1、數(shù)學(xué)競賽中幾個(gè)重要定理1、 梅涅勞斯定理：如果在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點(diǎn)D、E、F且D、E、F三點(diǎn)共線，則=12、 梅涅勞斯定理的逆定理：如果在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點(diǎn)D、E、F，且滿足=1，則D、E、F三點(diǎn)共線.【例1】已知ABC的重心為G，M是BC邊的中點(diǎn)，過G作BC邊的平行線AB邊于X，交AC邊于Y，且XC與GB交于點(diǎn)Q，YB與GC交于點(diǎn)P. 證明：MPQABC【例2】 以ABC的底邊BC為直徑作半圓，分別與邊AB，AC交于點(diǎn)D和E，分別過點(diǎn)D，E作BC的垂線，垂足依次為F，G，線段DG和EF交于點(diǎn)M.求證：AMBC【例3】四邊形ABCD內(nèi)接于圓，

2、其邊AB，DC的延長線交于點(diǎn)P，AD和BC的延長線交于點(diǎn)Q，過Q作該圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn).求證：P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.【練習(xí)1】設(shè)凸四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點(diǎn)M，過M作AD的平行線分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，交BC的延長線于點(diǎn)O，P是以O(shè)為圓心，以O(shè)M為半徑的圓上一點(diǎn). 求證：OPF=OEP【練習(xí)2】 在ABC中，A=900，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BD上，AE的延長線交BC于F.若BE：ED=2AC：DC，則ADB=FDC塞瓦定理：設(shè)O是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AO、BO、CO分別交對邊于N、P、M，則塞瓦定理的逆定理： 設(shè)M、N、P分別在ABC的邊AB、BC、CA上，且滿足，則A

3、N、BP、CM相交于一點(diǎn). 【例1】BE是ABC的中線，G在BE上，分別延長AG，CG交BC，AB于點(diǎn)D，F(xiàn)，過D作DNCG交BG于N，DGL及FGM是正三角形.求證：LMN為正三角形.【例2】在ABC中，D是BC上的點(diǎn)=，E是AC中點(diǎn).AD與BE交于O，CO交AB于F求四邊形BDOF的面積與ABC的面積的比【練習(xí)1】設(shè)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，使BPA=CPA，G是線段AP上的一點(diǎn)，直線BG，CG分別交邊AC，AB于E，F(xiàn).求證：BPF=CPE【練習(xí)2】 在ABC中，ABC和ACB均為銳角.D是BC邊BC上的內(nèi)點(diǎn)，且AD平分BAC，過點(diǎn)D作垂線DPAB于P，DQAC于Q，CP于BQ相交于K. 求證：

4、AKBC托勒密定理：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，則有ABCD+ADBC=ACBD【例1】 已知在ABC中，ABAC，A的一個(gè)外角的平分線交ABC的外接圓于點(diǎn)E，過E作EFAB，垂足為F.求證：2AF=AB-AC【例2】經(jīng)過XOY的平分線上的一點(diǎn)A，任作一直線與OX及OY分別相交于P，Q. 求證：+為定值【例3】 解方程+=【練習(xí)1】 設(shè)AF為O1與O2的公共弦，點(diǎn)B，C分別在O1，O2上，且AB=AC，BAF，CAF的平分線交O1，O2于點(diǎn)D，E. 求證：DEAF【練習(xí)2】O為正ABC的外接圓，AD是O的直徑，在弧BC上任取一點(diǎn)P（與B，C不重合）.設(shè)E，F(xiàn)分別為PAB，PAC的內(nèi)心.證明：

5、PD=PE-PF西姆松定理：點(diǎn)P是ABC外接圓周上任意一點(diǎn)，PDBC，PEAC，PFAB，D、E、F為垂足，則D、E、F三點(diǎn)共線，此直線稱為西姆松線.【例1】過正ABC外接圓的弧AC上點(diǎn)P作PD直線AB于D,作PEAC于E,作PFBC于F.求證：+=【練習(xí)1】設(shè)P為ABC外接圓周上任一點(diǎn)，P點(diǎn)關(guān)于邊BC，AC所在的直線的對稱點(diǎn)分別為P1，P2.求證：直線P1P2經(jīng)過ABC的垂心.三角形的五心內(nèi)心 【例1】設(shè)點(diǎn)M是ABC的BC邊的中點(diǎn)，I是其內(nèi)心，AH是BC邊上的高，E為直線IM與AH的交點(diǎn).求證：AE等于內(nèi)切圓半徑r【例2】在ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，A的平分線AD交ABC的外接

6、圓于K.O，I分別為ABC的外心，內(nèi)心.求證：OIAK【練習(xí)】 在ABC中，BAC=300，ABC=700，M為形內(nèi)一點(diǎn)，MAB=MCA=200求MBA的度數(shù).外心【例1】銳角ABC的外心為O，線段OA，BC的中點(diǎn)為M，N，ABC=4OMN，ACB=6OMN.求OMN【例2】在等腰ABC中，AB=BC，CD是它的角平分線，O是它的外心，過O作CD的垂線交BC于E，再過E作CD的平行線交AB于F，證明：BE=FD.【練習(xí)】1、O1與O2相交于P，Q，O1的弦PA與O2相切，O2的弦PB與O1相切.設(shè)PAB的外心為O，求證：OQPQ重心【例1】在ABC中，G為重心，P是形內(nèi)一點(diǎn)，直線PG交直線BC

7、，CA，AB于F，E，D.求證：+=3【例2】已知ABC的重心G和內(nèi)心I的連線GIBC，求證：AB+AC=2BC【練習(xí)】1、設(shè)M為ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，求ABC的面積.2、設(shè)O是ABC的外心，AB=AC，D是AB的中點(diǎn)，G是ACD的重心，求證：OGCD垂心三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍.【例1】ABC的外接圓為O，C=600，M是弧AB的中點(diǎn)，H是ABC的垂心.求證：OMOH【例2】已知AD，BE，CF是銳角ABC的三條高，過D作EF的平行線RQ，RQ分別交AB和AC于R，Q，P為EF與CB的延長線的交點(diǎn).證明：PQR的外接圓通過BC的中點(diǎn)M.旁

8、心【例1】在銳角XAY內(nèi)部取一點(diǎn)，使得ABC=XBD，ACB=YCD.證明：ABC的外心在線段AD上.【例2】AD是直角ABC斜邊BC上的高（ABCD，K，M分別是腰AD，CB上的點(diǎn)，DAM=CBK，求證：DMA=CKB其他的一些數(shù)學(xué)競賽定理1、 廣勾股定理的兩個(gè)推論：推論1：平行四邊形對角線的平方和等于四邊平方和.推論2：設(shè)ABC三邊長分別為a、b、c，對應(yīng)邊上中線長分別為ma、mb、mc則：ma=；mb=；mc=2、 三角形內(nèi)、外角平分線定理：內(nèi)角平分線定理：如圖：如果1=2，則有外角平分線定理：如圖，AD是ABC中A的外角平分線交BC的延長線與D，則有3、 三角形位似心定理：如圖，若ABC與DEF位似，則通過對應(yīng)點(diǎn)的三直線AD、BE、CF共點(diǎn)于P4、 正弦定理、在ABC中有（R為ABC外接圓半徑）余弦定理： a、b、c為ABC的邊，則有： a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2a