1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -習(xí)題 5.11. 設(shè) A= a,b,c ， B= 1,2,3 ，試說明以下A 到 B 二元關(guān)系，哪些能構(gòu)成A 到 B 的函數(shù)？ f1=a,1,a,2,b,1 , c,3 f2=a,1,b,1,c,1 f3= f4=a,2a,3,c,3b,2,c,3 , b,3 f5=a,2,b,1,b,2解： 不能構(gòu)成函數(shù)；由于a,1f1 且 a,2f1能構(gòu)成函數(shù)不能構(gòu)成函數(shù)；由于domf 3 A不能構(gòu)成函數(shù)；由于b,2f4 且b,3f4能構(gòu)成函數(shù)；2. 試說明以下A 上的二元關(guān)系，哪些能構(gòu)成A 到 A 的函數(shù)？ A=N N 為自然數(shù)集

2、合 ， f1=a,b| aA bA a b 10 A=R R 為實數(shù)集合 ， f2=a,b | aA bA b=a2 A=R R 為實數(shù)集合 ， f3=a,b | aA bA b2=a A=N N 為自然數(shù)集合 ， f4=a,b| aA bA b 為小于 a 的素數(shù)的個數(shù) A=Z Z 為整數(shù)集合 ， f5=a,b | aA bAb=|2a| 1解： 不能構(gòu)成函數(shù)；由于1+1 10 且 1+2 10，所以1,1f1 且 1,2f1；能構(gòu)成函數(shù)；不能構(gòu)成函數(shù)；由于12=1 且- 12=1，所以1,1f3 且1,- 1f3；能構(gòu)成函數(shù)；能構(gòu)成函數(shù)；3. 回答以下問題； 設(shè) A=a,b ， B= 1,

3、2,3 ；求 BA，驗證 |BA|= |B|A |；設(shè) A= a,b ， B= 1,2 ；求 BA×A ，驗證 |BA× A|=|B|A| ×|A |；解： f0=a,1 , b,1f1 = a,1 , b,2 f2 = a,1 , b,3 f3 = a,2 , b,1 f4 = a,2 , b,2 f5 = a,2 , b,3 f6 = a,3 , b,1 f7 = a,3 , b,2 f8 = a,3 , b,3BA= f0,f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8|BA|=9=3 2= |B|A| A× A=a,a , a,b , b,a ,

4、 b,b精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -f0=a,a,1,a,b,1,b,a,1,b,b,1f1=a,a,1,a,b,1,b,a,1,b,b,2f2=a,a,1,a,b,1,b,a,2,b,b,1f3=a,a,1,a,b,1,b,a,2,b,b,2f4=a,a,1,a,b,2,b,a,1,b,b,1f5=a,a,1,a,b,2,b,a,1,b,b,2f6=a,a,1,a,b,2,b,a,2,b,b,1f7=a,a,1,a,b,2,b,

5、a,2,b,b,2f8=a,a,2,a,b,1,b,a,1,b,b,1f9=a,a,2,a,b,1,b,a,1,b,b,2f10=a,a,2,a,b,1,b,a,2,b,b,1f11=a,a,2,a,b,1,b,a,2,b,b,2f12=a,a,2,a,b,2,b,a,1,b,b,1f13=a,a,2,a,b,2,b,a,1,b,b,2f14=a,a,2,a,b,2,b,a,2,b,b,1f15=a,a,2,a,b,2,b,a,2,b,b,20, 1, 2,BA× A= f f f f3, 4, 5, 6,f f f f7, 8, 910,11,f f fff12, 13,14, 1

6、5fffA× A|B|=16=24|A| ×|A |=|B|4.以下函數(shù)中，哪些是單射？哪些是滿射？哪些是雙射？為什么？ f： N N，fx= x2 1 f： ZZ， fx= xmod 3 函數(shù)值為x 除以 3 的余數(shù) f： N N，1f x0如x為奇數(shù)如x為偶數(shù) f： N 0,1 ，1f x0如x為奇數(shù)如x為偶數(shù) f： Z R， fx=3 x f： R R， fx=x3解： 是單射，不是滿射，不是雙射；當(dāng) x,yA， xy， x2 y2， x2 1 y2 1， fx fy；所以 f：N N 是單射；由于xN， fx 0N；所以 f： NN 不是滿射；由于不是滿射，所以不是

7、雙射；不是單射，不是滿射，不是雙射；由于 6 9，而 f6=6mod 3=0=9mod 3=f9；所以 f： Z Z 不是單射；由于xZ， f x 3Z；所以 f： Z Z 不是滿射；由于不是單射且不是滿射，所以不是雙射；不是單射，不是滿射，不是雙射；由于 1 3，而 f1= f 3；所以 f：N N 不是單射；由于 x Z， f x 2 N；所以 f ：N N 不是滿射；由于不是單射和不是滿射，所以不是雙射；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - -

8、 - -不是單射，是滿射，不是雙射；由于 1 3，而 f1=1= f3；所以 f：N 0,1 不是單射；明顯， f： N 0,1 是滿射；由于不是滿射，所以不是雙射；是單射，不是滿射，不是雙射；f： Z R， fx=3x 是單調(diào)遞增函數(shù)，所以是單射；由于xZ， f x 0R；所以 f： Z R 不是滿射；由于不是滿射，所以不是雙射；是單射，是滿射，是雙射；f： R R，fx=x3 是單調(diào)遞增函數(shù)，所以是單射；由于yR，有 x= 3 yR，使 fx= f 3 y = 3 y 3=y ；所以 f： R R， fx=x3 是滿射；由于是單射和滿射，所以是雙射；5. 設(shè) A= 1,2,3,4 ， A

9、上的等價關(guān)系R 為： R=1,4 , 4,1 , 2,3 , 3,2I A求自然映射f： A A/R解： A/ R=1,4 , 2,3f=1, 1,4, 2, 2,3, 3, 2,3, 4, 1,46.設(shè) f: Z× ZZ Z 為整數(shù)集合 ， fx,y= x y； g: Z× Z Z， gx,y= x× y； 試證明 f 和 g 是滿射函數(shù)，但不是單射函數(shù)；證明：xZ， 0,xZ× Z， f 0, x= 0 x=x，所以 f: Z× Z Z， fx,y=x y 是滿射； 1,xZ× Z， f 1, x= 1 ×x=x，所以

10、g: Z× Z Z， gx,y= x× y 是滿射；對于1,2Z× Z， 2,1Z× Z，f1,2=3= f2,1，但1,2 2,1 ，所以 f: Z× Z Z，fx,y= x y 不是單射函數(shù)；對于3,2Z× Z， 2,3Z× Z，g3,2=6= g2,3，但 3,2 2,3，所以 g: Z×Z Z，gx,y=x× y 不是單射函數(shù)；7.設(shè) A 和 B 是有限集合，|A|=n， |B|=m；有多少個不同的單射函數(shù)f： A B；解： 要使 f ：A B 是單射函數(shù)，必需nm，因此，當(dāng)n m 時，無 A 到

11、 B 的單射函數(shù)；當(dāng)n m 時，共有Pn =nn- 1n- m+1m有多少個不同的雙射函數(shù)f： A B；解： 要使 f：A B 是雙射函數(shù)，必需n=m，此時共有m.個雙射函數(shù)；請參看習(xí)題5.2 的第 6題；8. 設(shè) f： A B，CA，證明 f A fCfA C證明： fxf A fCfxfA fxf CxA xCxACfAC所以 , fA fCf A C9. 設(shè) A= a1,a2,an ，試證明任何從A 到 A 的函數(shù)，假如它是單射，就它必是滿射；反之亦真；證明： 設(shè) f： A A 是單射，下證f 是滿射；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 9 頁 -

12、- - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -反證法，設(shè)f 不是滿射，至少有一個元素不是f 的像，設(shè)這個元素為aj，就 ran fA-aj ，所以 ran fA，從而有 |ran f|<|A|，與 f 是單射沖突；設(shè) f： A A 是滿射，下證f 是單射；反證法，設(shè)f 不是單射，aiA， ajA，使 fai= faj，而 ai aj，構(gòu)造函數(shù) f1： A-ai A， f1x=fx由于 f：A A 是滿射，所以 f1：A-ai A 也是滿射；故有 |A-ai | |A|；又由于 aiA， A-aiA，|A-ai | |A|，所以

13、， |A| |A-ai | |A|，即 |A| |A|，沖突；10. 設(shè) f： A B， CA， DA，試證明： fC D= fC f D fC DfC fD 證明： f xf C DxCDxC xDfxfC fxfDfxfC fD 即 f C D = fC fD fxfC DxCDxC xDfxfCfxf DfxfC fD即 f C D f C fD11. 設(shè) f： A B；g：B PA，定義為：對于bB， gb=x|xA fx= b ；證明：假如f 是 A 到 B 的滿射，就g 是 B 到 PA的單射；證明： 以下證明g： BPA的單射； gb= x|xA fx=b ；設(shè) x1B，x2B

14、且 x 1x2，由于 f 是 A 到 B 的滿射，y1A，使 fy1=x1， y2A，使 fy2= x2；由于 x1 x2，所以 f y1 fy2，又由于 f 是函數(shù)， 故有 y1 y2 ；由 g 的定義有， y1gx1，y2gx2；由于 fy2=x2 x1，所以 y2gx1，故有 gx2. gx1，即 gx1 gx2；這就證明白g 是 B 到 PA的單射；12. 設(shè) A,.是偏序集，xA，令 fa=x|xA x. a ，證明： f： A PA 是單射；如 a. b 時，必有fafb證明： aA，bA 且 a b當(dāng) a. b 時，由于 a b，就無 b. a，bfa；又由偏序關(guān)系的自反性知b.

15、 b，從而 bfb；fa f b當(dāng) b. a 時，類似的可以證明fa fb設(shè)a. b， xfaxA x. a，由a. b 和偏序關(guān)系的傳遞性xA x. bxfb；即 fafb；習(xí)題 5.2精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -1. 設(shè) X= x1,x2,x3,x4 ， Y= y1,y2,y3,y4,y5 ， Z= z1,z2,z3 f：X Y，定義為f=x1 ,y2 , x2,y1 , x3,y3 , x4,y5g： Y Z，定義為g=y1

16、,z1 , y2,z2 , y3,z3 , y4,z3 , y5,z2試求函數(shù)g 在函數(shù) f 左邊的復(fù)合關(guān)系gf，驗證復(fù)合關(guān)系gf 是 X 到 Z 的函數(shù)；解： gf=x1,z2 , x2 ,z1 , x3,z3 , x4,z2mod gf=x1,x2,x 3,x4 =X；當(dāng) x1= x2 時， f x1=fx2gf： X Z2.設(shè) f,g,hRR，且 f x =x2- 2， gx =x 4， hx =x3 - 1試求 gf 和 fg gf 和 fg 是單射？滿射？雙射？ f,g,h 中哪些有反函數(shù)？如有，求出反函數(shù)；解： gf x= x2+2fgx= x2+8x+14 gf 不是單射，不是滿

17、射，不是雙射；f g 不是單射，不是滿射，不是雙射； f 不是單射，不是滿射，不是雙射；無反函數(shù)；g 是單射，是滿射，是雙射；有反函數(shù)；g-1 x= x- 4h 是單射，是滿射，是雙射；有反函數(shù)；h-1 x= 3 x13. 設(shè) f： A B，g： BC， g 和 f 的復(fù)合函數(shù)gf： A C，試證明 : 如 果 gf 是單射，那么f 是單射；假如 gf 是滿射，那么g 是滿射； 如 果 gf 是雙射，那么f 是單射， g 是滿射；證明： x1B，x2B 且 fx1=fx2，由于 g 是函數(shù)， gfx1= gfx2gfx1=gfx2，由 于 gf 是單射，所以x1 =x2，f 是單射；cC，由于

18、 gf 是滿射，存在aA，使 gfa=c，又由于f： A B 是函數(shù)，令b=fa，gb= gfa = gfa=c ， g 是滿射；設(shè) gf 是雙射，由知f 是單射，由知g 是滿射；4.設(shè) f： A B， f 是雙射， AA，BB，試證明 f f-1BB 利用 f 是滿射，證明f f -1 B=B Af-1f A 利用 f 是單射，證明A=f-1 f A證明： 設(shè) fxf f-1Bxf-1ByB使 x=f -1yf-1Bfx=yB所以， f f-1 BByB，由于 f： A B 是滿射，xA 使 fx=yx=f-1 yxf-1 B y=fxff -1 BB f f-1 B由有f f-1 BB所以

19、， f f-1 B= BxA，由于 f： A B，所以yB 使 fx=y，而 y=fxfA精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -x=f-1yf-1f A，即 xf-1f AAf-1f A-1xf -1f A ， yf A使 x=f y，從而 y=fx；再由yf A， xA，使 y=fx；由于 f： A B 是單射，所以，x=xA，故有 f-1 f AA又由有Af-1f A這就證明白A=f-1 f A5. 設(shè) f： A B，g： BA，證明：

20、g f=I A 且 fg=IB 當(dāng)且僅當(dāng)g=f-1 且 f=g-1證明：設(shè) g=f-1 且 f =g-1 ，下證 gf=IA 且 fg=I B由于 g：B A，f-1：B A，g=f-1，所以yB，gy=f-1 y；令gy=f-1y= x，就 g y=x，y=fx；又由 f=g-1f： AB， g-1： AB，且xA，fx=g-1x；由此 y=fx=g-1 xgy=x所以， gf x=gf x=gy=x=IAx，fgy= fgy= fx= y=I Bx明顯， gf ： A A， IA： A A； fg： BB， IB： B B這就證明白gf=IA 且 fg=IB設(shè) gf =I A 且 fg=I

21、 B，下證 g=f-1 且 f=g-1由于恒等函數(shù)IA 是雙射，所以gf： A A 是雙射，由習(xí)題5.2 的第 3 題， f 是單射， g 是滿射 ；同樣，恒等函數(shù)IB 是雙射，所以fg： BB 是雙射，由習(xí)題5.2 的第 3 題， g 是單射， f是滿射 ；所以， f 和 g 都是雙射函數(shù)，他們的反函數(shù)都存在；g： B A，f-1： B AyB，由 f-1： BA，令 f -1y=xAfx=ygy=gf x= gf x=I Ax=x= f-1 y，明顯， g： BA， f-1： BA所以， g=f-1類似的可以證明，f=g-16.設(shè) A=a1,a2, an ，函數(shù) f： A A 是雙射；稱雙

22、射f 為集合 A 上的置換， n 稱為置換階，常記為：a1ff a1a2f a2 anf an 由于 f 是雙射，fa1, fa2,fan都是 A 的元素且互不相同； 因此 fa1,f a2,f an必為 a1,a2,an 的一個排列；而a1,a2, an 的排列總數(shù)是n 個，因此集合A 上的 n 階置換的數(shù)目是n 個；即A 到 A 是雙射函數(shù)有n 個；123123123123123123123132213231312321設(shè) A= 1,2,3 ，集合 A 上應(yīng)有 3 =6 個 3 階置換；寫出集合A 上的全部3 階置換；解：7. 假如某人營造了n 個鴿舍， 養(yǎng)了多于n 只鴿子， 就必有一個鴿

23、舍住有2 只或 2 只以上的鴿子；這就是鴿舍原理；用數(shù)學(xué)語言將這個原理抽象為：設(shè)A， B 是有限集合， f 是 A 到 B 的函數(shù)，假如|A| |B|，就A 中至少有兩個元素，其函數(shù)值相等；更一般的情形是：當(dāng)鴿舍為n 個， 鴿子數(shù)大于n× m 只時， 必有一個鴿舍住有m 十 1 個或多于 m+1 個鴿子；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -用數(shù)學(xué)語言抽象為：設(shè)A， B 是有限集合，f 是 A 到 B 的函數(shù)，假如|A| n

24、15;m， |B| n，就在 A 中至少有 m+1 個元素，其函數(shù)值相等；例如，有 3 個鴿舍， 13 只鴿子； A 是鴿子構(gòu)成的集合，|A|=13 3× 4；B 是鴿舍構(gòu)成的集合，|B| 3；就必有一個鴿舍，住有4 1=5 個或 5 個以上鴿子；利用鴿舍原懂得以下各題：任意 n+1 個正整數(shù)，其中必有兩個數(shù)之差能被n 整除；在邊長為1 的正三角形內(nèi)， 任取 7 個點， 證明其中必有3 個點聯(lián)成的小三角形的面積不超過3 ；12解： 由于任意正整數(shù)被n 除后，其余數(shù)只能是0，1， n- 1 共 n 種，所以在n+1 個正整數(shù)中，必有兩個數(shù)被n 除后余數(shù)相同，這兩個數(shù)之差必能被n 整除；

25、 如圖 5.6 所示， ABC 是邊長為1 的正三角形，點O 是 ABC 的重心，連接OA、 OB，OC ，就將 ABC 分為面積相等的3 個小三角形， 每個小三角形的面積都為：1 × 1 ×323 =3 ；212把小三角形作為“鴿舍”，點作為“鴿子” ，就有 7 只鴿子， 3 個鴿舍；而INT7/3=2 ，由鴿舍原理， 7 個點中至少有3 個點在同一個小三角形中，由這3 個點聯(lián)成的三角形的面積必小于小三角形的面積3 ；12習(xí)題 5.31.證明區(qū)間 0,1和區(qū)間 0,1 等勢；證明： 設(shè) f： 0,1 0,1 ， fx= x 是單射函數(shù) ；|0,1| |0,1| ；又設(shè) g

26、： 0,1 0,1，gx= x21 是單射函數(shù) ； |0,1| |0,1| ；故 |0,1|=| 0,1| ；42.設(shè) A,B,C,D 是任意集合，AB，CD ，證明 A×C B× D證明： 由于 AB，所以，存在f： AB 是雙射函數(shù) ；由于 CD ，所以，存在g： C D 是雙射函數(shù) ；令 h：A× C B×D ，定義為： h< a,c>=< fa, gc>以下證明h 是單射函數(shù) ：設(shè)<a1,c1> <a2, c2>，就有以下3 種情形： a1 a2 且 c1=c2由于， f：A B 是單射函數(shù) ， 所

27、以， f a1 fa2，故 < fa1, gc1> <fa2, g c2>，即 h 是單射函數(shù) ；精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - - a1=a2 且 c1 c2類似可以證明h 是單射函數(shù) ； a1 a2，且 c1 c2，類似和可以證明h 是單射函數(shù) ；綜上所述， h 是單射函數(shù) ；以下證明h 是滿射函數(shù) ：<b,d>B× D，就 bB， dD 由于， f：A B 是滿射函數(shù) ， 所以，aA

28、是 fa=b； 由于， g： C D 是滿射函數(shù) ， 所以，cC 是 gc=d ；<a,c>A×C 使 h<a,c>=< fa, g c>=< b,d>B× D； h 是滿射函數(shù) ；故 h： A× C B×D 是雙射函數(shù) ；A× C B× D3.設(shè) N 是自然數(shù)集合，A= x|x= 5 nN ，證明 A 是可數(shù)集；n證明： 令 ai=i5，就集合A 可用列舉法表示為：A= 05,15,25,35,=a0,a1,A 是能用自然數(shù)編號的無限集，依據(jù)定理5.3.5， A 是可數(shù)集；4.設(shè) Q

29、是有理數(shù)集合，證明叉乘積Q× Q 是可數(shù)集；證明： 由例 5.13 知 Q 是可數(shù)集， Q 的元素能用自然數(shù)編號；設(shè)Q= a0,a1,a2, Q× Q=<a0,a0>,< a0,a1>,< a0,a2>,< a0,a3>,<a1,a0>,< a1,a1>,< a1,a2>,< a1 ,a3>,<a2,a0>,< a2,a1>,< a2,a2>,< a2 ,a3>,<an,a0>,< an,a1>,< a

30、n,a2>,< an ,a3>,即 Q× Q 可以表示為可數(shù)個可數(shù)集的并集；由定理5.3.8 知， Q× Q 是可數(shù)集；5.設(shè) N 是自然數(shù)集合，證明|PN|=；證明：作函數(shù)h： PN 0,1 ， h 如下定義：SPN hS=0. x0x1 x2x32 進制小數(shù) ，其中1iSxi0iS例如， h=0， hN=0.1111， h 1,4,5 =0.010011 ；明顯， h 是單射函數(shù) ； |PN| |0,1|作函數(shù)k：0,1 PN，k 如下定義：x=0. x0x1x2x30,1 x 是 2 進制小數(shù)，假如x 沒有唯獨表示，可任意挑選其中之一kx= i |x

31、i=1例如， k0=， k1= k0.1111=N，h0.010011=1,4,5 ；明顯， k 是單射函數(shù) ； |0,1| |PN|由和得 |PN|=|0,1|6.假如 A 是不行數(shù)無限集，B 是 A 的可數(shù)子集，證明AB A；證明： 明顯 A B 是無限集， B 是可數(shù)集；由于B 是 A 的子集，所以， A=A B B，從而，精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 9 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -|A|=|A B B|，由習(xí)題 5.3 的第 7 題的結(jié)論得， |A|=|A B B|=|A B|，即 AB A；7.假如 A 是任意無限集，M 是一個可數(shù)集，證明AM A證明： 假如 A 是任意可數(shù)無限集，由定理5.3.8 知，可數(shù)集的并集是可數(shù)集；AM 是可數(shù)集；得 |AM |=|A|，即 AM A假如 A 是任意不行數(shù)無限集，由本習(xí)題第8 題和定義知：|AM |=|A|+|M |=+0= |A|，即 A M A8.設(shè) A,B,D 是任意集合， A B=， AD =B D， |A|=a， |B|=b， |D|=d；定義 a b=|A B