1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上方法五 數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來(lái)研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域（最值）及求變量的取值范圍等對(duì)這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效從近幾年的高考題來(lái)看，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”預(yù)測(cè)2017年高考中，仍然會(huì)沿用以往的命題思路，借助各種函數(shù)的圖象和方程的曲線為載體，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，在考題形式上，不但有小題，還會(huì)有解答題，在考查的數(shù)量上，會(huì)有多個(gè)小題考查數(shù)形結(jié)合的思想方法復(fù)習(xí)中應(yīng)提高用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)，畫(huà)圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點(diǎn)來(lái)精確確定圖形間的位置關(guān)系【數(shù)形結(jié)合思想概述】1數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以

2、形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：（1）等價(jià)性原則在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，要注意其帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)（2）雙方性原則既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)

3、的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)（3）簡(jiǎn)單性原則不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線3數(shù)形結(jié)合思想在高考試題中主要有以下六個(gè)常考點(diǎn)（1）集合的運(yùn)算及Venn圖；（2）函數(shù)及其圖象；（3）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線；（5）對(duì)于研究距離、角或面積的問(wèn)題，可直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可；（6）對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問(wèn)題，可通過(guò)函數(shù)的圖象求解

4、（函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)），做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用4數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；（2）用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解；（3）在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題的思路時(shí)使用的，不可使用形的直觀代替相關(guān)的計(jì)算和推理論證【數(shù)形結(jié)合思想解決

5、的問(wèn)題類型】一、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；例1.【2017江蘇，14】設(shè)是定義在且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上, 其中集合，則方程的解的個(gè)數(shù)是 .【答案】8因此 不可能與每個(gè)周期內(nèi) 對(duì)應(yīng)的部分相等，只需考慮與每個(gè)周期 的部分的交點(diǎn)，例2【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù).若，則的最大值為_(kāi)；若無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】，.【解析】如圖作出函數(shù)與直線的圖象，它們的交點(diǎn)是，由，知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，因此的最大值是；由圖象知當(dāng)時(shí)，有最大值是；只有當(dāng)時(shí)，由，因此無(wú)最大值，所求的范圍是，故填：，二、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；例3.對(duì)于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”

6、：a*b設(shè)f(x)(2x1)*(x1)，且關(guān)于x的方程f(x)m(mR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_【答案】【解析】由定義可知，f(x)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示由圖可知，當(dāng)0<m<時(shí)，f(x)m(mR)恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3.不妨設(shè)x1<x2<x3，易知x2>0，且x2x32×1，x2x3<.令解得x或x(舍去)<x1<0，<x1x2x3<0.，答案三、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；例4.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（ ）（A）

7、， （B），（C）， （D）， 【答案】C四、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式；例5【2018屆湖北省荊州中學(xué)、宜昌一中等“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高三2月聯(lián)考】滿足，則的最小值為_(kāi)【答案】【解析】作出可行域： 的表示可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，其最小值顯然是原點(diǎn)到直線AC距離的平方： 故答案為： 例6.【2018屆山東省威海市高三上期末】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在圓上，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.【答案】【解析】設(shè)，則 因?yàn)?，所?，又即在圓，又在直線的上方，設(shè)直線與圓交點(diǎn)為，圓與正半軸交于，則在弧上，由，得，又，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，故答案為.五

8、、構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題；例7.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 .【答案】【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，則.設(shè)，則，由于異面直線所成角的范圍為，所以.，令，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值. 例8.【2016高考上海文科】如圖，已知點(diǎn)O(0,0),A(1.0),B(0,1),P是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是 .【答案】【解析】由題意，設(shè), ，則，又, 所以.六、構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問(wèn)題；例9.【2018屆云南省昆明市第一中學(xué)

9、高三第六次月考】已知函數(shù)，若兩個(gè)正數(shù)，滿足，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由可得，即對(duì)恒成立，所以在實(shí)數(shù)上單調(diào)遞增.因?yàn)?，?可得，由題意可得，畫(huà)出、的可行域，則可看作區(qū)域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)的斜率.直線與橫軸交于點(diǎn)，與縱軸交于點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，故選C例10.等腰直角內(nèi)接于拋物線，為拋物線的頂點(diǎn)，的面積是16，拋物線的焦點(diǎn)為，若是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）A B C D【答案】C七、構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；例11.已知函數(shù)的周期為4，且當(dāng)時(shí)， 其中若方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為A. B. C. D. 【答案】A【解析】當(dāng)，將函數(shù)化為方程，其曲線為半個(gè)橢圓（

10、）時(shí)或半個(gè)圓，其圖象如圖所示，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)時(shí)的圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象，由圖易知直線與第二個(gè)橢圓無(wú)交點(diǎn)，與第一個(gè)折線有兩個(gè)交點(diǎn)，將代入 得，由及解得，而時(shí)，所以所求范圍是，故選A.八、研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等例12.【2018屆江西省南昌市高三第一次模擬】函數(shù)的圖象大致為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，據(jù)此可排除B選項(xiàng)，考查函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，據(jù)此有：，據(jù)此可排除C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，則，據(jù)此可排除D選項(xiàng)；本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左

11、右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)例13.如圖，長(zhǎng)方形的邊，是的中點(diǎn)，點(diǎn)沿著邊，與運(yùn)動(dòng)，記將動(dòng)到、兩點(diǎn)距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為（ ） DPCB OAx【答案】B【解析】由已知得，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即時(shí)，從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看出，軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，且，且軌跡非線型，故選B【反思提升】總的來(lái)說(shuō)“數(shù)形結(jié)合”思想是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，它可以將抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化、準(zhǔn)確化、形象化用好數(shù)形結(jié)合可以使我們更深入準(zhǔn)確的理解數(shù)學(xué)問(wèn)題1在數(shù)學(xué)中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復(fù)數(shù)的幾何意義等都實(shí)現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當(dāng)試題中涉及這些問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們可以通過(guò)圖形分析這些數(shù)量關(guān)系，達(dá)到解題的目的2有些圖形問(wèn)題，單純從圖形上無(wú)法看出問(wèn)題的結(jié)論，這就要對(duì)圖形進(jìn)行數(shù)量上的分析，通過(guò)數(shù)的幫助達(dá)到解題的目的3利用數(shù)形結(jié)合解題，