1、 - 1 - 一、一、點的軌跡點的軌跡 1.（2016 青海西寧）如圖，點 A 的坐標為（0，1） ，點 B 是 x 軸正半軸上的一動點，以 AB 為邊作等腰直角 ABC，使BAC=90 ，設點 B 的橫坐標為 x，點 C 的縱坐標為 y，能表示 y 與 x 的函數關系的圖象大致是（ ） A B C D 【分析】根據題意作出合適的輔助線，可以先證明 ADC 和 AOB 的關系，即可建立 y 與 x 的函數關系，從而可以得到哪個選項是正確的 【解答】解：作 ADx 軸，作 CDAD 于點 D，若右圖所示， 由已知可得，OB=x，OA=1，AOB=90 ，BAC=90 ，AB=AC，點 C 的縱坐

2、標是 y，ADx 軸， DAO+AOD=180 ，DAO=90 ，OAB+BAD=BAD+DAC=90 ，OAB=DAC， 在 OAB 和 DAC 中，OABDAC（AAS） ，OB=CD，CD=x， 點 C 到 x 軸的距離為 y，點 D 到 x 軸的距離等于點 A 到 x 的距離 1，y=x+1（x0） 故選：A 2.（2016 四川眉山）如圖，已知點 A 是雙曲線在第三象限分支上的一個動點，連結 AO 并延長交另一分支于點 B，以 AB 為邊作等邊三角形 ABC，點 C 在第四象限內，且隨著點 A 的運動，點 C 的位置也在不斷變化，但點 C始終在雙曲線上運動，則 k 的值是 【分析】根

3、據反比例函數的性質得出 OA=OB，連接 OC，過點 A 作 AEy 軸，垂足為 E，過點 C 作 CFy 軸，垂足為 F，根據等邊三角形的性質和解直角三角形求出 OC=OA，求出 OFCAEO，相似比，求出面積比，求出 OFC 的面積，即可得出答案 【解答】解：雙曲線的圖象關于原點對稱，點 A 與點 B 關于原點對稱，OA=OB， 連接OC， 如圖所示， ABC是等邊三角形， OA=OB， OCAB BAC=60 ， tanOAC=， OC=OA， - 2 - 過點 A 作 AEy 軸，垂足為 E，過點 C 作 CFy 軸，垂足為 F，AEOE，CFOF，OCOA， AEO=OFC，AOE=

4、90 FOC=OCF，OFCAEO，相似比，面積比， 點 A 在第一象限， 設點 A 坐標為 （a， b） ， 點 A 在雙曲線上， S AEO=ab=， S OFC=FCOF=， 設點 C 坐標為（x，y） ，點 C 在雙曲線上，k=xy，點 C 在第四象限，F(xiàn)C=x，OF=y FCOF=x（y）=xy=，故答案為：3 3.如圖，正方形 ABCD 的邊長為 8，動點 P、Q 在正方形 ABCD 的邊上運動，且 PQ=8.若點 P 從點 A 出發(fā)， 沿 ABCD 的線路，向 D 點運動，求點 P 從 A 到 D 的運動過程中，PQ 的中點 O 所經過的路徑的長。 依題意畫出圖形，如圖所示 此時

5、在 RtAPQ 中，O 為 PQ 的中點，所以 AO=PQ=4 所以點 O 在以 A 為圓心，半徑為 4，圓心角為 90的圓弧上 PQ 的中點 O 所經過的路徑是三段半徑為 4，圓心角為 90的圓弧，如圖所示： 所以 PQ 的中點 O 所經過的路徑的長為：24=6； 4.（2014 年山東煙臺）在正方形 ABCD 中，動點 E，F(xiàn) 分別從 D，C 兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線 DC，CB上移動 （1）如圖，當點 E 自 D 向 C，點 F 自 C 向 B 移動時，連接 AE 和 DF 交于點 P，請你寫出 AE 與 DF 的位置關系，并說明理由； （2）如圖，當 E，F(xiàn) 分別移動到邊 DC

6、，CB 的延長線上時，連接 AE 和 DF， （1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明） （3）如圖，當 E，F(xiàn) 分別在邊 CD，BC 的延長線上移動時，連接 AE，DF， （1）中的結論還成立嗎？請說明理由； （4）如圖，當 E，F(xiàn) 分別在邊 DC，CB 上移動時，連接 AE 和 DF 交于點 P，由于點 E，F(xiàn) 的移動，使得點 P 也隨之運動，請你畫出點 P 運動路徑的草圖若 AD=2，試求出線段 CP 的最小值 - 3 - 【解答】解： （1）AE=DF，AEDF理由：四邊形 ABCD 是正方形， AD=DC，ADC=C=90 DE=CF，ADEDCF AE=DF，

7、DAE=CDF，由于CDF+ADF=90 ，DAE+ADF=90 AEDF； （2）是； （3）成立 理由：由（1）同理可證 AE=DF，DAE=CDF 延長 FD 交 AE 于點 G， 則CDF+ADG=90 ，ADG+DAE=90 AEDF； （4）如圖：由于點 P 在運動中保持APD=90 ， 點 P 的路徑是一段以 AD 為直徑的弧， 設 AD 的中點為 O，連接 OC 交弧于點 P，此時 CP 的長度最小， 在 RtODC 中，OC=，CP=OCOP= 5 （2016 南充） 已知正方形 ABCD 的邊長為 1， 點 P 為正方形內一動點， 若點 M 在 AB 上， 且滿足 PBCP

8、AM，延長 BP 交 AD 于點 N，連結 CM （1）如圖一，若點 M 在線段 AB 上，求證：APBN；AM=AN； （2）如圖二，在點 P 運動過程中，滿足 PBCPAM 的點 M 在 AB 的延長線上時，APBN 和 AM=AN 是否成立？（不需說明理由） 是否存在滿足條件的點 P，使得 PC=21？請說明理由 【解答】 （1）證明：如圖一中，四邊形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD，DAB=ABC=BCD=D=90， PBCPAM， PAM=PBC， =， PBC+PBA=90PAM+PBA=90，APB=90，APBN， ABP=ABN，APB=BAN=90 BAPBN

9、A， =，=，AB=BCAN=AM （2）解：仍然成立，APBN 和 AM=AN理由如圖二中，四邊形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD，DAB=ABC=BCD=D=90，PBCPAM， PAM=PBC， =， PBC+PBA=90，PAM+PBA=90，APB=90， APBN， ABP=ABN，APB=BAN=90 BAPBNA， =，=，AB=BC，AN=AM - 4 - 這樣的點 P 不存在理由：假設 PC=21， 如圖三中，以點 C 為圓心 為半徑畫圓，以 AB 為直徑畫圓， CO=1+ ，兩個圓外離，APB90，這與 APPB 矛盾，假設不可能成立， 滿足 PC= 的點

10、P 不存在 6如圖，E，F(xiàn) 是正方形 ABCD 的邊 AD 上兩個動點，滿足 AEDF.連結 CF 交 BD 于點 G，連結 BE 交 AG 于點 H.若正方形的邊長為 2，則線段 DH 長度的最小值是 解：如解圖，在正方形 ABCD 中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG. 在ABE 和DCF 中，ABCD，BADCDA，AEDF，ABEDCF(SAS)12. 在ADG 和CDG 中，ADCD，ADGCDG，DGDG，ADGCDG(SAS)23.13. BAH3BAD90，1BAH90.AHB1809090. 取 AB 的中點 O，連結 OH，OD，則 OHAO12AB1. 在 RtA

11、OD 中，OD AO2AD2 1222 5，根據三角形的三邊關系，OHDHOD， 當 O，D，H 三點共線時，DH 的長度最小，最小值ODOH 51. 7 （2016 福建三明）如圖，ABC 和ADE 是有公共頂點的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，點 P 為射線BD，CE 的交點.（1）求證：BD=CE； （2）若 AB=2，AD=1，把ADE 繞點 A 旋轉， 當EAC=90時，求 PB 的長； 直接寫出旋轉過程中線段 PB 長的最小值與最大值. (1)證明：ABC 和ADE 是等腰直角三角形，BAC=DAE=90， - 5 - AB=AC，AD=AE.DAB=90BAEEAC . A

12、DBAEC. BD=CE. (2)解：當點 E 在 AB 上時，BE=AB-AE=1. EAC=90， CE=225AEAC. 同(1)可證ADBAEC. DBA=ECA. PEB=AEC， PEB AEC . PBBEACCE. 125PB. 2 55PB . 當點 E 在 BA 延長線上時，BE=3.EAC=90， CE=225AEAC.同(1)可證ADBAEC. DBA=ECA.BEP=CEA， PEB AEC . PBBEACCE. 325PB.6 55PB . 綜上，2 55PB 或6 55. (3)PB 長的最小值是31，最大值是31. 8.若點 A 的坐標為（m，1-2m） ，則

13、點 A 不在第 象限。 9.如圖，正方形 ABCD 的邊長為 2，E 為線段 AB 上一點，點 M 為邊 AD 的中點，EM 的延長線與 CD 的延長線交于點 F，MGEF，交 CD 于 N，交 BC 的延長線于 G，點 P 是 MG 的中點連接 EG、FG下列結論：當點 E 為邊AB 的中點時，SEFG=5；MG=EF；當 AE=3時，F(xiàn)G=25；若點 E 從點 A 運動到點 B，則此過程中點 P 移動的距離為 2其中正確的結論的個數為（ ）A. 1 個 B. 2 個 C. 3 個 D. 4 個 解：過 M 作 MQBC 于 Q，四邊形 ABCD 是正方形，AB=2，A=B=90，A=B=B

14、QM=90， 四邊形 ABQM 數矩形，MQ=AB=2，E、M 分別為 AB、AD 中點，AE=AM=1，AM=MD，由勾股定理得：EM=12+12=2，四邊形 ABCD 是正方形，A=ADF=90，ABCD，AEM=DFM， 在AEM 和DFM 中 A=MDFAEM=DFMAM=DMAEMDFM（AAS） ，EM=MF=2，EF=22，四邊形 ABQM 是矩形，AMQ=90，EMG=90，AME+EMQ=90，EMQ+QMG=90，AME=QMG，在AME 和QGM 中，A=MQG=90，AME=QMG， AMEQMG，AE/AM=QG/MQ=11，MQ=QG=2，在 RtMQG 中，由勾股

15、定理得：MG=22， PEDCBAPEDCBA - 6 - SEFG=1/2EF MG=12222=4，錯誤； 過 E 作 EWCD 于 W，MQBC，四邊形 ABCD 是正方形，EW=AD=MQ=AB，MHE=90， EMG=90，MEG+EMH=90，EMH+GMH=90，MEH=QMG， 在FEW 和GMQ 中 FEW=GMQEW=MQEWF=MQG=90， FEWGMQ （ASA） ， EF=MG，正確；A=90，AM=1，AE=3，由勾股定理得：EM=2=FM，MG=EF=2+2=4， 在 RtFMG 中，由勾股定理得：FG=FM2+MG2=25，正確； 當 E 在 A 點時，P 為

16、正方形中心當 E 運動到 B 點時，P 運動到 P，ABMMGB（已證） ， AM/AB=BM/MG=1/2，P 為 MQ 的中點，P為 MG 中點，PPBC， MPP=MQG=90=BMG，MPP=MGB，MPPBMG， MP/PP=MB/MG=1/2，PP=2MP=2，正確；即正確的有 3 個故選 C 10.(2014 咸寧)如圖 1，P（m，n）是拋物線 y=1 上任意一點，l 是過點（0，2）且與 x 軸平行的直線，過點 P作直線 PHl，垂足為 H 【探究】 （1）填空：當 m=0 時，OP= ，PH= ；當 m=4 時，OP= ，PH= ； 【證明】 （2）對任意 m，n，猜想 O

17、P 與 PH 的大小關系，并證明你的猜想 【應用】 （3）如圖 2，已知線段 AB=6，端點 A，B 在拋物線 y=1 上滑動，求 A，B 兩點到直線 l 的距離之和的最小值 解答： （1）解：OP=1，PH=1；OP=5，PH=5如圖 1，記 PH 與 x 軸交點為 Q， - 7 - 當 m=0 時，P（0，1） 此時 OP=1，PH=1當 m=4 時，P（4，3） 此時 PQ=3，OQ=4， OP=5，PH=yP（2）=3（2）=5 （2）猜想：OP=PH證明：過點 P 作 PQx 軸于 Q，P 在二次函數 y=1 上， 設 P（m，1） ，則 PQ=|1|，OQ=|m|，OPQ 為直角三

18、角形， OP=， PH=yP（2）=（1）（2）=，OP=PH （3）解：如圖 2，連接 OA，OB，過點 A 作 ACl 于 C，過點 B 作 BDl 于 D，此時 AC 即為 A 點到 l 的距離，BD 即為 B 點到 l 的距離 則有 OB=BD，OA=AC，在AOB 中，OB+OAAB，BD+ACAB當 AB 過 O 點時， OB+OA=AB，BD+AC=AB綜上所述，BD+ACAB，AB=6， BD+AC6，即 A，B 兩點到直線 l 的距離之和的最小值為 6 11.（2016 大連）如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 y=x2+與 y 軸相交于點 A，點 B 與點 O 關于

19、點 A 對稱 （1）填空：點 B 的坐標是 ； （2）過點 B 的直線 y=kx+b（其中 k0）與 x 軸相交于點 C，過點 C 作直線 l 平行于 y 軸，P 是直線 l 上一點，且PB=PC，求線段 PB 的長（用含 k 的式子表示），并判斷點 P 是否在拋物線上，說明理由； （3）在（2）的條件下，若點 C 關于直線 BP 的對稱點 C恰好落在該拋物線的對稱軸上，求此時點 P 的坐標 【分析】（1）由拋物線解析式可求得 A 點坐標，再利用對稱可求得 B 點坐標； （2）可先用 k 表示出 C 點坐標，過 B 作 BDl 于點 D，條件可知 P 點在 x 軸上方，設 P 點縱坐標為 y，可表示出PD、PB 的長，