1、第一章 數(shù)和數(shù)的運算一、概念和結論（一）整數(shù)1、整數(shù)： 自然數(shù)和0 都是整數(shù)。整數(shù)分為正整數(shù)、0 和負整數(shù)。2、自然數(shù)：我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的 0、1、2、3叫做自然數(shù)，一個物體也沒有，就用0 表示。 0 是最小的自然數(shù)，自然數(shù)包括正整數(shù)和0。3、計數(shù)單位：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億都是計數(shù)單位。 每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。 這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。4、數(shù)位：計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。5、數(shù)的整除：如果整數(shù)a除以整數(shù)b（b?0）,除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說 a能被b 整除，或者說b能整除a 。 如果數(shù)a

2、能被數(shù)b （b*0）整除，a就叫做b的倍數(shù)， b 就叫做 a 的因數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的。因為 35 能被 7 整除，所以35 是 7的倍數(shù)， 7 是 35 的因數(shù)。一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。例如： 10 的因數(shù)有1、 2、 5、 10，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是10。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。例如：3的倍數(shù)有：3、6、9、12其中最小的倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。一個數(shù)最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)相等，都是它本身。一個數(shù)的所有倍數(shù)都是它的所有因數(shù)的倍數(shù)，一個數(shù)的所有因數(shù)都是它的所有倍數(shù)的因數(shù)。6、能被2、

3、3、 5、 8、 9 整除的數(shù)的特征：能被 2 整除的數(shù)的特征：個位上是0、 2、 4、 6、 8 的數(shù)，都能被2 整除，例如：202、 480、 304。能被 5 整除的數(shù)的特征：個位上是0 或 5 的數(shù)，都能被5 整除，例如：5、 30、405。能被5 整除的數(shù)的特征：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3 整除，這個數(shù)就能被3 整除，例如：204、 48.能被9 整除的數(shù)的特征：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被9 整除，這個數(shù)就能被9 整除。例如：234、 630.能被4（或25）整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。能被8（或125）整除的數(shù)的特征

4、：一個數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個數(shù)能被8（或125）整除。能被 3 整除的數(shù)不一定能被9 整除，但是能被9 整除的數(shù)一定能被3 整除。能同時被2 和 3 整除的數(shù)，一定是6 的倍數(shù)。能同時被2 和 5 整除的數(shù)，個位一定是0（也就是10 的倍數(shù)） 。能同時被3 和 5 整除的數(shù)，一定是15 的倍數(shù)。能同時被2、 3、 5 整除的數(shù)，一定是30 的倍數(shù)；能同時被2、 3、 5 整除的最小三位數(shù)是120，最大的三位數(shù)是990。7、偶數(shù)與奇數(shù)、質數(shù)與合數(shù)：自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。能被2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)，最小的偶數(shù)是0。不能被2 整除的數(shù)叫做奇數(shù)，最小的奇數(shù)是

5、1。按因數(shù)的個數(shù)可以把自然數(shù)分為質數(shù)、合數(shù)、1 三類。只有1 和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫做質數(shù)。除了 1 和它本身之外還有別的因數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)，例如4 、 6、 8、 9、12都是合數(shù)。100 以內的質數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、 59、 61、 67、 71 、 73、 79、 83、 89、 97。質數(shù)只有兩個因數(shù)，合數(shù)至少有三個因數(shù)。1 既不是質數(shù)也不是合數(shù)。最小的質數(shù)是2，最小的合數(shù)是4，既是偶數(shù)又是質數(shù)的數(shù)只有2， 20 以內既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)只有9 和 15。分解質因數(shù)：把一個合數(shù)寫成幾個質數(shù)相乘的形式，叫做分解質因

6、數(shù)。這幾個質數(shù)叫做這個合數(shù)的質因數(shù)。例如：15=3X 5, 3和5叫做15的質因數(shù)。8、公因數(shù)與公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)，例如12 的因數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、 2、 3、 6 是 12 和 18 的公因數(shù)，6 是它們的最大公因數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6；3的倍數(shù)有3、6、9。其中，6、12是2和3的公倍數(shù)，6是2和3的最小公倍數(shù)。幾個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。兩個

7、數(shù)是互質數(shù)時，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。兩個數(shù)是倍數(shù)關系時，它們的最大公因數(shù)是較小數(shù)，最小公倍數(shù)是較大數(shù)。9、互質數(shù)：互質數(shù)：公因數(shù)只有1 的兩個數(shù)，叫做互質數(shù)?；ベ|的兩個數(shù)不一定是質數(shù)?；ベ|數(shù)的6 種特例：相鄰的兩個自然數(shù)一定是互質數(shù)，例如：15 和 16；相鄰的兩個奇數(shù)一定是互質數(shù)，例如：15 和 17； 1 和任何一個自然數(shù)一定是互質數(shù)；2 和任何一個奇數(shù)一定是互質數(shù)；兩個不同的質數(shù)一定是互質數(shù)，例如：7 和 13；一個質數(shù)與一個合數(shù)，如果它們不成倍數(shù)一定是互質數(shù)，例如：5 和 33。（二）小數(shù)1、小數(shù)的意義把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份得到的十分之幾、

8、百分之幾、千 分之幾可以用小數(shù)表示。一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小 數(shù)部分。在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。小數(shù)部分的最高分數(shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進率也是10。2、小數(shù)的分類純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25 和 0.368。帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如： 3.25 和 5.26。有限小數(shù)：小數(shù)部分的位數(shù)是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如： 4

9、1.7 和 25.3無限小數(shù)：小數(shù)部分的位數(shù)是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如：4.33 和 3.1415926 。無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：n循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.5550.033312.109109。一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99的循環(huán)節(jié)是“ 9”，0.5454的循環(huán)節(jié)是“ 54”。純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111 0.5656 ?；煅h(huán)小數(shù)：循環(huán)

10、節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。例如：3.1222 0.03333 。寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首位數(shù)字和末位數(shù)字上各點一個圓點。（三）分數(shù)1、分數(shù)的意義：把單位“1 ”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。表示其中的一份的數(shù)，叫做分數(shù)單位。在分數(shù)里，中間的橫線叫做分數(shù)線；分數(shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“ 1 ”平均分成多少份；分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。2、分數(shù)的分類：真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1。假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)，叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等

11、于1。帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分數(shù)。3、約分和通分：把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù)，叫做約分。分子分母是互質數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。把一個分數(shù)化成最簡分數(shù)的過程叫做化簡分數(shù)。把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。（四）百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù), 也叫做百分率或百分比。百分數(shù)通常用“%”來表示。百分號是表示百分數(shù)的符號。二、方法（一）數(shù)的讀法和寫法1 、整數(shù)（ 1）整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的 0 都不讀出

12、來，其它數(shù)位上有一個0 或連續(xù)的幾個0 都只讀一個零。（ 2）整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0。2、小數(shù)（ 1）小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點讀作“點”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。（ 2）小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。3、分數(shù)（ 1）分數(shù)的讀法：讀分數(shù)時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀。（ 2） 分數(shù)的寫法：先寫分數(shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫。4、百分數(shù)（ 1）百分數(shù)

13、的讀法：讀百分數(shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀。（ 2）百分數(shù)的寫法：百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。（二）數(shù)的改寫一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)需要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。1. 準確數(shù)：在萬位或億位數(shù)字后面打上小數(shù)點，省略小數(shù)末尾的0，再加上一個“萬”字或“億”字，用等號連接。例如：1254300000= 125430萬；1254300000= 12.543 億。2. 近似數(shù)：找到萬位或億位，看千位或千萬位上的數(shù)字是否滿5，滿了5 就向前一位進一，并舍去

14、尾數(shù)；沒滿5 就直接舍去尾數(shù)，同時在后面加上一個“萬”字或“億”字，用約等號連接。例如：1302487015 130249萬，1302487014 13億。（三）近似數(shù)1 、四舍五入法：比保留的位數(shù)多看一位，該位上的數(shù)字是“ 4或者比 ”“ 4小，就舍 ”去，該位上的數(shù)字是“ 5或者比 ”“ 5大，向前一位進一?！?、去尾法：無論尾數(shù)的是幾，一律舍去的湊整方法叫做“去尾法 ”。3、進一法：無論尾數(shù)是幾，舍去時，并向前進一。（四）大小比較1 、比較整數(shù)大?。合瓤次粩?shù)，位數(shù)多的那個數(shù)就大；如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大。

15、2、比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大3、比較分數(shù)的大小: 分母相同的分數(shù)，分子大的分數(shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分數(shù)大。分數(shù)的分母和分子都不相同的，先通分， 再比較兩個數(shù)的大小。4、 0 與負數(shù)的比較：0 比任何負數(shù)都大。5、比較負數(shù)的大?。涸谪摂?shù)中，數(shù)值越大的負數(shù)反而越小，數(shù)值越小的負數(shù)反而越大。（五）數(shù)的互化1 、小數(shù)化成分數(shù)：原來有幾位小數(shù)，就在1 的后面寫幾個零作分母，把原來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分子，能約分的要約分。2、 分數(shù)化成小數(shù)：用分子除以分母。能除盡的就化成

16、有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留兩位小數(shù)。3、一個最簡分數(shù)，如果分母中除了2 和 5 以外，不含有其他的質因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2 和 5 以外的質因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù)。4、小數(shù)化成百分數(shù)：把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。5、百分數(shù)化成小數(shù)：把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位。6、分數(shù)化成百分數(shù)：通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保留三位小數(shù)） ，再把小數(shù)化成百分數(shù)。7、百分數(shù)化成分數(shù)：先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成最簡分數(shù)。8、熟記常用的分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的互化：1 八2 = 0.5 = 50%=0.25 = 2

17、5%=0.75 = 75%= 0.2=20%2 八-=0.4 = 40%5=0.6 = 60%=0.8 = 80%= 0.125 = 12.5%3八-=0.375 = 37.5%8-=0.625 = 62.5% 87-=0.875 = 87.5% 8125= 0.04 =4%（六）數(shù)的整除先用能整除這個合數(shù)1、分解質因數(shù)：把一個合數(shù)分解質因數(shù)，通常用短除法的質數(shù)去除，一直除到商是質數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。2、求兩個數(shù)的最大公因數(shù)：先用這兩個數(shù)的公因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的 商是互質數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來，所得的積就是這兩個數(shù)的的最大公 因數(shù)。3、求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)：方

18、法與求最大公因數(shù)的方法相同，只是最后要把所 有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。（七）約分和通分約分：用分子和分母的公因數(shù)（1除外）同時去除分子、分母；通常要除到得出 最簡分數(shù)為止。通分：先求出原來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分數(shù)化成用這個最 小公倍數(shù)作分母的分數(shù)。三、性質和規(guī)律（一）乘法的規(guī)律一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴大或縮小若干倍，積也隨著擴大或縮小相同的倍 數(shù)；一個因數(shù)擴大若干倍，另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，積不變。一個非零數(shù)乘小于1的數(shù)，積小于這個數(shù)；一個非零數(shù)乘大于 1的數(shù)，積大于 這個數(shù)；（二）乘法的規(guī)律商不變的規(guī)律：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商

19、不變。除數(shù)不變，被除數(shù)擴大或縮小若干倍，商也隨著擴大或縮小相同的倍數(shù)；被除數(shù)不變，除數(shù)擴大或縮小若干倍，商反而縮小或擴大相同的倍數(shù)。當被除數(shù)不為0 時，除數(shù)大于1，商反而小于被除數(shù)；除數(shù)小于1，商反而大于被除數(shù)。（三）小數(shù)的性質在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零，小數(shù)的大小不變。近似數(shù)末尾的 0 不能去掉。（四）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化小數(shù)點向右移動一位，原來的數(shù)就擴大10 倍；小數(shù)點向右移動兩位，原來的數(shù)就擴大100倍小數(shù)點向左移動一位，原來的數(shù)就縮小10 倍；小數(shù)點向左移動兩位，原來的數(shù)就縮小100倍小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0"補足。（五） 分數(shù)的基本性質：分

20、數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分數(shù)的大小不變。四、四則運算的意義（一）整數(shù)四則運算1、整數(shù)加法：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分數(shù)，和是總數(shù)。加數(shù)+加數(shù)=和一個加數(shù)=和另一個加數(shù)2、整數(shù)減法：已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分數(shù)。加法和減法互為逆運算。被減數(shù)-減數(shù)=差被減數(shù)=減數(shù)+差3、整數(shù)乘法：求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和

21、叫做積。0和任何數(shù)相乘都得0, 1和任何數(shù)相乘都得任何數(shù)。因數(shù)X因數(shù)=積 積+一個因數(shù)=另一個因數(shù)4、整數(shù)除法：已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。乘法和除法互為逆運算。在除法里，0 不能做除數(shù)。因為0 和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個數(shù)除以0，均得不到一個確定的商。被除數(shù)+除數(shù)=商除數(shù)=被除數(shù)+商被除數(shù)=商>< 除數(shù)5、乘方：求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如 4X4=42=16, 4X4X4=4364。（二）小數(shù)四則運算小數(shù)加法、減法、小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)除法的意義與整數(shù)相同。一個數(shù)

22、乘純小數(shù)的意義是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾是多 少。（三）分數(shù)四則運算分數(shù)加法、減法、分數(shù)乘整數(shù)、分數(shù)除法的意義與整數(shù)相同。3333分數(shù)乘分數(shù)的意義是求這個數(shù)的幾分之幾是多少。如 3 X-表示求3的0 的5 135 13多少。乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。五、簡便運算的依據(jù)（一）運算定律1、加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。2、加法結合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把 后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加它們的和不變，即 a+b+c=a+（b+c）。3、乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即axb=bx a。

23、4、乘法結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把 后兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，它們的積不變，即（axb）xc=ax （bxc）。5、乘法分配律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘 再把兩個積相加，即（a+b） xc=ax c+bx c。兩個數(shù)的差與一個數(shù)相乘也可以：（ab） xc=ax cbXc（二）加數(shù)或減數(shù)接近整數(shù)（或整十、整百數(shù)）的簡便計算：多加就減；多減就加；少減就再減。（三）去括號（或添括號）法則。（用于同級運算中）在加、減法中：括號前面是加號，去掉括號不變號；括號前面是減號，去掉括 號要變號。加變減，減變加。在乘、除法中：括號前面是乘號

24、，去掉括號不變號；括號前面是除號，去掉括 號要變號，乘變除，除變乘。（四）減法的性質：從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去這幾個 數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-（b+c）。（五）積不變的性質：兩個因數(shù)，一個擴大若干倍，另一個縮小相同的倍數(shù)，積不變。ax b=（a x c） x （ b +c）（六）除法的性質：一個數(shù)連續(xù)除以兩個數(shù)，可以用這個數(shù)除以這兩個數(shù)的乘積。即 a+b+c=a+（b x c）(七)商不變的性質：被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商不變。a+b=(a + c) + (b + c) a+b=(a x c) +(b x c)六、運算法則1、整數(shù)加法：相同數(shù)位對齊，

25、從個位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進一。2、整數(shù)減法：相同數(shù)位對齊，從個位減起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。3、 整數(shù)乘法：先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對齊哪一位，哪一位上乘得的積滿幾十就向前進幾，然后把各次乘得的數(shù)加起來。4、整數(shù)除法：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。5、小數(shù)乘法：先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看

26、因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點；如果位數(shù)不夠，就用“0”補足。6、除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法：先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。7、除數(shù)是小數(shù)的除法：先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，被除數(shù)的小數(shù)點也同時向右移動相同的位數(shù)(位數(shù)不夠的補“0”)，然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進行計算。8、同分母分數(shù)加減法: 只把分子相加減，分母不變。9、異分母分數(shù)加減法: 先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。10、分數(shù)乘法: 分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分數(shù)乘分數(shù)，

27、用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。所得的積一般要寫成最簡分數(shù)。12、分數(shù)除法: 甲數(shù)除以乙數(shù)(0 除外) ，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。七、混合運算的運算順序第一級運算：加法和減法。第二級運算：乘法和除法。沒有括號的混合運算: 同級運算從左往右依次運算；有兩級運算的先算乘、除法，后算加減法。有括號的混合運算: 先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。第二章 解決問題一、一般應用題常用數(shù)量關系1、單價X數(shù)量=總價總價+數(shù)量=單價總價+單價=數(shù)量2、平均數(shù)問題算術平均數(shù)：數(shù)量之和+數(shù)量的個數(shù) =算術平均數(shù)。加權平均數(shù)：（部分平均數(shù)X權數(shù)）的總和+ （權數(shù)的和） =加權平均數(shù)。差額平

28、均數(shù)：（大數(shù)-小數(shù)）+ 2=小數(shù)應得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的和+總份數(shù)=最大數(shù)應給數(shù)最大數(shù)與個數(shù)之差的和+總份數(shù)=最小數(shù)應得數(shù)。3、行程問題（ 1）一般行程問題速度x時間=路程；路程+時間=速度；路程+速度=時間。（ 2）反向行程問題：分為“相遇問題”（二人從兩地出發(fā)，相向而行）和“相離問題”（兩人背向而行）兩種。（速度和）x相遇（離）時間=相遇（離）路程；相遇（離）路程+ （速度和）=相遇（離）時間；相遇（離）路程+相遇（離）時間=速度和。（ 3）同向行程問題（追及問題）追及（拉開）路程+ （速度差）=追及（拉開）時間； 追及（拉開）路程+追及（拉開）時間=速度差；（速度差）x追及（拉開）時間=

29、追及（拉開）路程。4、植樹問題（ 1）在非封閉線路的兩端都要植樹株數(shù)=段數(shù)+ 1=全長+株距1全長=株距x （株數(shù)1） 株距=全長+（株數(shù)1）（ 2）在非封閉線路的一端要植樹, 另一端不要植樹株數(shù)=段數(shù)=全長+株距全長=株距x株數(shù)株距=全長+株數(shù)（ 3）在非封閉線路的兩端都不要植樹株數(shù)=段數(shù)1=全長+株距1全長=株距x （株數(shù)+1）株距=全長+ （株數(shù)+ 1）（ 4）封閉線路上植樹株數(shù)=段數(shù)=全長+株距全長=株距X株數(shù)株距=全長+株數(shù)5、列車過橋問題（橋長+列車長）+速度=過橋時間；（橋長+列車長）+過橋時間=8度；速度X過橋時間=橋、車長度之和。6 .單產量x數(shù)量=總產量總產量+數(shù)量=單產量

30、總產量+單產量=數(shù)量7 . 一倍數(shù)X倍數(shù)=幾倍數(shù)幾倍數(shù)+倍數(shù)=一倍數(shù)幾倍數(shù)+一倍數(shù)=倍數(shù)8 .較小數(shù)+相差數(shù)=較大數(shù)較大數(shù)-相差數(shù)=較小數(shù)較大數(shù)-較小數(shù)=相差數(shù)9 .和差問題：較大數(shù)=（和+差）+ 2較小數(shù)=（和差）+210 .每份數(shù)x份數(shù)=總數(shù)量總數(shù)量+份數(shù)=每份數(shù)總數(shù)量+每份數(shù)=份數(shù)11 .圖上距離+實際距離=比例尺圖上距離=實際距離X比例尺實際距離=圖上距離+比例尺二、分數(shù)應用題常用的數(shù)量關系1 求比較量：單位“1”的量X比較量對應的分率=比較量單位“1”的量X多的分率=多的數(shù)量單位“1”的量X少的分率=少的數(shù) 量總之，單位“1”的量乘什么量對應的分率就等于什么量。2求單位“1”的量：比

31、較量+比較量對應的分率=單位“ 1”的量多的數(shù)量+多的分率=單位“ 1”的量少的數(shù)量+少的分率=單位“ 1的量3求分率：比較量+單位“ 1”的量=比較量以應的分率少的數(shù)量+單位“ 1”的量=少的分率多的數(shù)量+單位“ 1”的量=多的分率注意：甲數(shù)比乙數(shù)多的分率？乙數(shù)比甲數(shù)少的分率。（因為單位“1”不同。）4工程問題：工作時間=工作總量+工作效率合作工效=合作總量+合作時間小麥的出粉率=面粉的重量+小出勤率=實到人數(shù)+應到人數(shù)工作總量=工作效率X工作時間 工作效率=工作總量+工作時間 合作總量=合作工效X合作時間 合作時間=合作總量+合作工效5、百分率發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)+試驗種子數(shù)麥的重量應納稅額

32、與各種收入的（銷售額、營業(yè)額產品的合格率=合格的產品數(shù)+產品總數(shù) 6、 納稅 ： 繳納的稅款叫應納稅款。的比率叫做稅率。應納稅款=收入X稅率7、利息：存入銀行的錢叫做本金。取款時銀行多支付的錢叫做利息。利息與本金的比值叫做利率。利息=本金X年利率年數(shù)稅后利息=利息X （ 1利息稅率）本息=本金+利息8、利潤與折扣問題折扣率=賣價+原價 賣價=原價X折扣率減價=原價X （1 -折扣率） 成本=賣價+（1 -賠率）成本=賣價+（1+賺率）賣價=成本X （1+賺率）賣價=成本X （1 -賠率）漲跌金額=本金X漲跌百分比9、濃度問題溶質的重量+溶劑的重量=溶液的重量溶質的重量+溶液的重量X 100%=

33、濃度溶液的重量X濃度=溶質的重量溶質的重量+濃度=溶液的重量第三章 度量衡一、長度單位1、常用的長度單位：千米 （km） 米 （m） 分米 （dm） 厘米 （cm） 毫米 （mm）2、長度單位之間的換算1kmn= 1000ml= 100000cm 1m = 10dm=100cm=1000mm 1dm = 10cm1cmn= 10mm二、面積1、面積：物體所占平面的大小。立體物體的表面的多少一般稱表面積。2、常用的面積單位：平方厘米、平方分米、平方米、公頃、平方千米3、面積單位之間的換算1平方厘米 =100平方毫米1 平方分米=100平方厘米1 平方米 =100 平方分米1平方米=10000平方

34、厘米1公頃=10000平方米 1 平方公里= 100公頃三、體積和容積（一）什么是體積、容積1、體積，就是物體所占空間的大小。2、容積，箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。（二）常用單位1、體積單位：立方米、立方分米、立方厘米2、容積單位：升、 毫升（三）單位換算1、體積單位：1 立方米=1000立方分米1 立方分米=1000立方厘米2、容積單位：1 升 =1000毫升 1 升 =1 立方米1 毫升 =1 立方厘米四、質量（一）質量，就是表示表示物體有多重。（二）常用單位：噸 t 千克 kg 克 g（三）常用換算：1 噸 =1000千克1 千克=1000克五、時間（一）常

35、用單位：世紀、 年 、 月 、 日 、 時 、 分、 秒（二）單位換算平年 1 年 =365天閏年 1 年 =366天（年份是100 的倍數(shù)，如果能被400 整除的，那一年是閏年；年份數(shù)不是100 的倍數(shù)，如果能被4 整除的，那一年是閏年）1世紀二 100年1 年=4個季度 1 天=24小時 1 小時=60分 1分=60秒 1時=3600秒一、三、五、七、八、十、十二月是大月，有31 天四、六、九、十一是小月，有30 天平年 2 月有28 天閏年 2 月有29天六、貨幣（一）常用單位：元、角、分（二）單位換算： 1 元 =10角 1 角 =10分七、名數(shù)的改寫較大的單位叫做高級單位；較小的單位

36、叫做低級單位。改寫方法：高級單位X進率=低級單位 低級單位+進率=高級單位第四章 代數(shù)初步知識一、用字母表示數(shù)（一）用字母表示數(shù)的意義和作用用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果。（二）用字母表示數(shù)的寫法數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“. ”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。當“ 1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。(三)用字母表示常見的數(shù)量關系、運算定律和性質、幾何形體的計算公式1、常見的數(shù)量關系路程用 s 表示， 速度 v 用表示， 時間用 t 表示， 三者之間的關系：s=vt

37、v=s+ t t=s + v總價用 a 表示，單價用b 表示，數(shù)量用c 表示，三者之間的關系: a=bc b=a+ c c=a + b2、運算定律和性質加法交換律：a+b=b+a 加法結合律：( a+b)+c=a+(b+c) 減法的性質：a-(b+c) =a-b-c乘法交換律：ab=ba 乘法結合律：( ab)c=a(bc)乘法分配律：( a+b)c=ac+bc3、用字母表示幾何形體的公式長方形的長用a 表示， 寬用 b 表示， 周長用 c 表示， 面積用 s 表示。 c=2(a+b)s=ab正方形的邊長a 用表示，周長用c 表示，面積用s 表示。c=4a s= a 2平行四邊形的底a 用表示

38、，高用h 表示，面積用s 表示。 s=ah三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。 s=ah+2梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s 表示。s=(a+b)h +2圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長用c表示，面積用s表示。 c=兀d=2 2 兀r s= 兀r長方體的長用a 表示，寬用b 表示，高用h 表示，表面積用s 表示，體積用v表示。v=sh=abh s=2(ab+ah+bh)正方體的棱長用a 表示， 底面周長c 用表示， 底面積用s 表示， 體積用 v 表示。s=6a2 v=a 3圓柱的高用h 表示，底面周長用c 表示，底面積用s 表示，體積用v

39、表示。 s側 =ch s 表 =s 側 +2s 底 v=sh圓錐的高用h表示，底面積用s表示，體積用v表示。v=sh +34、將數(shù)值代入式子求值把具體的數(shù)代入式子求值的書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。二、簡易方程(一)方程和方程的解1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。2、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。3、解方程：求方程的解的過程叫做解方程。（二）解方程的依據(jù)1、四則運算的基本關系式一個加數(shù)=和一另一個加數(shù) 被減數(shù)=減數(shù)+差減數(shù)=被減數(shù)一差一個因數(shù)=積+另一個因數(shù) 被除數(shù)=商>< 除數(shù)除數(shù)=被除

40、數(shù)+商2、等式的性質：等式的兩邊同時加上或減去、同時乘或除以一個相同的數(shù)（1不作除數(shù)），所得的結果仍然是等式。3、移項（從等號的左邊移到右邊或從右邊移到左邊）：移加作減，移減作加， 移乘作除，移除作乘。4、比例的基本性質（解比例的依據(jù)）：在比例中，兩內項的積等于兩外項的積。（三）列方程解應用題1、列方程解應用題：用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。2、列方程解答應用題的步驟： 弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；找出題中的 數(shù)量之間的相等關系；列方程，解方程；檢查或驗算，寫出答案。三、比和比例（一）比的意義和性質1、比的意義：兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。“：”是比號，讀作“比”。比 號前

41、面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的 商，叫做比值。比值可以是分數(shù)，也可以是小數(shù)和整數(shù)。除法中的被除數(shù)相當于分數(shù)的分子，相當于比的前項；除法中的除數(shù)相當于分 a數(shù)的分母，相當于比的后項；即 a+b=b =a：b（b #0）。若不能作除數(shù)，分數(shù)的分母、比的后項都不能為零。2、比的基本性質：比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值 不變。3、求比值和化簡比求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是一個數(shù)值，可以是整數(shù)、小 數(shù)或分數(shù)。根據(jù)比的基本性質可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的前、后項是互質數(shù)。4、比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。比例尺

42、=圖上距離：實際距 離求比例尺；先統(tǒng)一單位，再寫出圖上距離與實際距離的比，將比的前項或后項 化成1。比例尺有線段比例尺和數(shù)字比例尺。線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的 線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。數(shù)字比例尺：圖上距離與實際距離的單位相同，比的前項或后項是1。5、按比例分配：在農業(yè)生產和日常生活中，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比 來進行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后再用乘法求出各部分的量是多 少。（二）比例的意義和性質1、比例的意義：表示兩個比相等的式子叫做比例。組成比例的四個數(shù)，叫做比 例的項。兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做

43、內項。2、比例的性質：在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。3、解比例：根據(jù)比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這 個數(shù)比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。4、正比例和反比例（1）成正比例的量兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。用字母表示：y 二k（一定）（兩數(shù)相除，商一定，這兩個數(shù)成正比例x關系）（2）成反比例的量兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系

44、叫做反比例關系。用字母表示：xXy=k（一定）（兩數(shù)相乘，積一定，則這兩個數(shù)成反比例）第五章幾何初步知識一、線和角（一）線直線：沒有端點；無限長；過一點可以畫無數(shù)條直線，過兩點只能畫一條直線。射線：射線只有一個端點；無限長。線段：線段有兩個端點，它是直線的一部分；有限長；兩點的連線中，線段為 最短。平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。兩條平行線之間的垂 線長度都相等。垂線： 兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線, 它們的交點叫做垂足。從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。（二）角從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。

45、這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。角的大小與兩條邊叉開的大小有關，與邊的長短無關。角的分類：銳角： 小于90°的角叫做銳角。直角： 等于90°的角叫做直角。鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合。周角是 360°。二、平面圖形（一）長方形1、特征：對邊相等，4 個角都是直角的四邊形。2、計算公式：c=2（a+b） s=ab（二）正方形1、特征：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。2、計算公式：c=4a s=a 2（三）三

46、角形1、特征：由三條線段圍成的圖形。內角和是180 度；三角形具有穩(wěn)定性；三角形的兩邊之和大于第三邊；三角形有三條高；在一個三角形中至少有2 個銳角。從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，一個三角形有三條高。2、計算公式s=ah+23、分類按角分：銳角三角形：三個角都是銳角。直角三角形：有一個角是直角。鈍角三角形：有一個角是鈍角。按邊分：不等邊三角形：三條邊長度不相等。等腰三角形：兩條底邊相等；兩個底角相等；等腰直角三角形的兩個銳角各為45 度。等邊三角形：三條邊長度都相等，三個內角都是60 度。（四）平行四邊形1、特征：兩組對邊分別平行的四邊形。平行四邊

47、形的對邊相等，對角相等。平行四邊形容易變形。2、計算公式：s=ah（五）梯形1、特征：只有一組對邊平行的四邊形。等腰梯形有一條對稱軸。2、公式 s=（a+b）h +2（六）圓1、特征圓是平面上的一種曲線圖形。圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用 r表示。在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。通過圓心并且兩端都 在圓上的線段叫做直徑。一般用 d表示。同一個圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都 相等。同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。兩端都在圓上的線段，直徑最長。2、圓的畫法：把圓規(guī)的兩腳

48、分開，定好兩腳間的距離（即半徑）；把有針尖的 一只腳固定在一點（即圓心）上；把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉一周，就畫出一個圓。3、圓的周長：圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。圓的周長和直徑的比值叫做圓 周率。用字母兀表不。4、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。 do5、計算公式： d=2r r= 2 c= 兀d c=2 兀r s= 兀r周長相等的兩個圓，面積一定相等。周長相等的平面圖形中，圓的面積最大。面積相等的平面圖形中，圓的周長最小。圓的半徑擴大（或縮小）若干倍，直徑和周長也隨著擴大（或縮小）相同的倍 數(shù)；面積擴大（或縮小）的倍數(shù)是半徑擴大（或縮?。┍稊?shù)的平方數(shù)。在一個正方形里畫一個最大的圓，

49、正方形的邊長就是圓的直徑；在一個長方形 里畫一個最大的圓，長方形的寬就是圓的直徑。在一個圓里畫一個最大的正方形， 正方形的面積等于圓的半徑的平方乘 2。圓的周長和半徑（或直徑）成正比例。圓的面積和半徑不成比例；圓的面積和 半徑的平方成正比例。（七）半圓半圓面積等于圓面積的一半；半圓的周長等于圓周長的一半加直徑。s=兀2 + 2 c=兀 r +2r（八）扇形一條弧和經過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧 AB'。 頂點在圓心的角叫做圓心角。在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關。在不同的圓中， 扇形的大小與圓的半徑和這個扇形的圓

50、心角的大小有關。（九）環(huán)形1、特征：由兩個半徑不相等的同心圓相減而成。2、計算公式：s=兀（R2-r2）（十）軸對稱圖形如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸 對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。正方形有4條對稱軸；長方形有2條對稱軸；等腰三角形有1條對稱軸；等邊 三角形有3條對稱軸；等腰梯形有1條對稱軸；菱形有4條對稱軸；一般的平行四 邊形不是軸對稱圖形；圓有無數(shù)條對稱軸，圓的直徑所在的直線是對稱軸；扇形有 一條對稱軸；環(huán)形有無數(shù)條對稱軸；半圓有 1條對稱軸。三、立體圖形（一）長方體1、特征六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形），相對的面面積相等。兩個 面相交的邊叫做棱，一共有12條棱，相對的4條棱長度相等。 三條棱相交的點叫 做頂點，一共有8個頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。長方體6個面的總面積，叫做它的表面積。2、計算公式：s=2（ab+ah+bh） V=sh V=abh（二）正方體1、特