1、 投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)學(xué)號(hào)姓名專業(yè)班級(jí)手機(jī)*自動(dòng)化111班*目 錄一、摘要2二、問題的提出2三、問題的分析3四、建模過程41、模型假設(shè)：42、定義符號(hào)說明：43、模型建立:44、問題分析與求解5（1）、問題一：5（2）、問題二：7（3）、模型求解：8五、模型的結(jié)果分析與評(píng)價(jià)8六、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn)11七、參考文獻(xiàn)12附錄：Matlab程序12A、問題一的求解12B、問題二的求解：12一、摘要本方案借鑒了金融投資理論，在進(jìn)一步明確“風(fēng)險(xiǎn)”和“總風(fēng)險(xiǎn)”這兩個(gè)概念的基礎(chǔ)上，將本問題歸并為非線性規(guī)劃問題。對(duì)市場(chǎng)上的多種風(fēng)險(xiǎn)投資和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（存銀行）進(jìn)行組合投資策略的的設(shè)計(jì)需要考慮連個(gè)目標(biāo)，總體收益盡可能大

2、和總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，然而，這兩目標(biāo)并不是相輔相成的，在一定意義上是對(duì)立的。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們逐漸地認(rèn)識(shí)到，為了獲得較好的收益，應(yīng)將閑置資金進(jìn)行投資。財(cái)富的積累需要一個(gè)過程，但投資理財(cái)有助于我們獲取財(cái)富，一方面可以加速我們富裕的過程，從無到有，從少到多，實(shí)現(xiàn)原始財(cái)富的積累與財(cái)富的進(jìn)一步增值；另一方面達(dá)到財(cái)務(wù)目標(biāo)，平衡一生中的收支差距?！娟P(guān)鍵字】：經(jīng)濟(jì)效益 線性規(guī)劃模型 有效投資方案 線性加權(quán) 二、問題的提出隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們逐漸地認(rèn)識(shí)到，為了獲得較好的收益，應(yīng)將閑置資金進(jìn)行投資，但是現(xiàn)在投資的方式多樣化，所存在的風(fēng)險(xiǎn)都各不相同，因此了解一些基本投資規(guī)劃方案，選擇合適的投資組合方案，使

3、凈收益盡可能大，而總風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、） ( i=1,n) 供投資者選擇，某公司有數(shù)額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)分析人員對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買的平均收益率為 并預(yù)測(cè)出購(gòu)買的風(fēng)險(xiǎn)損失率為 ?？紤]到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金購(gòu)買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。購(gòu)買要付交易費(fèi)，費(fèi)率為，并且當(dāng)購(gòu)買額不超過給定值時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買計(jì)算（不買當(dāng)然無須付費(fèi)）。另外，假定同期銀行存款利率是, 且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（=5%）已知n = 4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：(%)(%)(%)(元)2814（

4、學(xué)號(hào)）1103211.52198235.54.552252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇地購(gòu)買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。(2)試就一般情況下對(duì)以上問題進(jìn)行討論，并利用一下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。(%)(%)(%)(元)9.6422.118118.5543.240749.4606.042823.9421.55498.11.27.627014393.439740.7685.617831.233.433.122033.653.52.747536.8402.924811.8315.119595.55.732035462.7.2679.4

5、5.34.532815237.6131三、問題的分析由題意可知，由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險(xiǎn)特性，在這里投資的平均收益率為，風(fēng)險(xiǎn)損失為。要使投資者的凈收益盡可能大，而風(fēng)險(xiǎn)損失盡可能小，第一個(gè)解決方法就是進(jìn)行投資組合，分散風(fēng)險(xiǎn)，以期待獲得較高的收益，模型的目的就在于求解最優(yōu)投資組合，當(dāng)然最優(yōu)投資還決定于個(gè)人的因素，即投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)，收益的偏好程度，怎樣解決二者的相互關(guān)系也是模型要解決的一個(gè)重要問題。本題所給的投資問題是利用原給的數(shù)據(jù)，通過計(jì)算分析得到一種盡量讓人滿意的投資方案，并推廣到一般情況，利用第二問進(jìn)行驗(yàn)證，下面是實(shí)際要考慮的兩點(diǎn)情況：（1）在風(fēng)險(xiǎn)一定的情況下，取得最大的收益（2

6、）在收益一定的情況下，所冒的風(fēng)險(xiǎn)最小當(dāng)然，不同的投資者對(duì)利益和風(fēng)險(xiǎn)的側(cè)重點(diǎn)不同，將在一定的范圍內(nèi)視為正常，所以只需要給出一種盡量好的模型，即風(fēng)險(xiǎn)盡量小，收益盡量大，這是一般投資者的心里。對(duì)于模型一，在問題一的情況下，公司可對(duì)五種項(xiàng)目投資，其中銀行的無風(fēng)險(xiǎn)，收益 =5%為定值，在投資期間是不會(huì)變動(dòng)的，其它的投資項(xiàng)目雖都有一定的風(fēng)險(xiǎn)，但其收益可能大于銀行的利率，我們擬建立一個(gè)模型，這個(gè)模型對(duì)一般的投資者都適用，并根據(jù)他們風(fēng)險(xiǎn)承受能力的不同提出多個(gè)實(shí)用于各種類型人的投資方案（一般投資者分為：冒險(xiǎn)型與保守型。即越冒險(xiǎn)的人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)損失的承受能力越強(qiáng)）。對(duì)于模型二：由于資產(chǎn)預(yù)期收益的不確定性，導(dǎo)致它的風(fēng)險(xiǎn)特

7、性，將資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)期收益率用一定的表達(dá)式表示出來，在這里，投資的平均收益為,風(fēng)險(xiǎn)損失為,使投資者的凈收益盡可能大，而風(fēng)險(xiǎn)損失盡可能小。四、建模過程1、模型假設(shè)：（1）假設(shè)題設(shè)中給的參數(shù)是準(zhǔn)確值，沒有偏差，且在短時(shí)期內(nèi)所給出的平均收益率,損失率和交易的費(fèi)率不變；（2）投資行為只能發(fā)生在開始階段,中途不得撤資或追加，投資任一資產(chǎn)可購(gòu)買量足夠多，足以吸納全部投資資金；（3）幾種資產(chǎn)相互之間不會(huì)產(chǎn)生影響，例如股市的漲跌不會(huì)影響到債券的漲跌；（4）M值足夠大，大至可忽略的影響。（因?yàn)橐话闱闆r下企業(yè)的投資基本都會(huì)是成百上千萬元，而僅為數(shù)百元，故可忽略其影響）（5）在投資的過程中，無論盈利與否必須先付交易費(fèi)

8、，公司總會(huì)選擇滿意度高的方案。2、定義符號(hào)說明：變量范圍說明i=1,2n欲購(gòu)買的第i種資產(chǎn)的種類M相當(dāng)大公司現(xiàn)有的投資總額i=1,2n公司購(gòu)買金額i=1,2n公司購(gòu)買的平均收益率i=1,2n公司購(gòu)買的風(fēng)險(xiǎn)損失率i=1,2n公司購(gòu)買超過時(shí)所付的交易費(fèi)Eii=1,2n公司購(gòu)買資產(chǎn)所獲得的收益k0.11權(quán)因子A不等式右端的系數(shù)矩陣f目標(biāo)向量3、模型建立:投資者的凈收益為購(gòu)買各種資產(chǎn)及銀行的收益減去此過程中的交易費(fèi)用。在對(duì)資產(chǎn)進(jìn)行投資時(shí)，對(duì)于投資金額的不同，所付的交易費(fèi)用也有所不同，不投資時(shí)不付費(fèi)，投資額大于時(shí)交易費(fèi)為，否則交易費(fèi)為。題中所給的交易費(fèi)的計(jì)算數(shù)額是一個(gè)分段函數(shù)，在實(shí)際的計(jì)算中不容易處理，

9、但我們注意到，在表1中，的數(shù)值非常小，=103+198+52+40=387元，對(duì)其中最大的來說，=198<200元，而已知M是一筆相當(dāng)大的資金，同時(shí)交易費(fèi)率的值也很小，即使在時(shí)，以來計(jì)算交易費(fèi)與用直接計(jì)算交費(fèi)相差無幾，所以，后面我們具體計(jì)算式，為簡(jiǎn)化暫不考慮的約束，都以來答題算交易費(fèi)。4、問題分析與求解（1）、問題一：A、問題分析：設(shè)購(gòu)買的金額為，所付的交易費(fèi) ()，另 ()=0： (1)因?yàn)橥顿Y額M相當(dāng)大，所以總可以假設(shè)對(duì)每個(gè)的投資，這時(shí)（1）式可化簡(jiǎn)為： (2)對(duì)投資的凈收益： (3)對(duì)投資的風(fēng)險(xiǎn)： （4）對(duì)投資所需總資金（投資金額與所需的手續(xù)費(fèi) ()之和）即： (5)當(dāng)購(gòu)買的金額為

10、（i=0n）,投資組合x=(,，)的凈收益總額 (6)整體風(fēng)險(xiǎn)： (7)資金約束： (8)凈收益總額R(x)盡可能大，而整體風(fēng)險(xiǎn)Q(x)又盡可能小，則該問題的數(shù)學(xué)模型可規(guī)劃為多目標(biāo)規(guī)劃模型，即 (9)模型（9）屬于多目標(biāo)規(guī)劃模型，為了對(duì)其求解，可把多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃。假定投資的平均風(fēng)險(xiǎn)水平，則投資M的風(fēng)險(xiǎn)k=M，若要求整體風(fēng)險(xiǎn)Q(x)限制在風(fēng)險(xiǎn)k以內(nèi)，即Q(x)<=k，則模型（9）可轉(zhuǎn)化為： (10)B、模型的求解：求模型（10）的最優(yōu)解， 由于模型（10）中的約束條件Q(x) k,即 所以此約束條件可轉(zhuǎn)化為：這是模型（10）可轉(zhuǎn)化為如下的線性規(guī)劃： (11)給定k,可方便的求解

11、模型（11）。具體計(jì)算時(shí)，為了方便起見，可令M=1，于是（1+）可視作投資的比例。下面針對(duì)n=4,M=1的情形，按原問題給定的數(shù)據(jù)，模型（11）可變?yōu)椋?（2）、問題二：A、問題分析與求解：上面我們對(duì)n=4的問題進(jìn)行模型分析求解，同理對(duì)于n=15，同理可以把多目標(biāo)規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)模型，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)為線性規(guī)劃,再來求解：具體計(jì)算時(shí)，為了方便起見，可令M=1，于是（1+）可視作投資的比例。下面針對(duì)n=15,M=1的情形，按原問題給定的數(shù)據(jù)，模型可變?yōu)椋?（3）、模型求解：采用MATLAB優(yōu)化工具箱中的線性規(guī)劃函數(shù)求解，它優(yōu)化下列線性規(guī)劃模型： s.t 使用格式為X=lp(C,A,b,vlb,vu

12、b,N)其中vlb，vub分別是上下界，X0為初始值，N表示約束條件中前N個(gè)約束為等式約束五、模型的結(jié)果分析與評(píng)價(jià)模型一：風(fēng)險(xiǎn)投資種類n=4時(shí)，建立模型求解，任意給定投資風(fēng)險(xiǎn)上限k，在風(fēng)險(xiǎn)不超過k的情況下確定最優(yōu)組合，列表1如下：風(fēng)險(xiǎn)k0.0010.0030.0050.0070.0090.0110.0210.029收益y0.06860.10490.14160.17820.18800.19110.19860.2032n=4是的風(fēng)險(xiǎn)收益圖如下：由列表（1）和圖（1）可知，收益y隨著風(fēng)險(xiǎn)上限k的增加而增加，在00.0090附近增長(zhǎng)速度最快，之后增長(zhǎng)速度變緩慢。在k=0.0090時(shí)，得出一個(gè)較優(yōu)的投資

13、組合，收益y=0.1880,X=0 0.0643 0.6000 0.1636 0.1428例子：假如M=100000000(1億)，風(fēng)險(xiǎn)：k=0.009,，收益：y=0.1880，則仿真的收益為18800000凈收益總額： R（x）=(0.05*0+0.27*0.0643+0.19*0.6+0.185*0.1636+0.185*0.1428)*100000000=18804500對(duì)投資的風(fēng)險(xiǎn)：Q0=0,Q1=0.009002,Q2=0.009,Q3=0.008998,Q4=0.0037128,最大風(fēng)險(xiǎn)為Q2為0.009002,即0.009，這和仿真的結(jié)果是相當(dāng)接近的！風(fēng)險(xiǎn)投資種類n=15時(shí)，建

14、立模型求解，任意給定投資風(fēng)險(xiǎn)上限k，在風(fēng)險(xiǎn)不超過k的情況下確定最優(yōu)組合，列表2如下：風(fēng)險(xiǎn)k0.0010.0210.0410.0610.0810.1010.1210.1410.5收益y0.05450.14420.22970.29690.32350.33570.34260.34750.4004n=15時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)收益圖如下：由列表（2）和圖（2）同樣可知，收益y隨著風(fēng)險(xiǎn)上限k的增加而增加，在00.08附近增長(zhǎng)速度最快，之后增長(zhǎng)速度變緩慢。在k=0.081，可以得出一個(gè)較優(yōu)的投資組合，收益y=0.3235X= 0 0 0 0.1350 0 0 0 0.11910.1802 0.1520 0.2025 0

15、 0.1761 0 0 同理和上面一樣可以驗(yàn)證。又又以上兩圖可知，收益關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)是離散的。隨著投資風(fēng)險(xiǎn)上限k的增加，收益y逐漸增大，投資者可以根據(jù)自己的偏好，選擇滿足要求的k和y，進(jìn)行有效資產(chǎn)組合投資，考慮到y(tǒng)要盡量大，k要盡量小。同時(shí)分析風(fēng)險(xiǎn)收益曲線，當(dāng)收益隨風(fēng)險(xiǎn)增大急驟上升，這是由于隨著風(fēng)險(xiǎn)增大，收益逐漸增大，人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度減緩，投資者逐漸走向風(fēng)險(xiǎn)型。當(dāng)上升曲線漸趨平緩，這是由于當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)大到一定程度時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)-收益大的資產(chǎn)均已投資，收益變化不大。例子：假設(shè)公司有4億元，根據(jù)表一五種數(shù)據(jù)投資：六、模型評(píng)價(jià)與改進(jìn) A、模型優(yōu)點(diǎn): （1）本文通過將風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式約束，建立了線性規(guī)劃模型，直

16、接采用程序進(jìn)行計(jì)算，得出優(yōu)化決策方案，并且給出了有效投資曲線，根據(jù)投資者的主觀偏好，選擇投資方向。（2）模型一采用線性規(guī)劃模型，將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃，選取了風(fēng)險(xiǎn)上限值來決定收益，根據(jù)收益風(fēng)險(xiǎn)圖，投資者可根據(jù)自己的喜好來選擇投資方向。B、模型缺點(diǎn)： 當(dāng)投資金額小于固定值時(shí)，建立的線性規(guī)劃模型得到的結(jié)果可能不是最優(yōu)解，要根據(jù)公司的資金M決策模型的優(yōu)良。對(duì)于不同的金額，得到的結(jié)果不具有代表性，我們建立的模型中采用的只是M的一個(gè)特列，具有單一性。七、參考文獻(xiàn)范正森 謝兆鴻等，數(shù)學(xué)建模技術(shù)，北京，中國(guó)水利水電出版社，2003王敏生 王庚, 現(xiàn)代數(shù)學(xué)建模方法, 北京,科學(xué)出版社 2006馮杰 黃力

17、偉等，數(shù)學(xué)建模原理與案例，北京，科學(xué)出版社，2007李志林 歐宜貴 數(shù)學(xué)建模及典型案例分析 北京，化學(xué)工業(yè)出版社 2006附錄：Matlab程序A、問題一的求解clearf=-0.05,0.27,0.19,0.185,0.185'%目標(biāo)向量A=0,0.14,0,0,0;0,0,0.015,0,0;0,0,0,0.055,0;0,0,0,0,0.026;%不等式左端的系數(shù)矩陣aeq=1,1.01,1.02,1.045,1.065;%等式左端的系數(shù)矩陣beq=1;%等式右端lb=zeros(5,1);i=1;for k=0.001:0.002:0.05 b=k,k,k,k' x,f

18、val,exitflag,options,output=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb); x y(i)=-fval i=i+1;endk=0.001:0.002:0.05;plot(k,y);xlabel('k 風(fēng)險(xiǎn)');ylabel('y 收益');title('風(fēng)險(xiǎn)收益圖1')B、問題二的求解：clearf=-0.05,0.075,0.153,0.434,0.224,0.005,0.106,0.351,0.281,0.309,0.339,0.067,0.033,0.323,0.049,0.074' %目標(biāo)向量A=zeros(15,15);a=0.42,0.54,0.6,0.42,0.012,0.39,0.68,0.3343,0.533,0.4,0.31,0.055,0.46,0.053,0.23;B=diag(a,0);a=zeros(15,1);A=a,B; %不等式左端的系數(shù)矩陣aeq=1,1.021,1.032,1.06,1.015,1.076,1.034,1.056,1.031,1.027,1.029