1、第十二章第五節(jié) 平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)與譜密度一、 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)是僅依賴于參數(shù)間距的函數(shù)。它有如下性質(zhì)：性質(zhì)1是偶函數(shù)，即；（事實(shí)上， ）性質(zhì)2 ， ，就是說，自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)都在處達(dá)到最大值。事實(shí)上（利用不等式）， 。性質(zhì)3非負(fù)定。即對任意實(shí)數(shù)和任意函數(shù)有 。事實(shí)上 。性質(zhì)4如果是以為周期的周期平穩(wěn)過程，即滿足，那么，也是以為周期的函數(shù)。事實(shí)上。例如，隨機(jī)相位正弦波是以為周期平穩(wěn)過程。它的相關(guān)函數(shù)顯然也是以為周期的函數(shù)。性質(zhì)5設(shè)均值為零的平穩(wěn)過程，當(dāng)時(shí)，過程的任何兩個(gè)狀態(tài)與相互獨(dú)立，則有 。這是因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以有。一般來說，噪聲過程的均值通常為零，并且當(dāng)充分大時(shí)，過

2、程的狀態(tài)和通常呈現(xiàn)獨(dú)立性，因而自相關(guān)函數(shù)趨于零。例如，輸入某線性系統(tǒng)的是白噪聲最電壓，輸出電壓的自相關(guān)函數(shù) ，當(dāng)時(shí)，趨于零。二、 譜密度定義9設(shè)是平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)。如果的傅里葉(Fourier)變換,（12.11）存在，則稱為平穩(wěn)過程的譜密度。工程上常稱它為功率譜密度。在式（12.11）中，表示的傅里是葉逆變換?？梢宰C明，當(dāng)時(shí)，是存在的，因而譜密度存在。當(dāng)時(shí)，的傅里葉逆變換存在，即有，（12.12）式（12.11）和式（12.12）統(tǒng)稱維納一辛欽（Wiener-X）公式。 在一定條件下，可以證明 。例1 已知隨機(jī)電報(bào)信號(hào)過程的自相關(guān)函數(shù)為，（），求它的譜密度。解由式（12.11），譜密度為

3、 。設(shè)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為，其中是正數(shù)，則，由得 。例2已知譜密度，求平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)。解 方法一 ， 。方法二由式（12.12）以及的偶函數(shù)性質(zhì)，的自相關(guān)函數(shù)，現(xiàn)用留數(shù)來計(jì)算式中的廣義積分： 在上半平面內(nèi)有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn)和，積分 ，于是得到 。由求，或者反過來由求，也可以直接利用傅里葉變換的性質(zhì)，查傅里葉變換表得到。下列表12-1中給出了部分和的對應(yīng)關(guān)系。表中是一個(gè)廣義函數(shù)，稱為狄拉克（Dirac）函數(shù)，又稱單位脈沖函數(shù)。它的表達(dá)式為 ，（以弱收斂方式），具有性質(zhì)：對于任意連續(xù)函數(shù)，都有 。，因?yàn)?， ，所以，又，由此性質(zhì)出表12-1中第6和第7個(gè)對應(yīng)關(guān)系。表12-1相關(guān)函數(shù)與譜密度對應(yīng)

4、表序號(hào)12345678例3求隨機(jī)相位正弦波的譜密度。解 它的相關(guān)函數(shù)，譜密度 。例4設(shè)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)，其中常數(shù)，求譜密度。解 ， 得到 。三、譜密度的性質(zhì)平穩(wěn)過程的譜密度有下列性質(zhì)：性質(zhì)1是的實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。 事實(shí)上，由是偶函數(shù)和的非負(fù)定性 ，顯然是的實(shí)的偶函數(shù)，是非負(fù)的（證明較繁）。利用的偶函數(shù)性質(zhì)，令 ，稱為單邊譜密度，而譜密度又稱為雙邊譜密度（見圖12-2）。在式中，令，得到譜密度與均方值的關(guān)系：性質(zhì)2，（12.13）對于一個(gè)平穩(wěn)過程，稱為平穩(wěn)過程的平均功率。因?yàn)?，所以，均方值就是平穩(wěn)過程的平均功率。式（12.13）稱為平均功率的譜表示式。圖12-2四、 互相關(guān)函數(shù)與互譜密度設(shè)隨機(jī)過程和平穩(wěn)相關(guān)（和都是平穩(wěn)過程，且），則互相關(guān)函數(shù)與互協(xié)方差函數(shù)僅是的函數(shù)。互相關(guān)函數(shù)與兩個(gè)過程的自相關(guān)函數(shù)之間有不等式， ；相應(yīng)地，互協(xié)方差函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間有不等式 ， ，在絕對可積的條件下，存在（12.14）稱為平穩(wěn)過程和的互譜密度。反之，（12.15