1、問(wèn)題 1.1 集合中的創(chuàng)新問(wèn)題數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新是思維品質(zhì)最次，在近幾年的高，相 繼出現(xiàn)了一些以考查學(xué)生探究能力和創(chuàng)新能力為目的的“創(chuàng)新 題”， 此類題目常常以“問(wèn)題”為，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，這類試題只是以集合為依托，考查考生理解問(wèn)題、解決創(chuàng)新問(wèn)題的能力.本文從新定義、新運(yùn)算、新性質(zhì)面進(jìn) 行闡述，以起到拋磚引玉的目的一、創(chuàng)新集合新定義創(chuàng)新集合新定義問(wèn)題是通過(guò)重新定義相應(yīng)的集合，對(duì)集合的知識(shí)加 以深入地創(chuàng)新，結(jié)合原有集合的相關(guān)知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)，來(lái)解決新定義的集合創(chuàng)新問(wèn)題11ìü【例 1】若 xA，則xA，就稱 A 是伙伴關(guān)系集合，集合 Mí1，0，2，

2、2，3ý的所有非空子集中具有伙îþ伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是( A1C7)B3D31ì-1, x Î M ,揭陽(yáng)二?！繉?duì)于集合 M ，定義函數(shù) f (x) =í對(duì)于兩個(gè)集合 A, B 【小試牛刀】【2014，定Mî1, x Ï M,義集合 ADB = xf A (x) × fB (x) = -1 已知 A2, 4, 6,8,10， B1, 2, 4,8,12 ，則用列舉法寫出集合ADB 的結(jié)果為二、創(chuàng)新集合新運(yùn)算創(chuàng)新集合新運(yùn)算問(wèn)題是按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)則和要求給出新的集合運(yùn)算規(guī)則，并按照此集合運(yùn)算規(guī)則和要求結(jié)合相關(guān)

3、知識(shí)進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算等，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的的 Venn 圖中，A, B 是非空集合，定義集合 A Ä B 為陰影部分表示的集合若 x，y Î R ，【例 2】1A = xy =2x - x2 ， By | y3x，x > 0，則 A Ä B 為()Ax | 0 < x < 2Bx |1 < x £ 2£ x £1或x ³ 2£ x £1或x > 2CD【小試牛刀】【2014·延邊質(zhì)檢】約定Ä 與Å 是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則如下：對(duì)任意實(shí)數(shù)

4、 a，b，有：a Ä bab，a Å b b(a2b21)設(shè)2ab2，a，bZ，用列舉法 表示集合 Ax|x2( a Ä b ) a Å b b三、創(chuàng)新集合新性質(zhì)創(chuàng)新集合新性質(zhì)問(wèn)題是利用創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)來(lái)處理問(wèn)題，通過(guò)創(chuàng)新性質(zhì)，結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決有關(guān)的集合性質(zhì)的問(wèn)題ìïa1，【例 3】對(duì)于復(fù)數(shù) a，b，c，d，若集合 Sa，b，c，d具有性質(zhì)“對(duì)任意 x，y Î S ，必有 xyS”，則當(dāng)íb21，ïîc2b時(shí)，bcd 等于( A1C0)B1Di2【小試牛刀】【2014·

5、;長(zhǎng)春調(diào)研】對(duì)于非空實(shí)數(shù)集 A，記 A*y|xA，yx設(shè)非空實(shí)數(shù)集合 M、P 滿足：MP，且若 x1，則 xP.現(xiàn)給出以下命題：對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合 M、P，必有 P*M*；對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合 M、P，必有 M*PØ；對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合 M、P，必有 MP*Ø；對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合 M、P，必存在常數(shù) a，使得對(duì)任意的 bM*，恒有 abP*，其中正確題是()AC BD與集合有關(guān)的新概念問(wèn)題屬于信息遷移類問(wèn)題，它是化歸思想的具體運(yùn)用，是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題通過(guò)以上類型可知，集合的新定義問(wèn)題的解決方法是：遇到新定義問(wèn) 題，應(yīng)耐心讀題

6、，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì).按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.對(duì)于選擇題，可以結(jié)合選項(xiàng)通過(guò)驗(yàn)證，用排除、對(duì)比、特值等方法求解.【遷移運(yùn)用】1【2013·青島二?！吭O(shè) A、B 是兩個(gè)非空集合，定義運(yùn)算 A´ B = x x Î AB, 且 x Ï AA=x|y= 2x - x2 ， By | y2x，x > 0，則 A´ B =.B ，已知32【2014育才中學(xué)月考】設(shè)集合 Sn1, 2, 3，¼，n，若 x 是 Sn 的子集，把 x 中的所有數(shù)的乘積稱為 x的容量(若 x 中只有一個(gè)元

7、素，則該元素的數(shù)值即為它的容量，規(guī)定空集的容量為 0)若 x 的容量為奇(偶) 數(shù)，則稱 x 為 Sn 的奇(偶)子集若 n4 ，則 Sn 的所有奇子集的容量之和為3【2014 年合肥模擬】對(duì)于任意的兩個(gè)正數(shù) m，n ，定義運(yùn)算：當(dāng) m，n 都為偶數(shù)或都為 奇數(shù)時(shí)，mn= m + n ，當(dāng) m，n 為一奇一偶時(shí)， mn mn ，設(shè)集合 A(a，b) | ab6，a，b Î N*，則集合 A2中的元素個(gè)數(shù)為4【2014中山一中高三熱身】非空集合G 關(guān)于運(yùn)算Å 滿足：（1）對(duì)任意的a, b Î G, 都有 a Å b Î G, (2)存在e 

8、06;G, 都有 a Å e = e Å a = a, (3) 對(duì)任意的a, b, c Î G,都有(a Å b) Å c = a Å (b Å c) ，則稱G 關(guān)于運(yùn)算Å 為“融洽集”現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算： G 非負(fù)整數(shù)， Å 為整數(shù)的加法G 奇數(shù)， Å 為整數(shù)的乘法G 平面向量 Å 為平面向量的數(shù)量積 G 二次三項(xiàng)式， Å 為多項(xiàng)式加法 G 虛數(shù)， Å 為復(fù)數(shù)的乘法其中G 關(guān)于運(yùn)算Å 為“融洽集”的是（）ABCD4M = ( x, y )，若對(duì)于任意(

9、 x1, y1 )Î M ，存在5.【徐匯區(qū) 2014 屆高三 1 月一?！恳阎? x2 , y，使得 x1x2 + y1 y2 = 0 成立，則稱集合 M 是“垂直對(duì)點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合：= ì( x, y )y = 1 ü； M = ( x, y ) y = Míx ý；îþy = log2 x ；= ( x, y )y = ex - 2 . M = ( x, y ) M其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是（）(A) (B) (C) (D) 6. 【山東省日照市第一中學(xué) 2014 屆第一次月考】對(duì)于集合 M、N ,定義

10、M - N = x | x Î M 且 x Ï N ,設(shè) A =y | y = 3x, x Î R , B = y | y = -( x -1) 2 + 2, x Î R ,則M Å N = (M - N )( N - M )A Å B 等于（A 0, 2)）B (0, 2C (-¥, 0(2, +¥)D (-¥, 0)2, +¥)57.【山東省臨沂市 2014 屆高三上學(xué)期期中】定義全集 U 的子集 P 的特征函數(shù)( x) = ì1, x Î P，這里C P 表示集合 P

11、在全集 U 的補(bǔ)集.已知 P Í U ,Q Í U ,給出下列命題:fí0, x Î CpUPîU若 P Í Q ,則對(duì)于任意 x ÎU，都有fP ( x) £ fQ ( x) ;對(duì)于任意 x ÎU , 都有fC P ( x) = 1- f p ( x) ;U對(duì)于任意 x ÎU ,都有fPÇQ ( x) = f p ( x)× fQ ( x) ;對(duì)于任意 x ÎU ,都有fPÈQ ( x) = f p ( x) + fQ ( x) .（）ABCD8.【20

12、13·浙江部分重點(diǎn)中學(xué)調(diào)研】設(shè) A 是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于 kA，如果 k1A，且 k1A，那么稱 k 是 A 的一個(gè)“好元素”給定 S1,2,3,4,5,6,7,8，由 S 的 3 個(gè)元素的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()A6 個(gè)B12 個(gè) C9 個(gè)D5 個(gè)6（卷）理】設(shè)整數(shù)n ³ 4 ,集合 X = 1, 2, 3, n.令集合9【2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一S = ( x, y, z ) | x, y, z Î X ,且三條件x < y < z, y < z < x, z < x < y恰有一個(gè)成立若(

13、x, y, z ) 和( z, w, x) 都在 S 中,則下列選項(xiàng)正確的是()A . ( y, z, w)Î S , ( x, y, w)Ï SC ( y, z, w)Ï S , ( x, y, w)Î SB ( y, z, w)Î S , ( x, y, w)Î SD ( y, z, w)Ï S , ( x, y, w)Î S若平面點(diǎn)集 M 滿足：任意點(diǎn)(x, y) Î M ，存在t Î(0, +¥) ，都有10.【2014 屆福建廈門高三五月】(tx, ty) Î M

14、，則稱該點(diǎn)集 M 是“ t 階穩(wěn)定”點(diǎn)集現(xiàn)有四個(gè)命題：對(duì)任意平面點(diǎn)集 M ，都存在正數(shù)t ，使得 M 是“ t 階穩(wěn)定”點(diǎn)集；若 M = (x, y) x2 ³ y ，則 M 是“ 1 階穩(wěn)定”點(diǎn)集；2若 M = (x, y) x2 + y2 + 2x + 4 y = 0，則 M 是“ 2 階穩(wěn)定”點(diǎn)集； 若 M = (x, y) x2 + 2 y2 £ 1是“ t階穩(wěn)定”點(diǎn)集，則t 的取值范圍是(0,1 其中正確命題的序號(hào)為（）ABCD711在整數(shù)集 Z 中，被 4 除所得余數(shù)為k 的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為k = 4n + k n Î Z, k = 0,1

15、,2,3 ，則下列結(jié) 論正確的為 2014Î2；-1Î3； Z = 0U 1U 2U 3；命題“整數(shù) a, b 滿足 a Î 1, b Î2, ，則a + b Î3”的原命題與逆命題都正確；“整數(shù) a, b 屬于同一類”的充要條件是“ a - b Î0”8問(wèn)題 1.2 集合與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題集合是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是高老必考內(nèi)容之一，它滲透到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，以簡(jiǎn)易邏輯、函數(shù)、方程、不等式、向量、幾何等為背景的集合問(wèn)題在試卷中頻頻出現(xiàn)，其特點(diǎn)是綜合性高解題時(shí)要求首先其集合語(yǔ)言，脫去其外衣，挖掘其本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，再利用相關(guān)知識(shí)解

16、決本文從集合與其他知識(shí)的交匯分類闡述，多方位多角度地認(rèn)識(shí)集合問(wèn)題一、集合與函數(shù)的交匯通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，得出滿足條件的數(shù)量關(guān)系，利用集合 的知識(shí)處理【例 1】已知全集 U = R ， A = x y =2x - x 2 ， B =y y = 2 x , x ÎR，則 A I（ ）A. x | 0 <B x | 0 <D x | 0 £C F省江南十校二模】 已知集合 M=xx - 3, x Î Rn ( x - 2) + 3y【 小試牛刀 】【 2014 ，N=< a, x Î R若 M-1 - 4 - xN,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是

17、二、集合與簡(jiǎn)易邏輯的交匯命題的真假、充分條件與必要條件、集合的包含關(guān)系是統(tǒng)一的，可以 互相轉(zhuǎn)化【例 2】命題 p ：實(shí)數(shù) x 滿足 x2 - 4ax + 3a2 < 0 ，其中 a < 0 ，命題 q ：實(shí)數(shù) x 滿足x2 - x - 6 £ 0 或x2 + 2x - 8 > 0 ，且 q 是 p 的必要不充分條件，求 a 的取值范圍.9【小試牛刀】已知 Px|x28x200，Sx|1mx1m(1) 是否存在實(shí)數(shù) m，使 xP 是 xS 的充要條件，若存在，求出 m 的范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù) m， 使 xP 是 x S 的必要條件，若存在，求出 m 的范圍三、集

18、合與不等式的交匯集合的元素就是不等式的解，通過(guò) 解不等式，從而確定集合元素的范圍，轉(zhuǎn)化為集合的運(yùn)算處理x2 - 2x - 3 > 0, x Î R ,【例 3】【2014上 海虹口區(qū)高三模擬】已知全集 U = R ，集合 AB = x m - 2 £ x £ m + 2 , 若(CU A) Ç B = x 0 £ x £ 3 ，則實(shí)數(shù) m 的值為 .10【小試牛刀 】已知全集合 A = -10 £ 0，B = - 12 £ 0，C = + 3a 2 < 0 ，若 A Ç(CR B) Í

19、; C ，試 確定實(shí)數(shù) a 的取值范圍四、集合與向量的交匯集合是某些指定對(duì)象的，由向量的集合，要將集合的運(yùn)算與向量的運(yùn)算起來(lái)【例 4】已知 P = a a = (1, 0) + m(0,1), mÎR ， Q = b b = (1,1) + n(-1,1), n ÎR 是兩個(gè)向量集合 ，則PQ（）A（ 1,1C（ 1, 0）B（-1,D（ 0,1）11【小試牛刀】【2013崇明縣二?！吭O(shè) M 為平面內(nèi)一些向量組成的集合，若對(duì)任意正實(shí)數(shù) 和向量 M，都有 la Î，則稱M 為“點(diǎn)射域”，在此基礎(chǔ)上給出下列四個(gè)向量集合：（x，y）|yx2；（x，y）；（x，y）|x2

20、+y22y0；（x，y）|3x2+2y2120其中平面向量的集合為“點(diǎn)射域”|的序號(hào)是五、集合與幾何的交匯曲線是由滿足某種條件的點(diǎn)組成的集合，由集合的運(yùn)算得出曲線之間具有的某種特殊位置關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為幾何知識(shí)求解【例 5】【2014.江西聯(lián)考】已知 M = ì(x, y) | y - 3 = 3ü, N = (x, y) | ax + 2 y + a = 0, MN = Æ ，則 a =íýx - 2îþ（ ）A2B6C2D一 2 或6【分析】首先分析集合 M 是除去點(diǎn) (2, 3 的直線 y = 3x - 3 ，集合 N

21、表示過(guò)定點(diǎn) (-1,的直線，MN =Æ 等價(jià)于兩條直線平行或者直線 ax + 2 y + a = 0 過(guò)(2, 3 ，進(jìn)而列方程求 a 的值12ìüx2y2+= 1ý, N = (x, y)y = k(x - b) ，若【2014 屆湖南沙市二?！恳阎?M = í(x, y)$k Î R ，94î使得 MN =Æ 成立，則實(shí)數(shù) b 的取值范圍是（þ）A -3, 3C -2,B (-¥, -3)D (-¥, -2)集合與其他知識(shí)的交匯處理辦法 往往有兩種：其一是根據(jù)函數(shù)、方程、不等式

22、所賦予的實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而利用集合的知識(shí)處理；其二是由集合的運(yùn)算性質(zhì)，得到具有某種性質(zhì)的曲線的位置關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理【遷移運(yùn)用】A = (x, y) x + y = 1， B = (x, y) x -，則滿足 M Í A Ç B 的1【2014陜西西安鐵一中】設(shè)集合集合 M 的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3= ì5ü2【2014·上海市松江區(qū)二?！咳艏?Mí(x, y) x = ( y + 3) ×y - 1 + ( y + 3),-£ y £ 3ý,(a, b) Î

23、 M , 且2îþ對(duì) M 中其它元素(c, d ) ，總有 c ³ a, 則 a =13| y =| cos2 x - sin2 x |, x Î R ，N =x | x - 1 |<2 ，i 為虛數(shù)，x ÎR ，則=3設(shè)集合 MMNi為（ ）（A）（0，1） （B） (0 ， 1（C） 0 ， 1)（D） 0 ， 1y = 2x ， B = yy =x2 - 6x + 8 ，則 AÇ B (4【2014長(zhǎng)沙市二?！恳阎?A = x)x > 0 B x x 0 2或x 4D < x 2或x 4A x C 5. 設(shè)

24、集合， (x, y) (x - t)2 + ( y - at + 2)2 = 1 和集合 B =（ x，y）（| x4）2 + y2 = 1 ，如果命題“ $t Î R ,AB”是真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ）A0aB0aC0aD0a6. 在直角坐標(biāo)平面 xOy 中，已知兩定點(diǎn) F1(-1, 0) 與 F2 (1, 0) 位于動(dòng)直線 l : ax + by + c = 0 的同側(cè)，設(shè)集合P = l | 點(diǎn) F1 與點(diǎn) F2 到直線 l 的距離之和等于2 ，Q = (x, y) | (x, y) Ïl,l Î P，則由 Q 中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是.1

25、47. 已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|x|y|，若 AB，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是8. 投擲一枚正方體(六個(gè)面上分別標(biāo)有 1,2,3,4,5,6),向上的面上的數(shù)字記為,又表示集合的元素個(gè)數(shù),則的概率為 9已知集合 A =(x, y) | y =-x2 - 2x, B =(x, y) | y = x + m.若AB = f ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為【】m < 0或m >1+ 21510. 設(shè)集合u = ( x, y ) x Î R, y Î R, A = ( x, y ) 2x - y +3） Î A Ç(Cu B)的充要條件

26、是.【】m<-1,n<5【】 Cu B=( x, y ) x + y - n0 ，把點(diǎn) P 坐標(biāo)代入相應(yīng)的不等式得：m<-1,n<5.11設(shè)全集 UR，函數(shù) f(x)lg(|x1|a1)(a1)的定 義域?yàn)?A，集合 Bx|cosx1若(UA)B 恰，那么點(diǎn) P（2，好有 2 個(gè)元素，求 a 的取值集合16問(wèn)題 1.3 含參數(shù)的簡(jiǎn)易邏輯問(wèn)題通過(guò)多年的高卷看，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn).考生有時(shí)會(huì)感到難度較大，與簡(jiǎn)易邏輯問(wèn)題有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，需要正確理解充分條件和必要條件的定義，弄懂邏輯聯(lián)接詞的含義以及全稱量詞、特稱量詞包含的數(shù)學(xué)理論，

27、本文從各方面多角度地闡述與簡(jiǎn)易邏輯有關(guān)的問(wèn)題，以饗讀者一、與充分條件、必要條件有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題充分條件和必要條件的理解，可以翻譯成“若 p 則 q ”命題的真假，或者集合與集合之間的包含關(guān)系，尤其轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系 后，利用集合知識(shí)處理【例 1】【2015河北質(zhì)量檢測(cè)】已知，如果是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是()A.B.C.D.【小試牛刀】已知 p : a - 4 < x < a + 4; q : (x - 2)(3 - x) > 0 ，若q 的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) ap 是的取值范圍為二、與邏輯聯(lián)接詞有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題邏輯聯(lián)接詞“或”“且”“非”與集合運(yùn)算的并集、交集

28、、補(bǔ)集有關(guān)，由邏輯聯(lián)接詞組成的復(fù)合命題的真假與組成它的簡(jiǎn)單命題真假有關(guān)，其中往往會(huì)涉及參數(shù)的取值范圍問(wèn)題【例 2】【2014 屆山東濰坊】設(shè)命題 p：函數(shù) f (x) = lg(ax2 - x + a ) 的定義域?yàn)?R；命題 q： 3x - 9x < a 對(duì)一16切的實(shí)數(shù) x 恒成立，如果命題“p 且q”為假命題，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.17的值域?yàn)?, +¥p : 函數(shù) f ( x) = x2 +，命題 q : 方程【小試牛刀】【2014 屆聯(lián)考】已知命題(ax -1)(ax + 2) = 0 在-1,1 上有解，若命題“p 或 q ” 是假命題，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.p

29、 或 q ”假，即 p 假且 q 假“ì-1 < a < 1ía ¹ 0,且a ¹ 2îÞ -1 < a < 1且 a ¹ 0 a 的范圍為a -1 < a < 1且a ¹ 0三、與全稱命題、特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題18全稱命題和特稱命題從邏輯結(jié)構(gòu)而言，是含義相反的兩種命題，利用正難則反的思想互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解題的目的【例 2】2014云南模擬若命題“ $x Î R, 使得 x2 + mx + 2m+5 < 0 ”為假命題，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍000是（）（A）

30、 -10（B） (-6,（C） -2,1（D） (-2,10)【小試牛刀】已知命題 p：“xR，mR，使 4x2x·m10”若命題p 為真命題，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是A. (，2B. 2,+)C. (，2)D. (2,+)四、與全稱量詞、特稱量詞有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題全稱量詞“ " ”表示對(duì)于任意一個(gè)，指的是在指定范圍內(nèi)的恒成立問(wèn)題，而 特稱量詞“ $ ”表示存在一個(gè)，指的是在指定范圍內(nèi)的有解問(wèn)題，上述兩個(gè)問(wèn)題都利用參變分離法求參數(shù)取值范圍p ： “ "x Î1,2, x2 - a ³ 0 ”，命題 q ：“ $x Î R, x 2 + 2

31、ax + 2 - a = 0 ”【例 3】已知命 題若命題“ p 且 q ”是真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（）A a £ -2 或 a = 1C a ³ 1B a £ -2 或 1 £ a £ 2D - 2 £ a £ 1【分析】若命題“ p 且 q ”是真命 題，則命題 p, q 都是真命題，首先將命題 p, q 對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍求出來(lái)，求交集即可19省汕頭四中 2014 屆高三第一次月考數(shù)學(xué)】已知函數(shù) f= x2 - 2x ，g(x) = a【小試牛刀】【(a>0)，若 "x1 Î-1, 2

32、， $x2 Î-1, 2，使得 f(x 1)=g(x2)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）11(D) 3, +¥)(0, 2 , 32(0,(A)(B)(C)含參數(shù)的數(shù)學(xué)題目在高卷中屢見(jiàn)不鮮，尤其是簡(jiǎn)易邏輯中的參數(shù)問(wèn)題，解決的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，搞清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)【遷移運(yùn)用】1【2014 屆福建質(zhì)檢】設(shè) a > 0 且 a ¹ 1 ，命題 p ：函 數(shù) f (x) = ax 在 R 上是增函數(shù) ，命題 q ：函數(shù)g(x) = (a - 2)x3 在 R 上是減函數(shù)，則 p 是 q 的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件2已知命題 p：

33、m<0，命題 q：xR，x2mx1>0 成立，若“pq”為真命題，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是A.2，0B.(0，2) C.(2，0) D.(2，2)203【2014陜西質(zhì)檢】已知命題：“存在 x Î1, 2，使 x2 + 2x + a ³ 0 ”為真命題，則 a 的取值范圍是 4【2014 山東日照市月考】已知 m Î R ，設(shè)命題 P： -3 £ m - 5 £ 3 ；命題 Q：函數(shù) f（x）3x22mx4m 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)求使命題“P 或Q”為真命題的實(shí)數(shù) m 的取值范圍3p : 2x2 - 3x + 1 £ 0 ；命

34、題 q : x2 -(2a +1) x + a (a +1) £ 0 ，若Øp 是 Øq 的5. 【2014 屆福建聯(lián)考】設(shè)命題必要不充分條件，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍由已知Øp 是 Øq 的必要不充分條件，從而 p 是 q 的充分不必要條件，即 A Ø B ，ìa £ 1ïí2ïîa + 1 ³ 12110 £ a £26. 設(shè)命題 p : $x Î R, 使x2 + 2ax + 2 - a = 0 ；命題 q ：不等式 ax2 -&#

35、216;p 為真，且 p 或 q 為真，求 a 的取值范圍對(duì)任意 x Î R 恒成立若+ 3 ，若f (x) -7. 函數(shù) f (恒成立的充分條件是 1 £ x，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是理科】若存在正數(shù) x ，使 2x + a8. 【河北省唐山市 2013-2014 學(xué)年度高三年級(jí)摸底成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是.9已知命題命題，若命題是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D. 22f (a) + f (b) > 0，若 a, b Î-1,1 ， a + b ¹ 0 有10. 已知 f (x 是定義在-1,1 上的奇函數(shù)，且 f (1)a

36、+ b恒成立.f (x 在-1,1 上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（1）f (x) £ m2 - 2am + 1, 對(duì)所有 x Î-1,1, a Î-1,1恒成立，求實(shí)數(shù) m 的 取值范圍（2）若11【省廣州市海珠區(qū) 2014 屆高三入學(xué)摸底數(shù)學(xué)理試題】已知函數(shù)2f (x) = ln(ax + 1) +-1(x ³ 0, a > 0) x + 1在 x = 1 處取得極值，求 a 的值；（1）若 f (x（2）求 f (x) 的單調(diào)區(qū)間；1a = 1b < 0，函數(shù) g(x) =bx - bx ，若對(duì)于 "x Î(

37、0,1) ，總存在 x Î(0,1) 使得 f (x ) = g(x3) ，（3）若且12123求實(shí)數(shù) b 的取值范圍2324問(wèn)題 2.1 如何靈活應(yīng)用函數(shù)的四大性質(zhì)函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)的主線， 所有知識(shí)均可與函數(shù)建立，都可這一主線展開(kāi)學(xué)習(xí)考查，它貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始末，而函數(shù)的四大性質(zhì)更是高考對(duì)函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重，其中單調(diào)性與奇偶性更是高考的必考內(nèi)容，在高考命題中函數(shù)常與方程、不等式等其他知識(shí)結(jié)合考查，而且考查的形式不一，時(shí)而選擇題，時(shí)而填空題，時(shí)而解答題。本文將從單調(diào)性、奇偶性、單調(diào)性與奇偶性和四大性質(zhì)的綜合應(yīng)用四方面分別加以闡述。一、函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用函數(shù)單

38、調(diào)性的定義： 在定義域的一個(gè)子集 I 里， 有兩個(gè)任意自變量x1，x2 , 當(dāng)x1x2 時(shí)， 均有f（X1）f（x2），則 f（x）在區(qū)間 I 內(nèi)單調(diào)增。當(dāng)x1x2時(shí)，f（X1）f（x2）則 f（x）在區(qū)間 I 內(nèi)單調(diào)減。f (x1) - f (x2 )f (x ) - f (x )> 0單調(diào)遞增；12 < 0單調(diào)遞減函數(shù)的單調(diào)性也可表示為：x - xx1 - x212方法：定義法（作差或作差比較；步驟：1.取值 2，作差 3，定號(hào) 4，結(jié)論）；圖象法；單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)；復(fù)合函數(shù)單調(diào)法則；倒數(shù)法；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：設(shè) y = f g(x)是定義在 M 上的函數(shù)，若 f(x)與 g(

39、x)的單調(diào)性相反，則 y =M 上是減函數(shù)；若 f(x)與 g(x)的單調(diào)性相同，則 y = f g(x)在 M 上是增函數(shù)。函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：比較大小；解不等式；取值范圍； 二次函數(shù)最值；抽象函數(shù)單調(diào)性f g(x)在17】如果對(duì)定義在R 上的函數(shù) f (x) ，【例 1】【省部分重點(diǎn)中學(xué) 2014-2015 學(xué)年度上學(xué)期高三起點(diǎn)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有x , xxf (x ) ，則稱函數(shù)f (x) 為“函f (x ) + x f (x ) > x f (x ) + xH1122122112數(shù)”.ìïlnx ¹ 0x給出下列函數(shù) y = ex + x ;

40、 y = x ; y = 3x -sin x ; f (x) = í2以上函數(shù)是“ H 函數(shù)”.ïî0x = 0的所有序號(hào)為.25【小試牛刀】【河南省安陽(yáng)一中 2015 屆高三第一次月考 2】函數(shù) f ( x) = log1 (x - 4) 的單調(diào)遞增區(qū)間為22()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)二、函數(shù)奇偶性的靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性的定義：對(duì)于定義域的任意 x，都有 f(-x)=- f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù)；都有 f(-x) = f(x)，則函數(shù)為偶函數(shù)。奇偶性的：看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；看 f(x)與 f(-x)的關(guān)系f (x) + f (-x) = 0

41、f (x) - f (-x) = 0函數(shù)的奇偶性也可以通過(guò)下面方法證明：奇函數(shù)；偶函數(shù)奇偶性覺(jué)見(jiàn)的性質(zhì)：y=f(x)是偶函數(shù)Û y=f(x)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱,若函數(shù) f (x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 f(0)=0y=f(x)是奇函數(shù)Û y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,奇±奇=奇偶±偶=偶原點(diǎn)對(duì)稱奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇兩函數(shù)的定義域 D1 ，D2，D1D2 要關(guān)于2 ，則下列各式一定成立f (【例 2】【第三次大聯(lián)考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷（理）】已知函數(shù)26的是（）f (-7) < f (6)f (-3) >

42、 f (2)（A）（B）f (-1) > f (3)f (-e) < f (-2)（C）（D）【小試牛刀】【省市 2014 年高 2011 級(jí)第三次診斷7】已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0 時(shí)，f(x)3x，則 f(log94)的值為()(B) - 12(C) 12(A)2(D)2三、函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)某個(gè)子區(qū)間而言的“局部”性質(zhì)，它反映了函數(shù)在某區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì)；函數(shù)的奇偶性是相對(duì)于函數(shù)的定義域來(lái)說(shuō)的“整體”性質(zhì)，主要討論的是函數(shù)的對(duì) 稱性函數(shù)的這兩個(gè)基本性質(zhì)應(yīng)用靈活、廣泛。13】設(shè) f (x) 是定義在 R

43、 上的奇函數(shù)，且當(dāng)【例 3】【江蘇省揚(yáng)州中學(xué) 2015 屆高三 8 月開(kāi)學(xué)x ³ 0時(shí), f (x) = x 2 ，若對(duì)任意的 x Ît, t + 2，不等式 f (x + t) ³ 2 f (x) 恒成立，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是27( x ) 在0, +¥)f【小試牛刀】【省部分重點(diǎn)中學(xué) 2014-2015 學(xué)年度上學(xué)期高三起點(diǎn)12】已知偶函數(shù)f (2) =0，若 f (x-1)>0，則 x單調(diào)遞減，的取值集合是.【】(- 1 , 3 ).【】( x ) 滿足 f (2) =0，若 f (x-1)>0，則有f (x -1) > f

44、(2) Þ f ( x -1) > f (2) ，試題分析：因?yàn)榕己瘮?shù) f( x ) 在0, +¥) 單調(diào)遞減，所以有|< 3 .又函數(shù) f28四、函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用函數(shù)周期性的定義：如果存在一個(gè)數(shù) a，使得 f（x+a）=f（x）記憶方法：括號(hào)里面相減等于一個(gè)定值 a，則 f（x）為周期函數(shù)，T=a。說(shuō)明：nT 也是 f (x) 的周期f (x + a) =f (x + b) ，則 f (x) 是周期函數(shù)， b - a 是它的一個(gè)周期周期性的推廣：若11若 f (x + a) = - f (x)；f (x + a) =f (x + a) = -；則 f (x)

45、 周期是 2 a；f (x)f (x)函數(shù)對(duì)稱性：如果存在一個(gè)數(shù) a，使得 f（x+a）=f（a-x）記憶方法：括號(hào)里面相加等于一個(gè)定值 2a，則 f（x）為對(duì)稱函數(shù)，對(duì)稱軸為 x=a。對(duì)稱性和周期性的結(jié)合：f(x)關(guān)于（ a,0）和(b,0)點(diǎn)對(duì)稱,則 f（x）是周期函數(shù)，T=2|a b| f(x)關(guān)于直線 x=a 和 x=b 對(duì)稱,則 f（x）是周期函數(shù)，T=2|a b|f(x)關(guān)于點(diǎn)（a,0）和x=b 點(diǎn)對(duì)稱,則 f（x）是周期函數(shù)，T=4|a b|【例 4】【成都七中高 2014 屆高三高三二診模擬數(shù)學(xué)（理）】已知定義在 R 上的函數(shù) f (x) 滿足 f (2 - x)f (x +

46、3) 關(guān)于直線 x =1對(duì)稱，則下列式子一定成立的是（為奇函數(shù)，函數(shù)）A.f (x - 2) = f (x)B. f (x - 2) = f (x + 6)C.f (x - 2) × f (x + 2) = 1D. f (-x) + f (x +1) = 0【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了學(xué)生對(duì)抽象函數(shù)的處理能力，考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性，要想順利完成本題有一個(gè)難點(diǎn)： f (2 - x) 為奇函數(shù)的處理，這要對(duì)奇函數(shù)定義本質(zhì)有充分的理解，函數(shù)的四大性質(zhì)在抽象函數(shù)的考查中往往會(huì)綜合在一起，這也正是此類題目一般較難的，在我們復(fù)習(xí)備一定要加強(qiáng)對(duì)所學(xué)概念本質(zhì)的理解，這并非一日之功了，須注意的

47、積累和磨煉?！拘≡嚺５丁俊旧虾Ｊ兴山瓍^(qū) 2014 屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題】已知實(shí)數(shù)a > 0, b > 0 ，對(duì)于定義在 R 上的函數(shù) f (x) ，有下述命題：29“ f (x) 是奇函數(shù)”的充要條件是“函數(shù) f (x - a) 的圖像關(guān)于點(diǎn) A(a, 0) 對(duì)稱”；“ f (x) 是偶函數(shù)”的充要條件是“函數(shù) f (x - a) 的圖像關(guān)于直線 x = a 對(duì)稱”；“ 2a 是 f (x) 的一個(gè)周期”的充要條件是“對(duì)任意的 x Î R ，都有 f (x - a) = - f (x) ”； “函數(shù) y = f (x - a) 與 y = f (b - x) 的

48、圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱”的充要條件是“ a = b ” 其中正確命題的序號(hào)是ABCD在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題中，如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，根據(jù)簡(jiǎn)圖進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)， 就可以把抽象問(wèn)題變的直觀形象、復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，對(duì)問(wèn)題的解決有很大的幫助.（1）一般的解題步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大，然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負(fù)號(hào)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性大??；（2）畫函數(shù)草圖的步驟：由已知條件確定特殊點(diǎn)的位置，然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖象，再利用奇偶性確定對(duì)稱區(qū)間的圖象，最后利用周期性確定整個(gè)定義域內(nèi)的圖象.【遷移運(yùn)用】ìx2 +1, x > 0,f (x) =

49、í1.【河南省安陽(yáng)一中 2015 屆高三第一次月考 3】已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是()îcos x, x £ 0,A f (x) 是偶函數(shù)B f (x) 是增函數(shù)C f (x) 是周期函數(shù)D. f (x) 的值域?yàn)?，)302. 【廣州市海珠區(qū) 2014 學(xué)年高三綜合測(cè)試（一）試題 7】下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是().f ( x) = 1f (x) = sin xf= -x | x |A f (x) = x3BCDx省惠州一中等六校 2015 屆高三 8 月聯(lián)考 10】定義在 R 上的奇函數(shù) f (x) 和定義在x x ¹ 0上的3.

50、【ì2x -1(0 £ x < 1)偶函數(shù) g(x) 分別滿足 f (x) = ï， g(x) = log x(x > 0) ，若存在實(shí)數(shù)a ，使得 f (a) = g(b)í1 (x ³ 1)2ïî x成立，則實(shí)數(shù)b 的取值范圍是()B. -2, - 1 È 1 , 222- 1 , 0) È(0, 1-2, 2(-¥, -2È2, +¥)A.C.D.224. 【7 】已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x<0 時(shí)，省市 2014 年高 2011

51、 級(jí)第三次診斷f(x)3x，則 f(log32)的值為(B) - 12(C) 12(A)2(D)25.【省汕頭市 2014 屆高三 3 月高考模擬】設(shè)是周期為 2 的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí),31), 6.【上海市靜安區(qū) 2014 屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題】已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集 上的以2 為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若直線與函數(shù)的圖像在內(nèi)恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的值是()A或；B0；C0 或；D0 或.【】D】根據(jù)已知可得函數(shù) f (x) = (x - 2k)2 , x Î2k -1, 2k +1), k Î Z ，在直角坐標(biāo)系中作出它的圖象，如【圖，再作直線 y = x +

52、 a ，可見(jiàn)當(dāng)直線 y = x + a 與拋物線 y = x2 相切時(shí)，或者直線 y = x + a 過(guò)原點(diǎn)時(shí)，符合題意，此時(shí) a =- 1 或 a = 0 .47. 【福建省安溪八中2014屆高三12月月考數(shù)學(xué)】已知函數(shù) f (x) 是定義在R上的奇函數(shù),且它的圖像關(guān)于直線0 < x £ 1) ,則 f (-5.5) (x=1對(duì)稱,若函數(shù) f)2222C -D -1.5B1.5A32a - x4】已知函數(shù) f ( x) = log2則實(shí)數(shù)a 的值為8. 【江蘇省蘇州市 2015 屆高三 9 月調(diào)研測(cè)試為奇函數(shù)1+ x【】1xa - x1-x，=】由奇函數(shù)得： f (， a2

53、= 1，因?yàn)閍 ¹ -1 ，所【1+ xa + x以 a = 1.市 2015 屆高三 9 月調(diào)研測(cè)試 12】已知 f (x) ，g(x) 分別是定義在 R 上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，9. 【省g(x) = x3 + x2 +1 ，則 f (1) + g(1) =且 f (x2 - sin x + 110. 【河南省安陽(yáng)一中 2015 屆高三第一次月考 14】若函數(shù) f存在最大值 M 和最小1值 N, 則 M N 的值為2m -1- mx x +1(理)試卷】已知函數(shù) f (x) = log a33(a > 0, a ¹ 1)是11. 【崇明縣 2013 學(xué)年高三第一學(xué)期期

54、末奇函數(shù)，則函數(shù) y = f (x) 的定義域?yàn)?12. 【山東省濰坊市 2014 屆高三 3 月模擬】已知函數(shù) y =f (x) 為奇函數(shù)，且對(duì)定義域內(nèi)的任意 x 都有f (1+ x) = - f (1- x)當(dāng) x Î(2, 3) 時(shí)， f (x) = log2 (x -1)給出以下 4 個(gè)結(jié)論：函數(shù) y = f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn)(k，0)(kÎZ)成中心對(duì)稱；函數(shù) y =| f (x) |是以 2 為周期的周期函數(shù)；當(dāng) x Î(-1, 0) 時(shí)， f (x) = -log2 (1- x) ；函數(shù) y = f (| x |) 在(k，k+1)( k

55、6;Z)上單調(diào)遞增其一中所有正確結(jié)論的序號(hào)為 3435體 2015 屆高三上學(xué)期期初聯(lián)考 21】（15 分）設(shè) f (x)是R上的奇函數(shù)，且對(duì)13. 【浙江省溫州市十校f (a) + f (b) > 0任意的實(shí)數(shù) a, b 當(dāng) a + b ¹ 0 時(shí)，都有a + b（1）若a > b ，試比較 f (a), f (b) 的大小；（2）若存在實(shí)數(shù) x Î é 1 , 3 ù 使得不等式 f (x - c) + f (x - c2 ) > 0 成立，試求實(shí)數(shù)c 的取值范圍êë 2 2 úû3614. 【上海市靜安區(qū) 2014 屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題】(本題滿分 18 分) 本題共有 3 個(gè)小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分5 分，第 3 小題滿分 9 分.（理）已知函數(shù)（其中且），是的反函數(shù).（1）已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的奇偶性和增減性；（3）設(shè)，其中.記，數(shù)列的前項(xiàng)的和為（），求證：.【】(1)5, 9 ；(2)奇函數(shù)，減函數(shù)；(3)證明見(jiàn)3738又