1、第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布引言引言隨機樣本隨機樣本抽樣分布抽樣分布正態(tài)總體的抽樣分布定理正態(tài)總體的抽樣分布定理引引 言言 數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是數(shù)學(xué)的一個重要分支，它研究數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是數(shù)學(xué)的一個重要分支，它研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預(yù)測，并為采取一以對所考察的問題作出推斷或預(yù)測，并為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議定的決策和行動提供依據(jù)和建議。例例 制衣廠為了合理的確定服裝各種尺碼的生產(chǎn)比例，制衣廠為了合理的確定服裝各種尺碼的生產(chǎn)比例，需要調(diào)查人們身高的分布。現(xiàn)從男性成人人群中隨機需要調(diào)查人們身高

2、的分布。現(xiàn)從男性成人人群中隨機選取選取100人人,得到他們的身高數(shù)據(jù)得到他們的身高數(shù)據(jù)(1) 試推斷試推斷男性成人身高男性成人身高X的概率密度的概率密度(2)若已知若已知X服從高態(tài)分布服從高態(tài)分布N( , 2),試估計參數(shù)的試估計參數(shù)的 , 2值值已知已知“總體總體”的分布類型的分布類型,對分布中的未知參數(shù)所對分布中的未知參數(shù)所進行的統(tǒng)計推斷屬于進行的統(tǒng)計推斷屬于“參數(shù)統(tǒng)計參數(shù)統(tǒng)計”.概率論是在隨機變量的分布已知條件下概率論是在隨機變量的分布已知條件下,研究研究隨機變量的各種性質(zhì)隨機變量的各種性質(zhì).例如求某個隨機變量的例如求某個隨機變量的分布函數(shù)、數(shù)字特征等等分布函數(shù)、數(shù)字特征等等. 數(shù)理統(tǒng)計

3、是在隨機變量的分布未知數(shù)理統(tǒng)計是在隨機變量的分布未知,或不完全或不完全已知的情況下已知的情況下,通過對收集整理的數(shù)據(jù)進行分通過對收集整理的數(shù)據(jù)進行分析析,研究隨機變量的分布并做出各種統(tǒng)計推斷研究隨機變量的分布并做出各種統(tǒng)計推斷.6.1 隨機樣本隨機樣本一、總體與樣本一、總體與樣本從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機變量或隨機從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機變量或隨機變量的分布。變量的分布。總體總體：在統(tǒng)計學(xué)中：在統(tǒng)計學(xué)中, 把研究對象的全體稱為總體。把研究對象的全體稱為總體。個體個體：總體中的每個研究對象稱為個體。：總體中的每個研究對象稱為個體。在實際應(yīng)用中人們關(guān)心的是研究對象在實際應(yīng)用中人們關(guān)心

4、的是研究對象(即總體即總體)的某項數(shù)量指標(biāo)的某項數(shù)量指標(biāo),而這個數(shù)量指標(biāo)常常是事先而這個數(shù)量指標(biāo)常常是事先無法預(yù)知的，所以它是一個隨機變量無法預(yù)知的，所以它是一個隨機變量.2. 樣本樣本來自總體的部分個體來自總體的部分個體X X1 1， ，X Xn n ; ;如果滿足：如果滿足：（1 1）同分布性：同分布性： X Xi i，i=1,i=1,n ,n 與總體同分布與總體同分布（2 2）獨立性：獨立性：X X1 1， ，X Xn n 相互獨立相互獨立 則稱為則稱為容量為容量為n n 的簡單隨機樣本的簡單隨機樣本，簡稱，簡稱樣本樣本。而稱而稱X X1 1， ，X Xn n 的觀察值的觀察值x x1

5、1， ，x xn n為樣本觀察值，為樣本觀察值，抽取樣本的過程稱為抽樣。抽取樣本的過程稱為抽樣。為了研究總體的分布以及其它統(tǒng)計特性為了研究總體的分布以及其它統(tǒng)計特性, 必須按照必須按照一定的規(guī)則從總體中抽取一部分個體一定的規(guī)則從總體中抽取一部分個體, 根據(jù)獲得根據(jù)獲得的個體數(shù)據(jù)來對總體的分布和統(tǒng)計特性做出推斷的個體數(shù)據(jù)來對總體的分布和統(tǒng)計特性做出推斷.來自總體來自總體X的隨機樣本的隨機樣本X X1 1， ，X Xn n可記為可記為.,),(, )(,.1kdiinPxfxFXXX或顯然，樣本聯(lián)合分布等于一維邊緣分布的乘積顯然，樣本聯(lián)合分布等于一維邊緣分布的乘積 niinxFxxxF121*)(

6、),( niinxfxxxf121*)(),(1111nnnnxX.PxXPx,.,XxPX后兩者分別為離散型和連續(xù)型隨機變量的似然函數(shù)。后兩者分別為離散型和連續(xù)型隨機變量的似然函數(shù)。的的樣樣本本，是是總總體體若若), 1(,1pBXXXn.),(1的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布率率求求nXX解：解：的的分分布布率率為為總總體體 X110 1xxp(x)PXxp (p),x, .）的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布率率為為所所以以（nXX,1111nnniiPXx ,Xx p(x ) nixxiipp11)1( niiniixnxpp11)1(., 1, 1 , 0nixi 例例1的的樣樣本本，求求是是總總體體若若)

7、,(,21 NXXXn.),(1的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度nXX解：解：的的概概率率密密度度為為總總體體 X.,21)(222)( xexfx ）的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度為為所所以以（nXX,111nniif(x ,x )f(x ) nixie12)(2221 2122)(2)()2( niixnne., 1,nixi 例例23.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體總體 樣本樣本 樣本觀察值樣本觀察值 理論分布理論分布 統(tǒng)計是從手中已有的資料統(tǒng)計是從手中已有的資料樣本觀察值，去推斷樣本觀察值，去推斷總體的情況總體的情況總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁總體分布。樣本是

8、聯(lián)系兩者的橋梁。總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體去推斷總體來自總體的樣本含有總體的信息，是總體的代表來自總體的樣本含有總體的信息，是總體的代表.我們作統(tǒng)計推斷的依據(jù)就是樣本我們作統(tǒng)計推斷的依據(jù)就是樣本.但樣本中包含的信但樣本中包含的信息比較分散，一般不能直接用于統(tǒng)計推斷息比較分散，一般不能直接用于統(tǒng)計推斷. 為了把分散在樣本中的信息集中起來，我們針對不為了把分散在樣本中的信息集中起來，我們針對不同的問題構(gòu)造各種適當(dāng)?shù)臉颖竞瘮?shù)同的問題構(gòu)造各種適當(dāng)

9、的樣本函數(shù).這種樣本函數(shù)我這種樣本函數(shù)我們稱為統(tǒng)計量。們稱為統(tǒng)計量。二、統(tǒng)計量二、統(tǒng)計量的樣本值。的樣本值。是相應(yīng)于樣本是相應(yīng)于樣本設(shè)設(shè)),(),(11nnXXxx定義：定義： 稱樣本稱樣本X1， ，Xn 的函數(shù)的函數(shù)g(X1， ，Xn )是總是總體體X的一個的一個統(tǒng)計量統(tǒng)計量,如果如果g(X1， ，Xn )不含不含 未知參數(shù)未知參數(shù).的觀察值。的觀察值。是是則稱則稱),(),(11nnXXgxxg注：統(tǒng)計量是隨機變量。注：統(tǒng)計量是隨機變量。幾個常見的統(tǒng)計量幾個常見的統(tǒng)計量（1）樣本均值）樣本均值niiXnX11樣本均值是反映總體數(shù)學(xué)期望所在位置信息的樣本均值是反映總體數(shù)學(xué)期望所在位置信息的一

10、個統(tǒng)計量一個統(tǒng)計量,是總體數(shù)學(xué)期望的是總體數(shù)學(xué)期望的無偏無偏估計估計. 1111EE=E=E XnniiiiXXXnn 211D11DD=D=nniiiiXXXXnnn22111niiS(XX)n2SS 2222111111nniiiiS(XX)XnX nn證明：證明：2221121niiiS(XX XX )n niniiiXnXXXn1212)2(11（2）樣本方差）樣本方差 樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)取值分散與集中樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)取值分散與集中的程度的程度,即反映了總體方差與標(biāo)準(zhǔn)差的信息即反映了總體方差與標(biāo)準(zhǔn)差的信息.樣本方差是總體方差的無偏估計。樣

11、本方差是總體方差的無偏估計。 niiXnXnXXn122)2(11 niiXnXn1221122211111() nniiiinEXXEXXD Xnnn2E SD X11nkkiiAXn11B()nkkiiXXn它們分別反映了總體它們分別反映了總體k階原點矩與階原點矩與k階中心矩的信息階中心矩的信息.樣本樣本k階原點矩階原點矩是是總體總體k階原點矩階原點矩的無偏估計的無偏估計樣本樣本k階階中心中心矩矩是是總體總體k階階中心中心矩矩的無偏估計的無偏估計樣本樣本k階原點矩階原點矩樣本樣本k階中心矩階中心矩次序統(tǒng)計量次序統(tǒng)計量 被稱為樣本的第被稱為樣本的第i個次序統(tǒng)計量個次序統(tǒng)計量,它是樣本它是樣本

12、 的滿足如下條件的函數(shù)的滿足如下條件的函數(shù):每當(dāng)樣本得到一組觀察值每當(dāng)樣本得到一組觀察值( )時時,將它們將它們從小到大排列為從小到大排列為 ,第第i個值個值 便是便是 的觀察值的觀察值, 稱為該樣本的次序統(tǒng)計量稱為該樣本的次序統(tǒng)計量.)(iX),(1nXX nxxx,21)()2()1(nxxx)(ix)(iX)1 (X)(nX nXXX,21， 稱為該樣本的最小次序統(tǒng)計量稱為該樣本的最小次序統(tǒng)計量, 稱為該樣稱為該樣本的最大次序統(tǒng)計量本的最大次序統(tǒng)計量，也分別稱兩者為最小值與，也分別稱兩者為最小值與最大值最大值（4）最大次序統(tǒng)計量與最小次序統(tǒng)計量它們的觀察值分別為：它們的觀察值分別為： n

13、iixnx1122111niis(xx)n niixxns12)(112 , 1,)(11 kxxnbnikik2 , 1,11 kxnanikik分別稱為樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣分別稱為樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本本k 階原點矩、樣本階原點矩、樣本k 階中心矩的階中心矩的觀察值觀察值。6.2 抽樣分布抽樣分布一、一、 2分布分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計中常統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計中常用到如下三個分布：用到如下三個分布： 2 2分布、分布、 t t 分布和分布和F F分布。分布。 22211221.,(0,1),( ).( ).niidniiXXNXnnn

14、構(gòu)造設(shè)則稱為自由度為 的分布221( )01ninN，2.2分布的分布的密度函數(shù)密度函數(shù)f(y)曲線曲線 0y, 00y,ey)y( f2y12n)2/n(212/n 2分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)3.性質(zhì)：性質(zhì)：a.分布可加性分布可加性: 若若X 2(n1)，Y 2(n2 )， X， Y 獨立，則獨立，則 X + Y 2(n1+n2 )b.期望與方差期望與方差: 若若X 2(n)，則，則E(X)= n，D(X)=2n1.構(gòu)造構(gòu)造 若若XN(0, 1), Y 2(n), X與與Y獨立，則獨立，則 ( )/XTt nY nt(n)稱為自由度為稱為自由度為n的的t分布。分布。二、二、t分布分布 201(

15、)/Nt nnn，戈塞特戈塞特t(n) (n) 的概率密度為的概率密度為tntnnntfn,)1 ()2()21()(2122.2.基本性質(zhì)基本性質(zhì): : (1) f(t) (1) f(t)關(guān)于關(guān)于t=0(t=0(縱軸縱軸) )對稱。對稱。 x,e21) t () t ( flim2tn2 (2) f(t) (2) f(t)的極限為的極限為N(0N(0，1)1)的密度函數(shù)，即的密度函數(shù)，即 三、三、F分布分布1.構(gòu)造構(gòu)造 若若U 2(n1)， V 2(n2)，U， V獨立，則獨立，則).,(/2121nnFnVnUF 稱為第一自由度為稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為，第二自由度為n2的的F

16、分布分布,其概率密度為其概率密度為 0y, 00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)(2nn()y(h2/ )nn(2122n12n2/n21212111121112222=n/nF(n ,n )n/n四、隨機變量的分布的分位點四、隨機變量的分布的分位點xP Xxx1、設(shè)隨機變量、設(shè)隨機變量XF(x),給定常數(shù)給定常數(shù) :0 1，zzzP X若存在若存在 ， 滿足滿足 ，則稱則稱 為分布為分布F(x)的上的上(側(cè)側(cè)) 分位點分位點.2、設(shè)隨機變量、設(shè)隨機變量XN(0,1) , 給定常數(shù)給定常數(shù) :0 1，若存在若存在 ， 滿足滿足 ，則稱則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)的上側(cè) 分位

17、點分位點.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點zZ=1-0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.090 2.576 2.327 1.96 1.645 1.2822Z=1-21+z=0z也可以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)來求其分位點也可以利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)來求其分位點設(shè)設(shè)X 2(n)，若對于，若對于 ：0 1，若存在，若存在 滿足滿足)(2n,)(2nXP)(2n )(2n 則稱則稱 為為 分布的上分布的上 分位點。分位點。)(2n2 2分布分位點分布分位點設(shè)設(shè)T Tt(n)t(n)，若對，若對 :0:0 1,tPTt (n(n)=)= ，則稱則稱t t

18、(n)(n)為為t(n)t(n)的上側(cè)的上側(cè) 分位點分位點. .)(nt1( )+( )=0tntnt分布分位點分布分位點)(1nt設(shè)設(shè)F F F(n1F(n1, , n2)n2)對于對于 ：00 1FPFF (n(n1 1, , n n2 2)=)= ， 則稱則稱F F (n(n1 1, , n n2 2) )為為F(nF(n1 1, , n n2 2) )的上側(cè)的上側(cè) 分位點分位點),(21nnF 12121112211( ,)(,)1( ,)(,)F n nFn nFn nF n nF分布的分位點分布的分位點F分布分布分位點的性質(zhì)的證明分位點的性質(zhì)的證明6.3 正態(tài)總體的抽樣分布定理正態(tài)

19、總體的抽樣分布定理211.,( ,),i i dnXXN 若則) 1, 0(/1NnXU）（2(4) XS與相互獨立) 1() 1()3(2222nSn(2) (1)/XTt nSn抽樣分布定理的證明抽樣分布定理的證明正態(tài)總體的抽樣分布定理是置信區(qū)間與假設(shè)檢正態(tài)總體的抽樣分布定理是置信區(qū)間與假設(shè)檢驗的理論基礎(chǔ)驗的理論基礎(chǔ).2) 1() 1().2(/1/1)(,)2(2122221122121212221稱為混合樣本方差其中就有假定進一步nnSnSnSnntnnSYXTww122211112222111222222.,(,),(,),./(1)(1,1);/i i di i dnnXXNYYN

20、SFF nnS 若且兩樣本獨立 則練習(xí)題練習(xí)題1例例1：設(shè)總體：設(shè)總體XN(10,32), X1， ，Xn是它的一個樣本是它的一個樣本 61iiXZ(1)寫出寫出Z所服從的分布所服從的分布;(2)求求P(Z11).)54,60( NZ1)67. 6(1)5460115460()11(ZPZP 設(shè)設(shè)X1， ，Xn是取自是取自N（ , 2)的樣的樣本本,求樣本方差求樣本方差S2的期望與方差。的期望與方差。練習(xí)題練習(xí)題2) 1() 1()3(2222nSn2211(n)SE(n)22E S 解：由抽樣分布定理解：由抽樣分布定理再利用再利用 2分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)22121(n)SD(n)4221D

21、Sn于是，得于是，得 設(shè)設(shè)X1， ，X10是取自是取自N（0，0.32)的樣本的樣本,求求 101244. 1iiXP練習(xí)題練習(xí)題321021100 3iiX.210102111 44 =P160 10 3iiiiXPX.20 110 =15 987.解：由解：由 2分布的定義，得分布的定義，得于是于是其中其中知識點示意圖知識點示意圖統(tǒng)計量 2分布分布t分布F分布單正態(tài)總體雙正態(tài)總體三大分布抽樣分布定理樣本總體分分位位點點本節(jié)要求本節(jié)要求內(nèi)容內(nèi)容1 1、理解總體、樣本與樣本聯(lián)合分布等概念；理解總體、樣本與樣本聯(lián)合分布等概念；2 2、理解統(tǒng)計量的概念，熟悉常見的統(tǒng)計量；理解統(tǒng)計量的概念，熟悉常見

22、的統(tǒng)計量；3、理解三大分布的定義；、理解三大分布的定義；4、理解三大分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點；、理解三大分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點；5、熟悉正態(tài)總體的抽樣分布定理。、熟悉正態(tài)總體的抽樣分布定理。要求要求1、會求樣本聯(lián)合分布律與聯(lián)合概率密度；、會求樣本聯(lián)合分布律與聯(lián)合概率密度；2、判定一個隨機變量是否服從三大分布；、判定一個隨機變量是否服從三大分布；3、會求分位點；、會求分位點；4、會利用正態(tài)分布的抽樣分布定理解題。、會利用正態(tài)分布的抽樣分布定理解題。1),(211nnFFP證明證明:設(shè)設(shè)FF(n1,n2),則則),(1),(12211nnFnnF 注：注：),(112nnFF),(11211

23、nnFFP),(112nnFFP得證得證!1),(11211nnFFPF分布分布分位點的性質(zhì)的證明分位點的性質(zhì)的證明返回返回（1）證明）證明 n 個獨立的正態(tài)隨機個獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合變量的線性組合,故服從正態(tài)分布。故服從正態(tài)分布。niiXnX11niiXEnXE1)(1)(nXDnXDnii212)(1)(),(2nNX) 1, 0(/NnX抽樣分布定理的證明抽樣分布定理的證明(2)證明證明:)1, 0(/NnXU 2222(1)(1);nSn且且U與與 獨立獨立,根據(jù)根據(jù)t分布的構(gòu)造分布的構(gòu)造2 (1)1Ut nn) 1(/ntnSXT2返回返回戈塞特戈塞特(William Sea

24、ley Gosset, 1876.6.131937.10.16) 英國統(tǒng)計學(xué)家出生于英國肯特郡坎特伯雷市，求學(xué)于英國統(tǒng)計學(xué)家出生于英國肯特郡坎特伯雷市，求學(xué)于曼徹斯特學(xué)院和牛津大學(xué)，主要學(xué)習(xí)化學(xué)和數(shù)學(xué)曼徹斯特學(xué)院和牛津大學(xué)，主要學(xué)習(xí)化學(xué)和數(shù)學(xué)1899年，年，戈塞特進入都柏林的戈塞特進入都柏林的A.吉尼斯父子釀酒廠，在那里可得到一吉尼斯父子釀酒廠，在那里可得到一大堆有關(guān)釀造方法、原料（大麥等）特性和成品質(zhì)量之間的大堆有關(guān)釀造方法、原料（大麥等）特性和成品質(zhì)量之間的關(guān)系的統(tǒng)計數(shù)據(jù)關(guān)系的統(tǒng)計數(shù)據(jù) 戈塞特是小樣本統(tǒng)計理論的開創(chuàng)者戈塞特是小樣本統(tǒng)計理論的開創(chuàng)者.戈塞特在釀酒公司戈塞特在釀酒公司工作中發(fā)現(xiàn)

25、，供釀酒的每批麥子質(zhì)量相差很大，而同一批麥工作中發(fā)現(xiàn)，供釀酒的每批麥子質(zhì)量相差很大，而同一批麥子中能抽樣供試驗的麥子又很少，每批樣本在不同的溫度下子中能抽樣供試驗的麥子又很少，每批樣本在不同的溫度下做實驗，其結(jié)果相差很大做實驗，其結(jié)果相差很大.這樣一來，實際上取得的麥子樣這樣一來，實際上取得的麥子樣本，不可能是大樣本，只能是小樣本本，不可能是大樣本，只能是小樣本.可是，從小樣本來分可是，從小樣本來分析數(shù)據(jù)是否可靠？誤差有多大？小樣本理論就在這樣的背景析數(shù)據(jù)是否可靠？誤差有多大？小樣本理論就在這樣的背景下應(yīng)運而生下應(yīng)運而生1905年，戈塞特利用酒廠里大量的小樣本數(shù)據(jù)年，戈塞特利用酒廠里大量的小樣

26、本數(shù)據(jù)寫了第一篇論文寫了第一篇論文誤差法則在釀酒過程中的應(yīng)用誤差法則在釀酒過程中的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，在此基礎(chǔ)上，1907年戈塞特決心把小樣本和大樣本之間的年戈塞特決心把小樣本和大樣本之間的差別搞清楚差別搞清楚.為此，他試圖把一個總體中的所有小樣本的平均數(shù)為此，他試圖把一個總體中的所有小樣本的平均數(shù)的分布刻畫出來的分布刻畫出來.做法是，在一個大容器里放了一批紙牌，把它做法是，在一個大容器里放了一批紙牌，把它們弄亂，隨機地抽若干張，對這一樣本做實驗記錄觀察值，然們弄亂，隨機地抽若干張，對這一樣本做實驗記錄觀察值，然后再把紙牌弄亂，抽出幾張，對相應(yīng)的樣本再做實驗觀察，記后再把紙牌弄亂，抽出幾張，對相應(yīng)的樣本再做實驗觀察，記錄觀察值錄觀察值.大量地記錄這種隨機抽樣的小樣本觀察值，就可借以大量地記錄這種隨機抽樣的小樣本觀察值，就可借以獲得小樣本觀察值的分布函數(shù)獲得小樣本觀察值的分布函數(shù).若觀察值是平均數(shù)，戈塞特把它若觀察值是平均數(shù)，戈塞特把它叫做叫做t分布函數(shù)分布函數(shù)1908年，戈塞特以年，戈塞特以“學(xué)生（學(xué)生（