1、1/46 在生產(chǎn)和實(shí)驗(yàn)中，函數(shù)在生產(chǎn)和實(shí)驗(yàn)中，函數(shù)f (x)無(wú)表達(dá)式無(wú)表達(dá)式, 只知道只知道f(x)在在一些給定點(diǎn)的函數(shù)值一些給定點(diǎn)的函數(shù)值(或其導(dǎo)數(shù)值或其導(dǎo)數(shù)值) ，或者其表達(dá)式復(fù)，或者其表達(dá)式復(fù)雜不便于計(jì)算，此時(shí)我們希望建立一個(gè)簡(jiǎn)單而又便于雜不便于計(jì)算，此時(shí)我們希望建立一個(gè)簡(jiǎn)單而又便于計(jì)算的函數(shù)計(jì)算的函數(shù) ( (x) )，使其近似的代替使其近似的代替f( (x) ). . 第四章第四章 插值與擬合插值與擬合插值法插值法：插值法是利用函數(shù)插值法是利用函數(shù)f(x)在一組節(jié)點(diǎn)在一組節(jié)點(diǎn)x0 , x1, . , xny0 , y1 , , yn，構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù) (x)來(lái)逼近已知

2、函數(shù)來(lái)逼近已知函數(shù)f(x) ，并要求插值函數(shù)與已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值相同并要求插值函數(shù)與已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值相同,即即: (x0)=y0 , (x1)=y1 , , (xn)=yn求近似求近似函數(shù)函數(shù) ( (x) )的方法一般分為兩類的方法一般分為兩類: : 一類是一類是插值插值, ,另一類是另一類是擬合擬合. .引例及問(wèn)題綜述引例及問(wèn)題綜述2/46插值法插值法：插值法是利用函數(shù)在一組節(jié)點(diǎn)上的值，構(gòu)造插值法是利用函數(shù)在一組節(jié)點(diǎn)上的值，構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)一個(gè)插值函數(shù) (x)來(lái)逼近已知函數(shù)來(lái)逼近已知函數(shù)f(x) ，并要求插值，并要求插值函數(shù)與已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值相同。函數(shù)與已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處

3、的函數(shù)值相同。曲線擬合方法曲線擬合方法:不要求近似函數(shù)不要求近似函數(shù) (x)所表示的函數(shù)嚴(yán)格所表示的函數(shù)嚴(yán)格通過(guò)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)通過(guò)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi),而是通過(guò)觀察這些點(diǎn)的分布規(guī)律，而是通過(guò)觀察這些點(diǎn)的分布規(guī)律，選擇某種能描述這一近似規(guī)律的函數(shù)選擇某種能描述這一近似規(guī)律的函數(shù) (x)來(lái)來(lái)逼近函數(shù)逼近函數(shù)f(x)，然后按照某種原則使逼近效果總體上盡可能好，然后按照某種原則使逼近效果總體上盡可能好，其中最常見(jiàn)的原則就是其中最常見(jiàn)的原則就是最小二乘原理最小二乘原理。但在實(shí)際應(yīng)用中，節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值通常不是精確值，而但在實(shí)際應(yīng)用中，節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值通常不是精確值，而是由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量得到的數(shù)據(jù)，不可避免的帶有

4、誤差，如是由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量得到的數(shù)據(jù)，不可避免的帶有誤差，如果用插值法，會(huì)保留這些誤差，影響精度。為了盡量減果用插值法，會(huì)保留這些誤差，影響精度。為了盡量減少這種測(cè)量誤差，人們又提出了另外一種構(gòu)造近似函數(shù)少這種測(cè)量誤差，人們又提出了另外一種構(gòu)造近似函數(shù)的方法的方法曲線擬合方法。曲線擬合方法。3/46原始數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖原始數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分段線性插值分段線性插值二次分段擬合曲線二次分段擬合曲線已知數(shù)據(jù)點(diǎn)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)4/46艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)2006高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目 艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲

5、得性免疫缺損綜合癥獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡(jiǎn)稱，英文簡(jiǎn)稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒人體免疫缺損病毒”, 英文簡(jiǎn)稱英文簡(jiǎn)稱HIV）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)?shù)娜肭种衅鹬匾饔茫?dāng)CD4被被HIV感染而裂解時(shí)，其數(shù)量會(huì)急劇減少，感染而裂解時(shí)，其數(shù)量會(huì)急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)將迅速增加，導(dǎo)致致AIDS發(fā)作

6、。發(fā)作。 艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的時(shí)產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提減少的速度，以提高人體免疫能力。高人體免疫能力。迄今為止人類還沒(méi)有找到能根治迄今為止人類還沒(méi)有找到能根治AIDS的療法，目前的一些的療法，目前的一些AIDS療法不僅對(duì)人體有副作用，而且成本也很高。許多國(guó)家和療法不僅對(duì)人體有副作用，而且成本也很高。許多國(guó)家和醫(yī)療組織都在積極試驗(yàn)、尋找更好的醫(yī)療組織都在積極試驗(yàn)、尋找更好的AIDS療法。療法。5/46附件附件1: 同時(shí)服用同時(shí)服用3種藥物種藥物（zidovud

7、ine(齊多夫定齊多夫定 ), lamivudine(拉米夫定拉米夫定 ),indinavir(茚地那韋茚地那韋 )）的）的300多名多名病人每隔幾周病人每隔幾周測(cè)試的測(cè)試的CD4和和HIV的濃度。的濃度。第第1列是病人編號(hào)，第列是病人編號(hào)，第2列是測(cè)試列是測(cè)試CD4的時(shí)刻（周），第的時(shí)刻（周），第3列是列是測(cè)得的測(cè)得的CD4（乘以（乘以0.2個(gè)個(gè)/ml），第），第4列是測(cè)試列是測(cè)試HIV的時(shí)刻的時(shí)刻（周），第（周），第5列是測(cè)得的列是測(cè)得的HIV（單位不詳）。（單位不詳）。現(xiàn)在得到了美國(guó)艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)現(xiàn)在得到了美國(guó)艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的公布的兩組數(shù)據(jù)。兩組數(shù)據(jù)。(略略) PtI

8、D CD4Date CD4Count RNADateVLoad234240 178 0 5.5234244 228 4 3.9234248 126 8 4.72342425 171 25 42342440 99 40 5 0 14 0 5.323425 6/46附件附件2: 1300多名多名病人病人按照按照4種療法種療法服藥大約服藥大約每隔每隔8周周測(cè)試的測(cè)試的CD4濃度。濃度。第第1列是病人編號(hào)，第列是病人編號(hào)，第2列是列是4種療法的代碼：種療法的代碼：1 = 600mg zidovudine(齊多夫定齊多夫定) 與與400mg didanosine(去羥肌苷去羥肌苷)按月輪換使用；按月輪換

9、使用；2 = 600mg zidovudine 加加2.25mg zalcitabine(雙脫雙脫氧胞苷氧胞苷 )；3 = 600mg zidovudine 加加400mg didanosine；4 = 600mg zidovudine 加加400mg didanosine 加加400mg nevirapine(奈韋拉平奈韋拉平 )。第第3列是病人年齡，第列是病人年齡，第4列是測(cè)試列是測(cè)試CD4的時(shí)刻（周），第的時(shí)刻（周），第5列是列是測(cè)得的測(cè)得的CD4，取值，取值log(CD4+1).ID 療法療法 年齡年齡 時(shí)間時(shí)間 Log(CD4 count+1) 1236.42710 3.1355 1

10、236.42717.57143.0445 1236.427115.57142.7726 1236.427123.57142.8332 1236.427132.57143.2189 .7/46 請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：（1）利用附件利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間（繼續(xù)治療指在測(cè)試終止后繼續(xù)服定最佳治療終止時(shí)間（繼續(xù)治療指在測(cè)試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。療）。（2）利用附件利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣（僅以種療法的

11、優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)），并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者為標(biāo)準(zhǔn)），并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測(cè)繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間。確定最佳治療終止時(shí)間。（3） 艾滋病藥品的主要供給商對(duì)不發(fā)達(dá)國(guó)家提供的藥艾滋病藥品的主要供給商對(duì)不發(fā)達(dá)國(guó)家提供的藥品價(jià)格如下：品價(jià)格如下：600mg zidovudine 1.60美元，美元，400mg didanosine 0.85美元，美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考慮美元。如果病人需要考慮4種療法的種療法的費(fèi)用，對(duì)（費(fèi)用，對(duì)（2）中的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)（或者提前終止）

12、有什么）中的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)（或者提前終止）有什么改變。改變。8/469/4610/4635歲-45歲-40-30-20-1001020301234567123411/460102030405060708090100020406080100120140終 止 時(shí) 間健康指標(biāo)CI早 期 擬 合 曲 線 圖010203040506070800102030405060708090100終 止 時(shí) 間 （ 周 ）健康指標(biāo)K中 期 擬 合 曲 線 圖01020304050607080901000102030405060終 止 時(shí) 間 （ 周 ）健康指標(biāo)K晚 期 擬 合 曲 線 圖12/4613/46-1001

13、020304050050010001500200025003000)1/(1124.386109017. 09942. 2xey生長(zhǎng)阻滯模型生長(zhǎng)阻滯模型 14/29缺少數(shù)據(jù)缺少數(shù)據(jù)年份年份平均學(xué)費(fèi)平均學(xué)費(fèi)19891989187.06187.0619901990190.64190.6419911991205.09205.0919921992396.56396.5619931993592.99592.9919941994871.13871.13年份年份平均學(xué)費(fèi)平均學(xué)費(fèi)199519951064.081064.08199619961816.251816.25199719972312.502312.50

14、199819982755.482755.48199919993548.363548.36200020004620.824620.82200120014620.824620.82200220024547.82354547.8235200320034676.1954 4676.1954 200420044894.69544894.6954200520055092.0835092.083200620065157.1185157.118缺少數(shù)據(jù)是用樣條缺少數(shù)據(jù)是用樣條插值函數(shù)求出來(lái)的插值函數(shù)求出來(lái)的高等教育學(xué)費(fèi)問(wèn)題探討高等教育學(xué)費(fèi)問(wèn)題探討15/46*數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖O 擬合曲線圖擬合曲線圖(*其中

15、部分?jǐn)?shù)據(jù)是用樣條插值函數(shù)求出來(lái)的其中部分?jǐn)?shù)據(jù)是用樣條插值函數(shù)求出來(lái)的)樣條插值樣條插值1) 106.1875391.4955(5391.4955)(0.3932tetx16/46 插值法是函數(shù)逼近的重要方法之一，有著廣插值法是函數(shù)逼近的重要方法之一，有著廣泛的應(yīng)用泛的應(yīng)用 。 基本思想基本思想:就是利用函數(shù)就是利用函數(shù)f (x)在一些給定點(diǎn)的在一些給定點(diǎn)的函數(shù)值函數(shù)值(或其導(dǎo)數(shù)值或其導(dǎo)數(shù)值) ，建立一個(gè)簡(jiǎn)單而又便于計(jì)，建立一個(gè)簡(jiǎn)單而又便于計(jì)算的函數(shù)算的函數(shù) ( (x) )，使其近似的代替使其近似的代替f( (x) ) . . 插值法插值法有很有很多種多種, ,其中以其中以拉格朗日拉格朗日( (

16、LagrangeLagrange) )插值和插值和牛頓牛頓( (NewtonNewton) )插值為代表的多項(xiàng)式插值最插值為代表的多項(xiàng)式插值最有特點(diǎn)有特點(diǎn), ,常用的插值還有常用的插值還有HermitHermit插值插值, ,分段分段插值和插值和樣條插值樣條插值. .插值法插值法17/46插值法插值法 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 在在區(qū)間區(qū)間a,b上有定義上有定義,且已知且已知f(x)在在a,b上上n+1個(gè)個(gè)互異點(diǎn)互異點(diǎn)x0 , x1, . , xn 處的值處的值 y0 , y1 , , yn , 若存在若存在一個(gè)一個(gè)近似近似函數(shù)函數(shù) (x) ，滿足，滿足 ： (x0)=y0 , (x1)=y

17、1 , , (xn)=yn , (*)則稱則稱 (x)為為f(x)的的插值函數(shù)插值函數(shù)，f(x) 稱為稱為被插值函數(shù)被插值函數(shù)，x0 , x1, . , xn 稱為稱為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)。(*)式稱為式稱為插值條件插值條件。而誤差函數(shù)而誤差函數(shù)R(x)=f(x) - (x)稱為稱為插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)?；靖拍罨靖拍顫M足同一插值條件的插值函數(shù)滿足同一插值條件的插值函數(shù) (x)有許多類型，如：有許多類型，如：多項(xiàng)式函多項(xiàng)式函數(shù)類型、三角函數(shù)類型、指數(shù)函數(shù)類型數(shù)類型、三角函數(shù)類型、指數(shù)函數(shù)類型等，等，常用的插值函數(shù)是常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式多項(xiàng)式,我們稱其為我們稱其為代數(shù)插值（或多項(xiàng)式插值）。代數(shù)插值（

18、或多項(xiàng)式插值）。 (x)作為函數(shù)作為函數(shù) y=f(x) 的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式(近似函數(shù)近似函數(shù)),滿足滿足: y= f(x) (x)我們把構(gòu)造滿足插值條件的近似函數(shù)我們把構(gòu)造滿足插值條件的近似函數(shù) (x)，稱為稱為插值問(wèn)題插值問(wèn)題。 我們這章只討論代數(shù)插值：插值多項(xiàng)式我們這章只討論代數(shù)插值：插值多項(xiàng)式Pn(x)是是否存在否存在?如何求解如何求解?插值誤差和余項(xiàng)如何估計(jì)插值誤差和余項(xiàng)如何估計(jì)?18/46 最簡(jiǎn)單的插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單的插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式 Pn(x)=a0+a1x+anxn, . (1)這時(shí)插值問(wèn)題變?yōu)檫@時(shí)插值問(wèn)題變?yōu)?求一個(gè)求一個(gè)n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式Pn(x),使其滿足

19、插使其滿足插值條件值條件: pn(xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2) 只要求出只要求出Pn(x)的系數(shù)的系數(shù)a0 ,a1, an即可即可, ,為此由插值條為此由插值條件件(2)(2)知知P Pn n( (x) )的系數(shù)滿足下列的系數(shù)滿足下列n+1n+1個(gè)代數(shù)方程構(gòu)成的個(gè)代數(shù)方程構(gòu)成的線性方程組線性方程組 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 . (3) a0+a1xn+anxnn=yn pn(x0)=y0pn(x1)=y1pn(xn)=yn19/46 而而ai(i=0,1,2,n)的系數(shù)行列式是的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式行列式xxxx

20、xxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10.1.1.1),.,V(niijjixx110)( 由于由于xi互異，所以互異，所以(4)右端不為零，從而方程組右端不為零，從而方程組(3)的解的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。解出存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就可構(gòu)造出來(lái)了。但遺憾的就可構(gòu)造出來(lái)了。但遺憾的是是方程組方程組(3)是病態(tài)方程組是病態(tài)方程組,當(dāng)階數(shù)當(dāng)階數(shù)n越越高時(shí)，病高時(shí)，病態(tài)越重態(tài)越重。為此我們從另一途徑來(lái)尋求獲得。為此我們從另一途徑來(lái)尋求獲得Pn(x) 的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。插值。 21/461 Lagr

21、ange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上有定義，且已知在上有定義，且已知在點(diǎn)點(diǎn)ax0 x1.xnb上的函數(shù)值為上的函數(shù)值為y0,y1,y2,.,yn，求，求一個(gè)一個(gè)次數(shù)不超過(guò)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 Ln(x)=a0+a1x+.+anxn (1)*使得使得 Ln(xi)=yi (i=0,1,2,.,n) (2)*成立。稱成立。稱(1)*式為滿足插值條件式為滿足插值條件(2)*的的拉格朗日插拉格朗日插值多項(xiàng)式值多項(xiàng)式。 22/46由兩點(diǎn)式由兩點(diǎn)式,可求可求L1(x)的表達(dá)式的表達(dá)式)(001010 xxxxyyyy,)(101001011yxxxxyxxxx

22、xL整理得整理得:另一種推導(dǎo)方式另一種推導(dǎo)方式:令令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1一、拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造一、拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造線性插值線性插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式1、線性插值、線性插值先從最簡(jiǎn)單的線性插值先從最簡(jiǎn)單的線性插值(n=1)開(kāi)始開(kāi)始.即有：即有：a=x0，b=x1, 這時(shí)插值問(wèn)題這時(shí)插值問(wèn)題就就是求一次多項(xiàng)式是求一次多項(xiàng)式L1(x)(=c+dx )，使使其其滿足條件滿足條件： L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1 ,23/46,)(0101xxxxxl,)(1010 xxxxxl,)(101001011yxxxxyxxxxxL即即l0(x)含有因子含有因子x-x

23、1， l1(x)含有因子含有因子(x-x0)，l0(x), l1(x)稱為以稱為以x0 , x1 為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的線性線性插值基函數(shù)插值基函數(shù)這樣得到一次這樣得到一次插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式:令令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1l0(x0)=1, l1(x0)=0,l0(x1)=0, l1(x1)=1.令令 l0(x)=0 (x-x1) , l1(x)=1 (x-x0)，利用利用 l0(x0)=1 和和 l1(x1)=1確定其中的系數(shù)確定其中的系數(shù)0， 1得：得： 線線性性插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式0=1/(x0-x1)故有故有:由由L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1得得1=1/(x1

24、-x0)24/46令令 L2(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 。線性插值僅僅用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的信息，精確度較差。為了線性插值僅僅用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的信息，精確度較差。為了提高精確度，我們進(jìn)一步考察以下提高精確度，我們進(jìn)一步考察以下三點(diǎn)的插值三點(diǎn)的插值問(wèn)題：?jiǎn)栴}：求二次多項(xiàng)式求二次多項(xiàng)式 L2(x) =a0 + a1x + a2x2，使其滿足條件：，使其滿足條件：L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2)()()(2010210 xxxxxxxxxl類似的可以得出類似的可以得出 l1(x) , l2(x) :)()()(2101201xxxxxxxx

25、xl)()()(1202102xxxxxxxxxl這樣這樣 l0(x)含有含有 x-x1 , x-x2 兩兩個(gè)因子，令個(gè)因子，令 l0(x)=0 (x-x1)(x-x2) ,利用利用 l0(x0)=1 確定其中確定其中的系數(shù)的系數(shù)0，得得 2、拋物線插值、拋物線插值l0 (x0 )=1 , l1 (x0 )=0 , l2 (x0 )=0 , l0 (x1 )=0 , l1 (x1 )=1 , l2 (x1 )=0 , l0 (x2 )=0 , l1 (x2)=0 , l2 (x2 )=1 .yxxxxxxyxxxxxxxxxxxxLxxxxxxx2120210121012002010212)(

26、)()()()()()(y25/46于是于是 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1) L2(x)=-y0 + -y1 + -y2 .(4) (x0-x1)(x0-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1)l0(x) , l1(x) , l2(x) 稱稱 為以為以 x0 , x1 , x2為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的拋物拋物 線線插值基函數(shù)插值基函數(shù)。 3、n次多項(xiàng)式插值次多項(xiàng)式插值：仿照線性插值和二次插值的辦法，仿照線性插值和二次插值的辦法， 進(jìn)一步進(jìn)一步討論一般形式的討論一般形式的 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 Ln(x)=a0 +a1x +a2x2

27、 + + anxn ,使其滿足使其滿足 Ln(x0 )=y0 , Ln(x1 )=y1 , . , Ln(xn )=yn .(5)我們?nèi)詮臉?gòu)造我們?nèi)詮臉?gòu)造插值插值基函數(shù)基函數(shù)著手，先對(duì)某個(gè)固定的下標(biāo)著手，先對(duì)某個(gè)固定的下標(biāo) j ，作作 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 l j(x) ,使其滿足條件使其滿足條件可求得可求得 jijixlij, 1, 0)(njiiijixxxx0二次插值多項(xiàng)式二次插值多項(xiàng)式).()().()().()().()()(11101110 xxxxxxxxxxxxxxxlnjjjjjjjnjjjxxxxxx26/46 njnjiijijinjjnjjjjjjjnjjnyxxxyx

28、xxxxxxxxxxxxxxLxxxxxxx00011101110)().()().()().()().()()( .(*)公式（公式（*）就是）就是Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式，lj(x)稱為以稱為以x0 , x1,. , xn為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù)。jnjjnyxlxL)()(0將將lj(x)代入代入:27/46例例1 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項(xiàng)式的拉格朗日型插值多項(xiàng)式解解: 用用5個(gè)節(jié)點(diǎn)作個(gè)節(jié)點(diǎn)作4次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式xix0=2x1=4x2=6x3=8x4=10yiy0=0y1=3y2=

29、5y3=4y4=1 10)8)(26)(24)(2(210)8)(6)(4)(0 xxxxxl10)8)(6)(4)(xxxx3841 10)8)(46)(42)(4(410)8)(6)(2)(1xxxxxl10)8)(6)(2)(xxxx961 10)8)(64)(62)(6(610)8)(4)(2)(2xxxxxl10)8)(4)(2)(xxxx641 10)6)(84)(82)(8(810)6)(4)(2)(3xxxxxl10)(4)(2)(xxxx696128/46例例1 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多項(xiàng)式的拉格朗日型插值多項(xiàng)式解解:

30、 用用5個(gè)節(jié)點(diǎn)作個(gè)節(jié)點(diǎn)作4次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式xix0=2x1=4x2=6x3=8x4=10yiy0=0y1=3y2=5y3=4y4=1 10)8)(26)(24)(2(210)8)(6)(4)(0 xxxxxl10)8)(6)(4)(xxxx3841 10)8)(46)(42)(4(410)8)(6)(2)(1xxxxxl10)8)(6)(2)(xxxx961 10)8)(64)(62)(6(610)8)(4)(2)(2xxxxxl10)8)(4)(2)(xxxx641 10)6)(84)(82)(8(810)6)(4)(2)(3xxxxxl10)(4)(2)(xxxx6961 8)6)

31、(104)(102)(10(108)6)(4)(2)(4xxxxxl8)(4)(2)(xxxx6384129/46L4(x)= y0l0(x)+ y1l1(x)+ y2l2(x)+ y3l3(x)+y4l4(x)10)8)(6)(4)(xxxx3841010)8)(6)(2)(xxxx961310)8)(4)(2)(xxxx641510)(4)(2)(xxxx696148)(4)(2)(xxxx63841110)8)(6)(2)(xxxx32110)8)(4)(2)(xxxx64510)(4)(2)(xxxx62418)(4)(2)(xxxx6384130/46 例例2: 已給已給sin0.3

32、2=0.314567,sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用線性插值及拋物插值計(jì)算用線性插值及拋物插值計(jì)算 sin0.3367 的值。的值。 y1 - y0sin0.3367 L1(0.3367)=y0+(0.3367 -x0) x1 - x0 0.01892=0.314567+ (0.0167) =0.330365 . 0.02用線性插值計(jì)算，取用線性插值計(jì)算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34 , 解解: 由題意取由題意取x0=0.32x1=0.34x2=0.36y0=0.314567 y1=0.333487y2=0.352274得得:)()(00

33、10101xxxxyyyxL由線性插值公式由線性插值公式31/46用拋物插值計(jì)算用拋物插值計(jì)算 sin0.3367時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，因?yàn)閥xxxxxxyxxxxxxxxxxxxLxxxxxxx2120210121012002010212)()()()()()()(y 這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說(shuō)明查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了。插樣，這說(shuō)明查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了。插值多項(xiàng)式的存在性值多項(xiàng)式的存在性?其截?cái)嗾`差是多少其截?cái)嗾`差是多少?330374. 0352274. 00008. 0105511. 0333487. 00004. 01

34、089. 3314567. 00008. 0107689. 0)3367. 0(3367. 0sin4442L所以所以32/46定理定理1 假設(shè)假設(shè)x0 ,x1,xn 是是n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)個(gè)互異節(jié)點(diǎn),函數(shù)函數(shù)f(x)在這在這組節(jié)點(diǎn)的值組節(jié)點(diǎn)的值f(xj)(j=0,1,n)是給定的，那么存在唯一是給定的，那么存在唯一的次數(shù)不超過(guò)的次數(shù)不超過(guò)n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式Pn (x)滿足滿足 Pn (xj)=f(xj), j=0,1,n二二 、 插值插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式的的存在性和唯一性存在性和唯一性證明：由插值函數(shù)的構(gòu)造知證明：由插值函數(shù)的構(gòu)造知n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式Pn (x)的存在性，的存在性，由代數(shù)基本定理

35、可證明它的唯一性。由代數(shù)基本定理可證明它的唯一性。函數(shù)函數(shù)f(x)的的n次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式Ln(x)只是在節(jié)點(diǎn)處有只是在節(jié)點(diǎn)處有:Ln (xj)=f (xj), j=0,1,n若若xxj,一般一般Ln (x) f (x), 令令 Rn(x)=f (x)-Ln(x)稱稱Rn(x)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)33/46 三三 、 Lagrange插值的插值的插值余項(xiàng)插值余項(xiàng) (截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差)定理定理2：設(shè)設(shè)Ln(x)是過(guò)點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)x0 ，x1 ，x2 ，xn的的 n 次插值次插值多項(xiàng)式，多項(xiàng)式， f (x)在在a，b上上有有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在，在(a，b)內(nèi)內(nèi)存在存在n+1

36、階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)，其中，其中a，b是包含點(diǎn)是包含點(diǎn)x0 , x1 , x2 , xn的任一區(qū)間，則對(duì)任意給定的的任一區(qū)間，則對(duì)任意給定的x a，b，總存在一點(diǎn)總存在一點(diǎn)(a，b)（依賴于依賴于x）使使其中其中 。 )(1)!()()()()(11)(xnxLxfxRnnnnf).()()(101nnxxxxxxx證明證明: Rn(x) = f(x) - Ln(x), 當(dāng)當(dāng)x=xi時(shí)，顯然有：時(shí)，顯然有：Rn(xi) =f(xi) - Ln(xi), =0 ， n+1 (xi)=0 （ i=0,1,n）結(jié)論成立結(jié)論成立34/46當(dāng)當(dāng)xxi時(shí)，時(shí)，Rn(xi ) =0 ， n+1 (xi)=0 （ i

37、=0,1,n）可設(shè)可設(shè)Rn(x)=K(x) n+1 (x)0)()K()(L)()(g1)(n1)(nn1)(n1)(n1nxf需證需證:K(x)=f(n+1)( )/(n+1)!現(xiàn)在現(xiàn)在a,b上任意固定一點(diǎn)上任意固定一點(diǎn)x,引進(jìn)輔助函數(shù)引進(jìn)輔助函數(shù) g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x) n+1 (t), (*)則則g(t)在在a,b上具有上具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在(a,b)內(nèi)存在內(nèi)存在n+1階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)階導(dǎo)數(shù)，當(dāng) t= x, x0, x1, xn 時(shí)，時(shí)，g(t)=0,，即，即g(t)在在(a,b)內(nèi)有內(nèi)有n+2個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn),由由Rolle定理知定理知g(t)在在(a,b)內(nèi)有

38、內(nèi)有n+1個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn),如此反復(fù)，最后可推知如此反復(fù)，最后可推知g(n+1)(t)在在(a,b)內(nèi)有內(nèi)有1個(gè)個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn), 即有即有g(shù)(n+1)( )=0, a b。這樣，由這樣，由(*)式便有式便有35/46現(xiàn)在現(xiàn)在a,b上任意固定一點(diǎn)上任意固定一點(diǎn)x,引進(jìn)輔助函數(shù)引進(jìn)輔助函數(shù) g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x) n+1 (t), (*)有有g(shù)(n+1)( )=0, a x0=0.4: 0.1: 0.8;y0=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144;lagrange(x0,y0,0.54)在在MatLab命令窗口輸入：命令窗口

39、輸入：例例 給出給出f (x)=lnx的數(shù)值表，用的數(shù)值表，用Lagrange插值計(jì)算插值計(jì)算 ln(0.54)的近似值。的近似值。x0.40.50.60.70.8Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144輸出結(jié)果輸出結(jié)果: -0.616143精確解精確解: -0.616186( -0.6161)51/46x0=0.4: 0.1: 0.8;y0=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144;lagrange(x0,y0,0.54,0.65) ans = -0.6161 -0.4308 l

40、agrange(x0,y0,0.54,0.65,0.78)ans = -0.6161 -0.4308 -0.248452/46實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)4.1（觀察龍格（觀察龍格(Runge)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)）現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河^察拉格朗日插值的龍格實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河^察拉格朗日插值的龍格(Runge)現(xiàn)象現(xiàn)象.實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：1、給出拉格朗日插值多項(xiàng)式的算法流程和相關(guān)程序；、給出拉格朗日插值多項(xiàng)式的算法流程和相關(guān)程序；2、對(duì)于函數(shù)、對(duì)于函數(shù) 進(jìn)行拉格朗日插值，取不同的節(jié)點(diǎn)數(shù)，進(jìn)行拉格朗日插值，取不同的節(jié)點(diǎn)數(shù)，在區(qū)間在區(qū)間-5,5上取等距間隔的節(jié)點(diǎn)為插值點(diǎn)，把上取等距間隔的節(jié)點(diǎn)為插值點(diǎn)，把f(x)和插值多項(xiàng)式和插值多項(xiàng)式

41、的曲線畫(huà)在同一張圖上進(jìn)行比較。的曲線畫(huà)在同一張圖上進(jìn)行比較。(a可以取任意值可以取任意值)具體步驟：具體步驟：1） a=1時(shí)，時(shí)， i）取）取n=4，作出，作出f(x)和插值多項(xiàng)式的曲線圖；和插值多項(xiàng)式的曲線圖； ii）?。┤=10，作出，作出f(x)和插值多項(xiàng)式的曲線圖；和插值多項(xiàng)式的曲線圖；2）a=0.5時(shí)，時(shí)，i）取）取n=4，作出，作出f(x)和插值多項(xiàng)式的曲線圖；和插值多項(xiàng)式的曲線圖； ii）?。┤=10，作出，作出f(x)和插值多項(xiàng)式的曲線圖；和插值多項(xiàng)式的曲線圖；3、分析上述曲線圖，你可以得出什么結(jié)論？、分析上述曲線圖，你可以得出什么結(jié)論？225)(xaxf53/46 54/46 用代數(shù)多項(xiàng)