1、第四章 微分方程初步我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了代數(shù)方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、無(wú)理方程。還學(xué)習(xí)了超越方程如指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程等，在實(shí)際問(wèn)題中還經(jīng)常遇到另一類(lèi)方程一一微分方程。微分方程是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，在科技、工程、生態(tài)、環(huán)境、人口、交通、經(jīng)濟(jì)管理等各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本章主要介紹微分方程的基本概念及幾種常見(jiàn)類(lèi)型微分方程的解法.§4.1 微分方程的基本概念定義1 凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱(chēng)為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱(chēng)為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱(chēng)為偏微分方程.本章僅討論常微分方程，以下簡(jiǎn)稱(chēng)微分方程或方程.例如，方程,和等都

2、是微分方程.定義2微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù)，稱(chēng)為微分方程的階. 例如，方程和都是一階微分方程，方程和都是二階微分方程，方程是五階微分方程.定義3 如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后能使方程成為恒等式，則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解. 例如，和 (為任意常數(shù))都是微分方程的解;和 (、為任意常數(shù))都是微分方程的解. 由此可見(jiàn)，若微分方程有解，則有無(wú)窮多個(gè)解.定義4微分方程的每個(gè)解都對(duì)應(yīng)著平面內(nèi)的一條曲線，該曲線稱(chēng)為微分方程的積分曲線，而這無(wú)窮多個(gè)解所對(duì)應(yīng)的一族積分曲線稱(chēng)為微分方程的積分曲線族.定義5 如果微分方程的解中所含任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，這樣的解稱(chēng)為微分方程的通解

3、;不含任意常數(shù)的解，稱(chēng)為微分方程的特解. 例如和分別是方程的特解和通解;和分別是方程的特解和通解. 一般來(lái)說(shuō)，特解是由給定的條件代入通解，確定出任意常數(shù)的特定值后得到的，這種用來(lái)確定特解的條件，稱(chēng)為初始條件. 設(shè)微分方程中的未知函數(shù)為，通常一階微分方程的初始條件為即其中、都是給定的值;二階微分方程的初始條件為，即與其中、和都是給定的值. 例如，對(duì)于方程，它通解是,由初始條件可確定其通解中的任意常數(shù)，從而得到其特解. 通常，我們把求微分方程滿足初始條件的特解的這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為初值問(wèn)題. 例如，求一階微分方程滿足初始條件的特解這樣一個(gè)問(wèn)題，稱(chēng)為一階微分方程的初值問(wèn)題，記作二階微分方程滿足初始條件，的初

4、值問(wèn)題，記作例1 驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解.解將所給函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 代入方程左邊，得 所以函數(shù)是微分方程解.又因這個(gè)解中含有一個(gè)任意常數(shù)，因此函數(shù)是微分方程的通解. 將初始條件代入通解，有，故 . 因此所求特解為.例2 驗(yàn)證函數(shù)(、為任意常數(shù))為二階微分方程的通解，并求方程滿足初始條件 ，的特解. 解由已知得及，將，代入原方程左邊，得+()-() =所以函數(shù)是所給微分方程的解.由于它含有兩個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，與方程的階數(shù)相同，所以它是原方程的通解.將初始條件 ，代入及，得及，解之，得故所求的特解為§4.2可分離變量的微分方程定義1 形如 （4-1） 的微分方

5、程，稱(chēng)為可分離變量的微分方程.方程（4-1）可化為的形式。而此方程中的變量和分別各自處在方程的左右兩端，即變量分離.所以，我們稱(chēng)方程（4-1）為可分離變量的微分方程.一般地，求解可分離變量的微分方程的步驟為：第一步，分離變量，得第二步，兩邊同時(shí)積分，得第三步，求出積分。若 和 的原函數(shù)都存在且分別為和，則方程（4-1）的解為=+（為任意常數(shù)）.我們把這種求解微分方程的方法稱(chēng)為分離變量法.例1 求微分方程解這是一個(gè)可分離變量的微分方程.當(dāng)時(shí)，分離變量，得兩邊積分得 或 其中是非零任意常數(shù).顯然，也是原方程的解，只要允許，那么此解就可以包含在中,因此原方程的通解為（為任意常數(shù)）.注：由上例可看出，

6、在積分過(guò)程中，原函數(shù)出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，真數(shù)一般可以不加絕對(duì)值，任意常數(shù)也可寫(xiě)為，這樣可使運(yùn)算方便，也可簡(jiǎn)化結(jié)果.例2 求微分方程滿足初始條件的特解.解將原方程整理，得當(dāng)時(shí)，兩邊積分得因此故原方程的通解為將初始條件代入通解，得因此所求特解為另外，易知也是原方程的解. 例3 求方程的通解.解原方程化為 分離變量得兩邊積分得故所求通解為§4.3 一階微分方程上節(jié)我們已會(huì)解可分離變量的一階微分方程(如)，本節(jié)我們?cè)俳榻B兩種特殊類(lèi)型的一階微分方程及其解法.形如 (4-2)的方程，稱(chēng)為一階線性微分方程.其中，為已知的連續(xù)函數(shù).其線性的含義是指它關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪都是一次的.它的特點(diǎn)是:右邊是

7、已知函數(shù)，左邊的每項(xiàng)中僅含和的一次項(xiàng).若=0，則方程變?yōu)?(4-3)方程(4-3)稱(chēng)為一階線性齊次微分方程.簡(jiǎn)稱(chēng)線性齊次方程.若0，則稱(chēng)方程(4-2)為一階線性非齊次微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)線性非齊次方程.通常把方程(4-3)稱(chēng)為方程(4-2)所對(duì)應(yīng)的線性齊次方程.下面分別討論一階線性齊次方程和一階線性非齊次方程的求解方法.1. 一階線性齊次方程的解法 顯然，一階線性齊次方程(4-3)是可分離變量的方程. 分離變量，得兩邊積分，得即 (4-4)(4-4)式稱(chēng)為一階線性齊次方程(4-3)的通解公式. 注 這里的記號(hào)表示的某個(gè)確定的原函數(shù).例1 求微分方程的通解.解: 此方程為一階線性齊次方程，可以直接用分

8、離變量法求通解，也可代公式(4-4).將=2代入公式(4-4)得通解為例2求微分方程的通解.解: 這是一階線性齊次方程,并且,因因此,由通解公式(4-4)可得原方程的通解為.2. 一階線性非齊次方程的解法一階線性非齊次方程可用常數(shù)變易法求解:為了求出方程(4-2)的通解,可先將對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解(4-4)中的任意常數(shù)換成待定函數(shù)，然后將其代入原方程 (4-2)，從而確定.設(shè)方程(4-2)的通解為兩邊求導(dǎo)將兩式同時(shí)代入方程(4-2)，得兩邊積分,得將此結(jié)果代入上面通解式得 (4-5)此式稱(chēng)為一階線性非齊次方程(4-2)的通解公式.例3 求微分方程的通解.解該方程是一階線性非齊次方程，,代入

9、通解公式(4-5)得: = = = =例4 求微分方程的通解.解這是一階線性非齊次方程,先將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得其中因?yàn)樗杂赏ń夤?4-5)得原方程通解為§4.4微分方程模型舉例微分方程在科技、工程、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、環(huán)境、人口、交通、運(yùn)動(dòng)、物理、化學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用.本節(jié)主要介紹應(yīng)用一階微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的幾個(gè)事例.例1 (運(yùn)動(dòng)問(wèn)題)設(shè)降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度成正比(比例系數(shù)為常數(shù) k>0)，降落傘離開(kāi)塔頂(t=0)時(shí)的速度為零.求降落傘下落速度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)降落傘下落速度為，加速度.降落傘在空中下落時(shí)，同時(shí)受到重力和阻力的作用.重力的大小為，方向

10、與一致;阻力大小為，方向與相反，因此降落傘所受外力為根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律:得函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程為按題意，初始條件為因此，該運(yùn)動(dòng)問(wèn)題已化為一個(gè)初值問(wèn)題:方程是可分離變量的微分方程.分離變量后得方程兩邊積分考慮到得這就是方程的通解.再將初始條件代入通解,得于是,所求特解為即為所求的函數(shù)關(guān)系式.從上式可以看出，隨著時(shí)間的增大，速度逐漸接近于常數(shù)，但不會(huì)超過(guò).這說(shuō)明跳傘后，開(kāi)始階段是加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻速運(yùn)動(dòng).正因?yàn)槿绱耍鴤銌T才得以平安落地.例2 (折舊問(wèn)題)企業(yè)在進(jìn)行成本核算的時(shí)候，經(jīng)常要計(jì)算固定資產(chǎn)的折舊.一般說(shuō)來(lái), 固定資產(chǎn)在任一時(shí)刻的折舊額與當(dāng)時(shí)固定資產(chǎn)的價(jià)值都是成正比的.試研究固定資

11、產(chǎn)價(jià)值與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.假定某固定資產(chǎn)5年前購(gòu)買(mǎi)時(shí)的價(jià)格為10000元,而現(xiàn)在的價(jià)值為6000元，試估算固定資產(chǎn)再過(guò)10年后的價(jià)值.解設(shè)時(shí)刻該固定資產(chǎn)的價(jià)值,則其該時(shí)刻的折舊額就是.由題意得其中為比例系數(shù).由于固定資產(chǎn)的價(jià)值是隨著時(shí)間的增加而減少,因而是遞減函數(shù)，即<0,所以應(yīng)在前添加一個(gè)負(fù)號(hào).分離變量,得兩邊積分,得即 為便于計(jì)算，記5年前的時(shí)刻為,從而得初始條件代入通解，可得故原方程的特解為又已知,代入上式得解之，得因此有這就是價(jià)值與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系.于是再過(guò)10年(即)該固定資產(chǎn)的價(jià)值為(元). 例3 (冷卻問(wèn)題)把溫度為100的沸水,放在室溫為20的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘后測(cè)得水溫為60,求水溫的變化規(guī)律.解設(shè)水溫的變化規(guī)律為根據(jù)牛頓冷卻定律，物體冷卻速率與當(dāng)時(shí)物體和周?chē)橘|(zhì)的溫差成正比(比例系數(shù)為,>0),于是有 由于水溫隨著時(shí)間的增大而減少，因此是減函數(shù)，有,所以應(yīng)在前添加一個(gè)負(fù)號(hào).初始條件為方程是可分