1、個性化教案內(nèi)部資料,存檔保存,不得外泄海豚教育個性化教案編號：教案正文：輔助線的添加【知識要點】平面幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要組成局部,證實是平面幾何的重要內(nèi)容.許多初中生對幾何證實題感到困難,尤其是對需要添加輔助線的證實題,往往束手無策.在這里我們介紹"添加輔助線"在平面幾何中的運用.一、三角形中常見輔助線的添加1 .與角平分線有關(guān)的i可向兩邊作垂線.ii可作平行線,構(gòu)造等腰三角形iii在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形2 .與線段長度相關(guān)的i截長：證實某兩條線段的和或差等于第三條線段時,經(jīng)常在較長的線段上截取一段,使得它和其中的一條相等,再利用全等或相似證實余下的等

2、于另一條線段即可ii補短：證實某兩條線段的和或差等于第三條線段時,也可以在較短的線段上延長一段,使得延長的局部等于另外一條較短的線段,再利用全等或相似證實延長后的線段等于那一條長線段即可iii倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線,方法是將中線延長一倍,再將端點連結(jié),便可得到全等三角形.iv遇到中點,考慮中位線或等腰等邊中的三線合一.3 .與等腰等邊三角形相關(guān)的i考慮三線合一ii旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù),構(gòu)造全都三角形,等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù),等邊旋轉(zhuǎn)60二、四邊形特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.1、

3、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一,它有許多可以利用性質(zhì),為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平彳T四邊形.i .利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形ii .利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形iii .利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形2、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線,借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題i .作菱形的高；ii .連結(jié)菱形的對角線.3、與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：i.計算型題,一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；ii.證實或探索題,一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決

4、問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.4、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形,它既是軸對稱圖形,又是中央對稱圖形,有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線,作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線5、與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：(1)作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；(2)作梯形的高,構(gòu)造矩形和直角三角形；(3)作一對角線的平行線,構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；(4)延長兩腰構(gòu)成三角形；(5)作兩腰的平行線等.三、圓1 .遇到弦時(解決有關(guān)弦的問題時)常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半徑(或直徑)或再

5、連結(jié)過弦的端點的半徑.作用：利用垂徑定理； 利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系； 利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形,根據(jù)勾股定理求有關(guān)量.2 .遇到有直徑時常常添加(畫)直徑所對的圓周角.作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形.3 .遇到90度的圓周角時常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點.作用：利用圓周角的性質(zhì),可得到直徑.4 .遇到弦時常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點,構(gòu)成等腰三角形,還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點.作用：可得等腰三角形；據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角.5 .遇到有切線時(1)常常添加過切點的半徑(連結(jié)圓心和切點)作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OA±

6、AR得到直角或直角三角形.(2)常常添加連結(jié)圓上一點和切點作用：可構(gòu)成弦切角,從而利用弦切角定理.6 .遇到證實某一直線是圓的切線時(1)假設(shè)直線和圓的公共點還未確定,那么常過圓心作直線的垂線段.作用：假設(shè)OA=r,那么l為切線.(2)假設(shè)直線過圓上的某一點,那么連結(jié)這點和圓心(即作半徑)作用：只需證OALl,那么l為切線.(3)有遇到圓上或圓外一點作圓的切線7 .遇到兩相交切線時(切線長)常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點、連結(jié)兩切點.作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì),可得到：角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形.8 .遇到三角形的內(nèi)切圓時連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點,或過內(nèi)心作三角形各邊

7、的垂線段.作用：利用內(nèi)心的性質(zhì),可得：內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線；內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等.9 .遇到三角形的外接圓時,連結(jié)外心和各頂點作用：外心到三角形各頂點的距離相等.10 .遇到兩圓外離時解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線,或平移連心線.作用：利用切線的性質(zhì);利用解直角三角形的有關(guān)知識.11 .遇到兩圓相交時常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等.作用：利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識;利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；垂徑定理.12 .遇到兩圓相切時常常作連心線、公切線.作用：利用連心線性質(zhì);切線性質(zhì)

8、等.13 .遇到三個圓兩兩外切時常常作每兩個圓的連心線.作用：可利用連心線性質(zhì).“頂角時常常添加輔助圓.14 .遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向且有相等作用：以便利用圓的性質(zhì).【歷年考卷形勢分析及中考預(yù)測】平面幾何是歷年來中考和競賽的必考內(nèi)容,其題目的靈活性遠(yuǎn)遠(yuǎn)是代數(shù)題目所不能比較的,從簡單的選擇填空到較為復(fù)雜的中考壓軸題甚至競賽中的壓軸題,出題范圍極為廣泛,難易程度差距較大,對于學(xué)生的數(shù)學(xué)知識綜合運用水平考察較多.縱觀近6年廣州市的中測試題,分值分布大約在60分左右,其中簡單的題目大約占43分,其余的17分較難,每年必有一道幾何壓軸題,分值14分,經(jīng)常和實際問題,動點問題及函數(shù)

9、問題結(jié)合,難度較大,應(yīng)引起同學(xué)們的高度重視.題目難主要難在輔助線的添加,尤其像特殊四邊形及圓中的問題,從中考考綱來看,2021年廣州市中考命題,同往年相比,變化不大,壓軸題中可能會以三角形或四邊形結(jié)合動點問題給出,或者以圓中相關(guān)知識為背景,結(jié)合動點,函數(shù)問題給出,區(qū)分度較大.【考點精析】考點1.三角形：例1如圖,AB=CDE為BC中點,/BAC4BCA求證：AD=2AEAEC例2如圖,AB>AC,/1=/2,求證：AB-AC>BD-CD)例3如圖9-5,設(shè)O是正三角形ABC內(nèi)一點,/AOB=115,/BOC=125.求以線段OA,OB,OC為邊構(gòu)成的三角形的各角.【舉一反三】1、如

10、圖,AB=6,AC=8,D為BC的中點,求AD的取值范圍2、如圖,BC>BABD平分/ABC且AD=CD求證：/A+/C=18Q考點2.四邊形：例5如圖1,點O是平行四邊形ABCD勺對角線AC的中點,四邊形OCD國平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.例6如圖3,AD是ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證BF=AC.例7如圖7,矩形ABCg一點,PA=3,PB=4,PC=5.求PD的長.1.如圖2,在ABC中,E、F為AB上兩點,AE=BFED/AC,FG/AC交BC分別為D,G.求證:ED+FG=AC.2.如圖考點3.圓:6,四邊形ABC比菱形,E為邊AB上一個

11、定點,F是AC上一個動點,求證EF+BF的最小值等于DE例102021江蘇泰州,18,3分如圖.的半徑為1cm,弦AB、CD的長度分別為J2cm,1cm,那么試求弦AC、BD所夾的銳角例112021年安徽蕪湖市如下圖,在圓.O內(nèi)有折線OABC,其中OA=8,AB=12,/A=/B=60°,試求BC的長為.例12.(2021山東臨沂)如圖,AB是半圓的直徑,0為圓心,AD、BD是半圓的弦,且PDAPBD.(1)判斷直線PD是否為eO的切線,并說明理由；(2)如果BDE60°,PD邪,求PA的長.【舉一反三】1.：如圖12,在RtABC中,C90°,點0在AB上,以0

12、為圓心,0A長為半徑的圓與AC,AB分別交于點D,E,且CBDA.(1)判斷直線BD與.0的位置關(guān)系,并證實你的結(jié)論;(2)假設(shè)ADBD2,求.0的面積.2.(天河一模)如圖,在RtABC中,/ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是ABC的角平分線,過A、CD三點的圓與斜邊AB交于點E,連接DE(1)求證：AC=AE;(2)求ACD7卜接圓的半徑.B綜合例14.(2021寧夏回族自治區(qū))在4ABC中,/BAC=45°,ADBC于D,將ABD沿AB所在的直線折疊,使點D落在點E處；將4ACD沿AC所在的直線折疊,使點(1)判斷四邊形AEMF的形狀,并給予證實.(2)假設(shè)

13、BD=1,CD=2,試求四邊形AEMF的面積.D落在點F處,分別延長EB、FC使其交于點M.例15.(2021河北)觀察思考某種在同一平面進(jìn)行傳動的機(jī)械裝置如圖14-1,圖14-2是它的示意圖.其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動,在Q滑動的過程中,連桿PQ也隨之運動,并且PQ帶動連桿OP繞固定點O擺動.在擺動過程中,兩連桿的接點半徑的.上運動.數(shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊含的數(shù)學(xué)知識,過點O作OH于點H,并測得OH=4分米,PQ=3分米,OP=2分米.解決問題(1)點Q與點O間的最小距離是分米；點Q與點O間的最大距離是分米;點Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是分

14、米.(2)如圖14-3,小明同學(xué)說：“當(dāng)點Q滑動到點H的位置時,PQ與.是相切的.你認(rèn)為他的判斷對嗎？為什么？(3)小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點P運動到OH上時,點P至M的距離最小.事實上,還存在著點P到l距離最大的位置,此時,點P到l的距離是分米；當(dāng)OP繞點O左右擺動時,所掃過的區(qū)域為扇形,求這個扇形面積最大時圓心角的度數(shù).DPO圖14-3舉一反三1.2021年寧德市此題總分值13分如圖,四邊形ABC虛正方形,4ABE是等邊三角形,M為對角線BD不含B點上任意一點,將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN連接ENAMCM.求證：AMB2ENB當(dāng)M點在何處時,A-CM勺值最??；當(dāng)M點在何處時,A-BWCM的值最小,并說明理由;當(dāng)AM+BMCM的最小彳1為串1時,求正方形的邊長2.廣雅一模平面直角坐標(biāo)系中有一張矩形紙片OABCO為坐標(biāo)原點,A點坐標(biāo)為10,0,C點坐