1、數(shù)學(xué)：確定性的喪失F·克萊因 著1 / 272目 錄總 序序 言引 論第一章 數(shù)學(xué)真理的起源第二章 數(shù)學(xué)真理的繁榮第三章 科學(xué)的數(shù)學(xué)化第四章 第一場災(zāi)難：真理的喪失第五章 一門邏輯學(xué)科不合邏輯的發(fā)展第六章 不合邏輯的發(fā)展：分析的困境第七章 不合邏輯的發(fā)展：19世紀(jì)的困境第八章 不合邏輯的發(fā)展：天堂之門第九章 天堂受阻：理性的新危機(jī)第十章 邏輯主義與直覺主義第十一章 形式主義與集合論公理化基礎(chǔ)第十二章 災(zāi)難第十三章 數(shù)學(xué)的孤立第十四章 數(shù)學(xué)向何處去第十五章 自然的權(quán)威總序科學(xué)，特別是自然科學(xué)，最重要的目標(biāo)之一，就是追尋科學(xué)本身的原動力，或曰追尋其第一推動。同時，科學(xué)的這種追求精神本身，

2、又成為社會發(fā)展和人類進(jìn)步的一種最基本的推動?？茖W(xué)總是尋求發(fā)現(xiàn)和了解客觀世界的新現(xiàn)象，研究和掌握新規(guī)律，總是在不懈地追求真理?？茖W(xué)是認(rèn)真的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、實事求是的，同時，科學(xué)又是創(chuàng)造的?？茖W(xué)的最基本態(tài)度之一就是疑問，科學(xué)的最基本精神之一就是批判。的確，科學(xué)活動，特別是自然科學(xué)活動，比較起其他的人類活動來，其最基本的特征就是不斷進(jìn)步。哪怕在其他方面倒退的時候，科學(xué)卻總是進(jìn)步著，即使是緩慢而艱難的進(jìn)步。這表明，自然科學(xué)活動中包含著人類的最進(jìn)步因素。正是在這個意義上，科學(xué)堪稱為人類進(jìn)步的“第一推動”。科學(xué)教育，特別是自然科學(xué)的教育，是提高人們素質(zhì)的重要因素，是現(xiàn)代教育的一個核心?？茖W(xué)教育不僅使人獲得生活和

3、工作所需的知識和技能，更重要的是使人獲得科學(xué)思想、科學(xué)精神、科學(xué)態(tài)度以及科學(xué)方法的熏陶和培養(yǎng)，使人獲得非生物本能的智慧，獲得非與生俱來的靈魂。可以這樣說，沒有科學(xué)的“教育”，只是培養(yǎng)信仰，而不是教育。沒有受過科學(xué)教育的人，只能稱為受過訓(xùn)練，而非受過教育。正是在這個意義上，科學(xué)堪稱為使人進(jìn)化為現(xiàn)代人的“第一推動”。近百年來，無數(shù)仁人智士意識到，強國富民再造中國離不開科學(xué)技術(shù)，他們?yōu)閿[脫愚昧與無知作了艱苦卓絕的奮斗，中國的科學(xué)先賢們代代相傳，不遺余力地為中國的進(jìn)步獻(xiàn)身于科學(xué)啟蒙運動，以圖完成國人的強國夢。然而應(yīng)該說，這個目標(biāo)遠(yuǎn)未達(dá)到。今日的中國需要新的科學(xué)啟蒙，需要現(xiàn)代科學(xué)教育。只有全社會的人具備

4、較高的科學(xué)素質(zhì)，以科學(xué)的精神和思想、科學(xué)的態(tài)度和方法作為探討和解決各類問題的共同基礎(chǔ)和出發(fā)點，社會才能更好地向前發(fā)展和進(jìn)步。因此，中國的進(jìn)步離不開科學(xué)，是毋庸置疑的。正是在這個意義上，似乎可以說，科學(xué)已被公認(rèn)是中國進(jìn)步所必不可少的推動。然而，這并不意味著，科學(xué)的精神也同樣地被公認(rèn)和接受。雖然，科學(xué)已滲透到社會的各個領(lǐng)域和層面，科學(xué)的價值和地位也更高了。但是，毋庸諱言，在一定的范圍內(nèi)，或某些特定時候，人們只是承認(rèn)“科學(xué)是有用的”，只停留在對科學(xué)所帶來的后果的接受和承認(rèn)，而不是對科學(xué)的原動力，科學(xué)的精神的接受和承認(rèn)。此種現(xiàn)象的存在也是不能忽視的?？茖W(xué)的精神之一，是它自身就是自身的“第一推動”。也就

5、是說，科學(xué)活動在原則上是不隸屬于服務(wù)于神學(xué)的，不隸屬于服務(wù)于儒學(xué)的，科學(xué)活動在原則上也不隸屬于服務(wù)于任何哲學(xué)?？茖W(xué)是超越宗教差別的，超越民族差別的，超越黨派差別的，超越文化的地域差別的，科學(xué)是普適的、獨立的，它自身就是自身的主宰。湖南科學(xué)技術(shù)出版社精選了一批關(guān)于科學(xué)思想和科學(xué)精神的世界名著，請有關(guān)學(xué)者譯成中文出版，其目的就是為了傳播科學(xué)的精神，科學(xué)的思想，特別是自然科學(xué)的精神和思想，從而起到倡導(dǎo)科學(xué)精神，推動科技發(fā)展，對全民進(jìn)行新的科學(xué)啟蒙和科學(xué)教育的作用，為中國的進(jìn)步作一點推動。叢書定名為第一推動，當(dāng)然并非說其中每一冊都是第一推動，但是可以肯定，蘊含在每一冊中的科學(xué)的內(nèi)容、觀點、思想和精神，

6、都會使你或多或少地更接近第一推動，或多或少地發(fā)現(xiàn)，自身如何成為自身的主宰。第一推動叢書編委會序言人類對于宇宙以及數(shù)學(xué)地位的認(rèn)識已被迫作出了根本性的改變，本書要討論的正是這一點。現(xiàn)在我們知道，數(shù)學(xué)已不再受到普遍尊重和景仰。數(shù)學(xué)曾經(jīng)被認(rèn)為是精確論證的頂峰，真理的化身，是關(guān)于宇宙設(shè)計的真理。那么，人類是如何認(rèn)識到這種觀點是錯誤的，我們現(xiàn)在的觀點又是什么，這正是本書的主題。引論中將簡要陳述這些主題，部分材料可由詳盡的數(shù)學(xué)史略拾一二。但是，對于普通讀者來說，一種直接的、非專業(yè)性的探討更便于接受和理解。許多數(shù)學(xué)家可能更愿意把對數(shù)學(xué)當(dāng)前地位的揭示控制在數(shù)學(xué)圈里，公開曝光這些困難也許會出現(xiàn)不好的效果，家丑不可

7、外揚嘛。但是，受理性指導(dǎo)的人們必須充分認(rèn)識到他們所掌握的工具的力量，認(rèn)識到推理的能力及其局限性，這遠(yuǎn)比盲目相信有益得多，后者很可能導(dǎo)致錯誤的思想甚至毀滅。（以下為致謝部分，從略） M·克萊因布魯克林，紐約1980年 1月引論若想預(yù)見數(shù)學(xué)的未來，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀。H·彭加勒戰(zhàn)爭、饑荒和瘟疫能引起悲劇，然而，人類思想的局限性也能引起智力悲劇。本書論及的不幸事件降臨在人類最為卓著且無與倫比的成就，對人類的理性精神具有最持久和最深刻的影響數(shù)學(xué)的頭上。換句話說，這本書在非專業(yè)層次上探討數(shù)學(xué)尊嚴(yán)的興衰。看到數(shù)學(xué)現(xiàn)在的宏大規(guī)模，日益增多甚至呈繁榮之勢的數(shù)學(xué)活動，每年發(fā)表的數(shù)

8、以千計的研究論文，對計算機(jī)興趣的迅猛飛漲，以及尤其是在社會科學(xué)和生物科學(xué)中對定量關(guān)系的廣泛研究，數(shù)學(xué)的衰落何從談起？悲劇存在于何處？要回答這些問題，我們必須首先考慮是什么為數(shù)學(xué)贏得了巨大的聲望和榮譽。作為一個獨立知識體系的數(shù)學(xué)起源于古希臘，自它誕生之日起的兩千多年來，數(shù)學(xué)家們一直在追求真理，而且成就輝煌。關(guān)于數(shù)和幾何圖形的龐大理論體系為數(shù)學(xué)提供了一個看來似乎永無休止的確定性前景。在數(shù)學(xué)以外的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)概念及其推論為重大的科學(xué)理論提供精髓。盡管通過數(shù)學(xué)和科學(xué)的合作才獲得的知識用到了自然定律，但它們看來似乎與絕對的數(shù)學(xué)真理一樣絕對可信，因為天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、空氣動力學(xué)中的數(shù)學(xué)所做的預(yù)測與觀察和實

9、驗相當(dāng)吻合。因此，數(shù)學(xué)能牢固把握宇宙的所作所為，能瓦解玄秘并代之以規(guī)律和秩序。人類得以趾高氣揚地俯瞰他周圍的世界，吹噓自己已經(jīng)掌握了宇宙的許多秘密（實際上是一系列數(shù)學(xué)定理）。拉普拉斯的話概括了數(shù)學(xué)家們一直在不懈地尋求真理的信念。他說，牛頓是最幸運的人，因為只有一個宇宙，而他已發(fā)現(xiàn)了它的規(guī)律。數(shù)學(xué)依賴于一種特殊的方法去達(dá)到它驚人而有力的結(jié)果，即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理。它的實質(zhì)是，若公理為真，則可以保證由它演繹出的結(jié)論為真。通過應(yīng)用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學(xué)家們得出顯然是毋庸置疑、無可辯駁的結(jié)論。數(shù)學(xué)的這套方法今天仍然沿用，任何時候，誰想找一個推理的必然性和準(zhǔn)確性的例子，一定

10、會想到數(shù)學(xué)。這種數(shù)學(xué)方法所取得的成功吸引了最偉大的智者，數(shù)學(xué)已顯示了人類理性的能力、根源和力量。所以他們猜測，為什么不能把這種方法用到由權(quán)威、風(fēng)俗、習(xí)慣控制的領(lǐng)域，比如在哲學(xué)、神學(xué)、倫理學(xué)、美學(xué)及社會科學(xué)中去尋求真理呢？人類的推理能力，在數(shù)學(xué)及自然科學(xué)中，是如此的卓有成效，肯定也將成為上述其他領(lǐng)域思想和行為的主宰，為其獲得真理的美和美的真理。因此，在稱作理性時代的啟蒙時代，數(shù)學(xué)方法甚至加上一些數(shù)學(xué)概念和定理，用到了人文事務(wù)中。洞察力最豐富的來源是后者。19世紀(jì)初的創(chuàng)造，包括令人奇怪的幾種幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)，迫使數(shù)學(xué)家們極不情愿地勉強承認(rèn)絕對意義上的數(shù)學(xué)以及科學(xué)中的數(shù)學(xué)真理并不都是真理。例如，他們發(fā)

11、現(xiàn)幾種不同的幾何學(xué)同等地與空間經(jīng)驗相吻合，它們可能都不是真理。顯然，自然界的數(shù)學(xué)設(shè)計并不是固有的，或者如果是的話，人類的數(shù)學(xué)都未必是那個設(shè)計的最好詮釋。開啟真理的鑰匙失去了，這一事實是降臨到數(shù)學(xué)頭上的第一個不幸事件。新的幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)的誕生使數(shù)學(xué)家們感受到另一個宇宙的震動。尋求真理的信念使數(shù)學(xué)家們?nèi)缱砣绨V，總是迫不及待地用嚴(yán)密論證去追求那些虛無飄渺的真理。認(rèn)識到數(shù)學(xué)并不是真理的化身動搖了他們產(chǎn)生于數(shù)學(xué)的那份自信，他們開始重新檢驗他們的創(chuàng)造。他們失望地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的邏輯形容枯槁，慘不忍睹。事實上，數(shù)學(xué)已經(jīng)不合邏輯地發(fā)展。其不僅包括錯誤的證明，推理的漏洞，還有稍加注意就能避免的疏誤。這樣的大錯比比皆

12、是。這種不合邏輯的發(fā)展還涉及對概念的不充分理解，無法真正認(rèn)識邏輯所需要的原理，以及證明的不夠嚴(yán)密；就是說，直覺、實證及借助于幾何圖形的證明取代了邏輯論證。不過，數(shù)學(xué)仍然是一種對宇宙的有效描述，而且在許多人心里，特別是在柏拉圖主義者看來，數(shù)學(xué)自身當(dāng)然還是一個頗具魅力的知識體系，一個因具真實性而受到青睞的部分。因此，數(shù)學(xué)家們決定彌補丟失了的邏輯結(jié)構(gòu)，重建有缺陷的部分。在 19世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)化運動格外引人注目。到 1900年，數(shù)學(xué)家確信他們已實現(xiàn)了自己的目標(biāo)。盡管他們不得不滿足于數(shù)學(xué)僅能作為宇宙的一個近似描述的觀點，許多人甚至放棄了宇宙的數(shù)學(xué)化設(shè)計這一信念，但他們的確慶幸他們重建了數(shù)學(xué)的邏輯

13、結(jié)構(gòu)。然而，他們還沒來得及炫耀自封的成功，在重建的數(shù)學(xué)中就發(fā)現(xiàn)了矛盾。一般稱這些矛盾為悖論，這是避免直接說矛盾而破壞了數(shù)學(xué)邏輯的委婉用語。當(dāng)時那些領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家?guī)缀趿⒖叹屯渡碛诮鉀Q這些矛盾，結(jié)果他們構(gòu)想、闡述甚至推出了四種不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，每一種都有眾多的追隨者。那些基礎(chǔ)的學(xué)派不僅努力解決已有的矛盾而且力爭避免新的矛盾出現(xiàn)，就是說，建立數(shù)學(xué)的相容性。在這些基礎(chǔ)研究中又出現(xiàn)了其他的問題，某些公理和演繹邏輯推理的可接受性也成為幾個學(xué)派采取不同立場的重要原因。到 1930年，數(shù)學(xué)家已滿足于接受幾種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的一兩個，并且宣稱自己的數(shù)學(xué)證明至少和這些學(xué)派的原則相符。但是，災(zāi)難再次降臨，形式是K哥德爾的一篇著

14、名論文。哥德爾證明了那幾個學(xué)派所接受的邏輯原理無法證明數(shù)學(xué)的一致性。這還不包括論文里其他一些意義重大、影響深遠(yuǎn)的結(jié)果。哥德爾表明，對已取得的成功提出質(zhì)疑不能不用到非常可疑的邏輯原理。哥德爾定理引起一場巨變。隨后的發(fā)展帶來了更大的麻煩。例如，就連過去極度推崇的、被認(rèn)為是精密科學(xué)方法的公理化演繹方法看來也是有缺陷的。這些新的發(fā)展給數(shù)學(xué)增加了多種可能的結(jié)構(gòu)，同時也把數(shù)學(xué)家分成了更多的相異群體。數(shù)學(xué)的當(dāng)前困境是有許多種數(shù)學(xué)而不是只有一種，而且由于種種原因每一種都無法使對立學(xué)派滿意。顯然，普遍接受的概念、正確無誤的推理體系1800年時的尊貴數(shù)學(xué)和那時人的自豪現(xiàn)在都成了癡心妄想。與未來數(shù)學(xué)相關(guān)的不確定性和

15、可疑，取代了過去的確定性和自滿。關(guān)于“最確定的”科學(xué)的基礎(chǔ)意見不一致不僅讓人吃驚，而且，溫和一點說，是讓人尷尬。目前的數(shù)學(xué)或是故作深沉，或是對廣泛承認(rèn)的真理，所謂完美無缺的邏輯的拙劣模仿。有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，關(guān)于接受什么作為真正數(shù)學(xué)的不同觀點，有一天會統(tǒng)一起來。這些人中比較有名的是一群署名為布爾巴基的法國領(lǐng)頭數(shù)學(xué)家：長期以來，對數(shù)學(xué)原理的重要修正幾乎無一不在不確定性時期之后，而不確定性確實使矛盾出現(xiàn)了并且一定得被解決。至今已有 25個世紀(jì)之久的這段時期，數(shù)學(xué)家們一直在改正他們的錯誤，并且看到了這門科學(xué)欣欣向榮，而不是枯竭衰敗。這使他們有權(quán)力對未來充滿希望。然而，更多的數(shù)學(xué)家并不樂觀。本世紀(jì)最偉大的

16、數(shù)學(xué)家之一，H.魏爾在 1944年說：數(shù)學(xué)的終極基礎(chǔ)和終極意義尚未解決，我們不知道沿著什么方向可以找到最終答案，或者甚至于是否有希望得到一個最終的、客觀的答案。“數(shù)學(xué)化”很可能是人類原始創(chuàng)造力的一項創(chuàng)造性活動，類似于語言或音樂，其歷史觀點否認(rèn)完全客觀的合理性。用哥德的話說：一門科學(xué)的歷史就是這門科學(xué)本身。對于正確的數(shù)學(xué)是什么所存在的分歧以及不同基礎(chǔ)的多樣性不僅嚴(yán)重影響數(shù)學(xué)本身，還波及到最為生機(jī)勃勃的自然科學(xué)。我們將看到，最先進(jìn)的自然科學(xué)理論（即這種理論的結(jié)論可以在感覺上或?qū)嶓w上體現(xiàn)出來。例如假設(shè)我們一點也不懂電磁波是什么，但我們卻能聽到收音機(jī)中傳出的聲音），全都是數(shù)學(xué)化的。因此，沒有親自對數(shù)學(xué)

17、基礎(chǔ)下過功夫，而又不打算花費數(shù)年時間研究不完美的數(shù)學(xué)的科學(xué)家，一定會關(guān)心什么樣的數(shù)學(xué)能被理直氣壯地應(yīng)用。真理的喪失，數(shù)學(xué)和科學(xué)不斷增加的復(fù)雜性，以及何種方法用于數(shù)學(xué)是最保險的不確定性，已使大多數(shù)數(shù)學(xué)家放棄科學(xué)。風(fēng)聲鶴唳，草木皆兵，數(shù)學(xué)家們不得不退回到證明方法看起來似乎很安全的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。他們還發(fā)現(xiàn)人為編造出來的問題比自然界提出來的問題更富魅力，處理起來更加得心應(yīng)手。因完美的數(shù)學(xué)是什么而產(chǎn)生的危機(jī)和矛盾還阻礙了數(shù)學(xué)的方法在許多其他文化領(lǐng)域中的應(yīng)用，如哲學(xué)、政治科學(xué)、倫理學(xué)、美學(xué)。找到客觀、正確的定律和標(biāo)準(zhǔn)的希望變得微弱了，理性時代已經(jīng)過去。盡管數(shù)學(xué)令人不滿意，方法復(fù)雜多變，對可接受公理持不同意見，

18、還有隨時可能出現(xiàn)的新矛盾，都會殃及大部分?jǐn)?shù)學(xué)，但是，一些數(shù)學(xué)家仍然把數(shù)學(xué)應(yīng)用于自然現(xiàn)象中，而且事實上把應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)大到經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)和社會學(xué)。數(shù)學(xué)的繼續(xù)有效給我們兩點啟示。第一點是這種有效性可用作判別正確性的準(zhǔn)則，當(dāng)然這個準(zhǔn)則是暫時性的。今天認(rèn)為正確的，也許下次應(yīng)用時就會證明是錯的。第二點涉及到未知。真正的數(shù)學(xué)是什么？對此并無定論。為什么數(shù)學(xué)依舊有效？我們是在用不完美的工具制造奇跡嗎？如果人類已經(jīng)被欺騙了，大自然也會受騙而屈服于人類的數(shù)學(xué)命令嗎？顯然不會。而且，正是憑借建立在數(shù)學(xué)之上的技術(shù)，人類成功地登上了月球，探測了火星和木星。這難道不是對宇宙中的數(shù)學(xué)理論的證實嗎？那么，數(shù)學(xué)的人為因素與變幻莫

19、測又何從談起呢？當(dāng)心智和靈魂迷惘不定的時候，軀體能生存下去嗎？當(dāng)然對于人類本身及數(shù)學(xué)，確實如此。因此我們應(yīng)該去研究為什么會這樣。盡管數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)尚不確定，數(shù)學(xué)家們的理論亦彼此沖突，而數(shù)學(xué)卻已被證明成就輝煌，風(fēng)采依然。第一章 數(shù)學(xué)真理的起源極度幸福的靈魂，是為誰而激發(fā)！為了這些真理，去度量閃爍的星空！他們用思想的韁繩，馴服了桀傲的天體。過去撲朔迷離的天空，現(xiàn)在變得清清楚楚。奧維德任何值得一提的文明都探索過真理。思索的人們盡管不能，但總是試圖去理解復(fù)雜多變的自然現(xiàn)象，去解開人類如何定居在這個地球上的謎題，去弄明白人生的目的，去探索人類的歸宿。在所有早期文明中，這些問題的回答都是宗教領(lǐng)袖給出的，并為人

20、們所普遍接受。只有古希臘文明是個例外。希臘人發(fā)現(xiàn)（人類所作出的最偉大的發(fā)現(xiàn)）了推理的作用。正是古典時期（公元前 600年至前 300年間的鼎盛時期）的希臘人，認(rèn)識到人類有智慧、有思維（有時佐以觀察或?qū)嶒灒?，能夠發(fā)現(xiàn)真理。是什么導(dǎo)致希臘人作出這個發(fā)現(xiàn)，這個問題不大好回答。把推理用于人類活動和思維的始祖曾生活在愛奧尼亞古希臘人在小亞細(xì)亞的一個定居處。許多歷史學(xué)家試圖依據(jù)政治和社會環(huán)境對此作出解釋，比如，愛奧尼亞人有更大的自主性去無視統(tǒng)治歐洲希臘文明的宗教信仰。但是，我們所知的在約公元前 600年以前的希臘歷史過于零碎，無法作出明確的解釋。當(dāng)時希臘人把推理用于政治體系、倫理道德、法律、教育和其他許多

21、方面。他們的主要的、決定性地影響了后代文明的貢獻(xiàn)是接受了對推理的最強有力的挑戰(zhàn)，知道了自然界有規(guī)律可言。在作出這個貢獻(xiàn)以前，希臘人和古代其他文明時期的人們認(rèn)為自然是混亂、反復(fù)無常，甚至是恐怖的。自然現(xiàn)象是無法解釋的，或者是神的意志決定的，只有用祈禱、祭祀和其他宗教儀式來解脫。其卓越的文明可追溯到公元前 3000年的巴比倫人和埃及人，他們確實注意到了日月運動的周期現(xiàn)象，并據(jù)此設(shè)立了歷法，但卻沒有更深入地研究它們。這些極少的偶然的觀察沒有改變他們對自然的態(tài)度。希臘人敢于正視自然。他們的精神領(lǐng)袖（如果不是普通民眾）摒棄了傳統(tǒng)觀念、超自然力、迷信、教條和其他思想束縛。他們是最早檢驗并試圖理解各種謎一般

22、的復(fù)雜的自然活動的人們。他們以思維與似乎瞬息萬變的宇宙現(xiàn)象抗?fàn)?，將理性之光灑于其上。他們有著永不滿足的好奇心和勇氣，他們提出和回答了許多人遇到過、但卻極少人試圖解決，并且只能被具有最高智力水平的人所解決的問題。整個宇宙的運轉(zhuǎn)是有計劃的嗎？植物、動物、人類、星系、光和聲，僅僅是物理現(xiàn)象還是一個完美設(shè)計的一部分？由于希臘人總夢想著提出新見解，所以他們建立了后來統(tǒng)治整個西方思想中關(guān)于宇宙的概念。希臘的智者們對自然采取了一種全新的態(tài)度。這種態(tài)度是理性的、批判的和反宗教的。神學(xué)中上帝按其意愿創(chuàng)造了人和物質(zhì)世界的信仰被摒棄了。智者們終于得出了這樣的觀念：自然是有序的，按完美的設(shè)計而恒定地運行著。從星體的運

23、動到樹葉的顫動，所有感官能感知的現(xiàn)象都能用一種精確、和諧而理智的形式來描述。簡而言之，自然是按理性設(shè)計的，這種設(shè)計，雖然不為人的行為而影響，卻能被人的思維所理解。希臘人不僅是探索混雜現(xiàn)象的秩序和規(guī)則的勇敢的先驅(qū)，而且也是以才智發(fā)掘出自然現(xiàn)象顯而易見所遵循的基本模式的先驅(qū)。他們敢于詢問并且發(fā)現(xiàn)了人類觀測到的最壯觀的景象的基本規(guī)律：朝升夕落的太陽，陰晴圓缺的月亮，光彩奪目的行星，星漢燦爛的夜空，奇妙無比的日蝕、月蝕。正是公元前 6世紀(jì)的愛奧尼亞哲學(xué)家首先嘗試尋求對大自然和宇宙運行規(guī)律的合理解釋。這一時期的著名哲學(xué)家們，如泰勒斯(Thales)、阿那克西曼德(Anaximander)、阿那克西米尼(

24、Anaximenes)、赫拉克利特(Heraclitus)和阿那克薩哥拉(Anaxagoras)，各自恪守一個主旨去解釋宇宙的構(gòu)成。比如泰勒斯認(rèn)為萬物都是由氣態(tài)、液態(tài)和固態(tài)的水組成的，他試圖用水的觀點解釋許多現(xiàn)象這是一個不無道理的解釋。因為云、霧、露、雨和雹是水的不同形態(tài)，而水是生命不可缺乏的，它滋潤莊稼，養(yǎng)育動物?，F(xiàn)在我們知道甚至人體的 90是水。愛奧尼亞人的自然哲學(xué)是一系列的大膽的觀察，敏銳的猜測和天賦的直覺，而不是廣泛而細(xì)致的科學(xué)研究的成果。這些人也許有些過于急切看到世界的全貌，從而匆匆忙忙得到一些泛泛的結(jié)論。但他們的確拋棄了一些陳腐的神秘觀點，而代之以唯物主義的，對宇宙的設(shè)計和運行的客

25、觀解釋。他們以理性方法取代了幻想和非批判的觀點，用推理來論證自己的觀點成立。這些人敢于用思維來對待世界，拒絕依賴神靈、意志、鬼怪、妖魔、天使和其他也許能夠維護(hù)或毀滅自然現(xiàn)象的神秘力量。可以用阿那克薩哥拉的話來表述這種理性觀點的精髓：“理性統(tǒng)治著世界?！鞭鸪逝?、神秘主義和對自然運動的雜亂無章的認(rèn)識，而代之以可理解的規(guī)律的決定性的一步是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。在這里，希臘人展示出一種可以與推理的作用的發(fā)現(xiàn)相媲美的、幾乎同樣富有想象力和獨創(chuàng)性的洞察力：宇宙是以數(shù)學(xué)方式設(shè)計的，借助于數(shù)學(xué)知識，人類可以充分地認(rèn)識它。最早提出自然界數(shù)學(xué)模式的是以畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）為領(lǐng)袖的座落于意大利南部的畢

26、達(dá)哥拉斯學(xué)派。雖然他們從盛行的致力于靈魂的凈化和將它從肉體的污濁束縛中解脫出來的希臘宗教中汲收了靈感和信條，其自然哲學(xué)卻是完全理性的。畢達(dá)哥拉斯派震驚于這樣一個事實，即由定性地看各種各樣的現(xiàn)象都表現(xiàn)出相同的數(shù)學(xué)性質(zhì)，可推知數(shù)學(xué)性質(zhì)必定為這些現(xiàn)象的本質(zhì)。更精確地，他們從數(shù)和數(shù)的關(guān)系方面發(fā)現(xiàn)了這種本質(zhì)。數(shù)學(xué)是他們解釋自然的第一要素，所有物體都是由物質(zhì)的基本微?；颉按嬖趩卧备鶕?jù)不同的幾何形狀組成的。單元的總量實際上代表了實在的物體，數(shù)學(xué)是宇宙的實體和形式。因而畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：“萬物皆數(shù)也。”因為數(shù)是萬物之“本”，對自然現(xiàn)象的解釋只有通過數(shù)字才能得出。這種早期的畢達(dá)哥拉斯派思想是令人迷惑的。因為

27、對于我們來說，數(shù)字是抽象概念，而事物是實際存在的。但我們已經(jīng)得到了一種數(shù)字的抽象，而早期的畢達(dá)哥拉斯派并未做到。在他們看來，數(shù)字是點或微粒。他們提到三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)時，想到的是點集、晶狀體或點狀物體。如圖 1.11.4所示。圖 1.1三角形數(shù)圖 1.2正方形數(shù)圖 1.3五邊形數(shù)圖 1.4六邊形數(shù)雖然歷史片斷沒有提供精確的年代數(shù)據(jù)，這一點卻是無疑的，即畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)展并完善了自己的認(rèn)識。他們開始把數(shù)字理解為抽象概念，而物體只不過是數(shù)字的具體化。有了這一后來的特性，我們可以明白菲洛羅斯(Philolaus)的論述：“如果沒有數(shù)和數(shù)的性質(zhì)，世界上任何事物本身或與別的事物的關(guān)系都不能為人

28、所清楚了解”你不僅可以在鬼禪的事務(wù)上，而且在人間的一切行動和思想上乃至在一切行業(yè)和音樂上看到數(shù)的力量。例如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派之所以能把音樂歸結(jié)為數(shù)與數(shù)之間的簡單關(guān)系，乃是因為他們發(fā)現(xiàn)了下列兩個事實：第一，弦所發(fā)出的聲音取決于弦的長度；第二，兩根繃得一樣緊的弦，若一根是另一根長的兩倍，就會產(chǎn)生諧音。換言之，兩個音相差八度。如兩弦長為 3比 2，則發(fā)出另一諧音。這時短弦發(fā)出的音比長弦發(fā)出的音高五度。確實，產(chǎn)生每一種諧音的多根弦的長度都成整數(shù)比。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也搞出了一個著名的音階。我們雖然不打算講許多希臘時代的音樂，但要指出許多希臘數(shù)學(xué)家包括歐幾里得和托勒密，都寫過這方面的著作，特別是關(guān)于諧音的配合

29、，而且還制定過音階。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把行星運動歸結(jié)為數(shù)的關(guān)系。他們認(rèn)為物體在空間運動時會發(fā)出聲音，這也許是從繩端吊一東西擺動時發(fā)出聲音這一方面引起的特例。他們還認(rèn)為運動得快的物體比運動得慢的物體發(fā)出更高的音。根據(jù)他們的關(guān)系，離地球越遠(yuǎn)的星，運動得越快，因此行星發(fā)出的聲音（我們因為從出世之日起就聽?wèi)T了，所以覺察不出來）因其與地球的距離而異而成諧音。但因這“天籟之音”也像所有諧音一樣可以推為數(shù)的關(guān)系，所以行星運動也是這樣。自然界的其他形形色色特性也可“歸結(jié)”為數(shù)。1、2、3、4這四個數(shù)，叫四象，是特別受重視的。據(jù)說畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的誓詞即是：“謹(jǐn)以賦予我們靈魂的四象之名宣誓，長流不息的自然的根源包含于

30、其中。”他們認(rèn)為自然是由四元性組成的，點、線、面和立體。后來柏拉圖強調(diào)的則是四種物質(zhì)元素，土、氣、火、水。四象的四個數(shù)字之和為 10，所以十是個理想數(shù)，其代表宇宙。為了填滿這個數(shù)字，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派引入了中心地球，加上日、月，已知的五大行星和位于中心地球另一側(cè)的反地球。我們看不到中心地球和反地球，因為我們所居住的那部分地球是背朝它們的。我們在這里不打算詳細(xì)敘述細(xì)節(jié)，關(guān)鍵一點是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將天文學(xué)建筑在數(shù)的關(guān)系之上。由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將天文學(xué)和音樂“歸結(jié)”為數(shù)，這兩門學(xué)科就同算術(shù)和幾何發(fā)生了聯(lián)系。這四門學(xué)科都被人看成是數(shù)學(xué)學(xué)科，甚至一直到中世紀(jì)，仍被包括在學(xué)校課程中，當(dāng)時號稱“四大學(xué)科”。亞里士

31、多德在形而上學(xué)一書中，總結(jié)了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對數(shù)的現(xiàn)實世界的認(rèn)識：他們似乎察覺到了存在的以及將要形成的事物在數(shù)方面的共性，而不僅僅表現(xiàn)在火、土和水上（這樣或那樣數(shù)字的修正是合法的，另一種是精神和推理，再一種則是機(jī)會同樣幾乎所有的其他事物都可用數(shù)字表達(dá)）；又因為音階的修正和比例可用數(shù)字表示；還由于其他事物在本質(zhì)上都能用數(shù)字來模式化，數(shù)字似乎是整個自然界的先驅(qū)。他們認(rèn)為所有事物里都含有數(shù)的成分，整個太空就是一個音階或一個數(shù)字。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的自然哲學(xué)很難與實際相吻合。美學(xué)考慮和對數(shù)學(xué)關(guān)系的窮追不舍相混合，當(dāng)然會導(dǎo)致超越實際觀察的論斷。畢派也未使物理科學(xué)的任一分支向前發(fā)展，可以公正地稱其理論為膚淺的。

32、但或是憑運氣或是憑天生的直覺，畢派的確言中了后來兩條證明是極為重要的信條：第一是自然界是按數(shù)學(xué)原理構(gòu)成的；第二是數(shù)學(xué)關(guān)系決定、統(tǒng)一并顯示了自然的秩序。實際上現(xiàn)代科學(xué)也堅持畢派對數(shù)學(xué)的強調(diào)，雖然，正如我們將看到的，現(xiàn)代理論是畢派理論的更為高級的形式。畢派之后的哲學(xué)家更加關(guān)注現(xiàn)實世界的本質(zhì)和基本的數(shù)學(xué)設(shè)計。留基伯(Leuccipus)和德謨克里特(Democritus)由于更加清晰地確定了原子論而聞名于世。他們的共同哲學(xué)觀點是：世界是由無窮多個簡單的、永恒的原子組成的。這些原子的形狀、大小、次序和位置各有差異，但每個物體都是由這些原子以某種方式組合而成的。雖然幾何上的量，如直線段，是無限可分的，原

33、子卻是終極的，不可再分的質(zhì)點。形狀、大小等只是原子的特性，其他性質(zhì)如味、熱則非原子所固有而來自觀察者，所以感性認(rèn)識不可靠，因它隨觀察者而異。原子論者也和畢達(dá)哥拉斯學(xué)派一樣，認(rèn)為隱藏在自然界不斷變化著的萬象之下的真實性是可用數(shù)字來表示的，而且認(rèn)為這個世界上所發(fā)生的一切是由數(shù)字規(guī)律嚴(yán)格確定了的。繼畢達(dá)哥拉斯學(xué)派之后，傳播這種主張最有影響的，當(dāng)屬由柏拉圖領(lǐng)導(dǎo)的柏拉圖學(xué)派。柏拉圖接受了一些畢派思想，他控制了公元前 4世紀(jì)這一重要時期希臘人的思想。他是雅典柏拉圖學(xué)園的創(chuàng)立者，這個學(xué)園是一個吸引了當(dāng)時一流思想家的中心，存在了九百年之久。也許在柏拉圖的對話愛好者中，其對于宇宙的合理性的信仰表現(xiàn)得最為出色。（

34、普洛塔庫斯簡稱普，蘇格拉底簡稱蘇）普：什么問題？蘇：他們所說的宇宙是不可推理、雜亂無序的，抑或像我們前人所認(rèn)為的是由極高的才華和智慧所控制和有序化的。普：迷茫的蘇格拉底，這兩種論點截然相反，你剛才的話我認(rèn)為褻瀆了神明，但是一個觀點，即思維統(tǒng)治萬物，卻是極富有價值的。我別無它求。后來畢派和柏拉圖學(xué)派在物質(zhì)世界和理想世界之間產(chǎn)生了尖銳的分歧。物質(zhì)世界的事物及聯(lián)系是不完美、變化和衰落的，因而不能代表終極真理。但有一個絕對而不變的真理的理想世界，這些真理正是哲學(xué)家們所關(guān)注的。對于物質(zhì)世界我們只可能有觀點，可見、可感知的世界只是理想世界的一個模糊迷離、不完美的拷貝?！笆挛锸撬枷朐诮?jīng)驗屏幕上的投影?！庇捎?/p>

35、現(xiàn)實可在感覺和實物中找到，因而柏拉圖認(rèn)為一匹馬、一間屋或者一個完美的女子并不真的存在?，F(xiàn)實只存在于馬、房屋、女子的廣為接受的形式或觀念之中。永恒的知識只能從純粹理想的形式中獲得，這些思想實際上是永恒不變的。關(guān)于它們的知識是穩(wěn)固而堅不可摧的。柏拉圖堅持認(rèn)為只有從理想世界的數(shù)學(xué)知識來理解現(xiàn)實世界的實在性和可知性，無疑這個世界是數(shù)學(xué)化的。普魯塔克（Plutarch）道出了柏拉圖的名言：“上帝終究要將世界幾何化。”在共和國一書中，柏拉圖認(rèn)為“幾何學(xué)所要求的知識是永恒的，而不是轉(zhuǎn)瞬即逝或反復(fù)無常的。”數(shù)學(xué)定律不僅是現(xiàn)實的本質(zhì)，而且永恒不變。數(shù)字關(guān)系也是現(xiàn)實的一部分，實際事物不過是數(shù)字的模擬體。早期畢派認(rèn)

36、為數(shù)字是事物內(nèi)在固有的，而柏拉圖認(rèn)為數(shù)字超越了事物。柏拉圖比畢派前進(jìn)了一步，他不僅希望用數(shù)學(xué)來理解自然界，而且要用數(shù)學(xué)來取代自然界本身。他相信，對物質(zhì)世界僅用少量決定性的幾步推理，即能得到基本的真理。按此觀點將只有數(shù)學(xué)存在，數(shù)學(xué)將取代物理研究。普魯塔克在他的馬塞魯斯的生平一書中提及歐多克斯(Eudoxus)和阿基塔斯(Archytas)（柏拉圖同時代的名人）運用實際論據(jù)來“證明”數(shù)學(xué)結(jié)果。但柏拉圖義憤地貶斥這種證明為幾何學(xué)的墮落；指責(zé)他們利用感性知識來取代純粹的推理。柏拉圖對于天文學(xué)的觀點顯示了他正在探索這門科學(xué)的立場。他認(rèn)為，這門學(xué)科研究的不是可見的天體的運動。天空中星體的排列和明顯可見的運

37、動的確奇妙美麗，但僅有對運動的觀察和解釋遠(yuǎn)稱不上真正的天文學(xué)。在接觸這門真正的科學(xué)之前，我們必須拋開“天體”，因為真正的天文學(xué)探求的是數(shù)學(xué)化宇宙中星體的運動定律，而可見的天體只是其不完美的表現(xiàn)形式。他鼓動人們獻(xiàn)身于理論天文學(xué)，因為其問題取悅于人的心智而不是視覺，其對象由人的心智就能感受到而不是憑眼睛所看見。天空中呈現(xiàn)出的各種圖形只可用作探索更深層真理的輔助圖表。我們必須把天文學(xué)看成幾何學(xué)一樣，僅僅是由可見事物揭示的一系列問題。柏拉圖對航海、歷法和計時中的天文學(xué)的使用并不感興趣。亞里士多德雖然是柏拉圖的學(xué)生并從老師那兒繼承了許多思想，對于現(xiàn)實世界以及數(shù)學(xué)和現(xiàn)實之間的關(guān)系的探究卻有著不同的看法。他

38、批評柏拉圖的冥世思想以及把科學(xué)歸結(jié)為數(shù)學(xué)的認(rèn)識。亞里士多德是個物理學(xué)家，他相信物質(zhì)的東西是實在的主體的源泉。物理學(xué)乃至一般的科學(xué)必須研究現(xiàn)實世界并從中獲取真理。真正的知識是從感性的經(jīng)驗通過直觀和抽象而獲得的，這種抽象不能獨立于人的思維而存在。亞里士多德的確強調(diào)從實物中抽象出的普適的一般的性質(zhì)。為了獲得這些性質(zhì)，他認(rèn)為我們應(yīng)“從可知和可觀察的事物出發(fā)，向著本質(zhì)上可為人們認(rèn)識的逐漸清晰的事物前進(jìn)?！彼槿∥矬w的明顯的感性特征，使之具體化并上升為獨立的精神上的概念。在亞里士多德關(guān)于事物的分類方案中，把數(shù)字?jǐn)[在什么地位呢？物理科學(xué)是基礎(chǔ)科學(xué)，數(shù)學(xué)則從描述形式上的特征（如形狀和數(shù)量）這方面來幫助研究。它

39、也為物質(zhì)現(xiàn)象中觀察到的事實提供解釋。例如幾何說明光學(xué)和天文學(xué)提供的事實，算術(shù)上的比例關(guān)系能說明產(chǎn)生諧音的理由。但數(shù)學(xué)概念和原理肯定是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，正因為如此，它們也可用于現(xiàn)實世界。思維使我們可以從感性認(rèn)識獲得實物的理想化特征，這種抽象必然是真實的。對于鑄造和構(gòu)成了希臘思維世界的哲學(xué)家的短暫回顧也許有助于說明為什么他們?yōu)榱肆私?、欣賞更深層次的內(nèi)涵，都重視對實質(zhì)的探討。而且，從畢達(dá)哥拉斯開始，所有哲學(xué)家都認(rèn)為世界是依照數(shù)學(xué)設(shè)計的。在這個經(jīng)典時期末期，上述觀點已經(jīng)確立，并且開始了對數(shù)學(xué)規(guī)律的探求。雖然這個觀點并未影響后世所有的數(shù)學(xué)家，但一旦為人接受，它就作用于大多數(shù)偉大數(shù)學(xué)家的思維，甚至影

40、響了那些尚未接觸過它的人。希臘人這一重要思想的最大勝利是他們認(rèn)為宇宙是按可為人類思維所能發(fā)掘的數(shù)學(xué)規(guī)律運行的。于是希臘人決定尋求真理，特別是關(guān)于自然的數(shù)學(xué)化設(shè)計的真理。人們怎樣尋求真理并證明其是真理呢？在此，希臘人也繪出了方案。這個方案在從公元前 600年到公元前 300年這段時期逐漸發(fā)展，它是何時由何人最先提出尚無定論，但到公元前 300年，它已經(jīng)相當(dāng)完善了。從廣義的、使用數(shù)字和幾何圖形這方面來看，數(shù)學(xué)早于古典時期希臘人的研究幾千年就開始形成了。廣義來講數(shù)學(xué)包括了許多已經(jīng)消失了的文明（最有名的有埃及文明和巴比倫文明）的貢獻(xiàn)。除了希臘文明外，在其他文明中數(shù)學(xué)并不是一個獨立體系，它沒有形成一套方

41、法，僅為了直接而實用的目的被研究。它是一種工具，是一系列相互無關(guān)的、簡單的、幫助人們解決日常問題的規(guī)則，如推算日歷、農(nóng)業(yè)和商業(yè)往來。這些規(guī)則是由試探、錯誤、經(jīng)驗和簡單的觀察得到的，許多都只是近似的正確。這些文明中的數(shù)學(xué)的最優(yōu)之處在于，它顯示了思維的某些活力和堅韌，盡管不嚴(yán)格，成就也遠(yuǎn)非輝煌。這類數(shù)學(xué)的特點可用經(jīng)驗主義一言蔽之。巴比倫人和埃及人的經(jīng)驗主義數(shù)學(xué)為希臘人的研究工作揭開序幕。雖然希臘文明沒有完全脫離外界影響希臘思想家們曾在埃及和巴比倫游歷學(xué)習(xí)盡管現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)必須經(jīng)受希臘的理性氛圍的熏陶，希臘人的創(chuàng)造與他們所吸收的知識卻有天壤之別。希臘人已決心探索數(shù)學(xué)真理，他們不能把工作建筑在前人（

42、有名的埃及人和巴比倫人）粗糙的、經(jīng)驗主義的、有限的、零散的，在很多情況下是不精確的成果之上。數(shù)學(xué)原本是一些關(guān)于數(shù)字和幾何圖案的基本事實，必然是一個真理體系。數(shù)學(xué)推理旨在推導(dǎo)出關(guān)于自然現(xiàn)象，如天體運動的真理，必然得出不容置疑的結(jié)論。怎樣達(dá)到這些目的？數(shù)學(xué)的本原應(yīng)是處理抽象對象。對于創(chuàng)造了希臘數(shù)學(xué)的哲學(xué)家來說，嚴(yán)格的真理只適用于永恒不變的實體以及關(guān)系。幸運的是，人類由對事物的感性認(rèn)識得到的認(rèn)識可以上升為較高層次的理念，這便是思想，永恒的現(xiàn)實和思想的真實載體。青睞抽象還有一個原因，欲使數(shù)學(xué)更強有力，就必須在一個抽象概念中包涵它所表示實物的本質(zhì)特征。從而數(shù)學(xué)上的直線必須包括拉伸的繩子、直尺邊、田地的邊

43、界和光線的路徑。相應(yīng)地，數(shù)學(xué)上的直線沒有粗細(xì)、顏色、分子結(jié)構(gòu)和繃緊度之分。希臘人明確地指出數(shù)學(xué)是處理抽象事物的。柏拉圖在共和國中提及幾何學(xué)家：你是否也知道，他們雖利用可見的形象并拿來進(jìn)行推理，但他們想的并不是這些東西，而是類似于這些東西的理想形象：他們所看到的不是所畫的圖形，而是絕對正方形及絕對直徑。他們力求看到事物本質(zhì)，而這只有用心靈之目才能看到。因而數(shù)學(xué)首先處理點、線和整數(shù)等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圓可以用基本概念來定義，而基本概念正如亞里士多德所說應(yīng)該是不可定義的，否則就沒有起始點。希臘人的精明之處表現(xiàn)在，他們要求被定義的概念應(yīng)有現(xiàn)實的對應(yīng)物體，或是論證得到或是構(gòu)造得到。因

44、而人們無法定義三等分角并證明有關(guān)它的定理，它可能并不存在。實際上，由于希臘人無法在他們自己提出的作圖條件下三等分角，他們就沒有引入這個概念。為了推導(dǎo)出數(shù)學(xué)概念，希臘人從自明的、無人懷疑的公理入手。柏拉圖用他的回憶理論證明了公理的可行性。正如我們前面提到過的，他認(rèn)為存在一個真理的客觀世界。人在出世前有過精神世界的經(jīng)歷，只要激發(fā)一下就可以回憶起以前的經(jīng)歷從而認(rèn)識到幾何學(xué)公理是真理，這并不需要實踐。但亞里士多德并不這樣認(rèn)為，他認(rèn)為公理是可理解的原理，符合思維而沒有什么可懷疑的。亞里士多德在后驗分析中指出，我們憑著絕對可靠的直覺認(rèn)識到公理是真理，而且，我們必須以這些公理作為推導(dǎo)的基礎(chǔ)。相反，如果使用了

45、一些并未證明是真理的事實，下一步推理就需要證明這些事實，而這一過程是無限循環(huán)的，那么這就變成了永無止境的回退。他又區(qū)分了公理和公設(shè)，公理對所有思想領(lǐng)域皆真，包括“等量加等量還是等量”這樣的命題。公設(shè)則適用于專業(yè)學(xué)科，如幾何學(xué)。從而有，“兩點決定一條唯一的直線”。亞里士多德也的確指出公設(shè)無需一望便知其為真，但應(yīng)被其所推出的結(jié)果所支持。然而這種不證自得的真理是數(shù)學(xué)家所需要的。從公理出發(fā)，可用推理得出結(jié)論。有多種推理方法，比如，歸納、類比和演繹，其中只有一種能夠證明結(jié)論的正確性。由一千只蘋果都是紅的而得出蘋果都是紅的這個結(jié)論，是歸納，不一定可靠。類似的，由于約翰的兄弟已從大學(xué)畢業(yè)，而約翰受教于同樣的

46、老師，所以也應(yīng)該能從大學(xué)畢業(yè)，這是由類比推出的推理，當(dāng)然也是不可靠的。然而，如果假定人終將一死，而蘇格拉底是人，則必然接受蘇格拉底也會死這樣的結(jié)論。這里所涉及到的邏輯，亞里士多德稱之為三段式演繹法。在亞里士多德的其他推理規(guī)則中，還有歸謬法（一個命題不可能既真又假）及排中律（一個命題必須為真或假）。他和世人都毫無疑問地承認(rèn)這些推理原理用于任一前提時，推導(dǎo)出的結(jié)果和前提一樣可靠。因此，如果前提為真，則結(jié)論也為真。值得一提的是，后面我們將要討論的，亞里士多德從已為數(shù)學(xué)家所應(yīng)用的推理方法中抽象出了演繹邏輯法。雖然幾乎所有希臘哲學(xué)家都宣稱演繹推理是獲取真理的唯一可靠方法，柏拉圖的觀點卻有些不同。他雖然不

47、否定演繹證明，卻認(rèn)為沒必要。因為數(shù)學(xué)公理和定理存在于不依賴于人的意志的客觀世界，根據(jù)柏拉圖的回憶理論，人們只須回憶并且承認(rèn)他們那些毋庸置疑的真理，用柏拉圖在西艾泰德斯一書中的比喻來說，定理，就像關(guān)在鳥籠中的鳥。它們呆在那里，你只須伸手進(jìn)去抓住它們。學(xué)習(xí)就是一個收集的過程。在柏拉圖的對話梅農(nóng)里，通過巧妙地詢問一個年輕奴隸，蘇格拉底證實了同底等高的正方形面積是等腰三角形面積的兩倍。從而蘇格拉底成功地得出結(jié)論，即便是沒有受過幾何學(xué)訓(xùn)練的奴隸也可以在適當(dāng)?shù)奶崾鞠禄貞浧饋?。認(rèn)識到人們是多么堅定相信演繹推理是很重要的。假設(shè)一位科學(xué)家在不同地區(qū)測量了一百個形狀大小不同的三角形，發(fā)現(xiàn)它們的內(nèi)角和在實驗精度允許

48、范圍內(nèi)都是 180°，他當(dāng)然可以下結(jié)論，任何三角形的內(nèi)角和都是 180°。但他的證明是歸納而不是演繹，從而在數(shù)學(xué)上不會被認(rèn)可。同樣，只要你高興，你可以檢驗任意多的偶數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都是兩個素數(shù)的和，但這種檢驗也不是演繹證明，因而結(jié)果也不是數(shù)學(xué)定理。那么看來，演繹證明是一種很嚴(yán)格的要求。但是，希臘的數(shù)學(xué)家們，他們（主要是哲學(xué)家）堅持一定要用演繹推理，因為這樣可以得到真理，永恒的真理。哲學(xué)家們偏愛演繹推理還有一個原因，他們致力于理解人類和物質(zhì)世界的廣泛知識。為了建立普遍成立的真理，如人性本善，又如世界是既定的，或人本有為而生之，從可接受的基本原理進(jìn)行演繹推理要比用歸納或類比，更加可

49、行。古希臘人喜愛演繹法的另一個原因應(yīng)歸結(jié)于他們的社會構(gòu)成。富有階層進(jìn)行哲學(xué)、數(shù)學(xué)和藝術(shù)活動，這些人不干體力勞動。奴隸、非公民和自由手工業(yè)者，從事商業(yè)和家務(wù)勞動，甚至從事最重要的職業(yè)。受過教育的自由人不動手，很少進(jìn)行商貿(mào)活動。柏拉圖認(rèn)為商貿(mào)活動，對于自由人來說是墮落，他還希望，如果自由人從事了這一行，就要被視為犯罪而受到懲罰。亞里士多德認(rèn)為在理想條件下公民（與奴隸相對）不應(yīng)從事任何商業(yè)。在畢歐欽人（Boeotian，希臘人的一個部落）中，用商務(wù)來褻瀆自己的人十年內(nèi)不得擔(dān)任公職。對于這種階層里的思想家，是不用實驗和觀察的，因此也無法從中獲得科學(xué)或數(shù)學(xué)結(jié)論。雖然希臘人堅持運用演繹推理的原因很多，但還

50、有一個問題，即：是哪個哲學(xué)家或哲學(xué)派別首先提出這個要求的。遺憾的是，我們對于蘇格拉底時代以前的哲學(xué)家們的學(xué)說和著作的認(rèn)識是零碎的，盡管眾說紛紜，卻無定論。到了亞里士多德時代，對演繹推理的要求已經(jīng)確定，因為他闡明了不可定義概念的必要性和推理方法的嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)。希臘人欲得到宇宙的數(shù)學(xué)規(guī)律，他們在這方面成就如何呢？由歐幾里得、阿波羅紐斯(Apollonius)、阿基米得(Archimedes)和托勒密(Ptolemy)所創(chuàng)立的數(shù)學(xué)的精華有幸傳給了我們。在時間上他們屬于希臘文化的第二個重要時期，亞歷山大里亞時期（公元前 300年公元 600年）。在公元前 4世紀(jì)，馬其頓的菲利浦王著手征服波斯人，后者控制了

51、近東，是歐洲希臘人的世敵。菲利浦被刺后，其子亞歷山大繼承了王位。亞歷山大擊敗了波斯人，把擴(kuò)大的希臘帝國的文化中心遷到了一個他謙虛地以自己名字命名的新城市。亞歷山大死于公元前 323年，但他發(fā)展新中心的計劃由其在埃及接受了托勒密王號的后繼者繼續(xù)。可以肯定歐幾里得約于公元前 300年生活在亞歷山大里亞，在那里教育學(xué)生，雖然他自己也許是在柏拉圖學(xué)院完成了學(xué)業(yè)。順便提一句，這是我們所了解的歐幾里得個人生活的全部。歐幾里得著作具有系統(tǒng)、演繹的形式，是許多古希臘人孤立發(fā)現(xiàn)的匯合，他們的主要著作幾何原本給出了空間和空間中圖形的規(guī)律。歐幾里得的原本是他對空間幾何的全部貢獻(xiàn)。歐幾里得從一本已失傳的書中接收了圓錐

52、曲線的理論，在亞歷山大里亞學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的小亞細(xì)亞拍加人阿波羅紐斯，繼續(xù)其關(guān)于拋物線、橢圓和雙曲線的研究，并寫出了這方面的經(jīng)典著作圓錐曲線。在亞歷山大里亞受教育而生在西西里的阿基米得對純幾何學(xué)知識增添了幾本著作論球和圓柱，論劈錐曲面體與球體，拋物線的求積。他都是用歐多克斯（Eudoxus）提出的方法來計算復(fù)雜的面積和體積，后來被稱作窮竭法。現(xiàn)在這些問題可用微積分來解決。希臘人對空間和空間圖形的研究，作出了一個重要貢獻(xiàn)三角學(xué)。這一學(xué)科的創(chuàng)始人是喜帕恰斯。他生活在羅德斯和亞歷山大里亞，約死于公元前 125年。三角學(xué)由梅內(nèi)勞斯（Menelaus）發(fā)展，并由在亞歷山大亞里工作的埃及人托勒密給出完整的、權(quán)威的

53、描述。他的主要著作數(shù)學(xué)匯編，阿拉伯人稱之為大匯編，知名度更廣。三角學(xué)研究三角形邊、角的量化關(guān)系。希臘人主要關(guān)注球面上的三角形，其邊是由大圓（圓心在球心）弧組成的。因為在希臘天文學(xué)中，行星和恒星沿大圓運行，所以他們的三角學(xué)，主要應(yīng)用于行星和恒星的運動。同一理論加以改變，又可用于平面上的三角形，這正是我們現(xiàn)在學(xué)校里所學(xué)的那種三角學(xué)形式。三角學(xué)的引入要求其使用者具有較高深的算術(shù)和某些代數(shù)知識。希臘人怎樣在這些領(lǐng)域內(nèi)工作的，我們將在后面討論（見第五章）。借助于這樣一些發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)從模糊的、經(jīng)驗的割裂狀態(tài)轉(zhuǎn)變成為輝煌的、龐大的、系統(tǒng)化的和充滿智慧的創(chuàng)造物。然而，歐幾里得、阿波羅紐斯和阿基米得的經(jīng)典著作（托

54、勒密的大匯編是個例外）所涉及到的空間及空間圖形的性質(zhì)卻囿于視野之內(nèi)，對其中所蘊含的更廣泛意義卻少有提示。這些著作似乎和揭示自然的真理無關(guān)，實際上，他們只是給出了一種形式上的、精練的演繹數(shù)學(xué)。在這方面，希臘數(shù)學(xué)課本與現(xiàn)代數(shù)學(xué)課本和文獻(xiàn)沒有什么兩樣。這些書的目的僅僅是為了組織和顯示已取得的數(shù)學(xué)成果，而省略了這些工作的動機(jī)，定理的來源和提示及其應(yīng)用。因而許多研究古希臘科學(xué)的人都認(rèn)為，古希臘這一時期的數(shù)學(xué)家主要是為了數(shù)學(xué)本身而探索數(shù)學(xué)，他們指出并證實了這個論斷，并提及歐幾里得的原本及阿波羅紐斯的圓錐曲線這兩部當(dāng)時最著名的著作。然而，就像僅憑二項展開式定理就得出牛頓是一個純粹數(shù)學(xué)家的結(jié)論，他們僅憑這兩部

55、著作就得了這個論斷，視野未必過于狹窄。真正的目的是探索自然。在物質(zhì)世界的探索中，甚至連幾何學(xué)的真理也是非常重要的。很清楚，對于希臘人，幾何學(xué)原理是宇宙的整體結(jié)構(gòu)的體現(xiàn)，空間是其中的基本組成部分。因而關(guān)于空間和空間圖形的探索是宇宙探索的基本工作，幾何學(xué)實際上是一門更大的宇宙科學(xué)的一部分。比如，當(dāng)天文學(xué)數(shù)學(xué)化時（在柏拉圖時代出現(xiàn)），球體上的幾何學(xué)研究就著手進(jìn)行了。實際上，希臘語中的球一詞，對畢達(dá)哥拉斯派的人來說，就意味著天文學(xué)。歐幾里得的現(xiàn)象就是專門討論用于天文學(xué)的球面幾何學(xué)的。有了這些證據(jù)和對更近代的數(shù)學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r更充分的了解，我們也許可以肯定這一點，即科學(xué)探討必然會引起數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)是探索自

56、然的一部分。我們不必專門去研究這些，只須檢驗希臘人在探索自然中做了些什么，以及這些人中包括誰。物理科學(xué)中最偉大的成就是在天文學(xué)上取得的，柏拉圖很清楚巴比倫人和埃及人做出的大量天文學(xué)觀測，但卻強調(diào)說他們沒有建立或統(tǒng)一理論，沒有對看上去無規(guī)律的行星運動作出解釋。歐多克斯（柏拉圖學(xué)園里的一名學(xué)生，其純粹幾何學(xué)工作包括在歐幾里得原本的第五篇和第十二篇中）著手解決“整理外觀”的問題。他的解答是歷史上第一個相當(dāng)完備的天文學(xué)理論。我們描述歐多克斯的理論，只是為了表明它是完全徹底的數(shù)學(xué)化理論，并且涉及到天體的相互作用。這些球體，除了那個固定的恒星外，都不是物質(zhì)實體，而是數(shù)學(xué)的構(gòu)想。他也不想嘗試去描述引起球體轉(zhuǎn)

57、動的力，他的理論在思想上是極先進(jìn)的，因為在今天，科學(xué)的目的就是為了尋求數(shù)學(xué)描述而不是物理解釋。在歐多克斯之后這一理論為三位最著名的理論天文學(xué)家阿波羅紐斯、喜帕恰斯和托勒密所繼承，其成果包括在托勒密的大匯編一書里。阿波羅紐斯關(guān)于天文學(xué)的著作現(xiàn)已失傳。他的著作，被希臘人，甚至包括托勒密在他的大匯編（第十二篇）中廣為引用。他作為一個天文學(xué)家是如此著名以致獲得了艾普西?。ㄏＥD字母的讀音）的雅號，因為他對月球運動做了許多研究工作，而是月球的記號。關(guān)于喜帕恰斯的工作我們只知道一點，他的工作也同樣地被大匯編引用。現(xiàn)在我們所承認(rèn)的托勒密天文學(xué)的基本方案在歐多克斯和阿波羅紐斯時代的希臘天文學(xué)就已形成。在這種方案

58、中，行星 P以 S為中心作勻速圓周運動，而 S本身以地球 E為中心作勻速圓周運動。S運動的圓叫從圓，P運動的圓叫周轉(zhuǎn)圓。對某些行星來說，點 S就是太陽，但在其他情形下則只不過是數(shù)學(xué)上假設(shè)的一個點。P與 S的運動方向可能相符，可能相反，太陽和月球的情況就屬于后一種。托勒密也將這套方案加以變化來描述某些行星運動。通過適當(dāng)選取周轉(zhuǎn)圓和從圓的半徑以及天體在周轉(zhuǎn)圓上的和周轉(zhuǎn)圓心在從圓上的運動速度，喜帕恰斯和托勒密所描述的天體運動與那時的觀測結(jié)果十分吻合。從喜帕恰斯時代起，人們就能預(yù)報月蝕，誤差不超過一兩小時，但對日蝕的預(yù)報卻不那么準(zhǔn)。這種預(yù)報之所以可能，是托勒密運用了他稱之為專門為天文學(xué)而發(fā)明的三角學(xué)。圖 1.5從探求真理的觀點來看，值得提及的是托勒密和歐多克斯一樣，充分認(rèn)識到他的理論只是符合觀測結(jié)果的方便的數(shù)學(xué)化描述，而不一定是自然的真正設(shè)計。對于某些行星，他有幾種可供選擇的方案，他選擇了數(shù)學(xué)上較簡單的那個。托勒密在他的著作大匯編的第十三篇中說，在天文學(xué)上，人們應(yīng)尋求盡可能簡單的數(shù)學(xué)模型。但