1、100個(gè)世界著名初等數(shù)學(xué)難題 2005-12-05 19:28, 數(shù)學(xué)綠園, 11802 字, 0/6, 原創(chuàng) | 引用100個(gè)著名初等數(shù)學(xué)問題 （轉(zhuǎn)載） 第01題 阿基米德分牛問題Archimedes' Problema Bovinum 太陽神有一牛群，由白、黑、花、棕四種顏色的公、母牛組成. 在公牛中，白牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于黑牛數(shù)的1/2+1/3；黑牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于花牛數(shù)的¼+1/5；花牛數(shù)多于棕牛數(shù)，多出之?dāng)?shù)相當(dāng)于白牛數(shù)的1/6+1/7. 在母牛中，白牛數(shù)是全體黑牛數(shù)的1/3+¼；黑牛數(shù)是全體花牛數(shù)¼+1/5；花牛數(shù)是全體棕牛

2、數(shù)的1/5+1/6；棕牛數(shù)是全體白牛數(shù)的1/6+1/7. 問這牛群是怎樣組成的？ 第02題 德·梅齊里亞克的法碼問題The Weight Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一個(gè)40磅的砝碼，由于跌落在地而碎成4塊.后來，稱得每塊碎片的重量都是整磅數(shù)，而且可以用這4塊來稱從1至40磅之間的任意整數(shù)磅的重物. 問這4塊砝碼碎片各重多少？ 第03題 牛頓的草地與母牛問題Newton's Problem of the Fields and Cows a頭母牛將b塊地上的牧草在c天內(nèi)吃完了； a'頭母牛將b'塊地上的牧草在c'

3、天內(nèi)吃完了； a"頭母牛將b"塊地上的牧草在c"天內(nèi)吃完了；求出從a到c"9個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系？ 第04題 貝韋克的七個(gè)7的問題Berwick's Problem of the Seven Sevens 在下面除法例題中，被除數(shù)被除數(shù)除盡： * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * *

4、 * * * * * 用星號(hào)（*）標(biāo)出的那些數(shù)位上的數(shù)字偶然被擦掉了，那些不見了的是些什么數(shù)字呢？ 第05題 柯克曼的女學(xué)生問題Kirkman's Schoolgirl Problem 某寄宿學(xué)校有十五名女生，她們經(jīng)常每天三人一行地散步，問要怎樣安排才能使每個(gè)女生同其他每個(gè)女生同一行中散步，并恰好每周一次？ 第06題 伯努利-歐拉關(guān)于裝錯(cuò)信封的問題The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters 求n個(gè)元素的排列，要求在排列中沒有一個(gè)元素處于它應(yīng)當(dāng)占有的位置. 第07題 歐拉關(guān)于多邊形的剖分問題Euler's Pro

5、blem of Polygon Division 可以有多少種方法用對角線把一個(gè)n邊多邊形（平面凸多邊形）剖分成三角形？ 第08題 魯卡斯的配偶夫婦問題Lucas' Problem of the Married Couples n對夫婦圍圓桌而坐，其座次是兩個(gè)婦人之間坐一個(gè)男人，而沒有一個(gè)男人和自己的妻子并坐，問有多少種坐法？ 第09題 卡亞姆的二項(xiàng)展開式Omar Khayyam's Binomial Expansion 當(dāng)n是任意正整數(shù)時(shí)，求以a和b的冪表示的二項(xiàng)式a+b的n次冪. 第10題 柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem 求證n個(gè)正數(shù)的幾

6、何平均值不大于這些數(shù)的算術(shù)平均值. 第11題 伯努利冪之和的問題Bernoulli's Power Sum Problem 確定指數(shù)p為正整數(shù)時(shí)最初n個(gè)自然數(shù)的p次冪的和S=1p+2p+3p+np. 第12題 歐拉數(shù)The Euler Number 求函數(shù)(x)=(1+1/x)x及(x)=(1+1/x)x+1當(dāng)x無限增大時(shí)的極限值. 第13題 牛頓指數(shù)級數(shù)Newton's Exponential Series 將指數(shù)函數(shù)ex變換成各項(xiàng)為x的冪的級數(shù). 第14題 麥凱特爾對數(shù)級數(shù)Nicolaus Mercator's Logarithmic Series 不用對數(shù)表，計(jì)算

7、一個(gè)給定數(shù)的對數(shù). 第15題 牛頓正弦及余弦級數(shù)Newton's Sine and Cosine Series 不用查表計(jì)算已知角的正弦及余弦三角函數(shù). 第16題 正割與正切級數(shù)的安德烈推導(dǎo)法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series 在n個(gè)數(shù)1，2，3，,n的一個(gè)排列c1，c2，cn中，如果沒有一個(gè)元素ci的值介于兩個(gè)鄰近的值ci-1和ci+1之間，則稱c1，c2，cn為1，2，3，,n的一個(gè)屈折排列.試?yán)们叟帕型茖?dǎo)正割與正切的級數(shù). 第17題 格雷戈里的反正切級數(shù)Gregory's Arc Tangen

8、t Series 已知三條邊，不用查表求三角形的各角. 第18題 德布封的針問題Buffon's Needle Problem 在臺(tái)面上畫出一組間距為d的平行線，把長度為l（小于d）的一根針任意投擲在臺(tái)面上，問針觸及兩平行線之一的概率如何？ 第19題 費(fèi)馬-歐拉素?cái)?shù)定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem 每個(gè)可表示為4n+1形式的素?cái)?shù)，只能用一種兩數(shù)平方和的形式來表示. 第20題 費(fèi)馬方程The Fermat Equation 求方程x2dy2=1的整數(shù)解，其中d為非二次正整數(shù). 第21題 費(fèi)馬-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss

9、Impossibility Theorem 證明兩個(gè)立方數(shù)的和不可能為一立方數(shù). 第22題 二次互反律The Quadratic Reciprocity Law （歐拉-勒讓德-高斯定理）奇素?cái)?shù)p與q的勒讓德互反符號(hào)取決于公式 （p/q）·（q/p）=（1）(p-1)/2·(q-1)/2. 第23題 高斯的代數(shù)基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra 每一個(gè)n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+cn=0具有n個(gè)根. 第24題 斯圖謨的根的個(gè)數(shù)問題Sturm's Problem of the Number of

10、Roots 求實(shí)系數(shù)代數(shù)方程在已知區(qū)間上的實(shí)根的個(gè)數(shù). 第25題 阿貝爾不可能性定理Abel's Impossibility Theorem 高于四次的方程一般不可能有代數(shù)解法. 第26題 赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 系數(shù)A不等于零，指數(shù)為互不相等的代數(shù)數(shù)的表達(dá)式A1e1+A2e2+A3e3+不可能等于零. 第27題 歐拉直線Euler's Straight Line 在所有三角形中，外接圓的圓心，各中線的交點(diǎn)和各高的交點(diǎn)在一直線歐拉線上，而且三點(diǎn)的分隔為：各高線的交點(diǎn)（垂心）至各中線的交點(diǎn)（重心

11、）的距離兩倍于外接圓的圓心至各中線的交點(diǎn)的距離. 第28題 費(fèi)爾巴哈圓The Feuerbach Circle 三角形中三邊的三個(gè)中點(diǎn)、三個(gè)高的垂足和高的交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的線段的三個(gè)中點(diǎn)在一個(gè)圓上. 第29題 卡斯蒂朗問題Castillon's Problem 將各邊通過三個(gè)已知點(diǎn)的一個(gè)三角形內(nèi)接于一個(gè)已知圓. 第30題 馬爾法蒂問題Malfatti's Problem 在一個(gè)已知三角形內(nèi)畫三個(gè)圓，每個(gè)圓與其他兩個(gè)圓以及三角形的兩邊相切. 第31題 蒙日問題Monge's Problem 畫一個(gè)圓，使其與三已知圓正交. 第32題 阿波洛尼斯相切問題The Tangency

12、Problem of Apollonius. 畫一個(gè)與三個(gè)已知圓相切的圓. 第33題 馬索若尼圓規(guī)問題Macheroni's Compass Problem. 證明任何可用圓規(guī)和直尺所作的圖均可只用圓規(guī)作出. 第34題 斯坦納直尺問題Steiner's Straight-edge Problem 證明任何一個(gè)可以用圓規(guī)和直尺作出的圖，如果在平面內(nèi)給出一個(gè)定圓，只用直尺便可作出. 第35題 德里安倍立方問題The Deliaii Cube-doubling Problem 畫出體積為一已知立方體兩倍的立方體的一邊. 第36題 三等分一個(gè)角Trisection of an Angl

13、e 把一個(gè)角分成三個(gè)相等的角. 第37題 正十七邊形The Regular Heptadecagon 畫一正十七邊形. 第38題 阿基米德值確定法Archimedes' Determination of the Number Pi 設(shè)圓的外切和內(nèi)接正2vn邊形的周長分別為av和bv，便依次得到多邊形周長的阿基米德數(shù)列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，其中av+1是av、bv的調(diào)和中項(xiàng)，bv+1是bv、av+1的等比中項(xiàng). 假如已知初始兩項(xiàng)，利用這個(gè)規(guī)則便能計(jì)算出數(shù)列的所有項(xiàng). 這個(gè)方法叫作阿基米德算法. 第39題 富斯弦切四邊形問題Fuss' Problem of the

14、Chord-Tangent Quadrilateral 找出半徑與雙心四邊形的外接圓和內(nèi)切圓連心線之間的關(guān)系.（注：一個(gè)雙心或弦切四邊形的定義是既內(nèi)接于一個(gè)圓而同時(shí)又外切于另一個(gè)圓的四邊形）第40題 測量附題Annex to a Survey 利用已知點(diǎn)的方位來確定地球表面未知但可到達(dá)的點(diǎn)的位置. 第41題 阿爾哈森彈子問題Alhazen's Billiard Problem 在一個(gè)已知圓內(nèi)，作出一個(gè)其兩腰通過圓內(nèi)兩個(gè)已知點(diǎn)的等腰三角形. 第42題 由共軛半徑作橢圓An Ellipse from Conjugate Radii 已知兩個(gè)共軛半徑的大小和位置，作橢圓. 第43題 在平行四

15、邊形內(nèi)作橢圓An Ellipse in a Parallelogram, 在規(guī)定的平行四邊形內(nèi)作一內(nèi)切橢圓，它與該平行四邊形切于一邊界點(diǎn). 第44題 由四條切線作拋物線A Parabola from Four Tangents 已知拋物線的四條切線，作拋物線. 第45題 由四點(diǎn)作拋物線A Parabola from Four Points. 過四個(gè)已知點(diǎn)作拋物線. 第46題 由四點(diǎn)作雙曲線A Hyperbola from Four Points. 已知直角（等軸）雙曲線上四點(diǎn)，作出這條雙曲線. 第47題 范·施古登軌跡題Van Schooten's Locus Problem

16、 平面上的固定三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)沿平面上一個(gè)角的兩個(gè)邊滑動(dòng)，第三個(gè)頂點(diǎn)的軌跡是什么？ 第48題 卡丹旋輪問題Cardan's Spur Wheel Problem. 一個(gè)圓盤沿著半徑為其兩倍的另一個(gè)圓盤的內(nèi)緣滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)圓盤上標(biāo)定的一點(diǎn)所描出的軌跡是什么？ 第49題 牛頓橢圓問題Newton's Ellipse Problem. 確定內(nèi)切于一個(gè)已知（凸）四邊形的所有橢圓的中心的軌跡. 第50題 彭賽列-布里昂匈雙曲線問題The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem 確定內(nèi)接于直角（等邊）雙曲線的所有三角形的頂垂線交點(diǎn)的軌跡. 第51題 作為包絡(luò)

17、的拋物線A Parabola as Envelope 從角的頂點(diǎn)，在角的一條邊上連續(xù)n次截取任意線段e，在另一條邊上連續(xù)n次截取線段f，并將線段的端點(diǎn)注以數(shù)字，從頂點(diǎn)開始，分別為0，1，2，n和n，n1，2，1，0. 求證具有相同數(shù)字的點(diǎn)的連線的包絡(luò)為一條拋物線. 第52題 星形線The Astroid 直線上兩個(gè)標(biāo)定的點(diǎn)沿著兩條固定的互相垂直的軸滑動(dòng)，求這條直線的包絡(luò). 第53題 斯坦納的三點(diǎn)內(nèi)擺線Steiner's Three-pointed Hypocycloid 確定一個(gè)三角形的華萊士（Wallace）線的包絡(luò). 第54題 一個(gè)四邊形的最接近圓的外接橢圓The Most Nea

18、rly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral 一個(gè)已知四邊形的所有外接橢圓中，哪一個(gè)與圓的偏差最??？ 第55題 圓錐曲線的曲率The Curvature of Conic Sections 確定一個(gè)圓錐曲線的曲率. 第56題 阿基米德對拋物線面積的推算Archimedes' Squaring of a Parabola 確定包含在拋物線內(nèi)的面積. 第57題 推算雙曲線的面積Squaring a Hyperbola 確定雙曲線被截得的部分所含的面積. 第58題 求拋物線的長Rectification of a Parabola 確

19、定拋物線弧的長度. 第59題 笛沙格同調(diào)定理（同調(diào)三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)連線通過一點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直線上. 反之，如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊交點(diǎn)位于一條直線上，則這兩個(gè)三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)連線通過一點(diǎn). 第60題 斯坦納的二重元素作圖法Steiner's Double Element Construction 由三對對應(yīng)元素所給定的重迭射影形，作出它的二重元素. 第61題 帕斯卡六邊形定理Pascal's Hexagon

20、 Theorem 求證內(nèi)接于圓錐曲線的六邊形中，三雙對邊的交點(diǎn)在一直線上. 第62題 布里昂匈六線形定理Brianchon's Hexagram Theorem 求證外切于圓錐曲線的六線形中，三條對頂線通過一點(diǎn). 第63題 笛沙格對合定理Desargues' Involution Theorem 一條直線與一個(gè)完全四點(diǎn)形*的三雙對邊的交點(diǎn)與外接于該四點(diǎn)形的圓錐曲線構(gòu)成一個(gè)對合的四個(gè)點(diǎn)偶. 一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)完全四線形*的三雙對頂點(diǎn)的連線和從該點(diǎn)向內(nèi)切于該四線形的圓錐曲線所引的切線構(gòu)成一個(gè)對合的四個(gè)射線偶.*一個(gè)完全四點(diǎn)形（四線形）實(shí)際上含有四點(diǎn)（線）1，2，3，4和它們的六條連線交點(diǎn)

21、23，14，31，24，12，34；其中23與14、31與24、12與34稱為對邊（對頂點(diǎn)）. 第64題 由五個(gè)元素得到的圓錐曲線A Conic Section from Five Elements 求作一個(gè)圓錐曲線，它的五個(gè)元素點(diǎn)和切線是已知的. 第65題 一條圓錐曲線和一條直線A Conic Section and a Straight Line 一條已知直線與一條具有五個(gè)已知元素點(diǎn)和切線的圓錐曲線相交，求作它們的交點(diǎn). 第66題 一條圓錐曲線和一定點(diǎn)A Conic Section and a Point 已知一點(diǎn)及一條具有五個(gè)已知元素點(diǎn)和切線的圓錐曲線，作出從該點(diǎn)列到該曲線的切線. 第6

22、7題 斯坦納的用平面分割空間Steiner's Division of Space by Planes n個(gè)平面最多可將整個(gè)空間分割成多少份？ 第68題 歐拉四面體問題Euler's Tetrahedron Problem 以六條棱表示四面體的體積. 第69題 偏斜直線之間的最短距離The Shortest Distance Between Skew Lines 計(jì)算兩條已知偏斜直線之間的角和距離. 第70題 四面體的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron 確定一個(gè)已知所有六條棱的四面體的外接球的半徑. 第71題 五種正則體The

23、Five Regular Solids 將一個(gè)球面分成全等的球面正多邊形. 第72題 正方形作為四邊形的一個(gè)映象The Square as an Image of a Quadrilateral 證明每個(gè)四邊形都可以看作是一個(gè)正方形的透視映象. 第73題 波爾凱-許瓦爾茲定理The Pohlke-Schwartz Theorem 一個(gè)平面上不全在同一條直線上的四個(gè)任意點(diǎn)，可認(rèn)為是與一個(gè)已知四面體相似的四面體的各隅角的斜映射. 第74題 高斯軸測法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry 正軸測法的高斯基本定理：如果在一個(gè)三面角的正投影中，

24、把映象平面作為復(fù)平面，三面角頂點(diǎn)的投影作為零點(diǎn)，邊的各端點(diǎn)的投影作為平面的復(fù)數(shù)，那么這些數(shù)的平方和等于零. 第75題 希帕查斯球極平面射影Hipparchus' Stereographic Projection 試舉出一種把地球上的圓轉(zhuǎn)換為地圖上圓的保形地圖射影法. 第76題 麥卡托投影The Mercator Projection 畫一個(gè)保形地理地圖，其坐標(biāo)方格是由直角方格組成的. 第77題 航海斜駛線問題The Problem of the Loxodrome 確定地球表面兩點(diǎn)間斜駛線的經(jīng)度. 第78題 海上船位置的確定Determining the Position of a S

25、hip at Sea 利用天文經(jīng)線推算法確定船在海上的位置. 第79題 高斯雙高度問題Gauss' Two-Altitude Problem 根據(jù)已知兩星球的高度以確定時(shí)間及位置. 第80題 高斯三高度問題Gauss' Three-Altitude Problem 從在已知*球獲得同高度瞬間的時(shí)間間隔，確定觀察瞬間，觀察點(diǎn)的緯度及星球的高度. 第81題 刻卜勒方程The Kepler Equation 根據(jù)行星的平均近點(diǎn)角，計(jì)算偏心及真近點(diǎn)角. 第82題 星落Star Setting 對給定地點(diǎn)和日期，計(jì)算一已知星落的時(shí)間和方位角. 第83題 日晷問題The Problem o

26、f the Sundial 制作一個(gè)日晷. 第84題 日影曲線The Shadow Curve 當(dāng)直桿置于緯度的地點(diǎn)及該日太陽的赤緯有值時(shí)，確定在一天過程中由桿的一點(diǎn)投影所描繪的曲線. 第85題 日食和月食Solar and Lunar Eclipses 如果對于充分接近日食時(shí)間的兩個(gè)瞬間太陽和月亮的赤經(jīng)、赤緯以及其半徑均為已知，確定日食的開始和結(jié)束，以及太陽表面被隱蔽部分的最大值. 第86題 恒星及會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期Sidereal and Synodic Revolution Periods 確定已知恒星運(yùn)轉(zhuǎn)周期的兩共面旋轉(zhuǎn)射線的會(huì)合運(yùn)轉(zhuǎn)周期. 第87題 行星的順向和逆向運(yùn)動(dòng)Progressive and Retrograde Motion of Planets 行星什么時(shí)候從順向轉(zhuǎn)為逆向運(yùn)動(dòng)（或反過來，從逆向轉(zhuǎn)為順向運(yùn)動(dòng)）？ 第88題 蘭伯特慧星問題Lambert's Comet Prolem 借助焦半徑及連接弧端點(diǎn)的弦，來表示慧星描繪拋物線軌道的一段弧所需的時(shí)間. 第89題 與歐拉數(shù)有關(guān)的斯坦納問題Steiner's Problem Concerning the Euler Number 如果x為正變數(shù)，x取何值時(shí)，x的x次方根為