1、一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法判別法一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法（精選）一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法（精選）2 無(wú)窮積分的性質(zhì)及收斂判別一、無(wú)窮積分的性質(zhì) 本節(jié)討論了無(wú)窮積分的性質(zhì),并用這些性質(zhì)得到無(wú)窮積分的收斂判別法.二、非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法( )daf xx收斂的充要條件是收斂的充要條件是,0aG 存在存在任給任給 1221( )d( )d( )d.uuuaauf xxf xxf xx 一、無(wú)窮積分的性質(zhì)12,u uG當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)證證( )( )d , ,),( )duaaF uf xx uaf xx 設(shè)設(shè)則則lim( ).uF u收

2、收斂斂的的充充要要條條件件是是存存在在極極限限 由由函函數(shù)數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則極限的柯西準(zhǔn)則, ,此等價(jià)于此等價(jià)于(無(wú)窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則無(wú)窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則) )無(wú)窮積分無(wú)窮積分 定理定理11.111.112120,()(),Gau uG F uF u 1221( )d( )d( )d.uuuauaf xxf xxf xx 性質(zhì)性質(zhì)11212( )d( )d,aafxxfxxkk 若若與與都都收收斂斂為為任意常數(shù)任意常數(shù), ,則則1122( )( ) dak fxk fxx即即根據(jù)反常積分定義根據(jù)反常積分定義, ,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1和性質(zhì)和性質(zhì)2. .,也也收收斂斂 且且性質(zhì)性

3、質(zhì)21122( )( ) dak fxk fxx( )d( )d(),abf xxf xxba 與與( )d( )d( )d .baabf xxf xxf xx 同同時(shí)時(shí)收收斂斂或或同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散，且且 , fa u若若在在任任何何有有限限區(qū)區(qū)間間上上可可積積, ,則則1122( )d( )d .aakfxxkfxx h(x) 在任意在任意 a, u上可積上可積, 且且( )d( )daaf xxg xx和和( )d.ah xx都都收收斂斂, ,則則收收斂斂證證 因?yàn)橐驗(yàn)? )d( )daaf xxg xx和和收斂收斂, ,由柯西準(zhǔn)則的必要性由柯西準(zhǔn)則的必要性,120,GauuG 例例1 1

4、),),()()( axxgxhxf, f (x), g (x),若若1221( )d,( )d,uuuuf xxg xx222111( )d( )d( )d,uuuuuug xxh xxg xx 即即再由柯西準(zhǔn)則的充分性再由柯西準(zhǔn)則的充分性,( )d.ah xx證證得得收收斂斂21( )d.uuh xx ( )( )( ),f xh xg x又又因因?yàn)闉樗砸?,),( )d.uauaf xxM二、非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的收斂判別法lim( ).uF u條條件件是是存存在在12( )0,f xuu由由于于當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，2121( )d( )d( )d0,uuuaauf xxf xxf xx定理定理1

5、1.2( (非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的判別法非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的判別法) ) 設(shè)定義在設(shè)定義在 上的非負(fù)函數(shù)上的非負(fù)函數(shù) f 在任何在任何 ,)a , ,a u 上上可可積積 則則( )daf xx收斂的充要條件是收斂的充要條件是: :0,M使使證證( )( )d ,uaF uf xx( )daf xx則則收收斂斂的的充充要要設(shè)設(shè) ,),( )d.uauaf xxM有有定理定理11.3 (非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的比較判別法非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的比較判別法) )( )( ), ,),f xg xxG在在 上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù)上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù) f , g 在任何有限區(qū)在任何有限區(qū) ,)a 增增函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則函數(shù)的收斂

6、判別準(zhǔn)則, lim( )uF u存存在在的的充充要要條條從而從而 F (u) 是單調(diào)遞增的是單調(diào)遞增的( ,).ua由單調(diào)遞由單調(diào)遞( ) ,)F ua 件件是是在在上上有有界界, ,0,M即即使使間間 a, u 上可積上可積, ,且存在且存在 滿(mǎn)足滿(mǎn)足,Ga設(shè)定義設(shè)定義證證 ( )dag xx若若收收斂斂, ,0, ,),Mua則則( )d.uag xxM( )d( )d.uuaaf xxg xxM因因此此由非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的判別法由非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分的判別法,( )daf xx收收斂斂. .( )d,( )daaf xxg xx 當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)亦亦發(fā)發(fā)散散. .( )d,( )daag x

7、xf xx則則當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)亦亦收收斂斂; ;第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題, ,因此也成立因此也成立. . 516d1xx收收斂斂. .例例2 判別判別516d1xx 的收斂性的收斂性.22( )d( )daafxxgxx數(shù)數(shù). .證證明明: :若若和和收收斂斂, ,則則( ) ( )d.af x g xx收收斂斂解解6 51dxx由由于于收收斂斂, ,因因此此6 56511.1xx顯然顯然設(shè)設(shè) f (x), g(x)是定義在是定義在 上的非負(fù)連續(xù)函上的非負(fù)連續(xù)函 ,)a 例例3 3證證2222( )( )11d( )d( )d222aaafxgxxfxx

8、gxx( ) ( )d.af x g xx收收斂斂, ,因因此此收收斂斂推論推論1 1 設(shè)非負(fù)函數(shù)設(shè)非負(fù)函數(shù) f 和和 g 在任何在任何 a,u 上可積上可積, 且且( )lim.( )xf xcg x) i (0( )d( )daacf xxg xx若若， 則則與與收收斂斂性性相相同同; ;22( )( )( ) ( ),2fxgxf x g x而而由于由于(ii)0,( )d( )daacg xxf xx若若則則由由收收斂斂可可推推得得收收斂斂; ;(iii),( )d( )daacg xxf xx若若則則由由發(fā)發(fā)散散可可推推得得發(fā)發(fā)散散. . 證證 ( )(i)lim0,( )xf xc

9、GaxGg x由由故故存存在在使使有有( ),( )2f xccg x即即3( )( )( ).22ccg xf xg x( )(iii)lim,( )xf xGaxGg x由存在使有由存在使有 ( )( ), ,),( )daf xg xxGg xx即即因因此此由由發(fā)發(fā)散散( )d.af xx可可推推得得發(fā)發(fā)散散1(i)( )(1),( )dpaf xpf xxx若若則則收收斂斂; ;推論推論2 設(shè)設(shè) f 是定義在是定義在 上的非負(fù)函數(shù)上的非負(fù)函數(shù), 在任何在任何 ,)a , a u有有限限區(qū)區(qū)間間上上可可積積. .( )1,( )f xg x) i (1, 0,( )dapf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)

10、時(shí)收收斂斂; ;)ii(1, 0,( )d.apf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散lim( ),pxx f x 若若則則限區(qū)間限區(qū)間 a, u 上可積上可積.推論推論3設(shè)設(shè) f 是定義在是定義在 上的非負(fù)函數(shù)上的非負(fù)函數(shù),在任何有在任何有 ,)a 1(ii)( )(1),( )d.paf xpf xxx若若則則發(fā)發(fā)散散說(shuō)明說(shuō)明: : 推論推論3 3是推論是推論2 2的極限形式，讀者應(yīng)不難寫(xiě)的極限形式，讀者應(yīng)不難寫(xiě)出它的證明出它的證明. .例例4 討論討論1lndkpxxx的收斂性的收斂性 ( k 0 ).解解 (i),1時(shí)時(shí)p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx 1lnd.kpxx

11、x因因此此由由推推論論3 3知知道道收收斂斂)ii(1ln1, limlimln.kpkpxxxpxxxx 時(shí)時(shí)1lnd.kpxxx因因此此同同理理知知道道發(fā)發(fā)散散無(wú)窮積分無(wú)窮積分( )daf xx滿(mǎn)滿(mǎn)足足條條件件( ) d,af xx收收斂斂( )d.af xx則則絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂稱(chēng)稱(chēng)以下定理可用來(lái)判別一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂性以下定理可用來(lái)判別一般函數(shù)無(wú)窮積分的收斂性. 三、一般函數(shù)無(wú)窮積分的判別法若若 f 在任何在任何有限區(qū)間有限區(qū)間 a, u上可積上可積,( ) d, af xx且且收收斂斂 則則( )daf xx 亦亦必必收收斂斂, ,并并且且( )d( ) d .aaf xxf xx

12、定理定理11.411.4 ( (絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分必收斂絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分必收斂) )證證210,GauuG 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)21( ) d,uuf xx 因此因此2211( )d( ) d.uuuuf xxf xx 再由柯西準(zhǔn)則的充分性再由柯西準(zhǔn)則的充分性, ( )daf xx收收斂斂. .( )dlim( )d( ) d .uaaauf xxf xxf xx又對(duì)任意又對(duì)任意 ( )d( ) d ,uuaaf xxf xx于于是是,ua( ) d,af xx收收斂斂由柯西準(zhǔn)則的必要性由柯西準(zhǔn)則的必要性, 對(duì)對(duì)因因1sind()xxx ax因因此此絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂. .收斂的無(wú)窮積分收斂的無(wú)窮積分(

13、)daf xx不一定是絕對(duì)收斂的不一定是絕對(duì)收斂的.( )d|( )|d,aaf xxf xx若若收收斂斂而而發(fā)發(fā)散散 則則稱(chēng)稱(chēng)( )daf xx條條件件收收斂斂. .例例51sind(0)()xxax ax的收斂性的收斂性.判別判別解解sin1,()xx axx x而而3 211dxx收收斂斂, ,由于由于一般函數(shù)的無(wú)窮積分還可試用以下的狄利克雷一般函數(shù)的無(wú)窮積分還可試用以下的狄利克雷判判定理定理11.5( (狄利克雷判別法）狄利克雷判別法）( )( )duaF uf xx若若0( ) ( )d.af x g xx單單調(diào)調(diào)趨趨于于 ，則則收收斂斂 ,)( ) ,)ag xax 在在上上有有界

14、界，在在上上當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)lim( )0,xg x ,),( )d.0,uauaf xxM 設(shè)設(shè)由由于于證證,( ).4Ga xGg xM 存存在在時(shí)時(shí)故故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性別法和阿貝爾判別法判別其收斂性. .,g因因?yàn)闉閱螁握{(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù) 由由積積分分第第二二中中值值定定理理 對(duì)對(duì)任任意意的的2112,uuGu u 221112( ) ( )d()( )d()( )d ,uuuuf x g xxg uf xxg uf xx .2424 MMMM22()( )d( )duaag uf xxf xx 11()( )d( )duaag uf xxf xx 2112()( )d()( )duug

15、 uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx于于是是使得使得因此因此, 由柯西準(zhǔn)則，由柯西準(zhǔn)則，( ) ( )d.af x g xx收收斂斂定理定理11.6 (阿貝爾判別法阿貝爾判別法) ,)( ) ( )d.aaf x g xx在在上上單單調(diào)調(diào)有有界界，則則收收斂斂證證 證法證法1( ), ,),g xM xa設(shè)設(shè)由由于于( )d,af xx收收斂斂210,GauuG 則則當(dāng)當(dāng)21( )d.4uuf xxM ( )d, ( )afxxg x若若收收斂斂由由 g 的單調(diào)性的單調(diào)性, ,用積分第二中值定理，任意的用積分第二中值定理，任意的2112,uuGu u 使得使得

16、21duuf x g xx2112()( )d()( )d .uug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx因因此此2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx .244 MMMM由柯西準(zhǔn)則由柯西準(zhǔn)則,( ) ( )d.af x g xx收收斂斂證法證法2( ) ,),g xaA因因在在上上單單調(diào)調(diào)有有界界 故故存存在在使使lim( ).xg xA11( )( ),( ) ,)0.gxg xAgxa令令則則在在上上單單調(diào)調(diào)趨趨于于( )d,( )( )duaaf xxF uf xx又又因因收收斂斂 故故在在 ,),a 上上有有界界由狄利克雷判別法

17、由狄利克雷判別法1( )( )daf x gxx( ) ( )daf x g xx1( )( )d( )d.aaf x g xxAf xx收收斂斂例例611sincosdd (0)ppxxxx pxx討討論論與與的收斂性的收斂性.解解sin11,ppxpxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 由由于于1sindpxxx因因此此絕絕對(duì)收斂對(duì)收斂. .收斂收斂, ,所以所以01,1pu若若則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，因此，因此單調(diào)趨于單調(diào)趨于而而01px由狄利克雷判別法知由狄利克雷判別法知1sind.pxxx收收斂斂另一方面，另一方面，2sinsin1cos2,1,),22pxxxxxxxx12cos21cosdd22xtxtxt其其中中滿(mǎn)滿(mǎn)足足狄利克雷判狄利克雷判1sindcos1cos2,ux xu別法條件，是收斂的；別法條件，是收斂的；1d2xx而而發(fā)發(fā)散散，因因此此類(lèi)似可證類(lèi)似可證1cos01dpxpxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，條條件件收收斂斂; ;1cos1dpxpxx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂. .1sin01dpxpxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,條條件件收收斂斂; ;1s