1、北師大版教材（必修1必修5及選修2-1）常用公式及知識(shí)點(diǎn)記憶檢測(cè)（必修1必修5及選修2-1）目錄必修13必修27必修310必修413必修518選秀2-122后記28必修11 .集合的基本運(yùn)算A B;0的解，A即方程的解集;1.1. 合的包含關(guān)系：1仁七卜。三八；3 .識(shí)記重要結(jié)論：AIBAAB;AUBACuAUBCuAICuB；CuAIBCuAUCuB4 .對(duì)常用集合的元素的認(rèn)識(shí)Axx23x40中的元素是方程x23x4Bxx2x60中的元素是不等式x2x60的解，B即不等式的解集；Cyyx22x1,0x5中的元素是函數(shù)yx22x1,0x5的函數(shù)值，C即函數(shù)的值域；Dxylog2x22x1中的元

2、素是函數(shù)ylog2x22x1的自變量，D即函數(shù)的定義域；Mx,yy2x3中的元素可看成是關(guān)于x,y的方程的解集，也可看成以方程y2x3的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，M為點(diǎn)的集合，是一條直線。5 .集合a1,a2,L,an的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n-1個(gè)；非空子集有2n-1個(gè);0不等價(jià)，前者是后者的非空的真子集有2n-2個(gè).6 .方程f(x)0在(左*2)上有且只有一個(gè)實(shí)根，與f(k1)f(k2)一個(gè)必要而不是充分條件.特別地，方程ax2 bx c 0(a0)有且只有一個(gè)實(shí)根在(k1,k2)內(nèi)，等價(jià)于 f(k)f(k2) 0,或 f(k1) 0 且 kb2ak1 k22，或 f(k2)0 且k1k22

3、b2ak2 .7 .閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值問(wèn)題：b一次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在x處及區(qū)間的2a兩端點(diǎn)處取得，具體如下：(1)當(dāng)a>0時(shí)，若xp,q,則2ab、二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有 最值，求最值問(wèn)題用“兩看法” 一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱軸與 所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系。f(x)minf(-),f(x)maxmaxf(p),f(q)；2agbxp,q,f(x)maxmaxf(p),f(q),2af(x)minminf(p),f(q).(2)當(dāng)a<0時(shí)，若xb一一一2ap,q,則fminminf(p),f(q)，若x堇P,q，則f(x)maxmaxf(p

4、),f(q),f(x)minminf(p),f(q).8 . a f xmaxmin9 .由不等導(dǎo)相等的有效方法：若a b且a b,則 a b.1.函數(shù)的單調(diào)性設(shè)x1x2a,b,x1x2那么(x1x2)f(x1)f(x2)0Ux)-也)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；xix2(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).xix2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0,則f(x)為增函數(shù)；如果f(x)0,則f(x)為減函數(shù).單調(diào)性性質(zhì)：增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；注：上述結(jié)果中

5、的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號(hào)左邊兩個(gè)函數(shù)定義域的交集。2 .復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)(增函數(shù))，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)f(x)g(x)也是減函數(shù)(增函數(shù))；小結(jié)：同增異 減。研究函數(shù) 的單調(diào)性，定 義域優(yōu)先考 慮，且復(fù)合函 數(shù)的單調(diào)區(qū)間 是它的定義域 的某個(gè)子區(qū) 間。對(duì)于復(fù)合函數(shù)yfg(x)的單調(diào)性，必須考慮yf(u)與y f uu g xy f g x增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)ug(x)的單調(diào)性，從而得出yfg(x)的單調(diào)性。3 .函數(shù)的奇偶性(注：奇偶函數(shù)大前提,：定義域必須去王原點(diǎn)對(duì)稱)若f

6、(x)是偶函數(shù)，則fxfxfx；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間。定義域含零的奇函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)(可用于求參數(shù))；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間。fx判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：fxfx0或者1fx0奇偶函數(shù)的圖象特征：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anXnan31La0的奇偶性多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為

7、零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.4 .函數(shù)yf(x)的圖象的對(duì)稱性：函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).5 .兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對(duì)稱.(2)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線y0(即x軸)對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)yax和ylogax的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.將曲線f (x, y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線7 .互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系：f(a) b f 1(b)8 .幾個(gè)常見(jiàn)抽象函數(shù)模型所對(duì)應(yīng)的具體函數(shù)模型(1)正比例函數(shù) f(x) kx,

8、 f(x y) f (x) f(y), f(1)(2)指數(shù)函數(shù) f (x) ax, f (x y) f (x) f (y), f (x y)一 x(3)對(duì)數(shù)函數(shù) f(x) logax, f(xy) f(x) f(y), f(-) yf(a) 1(a 0,a 1)(4)帚函數(shù) f (x) x , f(xy) f (x) f (y), f (1).余弦函數(shù)f (x) cosx，正弦函數(shù)g(x) sin x , f (f(0) 1.c2311 ,一9 .對(duì)于 yx,yx,yx,yx2,y-的圖象， xf (x a, y b) 0 的圖象.a.k.f (x) f(y), f(1) a 0. f(x)

9、f(y),.x y) f (x)f (y) g(x)g(y)了解它們的變化情況.如石卜b + S d e6.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)y f(x a) b的圖象；若圖:10 .幾個(gè)函數(shù)方程的周期yfx對(duì)xR時(shí)，f(x)f(xa),則f(x)的周期為a的周期函數(shù)fxafxa或fx2afxa0恒成立，則yfx是周期為2a的周期函數(shù)若y f x是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x a對(duì)稱，則是周期為2 a的周期函數(shù)若y f x是奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線xa對(duì)稱，則是周期為4 a的周期函數(shù)1一yfx對(duì)xR時(shí)，f(x)f(xa)0,或f(xa)(f(x)0),則yfxf(x)的周期2

10、a的周期函數(shù)11 .函數(shù)圖像變換f x圖象向上（b>0）或向下（b<0）移I b |單位 向左（I >0）或向右（I <0）移I I I單位,1J點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 A倍1橫坐標(biāo)不變點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1/ 3倍-，縱坐標(biāo)不變y f x b圖象y f x 圖象y= Af x圖象y = f(wx)圖象m12 .分?jǐn)?shù)指數(shù)哥：(1)ann/a'm(a0,m,nN,且n1)m1(2)anm(a0,m,nN,且n1).an13.根式的性質(zhì)：（1）（嗚）n a；（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Va7 a ；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),na,a0a1a|a,a0ars(a 0, r,s R);14.

11、有理指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)arasars(a0,r,sR);(2)(ar)sR).rrr(ab)ab(a0,b0,r15 .指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式:loga N bab N (a 0,a 1,N0).16 .對(duì)數(shù)的換底公式：lOgaNlogm N ( log ma0,且 a 1, m 0,且 m 1, N 0).推論 log. bn logab( a m17 .對(duì)數(shù)有關(guān)性質(zhì)：0,且 a 1, m, n0 ,且 m 1, n1, N 0).(1)logab的符號(hào)有口訣“同正異負(fù)”記憶;logaa1；lOga10；a對(duì)數(shù)恒等式:alogaN Na 0,a 1, N 0(5) loga bm mlog a

12、 b ；設(shè)函數(shù)f(x)2log m(ax bx c)(a 0),記b2 4ac.若f (x)的定義域?yàn)镽 ,則0,且 0;若f(x)的值域?yàn)镽,則a 0,且0.對(duì)于a0的情形，需要單獨(dú)檢18.對(duì)數(shù)函數(shù)ylogaxa0,a1的圖像和性質(zhì)分析:a的符號(hào)a10a1圖像y之yjL1Vo,一orxII定義域0,值域,單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)過(guò)定點(diǎn)1,0函數(shù)值的分布情況0x1時(shí)，y0；x1時(shí)，y00x1時(shí)，y0；x1時(shí)，y0指數(shù)函數(shù)yaxa0,a1的圖像和性質(zhì)分析:a的符號(hào)a10a1圖像y11/一yi_oxJxo定義域,值域0,單調(diào)性在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),過(guò)定點(diǎn)0,1函

13、數(shù)值的分布情況x0時(shí)，y1；x0時(shí)，0y1x0時(shí)，0y1；x0時(shí)，y119.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y,有yN(1p)x.必修2§立體幾何初步1 .常用公理和定理公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2:過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.一個(gè)平面

14、內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直.一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行.兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另2 .三余弦定理（最小角定理：立平斜公式）設(shè)AB與平面”所成的角為i,AC是“內(nèi)的任一條直線，且AC與AB的射影AB所成的角為2,圖3 .面積射影定理：S平面多邊形及其射影的面積分別是S、S ,它們所在平面所成銳二面角的為co

15、s）.如圖。4 .已知：長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為222,因止匕有cos cos cos線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為222cos cos cos 2。（線線面 12）1;若長(zhǎng)方體的體對(duì)角A圖5 .棱錐的平行截面的性質(zhì):如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方） 于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.）;相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等4 Q6 .球的半徑是 R,則其體積V R3,其表面積32S 4 R ；

16、球的半徑（R）,截面圓半徑（r ）,球 心到截面的距離為（d）構(gòu)成直角三角形，因而有關(guān)系：rR2 d2 ,它們是計(jì)算球的關(guān)鍵所在，如圖圖7 .球的組合體（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)（2） 球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)8.柱體、錐體的體積1 1 一V柱體 -Sh （ S是柱體的底面積、h是柱體的圖）;V錐體 Sh （ S是錐體的底面積、h是3 3錐體的高）.解析幾何初步aB與AC所成的角為.貝Ucoscos1cos2.如右圖。1.斜率公式ky2一yl

17、(P1(x1,y1).P2(x2,y2),x1x2)tan；直線ykxb的x2x12：一般兩點(diǎn)斜截距II一個(gè)方向向量為1,k2 .直線的五種方程(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)yik(xx1)(直線l過(guò)點(diǎn)Pi(x1，yi),且斜率為k).(2)斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).(3)兩點(diǎn)式-yy-xx1(yiy2)(R(。yi)、P2(x2,y2)(xx2).y2y1X2xxV(4)截距式一11(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b0)ab(5) 一般式AxByC0(其中A、B不同日為0).3 .兩條直線的平行和垂直若l1:yk1xb1,l2:yk2x2,則有l(wèi)1|l2k1k2,b1b2；11l2k1

18、k21.(2)若lAxB1yC10,12:A2xB2yC20,且A、A2、B、R都不為零， I1III2A 旦AB2l2A1A2B1B20;(3)直線1：AxByC0中，若A0,B0,則1垂直于y軸廠若A-RB-0-,則1垂；有誰(shuí)垂(吹)誰(shuí)直于x軸。4 .四種常用直線系(具有共同特征的一族直線)方程(1)定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F0(x0,y0)的直線系方程為yy0k(xx0)(除直線xx°),其中k是待定的系數(shù)；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)的直線系方程為A(x%)B(yy0)0,其中A,B是待定的系數(shù).(2)共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線11：AxB1yC10,12:A2xB2yC20的

19、交點(diǎn)的直線系方程為(AxB1yC1)(A?xB2yC2)0(除。，其中入是待定的系數(shù).(3)平行直線系方程：直線ykxb中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與0(0),入是參變量.直線AxByC0平行的直線系方程是AxBy(4)垂直直線系方程：與直線AxByC0(AW0,BW0)垂直的直線系方程是BxAy0,入是參變量.5 .點(diǎn)到直線的距離d1Ax0號(hào)By02C!(點(diǎn)P(x0,y。)，直線l：AxByC0).、AB6 .圓的三種方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2；(2)圓的一般方程222_2xyDxEyF0(DE4F>0).(3)圓的直徑式方程(xXi)(xx2)(

20、yy)(yy2)0(圓的直徑的端點(diǎn)是A(x1,y)、B%,y2).7.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)P(x0,y°)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系有三種若dJ(a%)2(by。)2,則d r 點(diǎn)P在圓外；d r點(diǎn)P在圓上；d r 點(diǎn)P在圓內(nèi).8.直線與圓的位置關(guān)系：直線Ax By C 0與圓(x a)2 (y b)2 r2的位置關(guān)系有三種：d r 相離0; d r 相切0; d r 相交 0.其中AaBbC22、A2B29.兩圓位置關(guān)系的判定方法：設(shè)兩圓圓心分別為O,Q,半徑分別為ri,2,O1O2ddr1r2外離4條公切線；dr1r2外切3條公切線r1 r2 d r1 r2相交2條公切

21、線；drir2內(nèi)切1條公切線;10.圓的切線方程：已知圓x2 y20dr1r2內(nèi)含無(wú)公切線.r2.過(guò)圓上的F0(x0,y°)點(diǎn)的切線方程為2X0Xy°yr11.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)及距離公式:3.設(shè)A(x,%,4),B(x2,y2,Z2),則ABUULUABULUUUU2OBOA2V2y12Z2Z1§統(tǒng)計(jì)抽樣方法主要有：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(抽簽法、隨機(jī)樣數(shù)表法)常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí)，它的主要特征是從總體中逐個(gè)抽??；系統(tǒng)抽樣，常常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征就是均衡成若干部分，每一部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異。它們的

22、共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等。每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與樣本容量與總體容量的比相等或相近。即：或者蠅b分n取的個(gè)體數(shù)樣本容量衛(wèi)n部汆山個(gè)體總數(shù)總體中的個(gè)體數(shù)2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的比較類另IJ共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)(1)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被從總體中逐個(gè)抽取總體個(gè)數(shù)較少抽樣抽到的可能性相等將總體均分成幾部分，按預(yù)先制定的規(guī)則在起始部分樣時(shí)采用簡(jiǎn)總體個(gè)數(shù)較多系統(tǒng)(2)每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣在各部分抽取隨機(jī)抽樣抽樣分層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取異明顯的幾部分組成3 .總體分布的估計(jì)：用樣本估計(jì)總

23、體的方法就是把樣本的頻率作為總體的概率。一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確，要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖4 .用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征中位數(shù)：算出來(lái)可避免極端數(shù)據(jù)，代表著數(shù)據(jù)總體的中等情況。(如果總數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)的話，按從小到大的順序，取中間的那個(gè)數(shù)；如果總數(shù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)的話，按從小到大的順序，取中間那兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))眾數(shù)：一般來(lái)說(shuō)，一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。例如：1,2,3,3,4的眾數(shù)是3。但是，如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上個(gè)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)都是最多的，那么這幾個(gè)數(shù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。例如：1,2,2,3,3,4的眾數(shù)是2和3。還有，如果所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣

24、，那么這組數(shù)據(jù)沒(méi)有眾數(shù)。例如：1,2,3,4,5沒(méi)有眾數(shù)。樣本平均數(shù)：Xx1x2x3xn；no1_2_2_2_22樣本萬(wàn)差：sKxX2xX3x.Xnxn樣本數(shù)據(jù)X1,X2，Xn的標(biāo)準(zhǔn)差SJ1(XiX)2(X2X)2L(XnX)2? bx a系數(shù)公式5 .回歸直線y?bXa必過(guò)樣本平均點(diǎn)X,y，其中b為斜率，如b0,則變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，變量y平均減少1個(gè)單位；線性回歸方程方程為nXi Yii 1n2Xi i 1nx gy-2nxbx 。畫出計(jì)算22 42622 一 、.100的程序框圖，如圖;對(duì)圖，若輸入1一，1,則執(zhí)行程序后輸出2圖y的值為:圖圖 某城市缺水問(wèn)題比較 突出，為了制定節(jié)水管

25、 理辦法，對(duì)全市居民某 年的月均用水量進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中 4 位居民的月均用水量分別為：x1, , X4 （單位:噸）。根據(jù)如圖所示 的程序框圖，若Xi,X2, X3,X4 分別為 1 ,1.5 , 1.5 , 2,則輸出 的結(jié)果s為如果執(zhí)行下面的程序 框圖，如圖，輸入N=5,則輸出的數(shù)等于 閱讀下面的程序框圖 ，運(yùn)行相應(yīng)的程序后， 則輸出S的值為.1.等可能性事件的概率:P(A) m n事件A包含的基本事伊黎m、試驗(yàn)的基1事件由嫖 概n公式）P (A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體 積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體-（幾何概率公式） 積）必修4角函數(shù)1.終邊相同的角的集合：2

26、k,kZ；角度與弧度的換算：o180orad,1orad,1rad180；1801 1弧長(zhǎng)與扇形的面積公式：弧長(zhǎng)lr,扇形面積S1lr1r2.2 2常見(jiàn)三角不等式若 x (0,),則 sinx x tanx ；若x(0,-),則1sin x cosx J2 ； d|sinx|cosx|1.2.常用三角函數(shù)不等式及相關(guān)等式的解集:sinxcosx的x集合是3x-2kx2k,kZ44sinxcosx的x集合是xx-k,kZ;4sinxcosx的x集合是3x2kx2k,kZsin x cosx的x集合44是xkxk,kZ;44sinxcosx的x集合是311-7xxk,orxk,kZ44 sin x

27、cosx的x集合是 x k 43.對(duì)于"sincos,sincos,sincos”三個(gè)式子，已知其中任意一個(gè)式子的值，可求出其余二式的值。三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號(hào)看象限，”形似角中的角不論多大，都看作銳角；形似角在原名稱、原象限中的符號(hào)作為等式右邊的符號(hào)；18002900sin(180 01800 -)2900-)0sin(1809001900sin( 90 09001900sin( 90 027003900sin( 270 002703900sin( 270 036004900sin( 360 036004900sin( 360 00900sin()4.三角函數(shù)的1哥

28、期公二) sin ,)_sn, )cos, )cos ,) cos)cos)sin) sinsin注意：總共兩套 誘導(dǎo)公式（一套 是函數(shù)名不變； 另一套是函數(shù)名 必須改變）；對(duì)于 余弦函數(shù)和正切 函數(shù)的誘導(dǎo)公式 規(guī)律記憶同正弦 函數(shù)。函數(shù) y Asin( x),x R及函數(shù) y Acos( x ) , x R(A, w ,為常數(shù)，且 Aw 0,23 > 0)的周期 T 一 ；函數(shù) y Atan( x ) , xk ,k Z(A, 3為常數(shù),2且Aw0,0）的周期T5.類正弦函數(shù)y = Asin（wx+ ）的圖像的變換：兩種辦法殊途同歸。作y=sinx （長(zhǎng)度為2的某閉區(qū)間）的圖像沿x軸平

29、移|小|個(gè)單位（左加右減）1橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的一倍+得y=sin(x+ 6 )的圖像得y=sin w x的圖像橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮. ，一，一 1 八短到原來(lái)的一倍沿x軸平移|個(gè)單位（左加右減） * 得y=sin( 3 x+ 6 )的圖像得y=sin( 3 x+ 6 )的圖像縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的A倍v縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或縮短到原來(lái)的A倍ymaxymin2得y=Asin（wx+）的圖象，先在一個(gè)周期閉區(qū)間上再擴(kuò)充到R上。類正弦函數(shù)y=Asin（wx+）bA0的參數(shù)計(jì)算：振幅Abymaxymin2°注意：對(duì)于類余弦函數(shù)yAcosx也有以上相應(yīng)的結(jié)論。7.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y=

30、sinxy=cosx圖y=sinxy1y=cosxy11像-t/23t/2-2兀-3J二、o兀/2Jt2兀r-2兀-3d2-T2on3/227t*x士7E義域R值域1,1最值x-2k,kZ時(shí)，ymax1x2k,kZ時(shí)，2x2k,kZ時(shí)，ymax1x2k1,kZ時(shí)，ymin1ymin1單調(diào)性x52k32kkZ時(shí)，增函一.3一._x22k,2kkZ時(shí)，減函麴2k,2k1kZ時(shí)，減函數(shù)贊x2k1,2k,kZ時(shí)，增函數(shù)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性最小正周期為2對(duì)稱性對(duì)稱軸：x,k,kZ科-對(duì)稱中心：（k,0）kZ土對(duì)稱軸：xk,kZ中心：（一k,0）kZ28.正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)ytanx圖像,；：f

31、x=tanxyt1-=57/定義域xkkZ2值域R單調(diào)性xk,-kkZ時(shí)，增函數(shù)22奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期為對(duì)稱性.k對(duì)稱中心：（,0）kZ2§平面向量1 .向量的加減法的代數(shù)結(jié)構(gòu)：uuu uuu uuu OB OA AB2 .平面向量基本定理uuruuruuur!尾首接首尾聯(lián)ABBCACLr1;首首接尾尾聯(lián)指向被減向量如果ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入1、入2,使得a=入iei+入2e2.(不共線的向量ei、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.)3 .向量平行與垂直的坐標(biāo)表不rrrrrrrr設(shè)a=(x1,y1),

32、b=(x2,y2)，且b0,則a/b(b0)x1y2x2yl0；rrabx1x2y1y20.4 .a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)：ab=|a|b|cos0.其幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos。的乘積.5 .平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=(x，y)，b=(x2,y2),貝Ua+b=(x1x?,y公；(2)設(shè)a=(x，y1),b=(x2,y?),貝Uuuuuuuuuu(4)設(shè) a=(x, y),a-b=(x1x2,y1y2);(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2,y2),則ABOBOA%/.y)；RMa=(x,y);(5)設(shè)a=(x，y1)，b=d,y2),則ab=

33、9;*26.兩向量的夾角公式：COSxx2yy2(a=(x，y1),b= (x2,y2).7.平面兩點(diǎn)間的距離公式:uuu uuu uur dA,B = | AB| Jab ABJ(x2 x1)2 廳(A (x1, y1),B(x2,y2).8 .線段的定比分公式：uuruur設(shè)P(x1,y1),F2(x2,y2),P(x,y)是線段PP2的分點(diǎn)，是實(shí)數(shù)，且PpPP2,則xx2uuuruuur1OPOP1OP2yy211uuuuuuruuur1OP tOP1 (1 t)OP2 (t 1中點(diǎn)的向量形式：平面內(nèi)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C,O為直線AB外任意一點(diǎn)，則有uuuuuuuuu-OAOBOC；2

34、Xix2yiy2設(shè)此時(shí)Ax1,y1,Bx2,y2,則中點(diǎn)Cx,y的坐標(biāo)公式9 .三角形的重心坐標(biāo)公式：4ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),則ABC的重心的坐標(biāo)是G(xx2-x3*一y2y3).3'310.三角形四“心”向量形式的充要條件設(shè)。為ABC所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則(1)。為ABC的外心(2) O為ABC的重心(3) O為ABC的垂心(4)。為ABC的內(nèi)心uuu2 uuu2 uuur2 OA OB OC .uuu uur uuur r OA OB OC 0.uuu uuu uuu uuur uuur u

35、uu OA OB OB OC OC OA.uuu uuu uuir raOA bOB cOC 0.§三角恒等變換1 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:推論：一 2_2sinsin cos 1 , tan =cos212cos 2tan1 tan1/1,2 1; c os J2, tan cos21 1 tan2(正負(fù)號(hào)取決于所在的象限)2 .和角與差角公式sin()sin cos cos sincos( ) cos cos msin sintan(tan tan1 mtan tan22sin( )sin( ) sin sin(正 弦 平方 差 公 式);asin bcos = a2 b2

36、sin()(輔助角 所在象限由點(diǎn)(a,b)所在的象限來(lái)決定且tan).a3.二倍角公式:sin2sincos；cos2萬(wàn)能公式：'tan；22tan1tan2cos1tan21tan2sin22tan4.半角公式cos一2tan2(降騫公式)1cos2sin1cos§數(shù)列1.自然數(shù)和公式:13232；sin一21cossin4常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式:1輔助直角三角形.cos2,2tancos1cos12n11111;1nn12n12n111122n12n11n 1 n 2六7a111111nn1n22nn1an&&1n2.數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系6,n1（注：

37、該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）anCSnSn1Hn”2)snsn1,n2Sna1a2Lan（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）2. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：一般式:一一一一* .an a1 (n 1) d(n N )；推廣形式:anam（nm）d；dan一am前n項(xiàng)和形式nman Sn Sn 1（n 2）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）前n項(xiàng)和公式為：snn(a1an)na12n(n1)dnann(n1).d2/1.d-n(a1-d)n.222數(shù)列an為等差數(shù)列an1and為常數(shù)）2an=an1an1n2,nN*ananb2An2Bn常用性質(zhì)：若m+n=p+q,則有amanapaq;特別地：若am是an,ap的

38、等差中項(xiàng)，則有2amanapn、mp成等差數(shù)列；等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”(如 a1 a2 a3, a4a5 %, a7 a8 a9 ,）仍是等差數(shù)列； an為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和，則Sm,S2m Sm,S3m S?m , S4m $3m , . 也成等差數(shù)列； apq,aqp,則ap q 0 ; 1+2+3+ - +n=n(n-23.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：一般形式:an aqn 1亙qn(n N )；推廣形式:qan亙（視n amm的奇數(shù)或偶數(shù)等來(lái)開(kāi)方得到 q的值）前n項(xiàng)和形式anSnSn1(n2）（注：該公式對(duì)任意數(shù)列都適用）前n項(xiàng)的和公式為:Snai(1n、 q ),

39、qa anq1 q,qna1，qnai,q數(shù)列an為等比數(shù)列aLAqannN,q2anan1an2,nNn1ana1qaq0,nN*Sn常用性質(zhì):若m+n=p+q則有amanapaq特別地：若am是an,ap的等比中項(xiàng),則有am2anapn、mp成等比數(shù)列；等比數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”(如a1a2a3,a4a5%,a?a8a9,）仍是等比數(shù)列；an為等比數(shù)列，Sn為其刖n項(xiàng)和，則Sm§mSm,S3mS?m,S4m$3m,.也成等比數(shù)列（當(dāng)q1或者1且m不是偶數(shù)時(shí)候成立）;設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn ,則Tk ,T2k T 3kTk ,T2k '區(qū)，成等比數(shù)列

40、. T3k§解三1.正弦定理：sin A sin B 2R. （R為 ABC外接圓的半徑，也是外接圓半徑 sinC的一種算法。）a 2RsinA,b 2RsinB,c 2RsinCa: b: c sin A:sin B :sin C地位相同等號(hào)兩邊sin A-a-sin A余弦定理sin Bbsin Bsin Ccsin C2r2rsin Aa b , csin Bsin Csin Asin B 皿等sin Cacbsin A sin B , sin C sin A - , sin B sinC 一 等;bac.222222bcaabc2bccosAcosA2bc,222b c a

41、2ca cos BcosB22.2a c b52ac2,22222_一abccab2abcosCcosC2ab正弦定理和余弦定理的應(yīng)用解題常與三角形內(nèi)角和定理相伴。解題時(shí)注意一種重要關(guān)系：在ABC中，給定角AB的正弦或余弦值，則角C的正弦或余弦有解（即存在）cosAcosB02.三角形內(nèi)角和定理：在ABC中，有CABABCC（AB）-2C22（AB）2223.面積定理一、一1.1.1.,一（1）S_aha一bhb一chc（ha、hb、hc分別表小a、b、c邊上的局）.222casin B 21,一1.(2) S-absinC-bcsinA22222(3) Sabc2RsinAsinB2Rsin

42、AsinC2RsinCsinB(其中RRABC的外接圓的半徑）SABCabc4R（R為ABC外接圓的半徑，也是外接圓半徑的一種算法SABCabc（其中r為ABC的內(nèi)切圓的半徑，也能導(dǎo)出內(nèi)切圓半徑的一種算法。順便說(shuō)下,直角三角形中內(nèi)切圓的半徑a-b-c，其中a、b為兩條直角邊，c為2斜邊。）SABCSOABPPapb1 uuuuur2 .(|OA|OB|)2pc(其中uuuuur,（OAOB）2（注意：此時(shí)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為一個(gè)頂點(diǎn)的三角形的面積公式）；設(shè)AX,y1，Bx2,y2，則SAOB1-xy2X2y12§不等1.常用不等式:重要不等式:a,bRa2b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取&q

43、uot;=”號(hào)）；均值不等式:a,bRTab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"二”號(hào)）；三角形不等式：b（對(duì)于ab0時(shí)，當(dāng)ab同號(hào)時(shí)右邊取等當(dāng)ab異號(hào)時(shí)左邊取等號(hào)；對(duì)于ab0時(shí)易判斷等號(hào)成立的條件）；b（對(duì)于ab0時(shí)，當(dāng)ab同號(hào)時(shí)左邊取等號(hào)，當(dāng)ab異號(hào)時(shí)右邊取等號(hào)；對(duì)于ab0時(shí)，易判斷等號(hào)成立的條件+）2.極值定理已知x,y都是正數(shù)，則有“一定二正三相等”“積定和最小和定積最大”（1）若積xy是定值p,則當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值2，p；（2）若和.1cxy是te值s,則當(dāng)xy時(shí)積xy有取大值一s2.推廣形式：已知x,yR,則有(xy)2(x4y)22xy（1）若積xy是定值，則當(dāng)|xy|最大時(shí)，|

44、xy|最大；當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最小.（2）若和|xy|是定值，則當(dāng)|xy|最大時(shí)，|xy|最小;當(dāng)|xy|最小時(shí),|xy|最大.3.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0),如果a與22axbxc同方，則其解集在兩根之外；如果；aWaacbxc異方，則其解集在兩根之L-的情形-“大射線小線賀間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根外，異號(hào)兩根間x1x x2(x Xi)(X X2) 0(X X2);x x1,或x x2(x x1)(x x2) 0(x1x2).簡(jiǎn)單的高次不等式的解法：數(shù)軸標(biāo)根法（穿針引線法）O注意重因式的處理，奇次重根一次穿過(guò)，偶次重根穿而不過(guò)。例如：23x 3 x 1 x

45、 1 x 50,如圖中易知解集為,3 U 3, 1 U 1,54 .含有絕對(duì)值的不等式，當(dāng) a> 0時(shí)，有；木號(hào)線小線段5 .理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件:|a b|a| |b|, a,b R；6 . Ax By C 0或 0（其中A、B不同日寸為0）.所表示的平面區(qū)域設(shè)直線l: Ax By C 0,則Ax By C 0或 0所表示的平面區(qū)域是:若C 0,則用原點(diǎn)O 0,0試，結(jié)果適合不等式，界的另一區(qū)域才是；若C 0,則用點(diǎn)1,0或者0,1試，方法同上。表示原點(diǎn)匪在的生面區(qū)域就是）_ _ _ _查則邊1是 0, （0, 1）、（1, 0）試；,非

46、0, （0、0）試選彳多2-1§常用邏輯用語(yǔ)1.真值表（表1）Pq非pp或qp且q真真假真真一真假假真假假真真真假假假真假假同真為真同假為假真假相對(duì)2.常見(jiàn)結(jié)論的否定形式（見(jiàn)表2）原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有都是不都是至多個(gè)至少有兩個(gè)不大于至少有n個(gè)至多后(n 1)個(gè)小于不小于至多后n個(gè)至少有(n 1)個(gè)對(duì)所有x ,成立存在某x,不成立p或qp且q對(duì)任何x ,不成立存在某x ,成立p且qp或 q12 .四種命題的相互關(guān)系如下圖所示交換位置同時(shí)否定13 .充要條件(1)若p q ,則說(shuō)p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件(2)充要條件：若 p q ,且q 另外：

47、如果條件最終都可化為數(shù)字范圍, 一目了然。若A_B.則p是q的充分不必要條件;一個(gè)命題一種形式兩樣說(shuō)法p ,則p是q的充要條件.則可轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系來(lái)刻畫，二者邏輯關(guān)系小充分大必要等充要若B_Ap是q的必要不充分條件;若 AB ,則p是q的充要條件。§空間向量與立體幾何1.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律a bi,a2 b2,a3 h( R);(1)若a(日昌田3)，b(bbh)，a/baabab0x1x2y1y2z1z20。rr夾角：cos/ab)rabra1b1a2b2a3b3(規(guī)定：0a,b)|a|Iblai2a；ab2b；42模長(zhǎng)公式：|a|,aa.a：a22a32,|b|、.,

48、bbbi2b22b32uur2 .若A(Xi,yhZi),B(x2,y2,Z2),如下圖，則AB(x2Xi,y2yi,z2z1).3 .直線的方向向量：我們把直線上的向量e以及與e共線的向量叫做直線的方向向量.則稱這個(gè)向量垂直于平面a ,記作 n ,如果n,那么向量n叫做平面a的法向量。4 .平面的法向量：如果表示向量n的有向線段所在直線垂直于平面5 .用向量描述空間線面關(guān)系：設(shè)空間兩條直線li,l2的方向向量分別為&,e2,兩個(gè)平面1,21,斜線與平2的補(bǔ)角互余。的法向量分別為n1,n2,則由如下結(jié)論空間線面關(guān)系平行垂直ll與l2e/e2e1e2ll與1e1n1e1/n11與2n1/n2n1n26.法向量在求面面角中的應(yīng)用:原理：一個(gè)二面角的平面角i與這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量所成的角2相等或互補(bǔ)。7 .法向量在求線面角中的應(yīng)用：原理：設(shè)平面