1、案例辨析數(shù)學概念教學的有效途徑江蘇省豐縣中學 江遠忠（中文摘要：數(shù)學學習，其中很重要的一項內(nèi)容就是數(shù)學概念的學習。數(shù)學概念教學教師應(yīng)以獨具匠心的案例設(shè)計，師生恰當?shù)幕咏涣?，借之以學生探索、辨析、感悟以及批判性思維活動，讓學生對數(shù)學概念理解、掌握和應(yīng)用。關(guān)鍵詞：數(shù)學概念，辨析）數(shù)學學習，其中很重要的一項內(nèi)容就是數(shù)學概念的學習，實踐表明，學生在解題中出現(xiàn)的錯誤或思維活動中遇到的障礙，往往是由于沒有正確理解、掌握有關(guān)的數(shù)學概念而造成的。但概念學習不是一個簡單的的過程，而是一個復雜的、多階段、多層次的認知活動過程。審視傳統(tǒng)的數(shù)學概念課，教師常常一味從自己的理解和愿望出發(fā)，講解概念，殊不知，教師言之諄

2、諄，學生聽之藐藐；教師不厭其煩，學生無動于衷。然而如果摒棄對概念理解的繁瑣敘述，以獨具匠心的案例設(shè)計，師生恰當?shù)幕咏涣?，借之以學生探索、辨析、感悟以及批判性思維活動，讓學生對數(shù)學概念理解、掌握和應(yīng)用，使教學概念課真正從“機械重復”走向“互動生成”。1.在辨析中比較，讓概念的導入和“生成”水到渠成從概念的同化來說，要想掌握新概念，學生必須掌握那些作為定義項的概念，從新概念的形成來說，學生必須具有刺激模式方面的有關(guān)知識和經(jīng)驗，否則，就不可能從中抽象出本質(zhì)的屬性。因此，教師在教學中，為了使學生易于接受和掌握數(shù)學概念，應(yīng)先創(chuàng)設(shè)學習新概念的情境，想方設(shè)法喚起學生原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識和經(jīng)驗，讓概念的

3、導入符合事物發(fā)展的規(guī)律,讓學生在活動中思考、感悟和體驗數(shù)學知識的萌芽以及發(fā)生、發(fā)展的全過程，以領(lǐng)悟數(shù)學思想方法的真諦，豐富學生的認知結(jié)構(gòu)。案例1 “向量的數(shù)量積”這一定義式，往往學生在學了一段時間之后仍迷惑，數(shù)量積怎么要定義成這樣一個式子？以致把數(shù)量積與算術(shù)中的乘法相混淆，出現(xiàn)“向量中的乘法和原來學過的乘法不一樣了！”的錯誤認識。為此，筆者在給出這個概念時，采取以下思路：先給出學生初中已經(jīng)熟悉的物理中的情景：已知一物體在力F的作用下發(fā)生位移S，那么做功為：，（其中是F與S的夾角）。在向量中，也有極其類似的情形：向量a、b及其夾角（如右圖），你能給出什么運算結(jié)果？學生自然而然地回答表達式：ab！

4、那好我們就把這個運算表達式記作ab，讀作“向量a與b的數(shù)量積”。然后對比“功”的數(shù)量特征給出“數(shù)量積”的數(shù)量特征。在這里，物理問題情境的創(chuàng)設(shè)起到觸發(fā)學生思維的“信息源”的作用，學生通過比較，發(fā)現(xiàn)“ab”這種運算定義式合情合理，一個新結(jié)構(gòu)式產(chǎn)生了！然后就像用“W”表示“功”一樣，我們用“ab”表示“ab”。這種過程使得新概念在原有知識基礎(chǔ)上自然得到同化和順應(yīng)。當然要使概念的導入和“生成”水到渠成，教師必須盡可能為學生選擇一個好的素材、創(chuàng)設(shè)一個好的數(shù)學情景。要能有效激發(fā)學生的求知欲和創(chuàng)新精神，促使他們積極主動地去發(fā)現(xiàn)、探索，而不是一個新概念的簡單實例化的再現(xiàn)。案例2 新教材（蘇教版）“交集、并集”

5、這一概念的教學，教材上安排的教學情境是：用Venn圖分別表示下列各組中的三個集合：（1），（2）， （3）（略） 上述集合中，A、B、C具有怎樣的關(guān)系？編者在這里的思路非常清楚，借助實例向?qū)W生直觀展示交集的概念。但由于太直觀簡單，學生基本不需要探索、抽象、概括等思維活動就能輕松獲取新知識，學生投入的積極性并不會很高，而且對于難點（并集的定義）又沒有提供背景材料。于是筆者在組織教學時，選擇教材的一個例題：“學校先舉辦排球賽，某班45名同學中有12名同學參賽，后來又舉辦了一次田徑賽，這個班有20名同學參賽。已知兩項都參賽的有6名同學，這個班共有多少名同學沒有參加過比賽？”作為引入問題讓學生討論，通

6、過畫圖及演算，學生能得出19名的答案。然后引導學生對求解過程進行反省，結(jié)合Venn圖，學生便能自己抽象概括出交集與并集的定義。尤其是對于并集定義中“或”的意義（本節(jié)課的難點）有了深入的理解，即含有三層意義xA但xB；xA且xB； xB但xA。這樣安排，使學生動手動腦的同時，自然感悟出新的概念。 2在辨析中調(diào)整，準確把握概念的“內(nèi)涵”和“外延” 鄭毓信教授曾經(jīng)這樣說過：“現(xiàn)代教學思想的一個重要內(nèi)容，即是認為學生的錯誤不可能單純依靠下面的示范和反復的練習得到糾正，而必須是一個自我否定的過程”。在這個過程中，學生經(jīng)歷著好奇、驚喜、迷惑、困頓，最后茅塞頓開，使得在教學過程的種種細節(jié)處能夠起到及時地開發(fā)

7、，巧妙地利用，智慧地引領(lǐng)，同時喚醒學生的悟性和靈感，以達到對數(shù)學概念真正的理解。案例3 在“概率”一節(jié)中，為幫助學生區(qū)別古典概型與幾何概型的概念，我提出了以下問題：連續(xù)擲兩次骰子，以出現(xiàn)的點數(shù)作為點中的，問點落在圓內(nèi)的概率是多少？這樣的問題，學生會脫口而出幾何概型問題！算一下圓面積與正方形面積的比不就清楚了嗎。仔細推敲，卻另有情形，發(fā)現(xiàn)是在可能的36個點中，出現(xiàn)點(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,0)，(2,3)，(3,1)，(3,2)的可能性，屬于典型的“古典概型”問題，于是。在這里幾何概型“有形無實”，不是對學生的概念理解出現(xiàn)偏差的“當頭棒喝”嗎？！“抽象”和“嚴謹”是

8、數(shù)學概念的重要特征，而敘述數(shù)學概念的語言又是經(jīng)過高度抽象、精心提煉，數(shù)學概念教學中我們經(jīng)常要求學生“理解”，要求學生仔細觀察、判別某一細微之處（如某一句的意思、某一關(guān)鍵詞的意思），甚至逐字逐句加以推敲、分析，但僅僅限于字面的表述顯然是不夠的，學生往往對這樣的語言和名詞仍不理解或理解不到位。在教學中，要結(jié)合具體的事例詮釋概念的內(nèi)涵與外延。這里既可以以“形似而神非”的個案來校正；也可以巧設(shè)“案例組”。在對“案例組”的辨析中，通過歸納、抽象、概括、提煉，使學生理解一類事物的共同本質(zhì)屬性，明確概念的內(nèi)涵和外延。當然，這樣的“案例組”往往可以通過具有該本質(zhì)屬性的事物或不具有該本質(zhì)的事物混合組成。案例4

9、橢圓的定義式，學生常常籠統(tǒng)地記為：，為幫助學生準確把握定義式的內(nèi)涵，教學時可以設(shè)計以下簡單問題組，讓學生討論： 平面內(nèi)一動點P到兩定點，的距離之和為2，則P點的軌跡為： A 橢圓 B 兩條射線 C 線段 D 不存在 平面內(nèi)一動點P到兩定點，的距離之和為4，則P點的軌跡為： A 橢圓 B 兩條射線 C 線段 D 直線 。 平面內(nèi)一動點P到兩定點，的距離之和為6，則P點的軌跡為： A 橢圓 B 兩條射線 C 線段 D 直線 。結(jié)合以上問題通過分析容易得到：.當2a2c時，軌跡不存在；.當2a=2c時，軌跡為一條線段；.當2a2c時，軌跡為橢圓。這樣就有效加深了學生對橢圓概念中"ac&qu

10、ot;這一條件的理解。當然，設(shè)置的“案例組”要盡可能讓學生有思考的空間，只有設(shè)置的問題讓學生“跳一跳才能摸得到桃子”，才能更好地引起學生的認知沖突或驚訝等心理反應(yīng).，課堂教學效益才能最大化。案例5 函數(shù)周期性及其最小正周期是學生較難理解的一個數(shù)學概念，在學生了解其概念之后，給出以下問題，讓學生展開討論：函數(shù)是周期函數(shù)嗎？；呢？；呢？函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，最小正周期是多少？ 函數(shù)仍是周期函數(shù)嗎？有無正周期？對函數(shù)，對都有，則的最小值為：通過上述問題的研究，幫助學生弄清以下問題：周期函數(shù)定義域的結(jié)構(gòu)特征 最小正周期的存在狀況 周期函數(shù)函數(shù)值的分布規(guī)律 周期函數(shù)的圖像特征。在此基礎(chǔ)上，學生真正弄清

11、周期函數(shù)、最小正周期的概念，不僅加深了對關(guān)鍵字詞、式的理解，學生認知結(jié)構(gòu)上也從“了解”上升為“理解”的層面。因此，概念教學要求教師要把教材當作原材料，通過精心的加工和重組，以活鮮的素材形式顯現(xiàn)在學生面前，讓學生積極地參與教學過程，并組織、監(jiān)控、調(diào)整自己的思維活動。這樣的教學，體現(xiàn)了教學過程不是由教師向?qū)W生灌輸知識，將知識單向地傳授給學生，而是學生學習的指導者、引導者，使教學活動真正成為學生學習的活動。3在應(yīng)用中辨析，使概念學習得到“升華”數(shù)學概念的教學如果僅僅停留在記憶的層面上肯定不夠，還必須上升到抽象層面去理解應(yīng)用，使概念的形成由“過程”向“抽象”再到“具體”的轉(zhuǎn)換，在應(yīng)用中將抽象的定義轉(zhuǎn)換

12、為具體的形態(tài)，暴露數(shù)學的實質(zhì)內(nèi)涵，以及樸素的數(shù)學思考過程。案例6 為使學生對函數(shù)單調(diào)性、奇偶性能深刻理解并應(yīng)用，設(shè)計以下問題：設(shè)x、y為實數(shù)，且滿足關(guān)系式， 問？學生先是通過兩式相加，進而因式分解給出結(jié)果，但達不到設(shè)計目的。于是我把兩式改為：， 問？在原解法行不通的情況下，引導學生通過對題設(shè)條件的觀察，構(gòu)造函數(shù)，顯然是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又由條件知：，所以。在這里，能否構(gòu)造出函數(shù)式，并及時把握準函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，合理使用其性質(zhì)，是檢驗學生思維水平的標志。由題設(shè)尋找切入點，跨越關(guān)鍵，是實現(xiàn)由知識向能力轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵，在對該題不同解法的比較、辨析中，達到訓練學生思維的目的。案例7 在一次“古典

13、概型”討論課上，我向?qū)W生提出如下問題：“某信鴿訓練場向甲、乙兩林區(qū)放飛4只鴿子，則甲林區(qū)剛好有一只鴿子的概率是多少？”甲林區(qū)鴿子數(shù)乙林區(qū)鴿子數(shù)0413223140一學生當即作如下分析： 甲乙兩林區(qū)的鴿子數(shù)如右圖，甲林區(qū)剛好有一只鴿子是五種情形中的一種，故所求概率為1/5。顯然，該生錯在對“等可能事件”的理解上，而且存在這種錯誤理解的可能不止少部分學生，鑒于此，我并沒有立即講評，而是讓學生繼續(xù)考慮還有什么思路？略停一分鐘：生2：每只鴿子有兩種放飛途徑，共有216種放飛方式，而甲林區(qū)有一只鴿子的方式只有4種。故，所求概率為1/4！。（這時候?qū)W生發(fā)現(xiàn)兩個結(jié)論不一致?。┽槍σ陨蟽蓚€結(jié)論，組織學生展開討

14、論： 師：上述兩種思路，你能確定哪一種是錯誤的？ 生齊答：第一種！師：為什么錯？生：（無語）師：那我們分別按方法2的思路研究其它四種情形發(fā)生的概率：師生共同討論產(chǎn)生下表：情形甲林區(qū)鴿子數(shù)乙林區(qū)鴿子數(shù)發(fā)生的概率041/16134/16226/16314/16401/16合計1這時學生恍然大悟：情形15不是等可能事件，當然概率不是1/5！以上過程讓學生更深層地領(lǐng)會到等可能事件發(fā)生的意義，在應(yīng)用中學生對“等可能事件”的認識產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍。張奠宙先生曾經(jīng)說過：“數(shù)學教學的有效性關(guān)鍵在于對數(shù)學本質(zhì)的把握、揭示和體驗”。筆者理解，這種“對數(shù)學本質(zhì)的把握、揭示和體驗”只有在應(yīng)用中才能得到驗證，在應(yīng)用的同時使得概念學習得到“升華”，讓學生領(lǐng)會數(shù)學概念才是數(shù)學解題的“靈魂”，從而讓學生的思維變得更開闊，更活躍，更富有活力。建構(gòu)主義認為：“知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構(gòu)的?！边@個觀點從教學的角度來理解就是：知識不是通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導和學習伙伴的