很快，使液He II有極好的導熱性。由于液He II中有兩種成分，朗道預言He II中會有兩種獨立的振動波：若 和 方向一致，則振動波傳遞密度和壓強的變化，這是普通的聲(第一聲)；若 和 方向相反，則可能在保持總密度 基本不變的情況下， 分別有漲落。由于超流成分熵為零， 的漲落決定了熵密度的漲落和溫度的漲落（如圖所示）。 6.3 超流

4、體的渦旋運動昂薩格和費因曼在理論上指出，在液He II的基態(tài)或液He II的超流成分中，可以存在一種“組織化的運動”-量子化的渦旋。設N個玻色子組成的超流體的基態(tài)波函數(shù)為 ，若液He II相以勻速 運動，則系統(tǒng)波函數(shù)為：這里 是超流體宏觀運動的動量，R是質(zhì)心坐標。若各粒子 不均勻，在局部意義上上式仍是一個較好的近似。即在比速度發(fā)生顯著變化的距離小得多的范圍內(nèi)，由局部位移引起的波函數(shù)的相位變化為：現(xiàn)在考慮超流體的渦旋。設想液He II相中的一個閉合環(huán)，使環(huán)上每一原子從其原位置移到其最近鄰位置上。由于波函數(shù)的對稱性，波函數(shù)不變。因此這種位移引起的波函數(shù)的相位變化必為2的整數(shù)倍，即注意求和只對環(huán)上的

5、所有原子求和，對宏觀尺度的閉合環(huán)，求和可換為積分：這表明，環(huán)流是量子化的，環(huán)流量子為h/m。由此可證超流成分的無旋性。由斯托克斯定理，S為積分回路包圍的曲面面積。若此區(qū)域是單連通的，且流速 在S內(nèi)處處連續(xù)，則左方的積分可以隨S連續(xù)地趨于零，但右方不能連續(xù)變化，故只有 但對復連通區(qū)域或 有奇點的情形上式不成立。如一個中心在r=0處的柱對稱的渦旋，其速度場為 。r=0是 的奇點。除渦旋軸（r=0）外，我們?nèi)杂?，但對以r=0為中心且垂直于z軸的圓的積分回路，我們有實驗已觀測到量子化渦旋，其半徑為1左右。圓柱型容器中超流體的旋轉(zhuǎn)：對正常液體，由于重力和離心力，液體的自由表面呈拋物面狀：對超流體又如何

6、？實驗發(fā)現(xiàn)超流體和正常液體的形狀是一樣的。如何與 的假設協(xié)調(diào)？如右圖，考慮一系列互相平行的渦旋線的均勻分布陣列。每一（最?。u旋的環(huán)流為h/m，以N表示單位面積的渦旋線數(shù)?？紤]半徑為r及r+dr的兩園之間的封閉面元。渦旋線環(huán)流之和是N2rdrh/m。除去r和r+dr的園邊界外，相鄰渦旋的速度場彼此抵消。另一方面，面元周界內(nèi)的凈環(huán)流又可以計算如下：兩種算法的結(jié)果應相等，故有若要超流體和正常液體以相同的方式旋轉(zhuǎn)，只需取 即可。渦旋線間的距離 ，當=1rad/s時，d約為0.1mm量級，這遠比量子化渦旋大。6.4 朗道超流理論朗道理論的基本圖像是把液He II看成受弱激發(fā)的量子波色系統(tǒng)，弱激發(fā)態(tài)與基

7、態(tài)(T=0K)的偏離表現(xiàn)為在安穩(wěn)的背景上出現(xiàn)了由元激發(fā)或準粒子組成的氣體，后者與二流體模型中的正常液體成分對應，而前者代表超流成分（回憶上章最后一節(jié)的另一個例子）。當溫度很低時，元激發(fā)的密度很低，可以把它們看作元激發(fā)的理想氣體。令 和 代表元激發(fā)的動量和能量， 表示相應的元激發(fā)數(shù)，則系統(tǒng)低激發(fā)態(tài)的總能量和動量為：朗道進一步假設液He II中存在兩種不同的波色型元激發(fā)（準粒子），即聲子和旋子。當時，液He II的比熱隨 變化，這是聲子的特征，其能譜為=cp，c為聲子速度。當溫度稍高時，比熱有一如exp-/kBT的附加項，其中為常數(shù)。由此推測對較大的動量，元激發(fā)能量有一個能隙，朗道假定在這個動量范

8、圍內(nèi)能譜為： 是旋子的有效質(zhì)量。熱力學性質(zhì)熱力學性質(zhì)：這里準粒子被看作是理想波色氣體，準粒子數(shù)目不確定，系統(tǒng)的化學勢為零。準粒子在能量 的平均占據(jù)數(shù)為：由此可得內(nèi)能： 和定容比熱因此聲子部分貢獻的比熱為：旋子貢獻的比熱在假設 為小量時，可得這些結(jié)果與實驗符合的很好。超流的臨界速度超流的臨界速度(T=0)：設質(zhì)量為M的超流體以宏觀速度v運動，其動量和能量為：因此動量和能量的任何變化必滿足：設這一變化是由超流體產(chǎn)生了一個新的元激發(fā)引起，其動量為 ，能量為 。按能量和動量守恒，元激發(fā)的動量和能量必由消耗超流體的宏觀流動的動量和能量而來，故因此我們有 或 上式說明，要能產(chǎn)生元激發(fā)，必須超流體的宏觀流速

9、大于 ；反之對一切小于 的v值，則由于宏觀流動而產(chǎn)生新的元激發(fā)是不可能的，即流體繼續(xù)保持超流。由此得到超流判據(jù)： 即為超流的臨界速度。由此易知自由粒子能譜 不可能有超流，因6.5簡并性近理想波色氣體 波戈留波夫變換這里我們用一個簡并型近理想波色氣體模型來來微觀地給出液He II的聲子能譜。近理想氣體是稀薄的（即密度低），相互作用很弱（可以看作微擾）的粒子系統(tǒng)。此外我們僅考慮系統(tǒng)的低溫性質(zhì)，這時量子效應很明顯。幾個相關(guān)參數(shù)： 散射長度a,它反映相互作用勢的強度和作用范圍； 平均熱波長 ，它代表粒子波包的平均空間范圍，屬于量子效應，低溫時 可以很大； 粒子間平均距離: （n為氣體密度）。我們假定這

10、三個參數(shù)間有如下關(guān)系（L為容器線度）：因此相互作用可以按小量 展開。哈密頓量及其簡化哈密頓量及其簡化：設近理想波色氣體由N個全同的，自旋為零的波色子組成，系統(tǒng)哈密頓量為：采用二次量子化表述，上式可寫為：其中第二式的求和要滿足動量守恒條件， 及 分別為動量為p的單粒子態(tài)的產(chǎn)生和湮滅算符，它們滿足波色算符的對易關(guān)系：相互作用矩陣元為其中 是動量為p的單粒子態(tài)的波函數(shù)。把波函數(shù)表達式代入即可得這里在低溫下，由量子力學低能散射的波恩近似，對散射長度a我們有:在低能散射下，動量轉(zhuǎn)移p很小，可取近似 。因此因此體系的哈密頓量可寫為：再進一步，我們可以考慮波戈留波夫近似，即 和 近似地代之以C數(shù)（可交換數(shù)）

11、 而且由于我們只考慮低激發(fā)態(tài)，有：因此 和 可看作小量，我們只保留到二次項，而略去三次及以上的高階小量。故其中二次項的六項近似為 因此哈密頓量最終近似為： 波戈留波夫變換波戈留波夫變換：類似上章末節(jié)，我們可以通過波戈留波夫變換來把哈密頓量嚴格對角化。引入新的波色產(chǎn)生和湮滅算符 和 ：其中 和 為兩個待定參數(shù)，常取為實數(shù)，且 可以驗證若令 則和 滿足波色對易關(guān)系（注意這兩個參數(shù)還有一個自由度）。上式的逆變換為：帶入到哈密頓量表達式中得我們可取兩個待定參數(shù)的值使得： 則上式最后一項為零，哈密頓量被對角化。解出參數(shù)的值可得： 其中:從上面u和 的結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，如果散射長度a0，u為虛數(shù)，從而對某些動

12、量 的元激發(fā)可使 為虛數(shù)，這是粒子間存在吸引作用不可能產(chǎn)生波色-愛因斯坦凝聚的原因。于是哈密頓量可看作能量為 的假想粒子（準粒子或元激發(fā)）的能量之和， 是準粒子的粒子數(shù)算符。而 為基態(tài)能量。把求和換做積分后可解出 ：由此可得單個粒子的平均基態(tài)能：在T=0K時，我們有： ，于是化學勢：壓強：普通聲速為：能譜： 由前面的能量公式，容易發(fā)現(xiàn)：我們得到了聲子譜，但沒有旋子譜。超流判據(jù)：由上節(jié)，穩(wěn)定的超流態(tài)速度需滿足：這是可以實現(xiàn)的，但也要求系統(tǒng)有排斥勢。故哈密頓量為：其中不同動量的粒子數(shù)：我們必須區(qū)分真實粒子的粒子數(shù) 和準粒子的粒子數(shù) 前者可用后者很方便的表示出來：上面由于準粒子數(shù)不是固定的，所以其化學勢把前面的結(jié)果帶入，對 我們有：因此有零動量的粒子數(shù)為：絕對零度時，不存在準粒子，所以但這時因此絕對零度時仍有部分真實粒子不處在零動量態(tài)上！這顯示了理想氣體和非理想氣體的區(qū)別。6.6 液He II中正常流體的質(zhì)量密度液He II可無摩擦通過毛細管，這表明超流體的粘滯系數(shù)為零。由前一節(jié)可知，超流體的穩(wěn)定性要求其流動速度小于某個值： 于是，保持超流態(tài)必須對聲子：對旋子：由于二流體模型中的正常部分由元激發(fā)組成，因此液He II中正常部分的質(zhì)量密度可從準粒子氣體來求出。設準粒子氣體整體以宏觀平移