1、提問問題：提問問題：1、寫出柯西積分公式.2、寫出高階導數(shù)公式.3、求 型積分的步驟：( )If z dz被積函數(shù)在閉曲線及其內(nèi)部解析？被積函數(shù)在閉曲線上解析，在閉曲線內(nèi)有奇點？第四章第四章級數(shù)級數(shù)1復(fù)數(shù)項級復(fù)數(shù)項級數(shù)數(shù)2冪級數(shù)冪級數(shù)3泰勒級泰勒級數(shù)數(shù)4洛朗級洛朗級數(shù)數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限此時也稱復(fù)數(shù)列此時也稱復(fù)數(shù)列收斂收斂于于。假設(shè)假設(shè)=a+ib為一確定的復(fù)數(shù)。若為一確定的復(fù)數(shù)。若設(shè)設(shè)為一復(fù)數(shù)列為一復(fù)數(shù)列,其中其中n=an+ibn ,又又(1,2,)nn 0,( )Z Z ，使使當當時時，NNnN nlimnn n 則則稱為復(fù)數(shù)列稱為復(fù)數(shù)列當當n時的時的極限極限,記作記作n lim,

2、 limnnnnaabb(1,2,)nn 定理一定理一復(fù)數(shù)列復(fù)數(shù)列收斂于收斂于 的的充要條件充要條件是是22|, |()()0nnnnnaabbaabb ；22| |()()|()()nnnnnaai bbaabb|0nn 若，|0, |0nnnnaabb 若，22()()|0.nnnnnaabbaabb 證明思路5例例 下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂? ? 如果收斂如果收斂, , 求出其極限。求出其極限。11)1;2)cosinnneninn113);4)21nnnininilim1,lim0nnnnab111cos,1sin.nnabnnnn解解1)因因1111cossininneinn

3、nn，故，故而而11inen所以數(shù)列所以數(shù)列收斂，且有收斂，且有l(wèi)im1.nn2)由于由于因此因此,()cos,2nnnn eenin當當n時時,。所以。所以發(fā)散。發(fā)散。nn113)(cossin)24421(cossin)0442nnnnniinni 2221124)10111nninniininn 2.級數(shù)概念級數(shù)概念稱為無窮級數(shù)無窮級數(shù), 其前n項和稱為級數(shù)的部分和部分和。nnn21112nns收斂，則稱級數(shù)1nn發(fā)散發(fā)散。設(shè)(1,2,)nnnaibn為一復(fù)數(shù)列, 表達式1nn如果部分和數(shù)列sn收斂, 則稱級數(shù)收斂收斂，且極限limnnss稱為級數(shù)的和級數(shù)的和。如果數(shù)列 ns不由定理一,

4、 sn有極限存在的充要條件是 An和 Bn的極限存在, 即級數(shù) 和 都收斂。1nna1nnb121212()()nnnaaai bbb都收斂。1nn級數(shù)定理二定理二1nnb收斂的充要條件充要條件是級數(shù)1nna和nsnBnA證明思路11().2nnin例 考察級數(shù)的斂散性1nna1nnb注 由實數(shù)項級數(shù) 和 收斂的必要條件必要條件 lim0nna和lim0,nnb要條件是lim0.nn可得 ，從而復(fù)數(shù)項級數(shù) 收斂的必lim0nn1nn判斷級數(shù)發(fā)散判斷級數(shù)發(fā)散收斂1nna1nnb及11|nnkkkk或11limlim|nnkknnkk11|kkkk22|nnnaab成立。11|nnnn如果收斂，則

5、也收斂，且不等1|nn1nn定理三定理三式22|nnnbab比較判別法收斂1nn從而由定理二可得，2211|nnnnnab實級數(shù)證明思路非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù)條件收斂級數(shù)。定義定義如果收斂，則稱級數(shù)1|nn1nn絕對收斂絕對收斂。22|nnnnabab22111|nnnnnnnabab1nnb因此,絕對收斂。絕對收斂的充要條件充要條件是1nn1nna和22|nnnaab22|nnnbab22111|,|nnnnnnnabab13成立。11|nnnn如果收斂，則也收斂，且不等式1|nn1nn定理三定理三1nnb注絕對收斂。絕對收斂的充要條件充要條件是1nn1nna和lim, lim

6、nnnnaabb(1,2,)nn 定理一定理一復(fù)數(shù)列復(fù)數(shù)列收斂于收斂于 都收斂。1nn級數(shù)定理二定理二1nnb收斂 級數(shù)1nna和例例 下列級數(shù)是否收斂下列級數(shù)是否收斂? ? 是否絕對收斂是否絕對收斂? ?1011(8 )( 1)11)1;2);3)!2nnnnnniiinnnn解解1)111nnnan2111nnnbn收斂收斂,故原級數(shù)故原級數(shù)發(fā)散；發(fā)散；發(fā)散。發(fā)散。且絕對收斂。且絕對收斂。1( 1)nnn又由于又由于為條件收斂為條件收斂,所以原級數(shù)非所以原級數(shù)非3)因因1( 1)nnn112nn收斂；收斂；也收斂也收斂,故原級數(shù)收斂。故原級數(shù)收斂。2)因因(8 )8!nninn18!nnn

7、,由由收斂知，原級數(shù)收斂，收斂知，原級數(shù)收斂，絕對收斂，即原級數(shù)條件收斂。絕對收斂，即原級數(shù)條件收斂。例例下列級數(shù)是否收斂下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂是否絕對收斂?201cos1);2);3)(1)ln22nnnnnnniinnin解解1)2222cossin22lnlnlnlnninnnnnnieinnnn3)2)0cos2nnin11(1)2(cossin)2244nnnnnnnnii1(cossin)442nnnnni01()22nnnnee011()( )222nnnee17成立。11|nnnn如果收斂，則也收斂，且不等式1|nn1nn定理三定理三1nnb注絕對收斂。絕對收斂的充要條件充要條件是1nn1nna和lim, limnnnnaabb (1,2,)nn 定理一定