1、1數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美愛(ài)因期坦說(shuō)過(guò) 3“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性”樸素、簡(jiǎn)單，是其外在形式，只有既樸實(shí)清秀，又底蘊(yùn)深厚，才稱得上至美世事再紛繁，加減乘除算盡；宇宙雖廣大，點(diǎn)線面體包完這首詩(shī)4，用字不多，卻到位地概括出了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔明了，微言大義數(shù)學(xué)和詩(shī)歌一樣，有著獨(dú)特的簡(jiǎn)潔美以下將從數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性及數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)潔性兩個(gè)方面論述數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美1.1 數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔性數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種特殊的語(yǔ)言，從形式上大致可分為數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)圖式語(yǔ)言數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言是數(shù)學(xué)化了的自然語(yǔ)言，或者稱為自然語(yǔ)言中的數(shù)學(xué)語(yǔ)自然語(yǔ)言常具有模糊性，而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，容不得含糊所以，?shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言不是自然語(yǔ)言文字的簡(jiǎn)單移植

2、或組合，而是經(jīng)過(guò)一定的加工、改造、限定、精確化而形成的，并且，這些語(yǔ)言具有數(shù)學(xué)學(xué)科特指的確定的語(yǔ)義，常以數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)的形式出現(xiàn)如數(shù)學(xué)中的直線、全等、連續(xù)、區(qū)間、組合、相似、極限、軌跡等都是自然語(yǔ)言的精確化；絕對(duì)值、正值、中線、中位線、有理、無(wú)理等都是對(duì)自然語(yǔ)言中的文字進(jìn)行限定的結(jié)果；增加幾倍、擴(kuò)大幾倍、概率、正弦、可微、可積等都是具有特定含義的數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言有些數(shù)學(xué)語(yǔ)言本身還具有比喻或象形意義，如扇形、補(bǔ)角、射影、倒數(shù)、銳角、鈍角、參數(shù)、行列式等數(shù)學(xué)詞語(yǔ)，似乎能給人一種語(yǔ)言直觀，使人較為自然、容易地領(lǐng)會(huì)和理解自然語(yǔ)言是數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言形成與發(fā)展的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言不僅借用了自然語(yǔ)言中的文字，沿用了

3、自然語(yǔ)言中的語(yǔ)法規(guī)則，而且在大多數(shù)情況下兩種語(yǔ)言的語(yǔ)義也是一致的符號(hào)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)中通用的、特有的簡(jiǎn)練語(yǔ)言，是在人類數(shù)學(xué)思維長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程中形成的一種語(yǔ)言表達(dá)形式“數(shù)學(xué)的效能來(lái)自數(shù)學(xué)符號(hào)”5按感知規(guī)律，數(shù)學(xué)符號(hào)分為三種：象形符號(hào)、縮寫符號(hào)、約定符號(hào). 象形符號(hào)是由數(shù)學(xué)對(duì)象的空間位置結(jié)構(gòu)或數(shù)量關(guān)系經(jīng)抽象概括得到的各種數(shù)學(xué)圖形或圖式，再經(jīng)縮小或改造而形成的一類數(shù)學(xué)符號(hào)如幾何學(xué)中的符號(hào)、等都是原形的壓縮改造，屬于象形符號(hào)縮寫符號(hào)是由數(shù)學(xué)概念的西文詞匯縮寫或加以改造而成的符號(hào)，比如函數(shù)(function),極限lim(limit)、正弦（sine）、最大（maximal）、最?。╩inimal）等符號(hào)均為此

4、類. 約定符號(hào)是數(shù)學(xué)共同體約定的，具有數(shù)學(xué)思維合理性、流暢性的數(shù)學(xué)符號(hào)，如運(yùn)算符號(hào)、，存在（）、任意（）、全等（）、相似（）、大于（）、小于（）、存在（）、任意（）等均屬此類圖表語(yǔ)言是指包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖或表，可細(xì)分為圖形語(yǔ)言（幾何圖形、統(tǒng)計(jì)分析圖、集合維恩圖等）、圖象語(yǔ)言（函數(shù)圖象或統(tǒng)計(jì)線圖等）和格表語(yǔ)言（統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表、分析表、框圖等），它們是數(shù)學(xué)形象思維的載體和中介，也是數(shù)學(xué)思維的重要材料和結(jié)果，而且還是進(jìn)行抽象思維的一個(gè)重要工具我們必須確認(rèn)，圖表也是一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是數(shù)學(xué)的一種直觀性語(yǔ)言，是對(duì)其他兩種語(yǔ)言的補(bǔ)充，它與數(shù)學(xué)概念、術(shù)語(yǔ)、符號(hào)與式子等一起構(gòu)成數(shù)學(xué)語(yǔ)言系統(tǒng)尤其在當(dāng)今信息化社會(huì)，

5、人們會(huì)經(jīng)常地在各種媒體上看到或閱讀到某種載有一定數(shù)學(xué)意義的圖形、圖象或格表，這些圖形、圖象或格表作為信息傳遞的一種形式具有同文字信息形式相同的功能，但比文字信息更直觀所以，掌握?qǐng)D表語(yǔ)言是現(xiàn)代社會(huì)的要求，學(xué)生必須學(xué)會(huì)讀圖，掌握?qǐng)D表語(yǔ)言，要能夠從圖形、圖象和格表中讀出蘊(yùn)涵的信息來(lái)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有優(yōu)勢(shì)與不足：文字語(yǔ)言通俗、易懂，但描述起來(lái)是線性的，不易表露知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)符號(hào)雖然抽象，但十分簡(jiǎn)潔，描述起來(lái)給人以結(jié)構(gòu)感；圖表語(yǔ)言比文字語(yǔ)言和一般符號(hào)語(yǔ)言更具直觀性，容易形成表象為了使數(shù)學(xué)內(nèi)容不那么難懂，能夠借助母語(yǔ)理解，在實(shí)際表述數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的時(shí)候，常結(jié)合自然語(yǔ)言的表述，所以，一種數(shù)學(xué)思想內(nèi)容的表達(dá)

6、常是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、圖表語(yǔ)言和自然語(yǔ)言的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)和有機(jī)融合數(shù)學(xué)語(yǔ)言作為一種語(yǔ)言，是數(shù)學(xué)交流的工具，是數(shù)學(xué)思維的載體但是它和自然語(yǔ)言(如漢語(yǔ)、英語(yǔ))卻有著諸多不同數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象而精確、簡(jiǎn)練而多樣、科學(xué)而通用1.2 數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)潔性應(yīng)用題的解法常有多種，我們也提倡解決問(wèn)題的方法多樣化，那么在這多種解法中如何判斷其優(yōu)劣呢?其最主要也是最基本的標(biāo)準(zhǔn)是否簡(jiǎn)捷例1.2.1 一條路長(zhǎng)1200米，某工程隊(duì)前3天修了全長(zhǎng)的，照這樣計(jì)算，修完這條路還需幾天?解法一： (天)解法二： (天)解法三： (天)解法四： (天)后兩種解法運(yùn)算量小，道理也很清楚，特別是第四種解法利用天數(shù)與與工作量的關(guān)系，一下子算出總

7、天數(shù)，再減去已用的3天，馬上得解，因而也是最清楚、最美的解法在高等數(shù)學(xué)中,求不定積分比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來(lái)得困難,因?yàn)槠渲行枰记? 我們提倡快樂(lè)數(shù)學(xué)，用樸素、簡(jiǎn)明、生動(dòng)的語(yǔ)言表達(dá)深?yuàn)W的道理. 把求不定積分的主要技巧、思路經(jīng)過(guò)提煉，編成順口的便于記憶的口訣，學(xué)生很容易掌握求不定積分的方法.口訣是：心中有張積分表，做題想法去對(duì)照，表中沒(méi)有換變量，積分換成表中樣，查表得出原函數(shù)，積分變量換原樣，遇到乘積和超越，分部積分有特效，辦法總比困難多，熟記口訣實(shí)在妙.例1.2.2 5 求不定積分.解 ，（為任意常數(shù)）.例1.2.3 5 求不定積分.解 ,（為任意常數(shù)）.簡(jiǎn)潔美并非單薄、初等

8、、低級(jí), 而是用簡(jiǎn)單的原理、公式概括大復(fù)雜的事實(shí), 這樣的簡(jiǎn)潔就顯得深遠(yuǎn)，且充分顯示出科學(xué)理論之美. 數(shù)學(xué)的這種簡(jiǎn)潔美，用幾個(gè)定理、公式、概念、理論，是不足以說(shuō)清的，數(shù)學(xué)歷史中每一次進(jìn)步都使己有的定理更簡(jiǎn)潔. 正如偉大的希爾伯特曾說(shuō)過(guò)6“ 數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著” 數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美無(wú)處不在，從自然數(shù)到哥德巴赫猜想，只要有數(shù)學(xué)的地方，你總會(huì)采擷到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形的使用可以替代語(yǔ)言文字，同時(shí)又濃縮了語(yǔ)言文字的全部含義這給研究問(wèn)題帶來(lái)了方便，提高了工作、學(xué)習(xí)效率.總之，數(shù)學(xué)的抽象符號(hào)及直觀的圖形中有美的形象，數(shù)學(xué)的邏輯推理中更有簡(jiǎn)潔美的神韻1 數(shù)

9、學(xué)中的對(duì)稱美“對(duì)稱”不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中一個(gè)重要的概念，更是一種重要的思想方法在“對(duì)稱”中往往體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的“美”來(lái)充分利用對(duì)稱原理，可使我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)多一條有效的通道，而且常能起到化繁為簡(jiǎn)，出奇制勝的效果亞里士多德指出：認(rèn)為數(shù)學(xué)不涉及美或善是錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)特別體現(xiàn)了秩序、對(duì)稱和明確性，而這些正是美的主要形式下面就對(duì)稱性原理在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的幾個(gè)方面作一些介紹，從中體會(huì)一下數(shù)學(xué)上的對(duì)稱之美及對(duì)稱性應(yīng)用之妙2.1 對(duì)稱性在幾何中的應(yīng)用在幾何方面，對(duì)稱性較為直觀，通過(guò)畫出幾何圖形就能容易地發(fā)現(xiàn)具有對(duì)稱性的對(duì)象.球、圓、雙曲線、拋物線等的對(duì)稱性是很直觀的，利用它們的對(duì)稱性可以解決許多幾何問(wèn)題在歐氏平面幾何中

10、，過(guò)兩點(diǎn)可作一條直線，但兩直線不總有一個(gè)交點(diǎn)(當(dāng)這兩條直線平行時(shí))，如果我們?cè)O(shè)想兩平行線相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，那么就形成完全對(duì)稱關(guān)系了. 正是基于這種對(duì)稱性的“彌補(bǔ)”而推進(jìn)了幾何發(fā)展，建立了射影幾何學(xué). 在射影幾何理論中，點(diǎn)與直線始終具有對(duì)稱的重要特性，例如：兩點(diǎn)確定一條直線，兩直線確定一點(diǎn)；不共線三點(diǎn)確定一個(gè)二角形，不共點(diǎn)三直線也惟一地確定一個(gè)三角形等等這樣一來(lái)，歐氏平面幾何中的定理與射影幾何中的定理之間也構(gòu)成了一種對(duì)稱關(guān)系在平面幾何的定理中，若將其中“點(diǎn)”換成.“直線”，“直線”換成“點(diǎn)”，就可得到相應(yīng)的射影幾何中的定理例如7：由德薩格定理“若兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，則其對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線”

11、，經(jīng)過(guò)對(duì)稱地變動(dòng)，即得“對(duì)偶定理”，若兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，則其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的邊線共點(diǎn)例2.1.1 證明等腰三角形的兩底角相等.CBA分析 此題的常規(guī)證法是通過(guò)作等腰三角形底邊上的高而得到兩個(gè)全等的三角形,從而由對(duì)應(yīng)角相等來(lái)證明命題成立若我們能發(fā)現(xiàn)與的對(duì)稱性就能夠更簡(jiǎn)單地證明.證明 如圖右所示,在與,因?yàn)? , ,所以因此當(dāng)然,此題用常規(guī)思維,通過(guò)作底邊上的高同樣比較容易證到所要證的結(jié)論.但利用對(duì)稱性來(lái)證明是一種很好的證明方法，更加簡(jiǎn)單，能夠培養(yǎng)人的發(fā)散思維 GFEDCBA例2.1.2 如圖，的三邊分別,和分別是中，的外角平分線，垂足分別為、，求分析 從圖形上看，與可能是平行的，于是猜想可能

12、是某個(gè)三角形的中位線，那么想象中的三角形是哪個(gè)三角形呢？已知圖形中給出了對(duì)稱條件：角平分線，由此而想象到把沿折到，把沿折到，這樣既補(bǔ)全了完美的軸對(duì)稱圖形，又得到了一個(gè)完整的，而且易證就是的中位線，所以這顯然是在圖形美的追求過(guò)程中捕捉到解題靈感的.例2.1.3 8 已知中，的對(duì)邊分別是,且，,求證：是等腰三角形分析 考慮到已知式、的對(duì)稱性，用的代數(shù)式表示，進(jìn)而可考慮構(gòu)造出一元二次方程來(lái)探路求解. 解 由，得，于是構(gòu)造一元二次方程，可見(jiàn)是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故有，即，但，所以，即是等腰三角形. 在解題中給我們的啟迪是什么？是它們的對(duì)稱，是解題方法的巧妙. 對(duì)稱性是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造中的重要的美學(xué)因素.

13、 解題時(shí)一旦題目提供的知識(shí)信息與學(xué)生的審美情感吻合，就會(huì)激起學(xué)生的審美直覺(jué)，從而迅速、正確地確定解題方法，解題思路、解題策略.數(shù)學(xué)解題是一種審美活動(dòng)，是審美情感支配下對(duì)數(shù)學(xué)美的追求. 2.2 對(duì)稱性在積分中的應(yīng)用對(duì)稱是數(shù)學(xué)形態(tài)美最重要的特征，正如著名數(shù)學(xué)家魏爾所說(shuō)：“美和對(duì)稱緊密相連.”在積分學(xué)中，對(duì)稱區(qū)間上的定積分依被積函數(shù)的奇偶性可變得簡(jiǎn)單，即在對(duì)稱區(qū)間上，若函數(shù)為偶函數(shù)，則,若為奇函數(shù)，則，用積分求平面圖形的面積和空間立體的體積時(shí)，若能首先斷定所給的平面圖形和空間立體是對(duì)稱的，則只須分別求出其中一個(gè)對(duì)稱塊的面積和體積，再乘以對(duì)稱的塊數(shù)即可，因此利用對(duì)稱性使計(jì)算變得十分簡(jiǎn)單在微積分中，可以

14、利用對(duì)稱性來(lái)求微分、積分等例2.2.1 9 求積分，其中為橢球體分析根據(jù)橢球體的變量之間、參變量之間與的積分變量之間、參變量之間均具有對(duì)稱性,可以把拆分成，只要求出其中任一個(gè)(不妨設(shè))的值，就可以求出其余兩個(gè)(,)的值，只需把所得結(jié)果中的參量()替換成相應(yīng)參量(或)就可以了，例如，若求，解 令，其中表示橢球面，其面積為，所以 由對(duì)稱性知，所以 對(duì)于此題，用通常的球坐標(biāo)變換也能把積分求出來(lái)，但利用對(duì)稱性計(jì)算更簡(jiǎn)潔、方便 2.3 對(duì)稱性在方程中的應(yīng)用例2.3.1 同學(xué)們乘坐公共汽車去參觀，出發(fā)半小時(shí)后，小明乘高速客車追趕，問(wèn)多少時(shí)間追上？公共汽車速度：60 / 高速客車：80 / 分析：這是一道初

15、中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是常見(jiàn)的物理現(xiàn)象，我們根據(jù)題意可以很快列出方程. 由題意知這是相對(duì)速度問(wèn)題或者為等距離問(wèn)題(1) 等距離思路解 設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)追上，則經(jīng)過(guò)小時(shí)后，公車行駛時(shí)間為，距離為0. 5+ ；高速客車行駛時(shí)間為，距離為. 兩者從同一地點(diǎn)出發(fā)，追上時(shí)肯定行駛距離相等 (小時(shí))(2)相對(duì)速度思路公車早出發(fā)半個(gè)小時(shí)，也就是說(shuō)，在小明開始出發(fā)時(shí)，公車已經(jīng)行駛60×0.5=30 了，這距離也就是兩者相比多出來(lái)的. 但是小明的車快啊，所以這部分多出來(lái)的距離必須靠速度的差距來(lái)彌補(bǔ). 他們的速度差距是多少？就是了，用這個(gè)速度80-60=20 / ，行駛小時(shí)后趕上，方程式不是很簡(jiǎn)單嗎？ (小時(shí))無(wú)論

16、用那種方法列方程，都體現(xiàn)了對(duì)稱思想，解的過(guò)程也一樣通過(guò)以上運(yùn)用對(duì)稱性解答題目，可知解題的簡(jiǎn)潔和快捷例2.3.2 求函數(shù)在滿足條件的最大值解根據(jù)x與y的對(duì)稱性令,于是故當(dāng)即時(shí)，取得最大值此題也可用代數(shù)方程和求導(dǎo)方法解之，但相比之下，上述利用對(duì)稱性的特點(diǎn)的解法較為簡(jiǎn)便 對(duì)稱在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)是普遍的：軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、對(duì)稱多項(xiàng)式等，從奇偶性上也可以視為對(duì)稱，從運(yùn)算關(guān)系角度看互逆運(yùn)算也可看為對(duì)稱關(guān)系，還有許許多多的地方都體現(xiàn)出它的魅力，就像亞里士多德所說(shuō)的那樣：雖然數(shù)學(xué)沒(méi)有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數(shù)學(xué)完全分離因?yàn)槊赖闹饕问骄褪侵刃颉蚍Q和確定性，這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則2 數(shù)學(xué)中的

17、和諧美和諧美，或稱統(tǒng)一美，是指部分與部分、整體與部分之間的和諧一致和諧性在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)是各種數(shù)學(xué)形式在不同層次上的高度統(tǒng)一和協(xié)調(diào)，是指在不同的數(shù)學(xué)對(duì)象或同一對(duì)象的不同組成部分之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律和諧性是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的重要標(biāo)志，是數(shù)學(xué)家不懈追求的永恒目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學(xué)方法之一作為研究客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的數(shù)學(xué)科學(xué)，反映了客觀世界的和諧統(tǒng)一性，正如希爾伯特所說(shuō)：“有機(jī)統(tǒng)一，是這門學(xué)科固有的特點(diǎn)，因?yàn)檫@是一切自然科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)”3.1 美麗的黃金分割17世紀(jì)德國(guó)著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割如果把勾股定理比作黃金

18、礦的話，那么可以把黃金分割比作為寶石礦”6可見(jiàn)黃金分割在數(shù)學(xué)中的重要性“數(shù)字”與“藝術(shù)”之間存在著巧妙而密切的聯(lián)系，人類早已對(duì)此表示出了極大的關(guān)注并進(jìn)行了深入不懈的探討和研究最早提出黃金分割這一名稱的是中世紀(jì)著名畫家達(dá)芬奇藝術(shù)家們都著力于研究自然界，為的是在畫布上忠實(shí)地再現(xiàn)它于是他們面臨著一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是怎樣把立體的現(xiàn)實(shí)世界繪制到平面的畫布上去達(dá)芬奇與他同時(shí)代的一些繪畫家經(jīng)過(guò)研究認(rèn)為，數(shù)學(xué)特別是其中的幾何學(xué)，與繪畫有著密切的關(guān)系達(dá)芬奇尤其堅(jiān)信數(shù)學(xué)的透視法是使畫面再現(xiàn)實(shí)體的唯一途徑，因此他十分注意對(duì)透視原理和線段間比例關(guān)系的研究在達(dá)芬奇的繪畫法則中，充分吸收了黃金分割的幾何意義，揭示了黃金分割

19、在繪畫中的重要地位“黃金分割”代表著一種至高的“和諧” 黃金分割是人類藝術(shù)的寵兒，特別是繪畫，建筑和攝影. 雅典巴臺(tái)農(nóng)神廟、巴黎圣母院等著名建筑的外觀，都利用黃金分割比給人以美的享受，金字塔的斜面三角高與底面半邊長(zhǎng)之比也是黃金分割比數(shù)的和諧能夠產(chǎn)生美感效果，和諧是由一定數(shù)的比例關(guān)系中派生出來(lái)的把這種數(shù)的比例關(guān)系推廣到音樂(lè)、繪畫、雕刻、建筑等各個(gè)方面就可以得到動(dòng)聽的音樂(lè)，美麗的繪畫、雕刻、建筑等等 “黃金分割率”就是和諧比例關(guān)系的其中之一3.2 數(shù)學(xué)推理的和諧性推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷得出一個(gè)新的判斷的思維過(guò)程其結(jié)構(gòu)包括前提和結(jié)論兩部分，已知的判斷稱為推理的前提，得出的新判斷叫做推理的結(jié)論正

20、確的推理要求前提真實(shí)，要求運(yùn)用符合形式邏輯的推理方式，遵守推理規(guī)則xy-33數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和無(wú)矛盾性也是和諧美的一種體現(xiàn)和諧性在數(shù)學(xué)中還表現(xiàn)為一定意義上的不變性，即在不同對(duì)象或同一對(duì)象的不同組成部分之間總有共同的規(guī)律存在例3.2.110 如右圖，已知函數(shù)的一段圖象，求這個(gè)函數(shù)的解析式解 易知，因?yàn)?，所以，將最高點(diǎn)代入得，所以，又，所以，所以函數(shù)的解析式為：.在上述求的過(guò)程中，若將零點(diǎn)代入可得，所以，又，所以或，但當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，難道以上推理錯(cuò)了？奧秘何在？事實(shí)上，只要考慮正弦曲線與軸的交點(diǎn)情況不難發(fā)現(xiàn)，若是位于遞增段上的零點(diǎn)，則；若是位于遞減段上的零點(diǎn)，則，按此奇、偶分布規(guī)律，由于

21、上述零點(diǎn)位于曲線的遞減段上，所以有，又，所以，與最高點(diǎn)代入法得到的完全一致，這正是數(shù)學(xué)推理和諧美的一種體現(xiàn)數(shù)學(xué)中嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理猶如藝術(shù)作品中合理的布局、流暢的線條和層次分明的色階嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)本身一大特點(diǎn)，所謂嚴(yán)謹(jǐn)就是使用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證和計(jì)算，整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部是和諧的由于數(shù)學(xué)不同于物理、化學(xué)等實(shí)驗(yàn)型科學(xué)，理論系統(tǒng)的嚴(yán)謹(jǐn)性就成為其賴以生存的首要條件和諧性則是嚴(yán)謹(jǐn)性的必要條件，由于數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)，其和諧性表現(xiàn)特別突出，有人把和諧列為“數(shù)學(xué)美”的標(biāo)準(zhǔn)之一嚴(yán)謹(jǐn)性是理論系統(tǒng)序化的特點(diǎn)，一切缺乏組織的隨意定義和擴(kuò)充的理論是談不上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，?dāng)然也就不可能和諧3 數(shù)學(xué)中的符號(hào)美數(shù)學(xué)符號(hào)是最簡(jiǎn)潔的文字，

22、表達(dá)的內(nèi)容卻極其廣泛而豐富，它是數(shù)學(xué)科學(xué)抽象化程度的高度體現(xiàn)，也正是數(shù)學(xué)美的一個(gè)方面數(shù)學(xué)的世界是一個(gè)符號(hào)的世界，數(shù)學(xué)語(yǔ)言就像一座燈塔，照亮了自然的未被揭示的秘密數(shù)學(xué)語(yǔ)言是由一些符號(hào)和記號(hào)組成的語(yǔ)言因此符號(hào)是交流與傳播數(shù)學(xué)思想的媒介我們就從下面幾個(gè)方面看看數(shù)學(xué)的符號(hào)美4.1 數(shù)學(xué)符號(hào)的方便性數(shù)學(xué)符號(hào)的第一大特點(diǎn)就是它的方便性，正是數(shù)學(xué)符號(hào)的方便性決定了它持久的生命力數(shù)學(xué)符號(hào)一直不斷地在方便性上逐步改進(jìn)，不斷完善它美的魅力二進(jìn)制的得寵就在于它便于電子計(jì)算機(jī)的使用首先二進(jìn)制只需0和1兩個(gè)數(shù)碼就可表示一切數(shù)目這對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)是最為有利的，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算機(jī)的“運(yùn)算器”一種符號(hào)的方便性有助于各方面的發(fā)展

23、，而數(shù)學(xué)符號(hào)的方便性不僅給數(shù)學(xué)本身帶來(lái)便捷，而且也促進(jìn)了其它科學(xué)的發(fā)展4.2 數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔性符號(hào)表達(dá)的算式、公式、概念、定理等等，節(jié)省了大量文字，反映了普遍規(guī)律，簡(jiǎn)潔，明了，易記，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言干練，簡(jiǎn)潔的特有美感4.3 數(shù)學(xué)符號(hào)的代表性符號(hào)：“=”（等于號(hào)）兩條同樣長(zhǎng)短的平行線，表達(dá)了運(yùn)算結(jié)果的惟一性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的清晰與精確“”（約等于號(hào)）是等于號(hào)的變形，表達(dá)了兩種量間的聯(lián)系性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的模糊與朦朧“”（大于號(hào)）、“”（小于號(hào)），一個(gè)一端收緊，一個(gè)一端張開，形象地表明兩量之間的大小關(guān)系線條：看到“”（垂直線條）我們想起屹立街頭的十層高樓，給我們的是挺拔感；看到“”（水平線條）

24、，我們想起了無(wú)風(fēng)的湖面，給我們的是沉靜感；看到“”（曲線線條），我們想起了波濤滾滾的海浪，給我們的是流動(dòng)感幾何形體中那些優(yōu)美的圖案（圓、拋物線、橢圓、圓錐曲線等等）更是令人賞心悅目4 數(shù)學(xué)中的奇異美數(shù)學(xué)中的奇異美，是指數(shù)學(xué)中所得出的結(jié)果或有關(guān)的發(fā)展是如此地出人意料，既引起了極大的驚愕和詫異，又引起了人們的贊賞與嘆服，從而給人以新奇的美感，奇異美也是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本內(nèi)容數(shù)學(xué)中新穎的結(jié)論、出人意料的反例和巧妙的解題方法都表現(xiàn)出了一種獨(dú)特的令人驚訝的奇異美5.1 數(shù)學(xué)方法的奇異性“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”，這是蘇軾的七絕題西林壁詩(shī)中的前兩句，意思是：正看廬山，高嶺橫空，側(cè)看廬山，峭拔成峰，遠(yuǎn)

25、近高低形象各異我們觀察事物，如果所出的立場(chǎng)不同，觀察到的結(jié)果也有所不同我們思考處理某一數(shù)學(xué)題，如果從某一角度用某種方法難以奏效時(shí)，不妨換個(gè)角度去觀察，換個(gè)方法去處理便可能“迎刃而解”例5.1.111 解方程這是一個(gè)一元三次方程，在現(xiàn)行的中學(xué)教材，未介紹解一般三次方程的方法，難以求解如果我們換個(gè)角度（已知和未知互易）去考慮，即將看作“未知數(shù)”而將看作“已知數(shù)”則將原方程整理成解得 或，故得，微積分使得一些用初等數(shù)學(xué)方法根本不可能求得其值的無(wú)理數(shù)的近似計(jì)算成為可能，由函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式毫不費(fèi)力地得到人們熟知的無(wú)理數(shù)和的表示式:把一個(gè)確定的數(shù)用一無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示，并由此再利用電子計(jì)算機(jī)就可以得到滿足任

26、意精度要求的近似值，奇妙無(wú)窮，令人驚異.幾何中許多方法巧妙無(wú)比，許多結(jié)論令人驚嘆，許多圖形形狀令人贊嘆，充分表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美如歐氏幾何的輔助線、解析幾何中的幾何問(wèn)題代數(shù)化處理等；許多曲面如二次柱面、二次錐面、單葉雙曲面和雙葉雙曲面的直紋性令人驚訝通過(guò)分析可知，單葉雙曲面既可由一族橢圓生成，又可由一族雙曲線生成，由這個(gè)無(wú)界的曲面可聯(lián)想到宇宙的廣袤因此，在美國(guó)有一座天文館,就建成單葉雙曲面的形狀，其設(shè)計(jì)師就是由彗星的橢圓、雙曲線軌道聯(lián)想到這幅探索宇宙空間的精美圖畫更為奇妙的是，它的外表設(shè)計(jì)應(yīng)用了單葉雙曲面的直紋性，在天氣晴朗的時(shí)候，陽(yáng)光沿著兩族直母線將該館分成兩半，上半的陰與下半的陽(yáng)相對(duì)稱這充分

27、表現(xiàn)了設(shè)計(jì)者極高的數(shù)學(xué)素質(zhì)和審美意識(shí)，他們就是巧妙的利用了幾何圖形表現(xiàn)的奇異美5.2 數(shù)學(xué)思維的奇異性克萊因所指出的“數(shù)學(xué)的另一個(gè)重要的特征是它的符號(hào)語(yǔ)言如同音樂(lè)利用符號(hào)來(lái)代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和空間形式”他又說(shuō)：“數(shù)學(xué)語(yǔ)言是慎重地、有意識(shí)地而且經(jīng)常是精心了設(shè)汁的，憑借數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性、抽象性、概括性和簡(jiǎn)潔性，數(shù)學(xué)家們就可以表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，如果用普通語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)就會(huì)顯得冗長(zhǎng)不堪，這種簡(jiǎn)潔性有助于思維的效率”12這表明，數(shù)學(xué)思維的符號(hào)化特性是與這種思維的高度間接性概括性相適應(yīng)的，因?yàn)橹挥羞\(yùn)用摒棄了具體內(nèi)容的形式化符號(hào)，才能保證思維實(shí)現(xiàn)更高程度的抽象和概括有人曾經(jīng)把數(shù)學(xué)美

28、學(xué)特征概括為統(tǒng)一性、簡(jiǎn)潔性、奇異性三個(gè)方面，數(shù)學(xué)思維由于其高度的間接性和概括性保證了數(shù)學(xué)思維的統(tǒng)一性和奇異性因?yàn)橹挥懈叨鹊某橄?、高度的概括才能得到高度的統(tǒng)一，而高度的間接性反作用于現(xiàn)實(shí)，就隱含了思維的奇異性同時(shí)，數(shù)學(xué)思維的符號(hào)性特征又保證了思維的簡(jiǎn)潔性因此數(shù)學(xué)思維往往具有顯著的美學(xué)特征，正如龐加萊所說(shuō)：12“我敢冒昧地說(shuō)數(shù)學(xué)的探索適有深刻的美學(xué)原則”又如波萊爾所說(shuō)：“我們的活動(dòng)與藝術(shù)家的活動(dòng)有許多共同之處，畫家進(jìn)行色彩與形態(tài)的組合音樂(lè)家將樂(lè)音組合起來(lái)，詩(shī)人組詞，而我們則是把一定類型的概念組合起來(lái)”可見(jiàn)數(shù)學(xué)思維的美學(xué)特征是十分明顯的5 數(shù)學(xué)中的意象美秀才進(jìn)京趕考13： 明朝有一窮書生，歷盡千辛萬(wàn)

29、苦趕往京城應(yīng)試由于交通不便，趕到京城時(shí)，試期已過(guò)。經(jīng)他苦苦哀求，主考官讓他先從一到十，再?gòu)氖揭蛔饕粚?duì)聯(lián)窮書生想起自己的身世，當(dāng)即一氣呵成：一葉孤舟，坐著二三個(gè)騷客，啟用四漿五帆，經(jīng)過(guò)六灘七灣，歷盡八顛九簸，可嘆十分來(lái)遲十年寒窗，進(jìn)了九、八家書院，拋卻七情六欲，苦讀五經(jīng)四書，考了三番兩次，今天一定要中。幾十載的人生之路，通過(guò)十個(gè)數(shù)字形象深刻地表現(xiàn)出來(lái)了。主考官一看，拍案叫絕，當(dāng)即將他排在榜首詩(shī)與數(shù)學(xué)之間最深刻的關(guān)系莫過(guò)于數(shù)學(xué)概念或意象與詩(shī)歌的結(jié)合6.1 數(shù)字與詩(shī)歌以宋代邵康所作的一首詩(shī)9來(lái)具體說(shuō)明數(shù)學(xué)詩(shī)中所蘊(yùn)涵的形式美一去二三里, 煙村四五家亭臺(tái)六七座, 八九十枝花14該詩(shī)巧妙運(yùn)用了110十個(gè)

30、數(shù)字形成一種錯(cuò)落有致的形式美, 活生生的勾畫出了一幅風(fēng)景如畫的山村自然美景在此也以數(shù)字一至十為首的詩(shī)來(lái)形容舊中國(guó)教師勞動(dòng)的艱辛和生活的現(xiàn)狀中國(guó)古代的詩(shī)詞中更不乏數(shù)字美的佳句如李白的“朝辭白帝彩云間，千里江陵一日還兩岸猿聲啼不住，輕舟已過(guò)萬(wàn)重山”，是公認(rèn)的長(zhǎng)江漂流的名篇，展示了一幅輕快飄逸的畫卷“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”，“白發(fā)三千丈”8也是借助數(shù)字達(dá)到了高度的藝術(shù)夸張杜甫的“兩個(gè)黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬(wàn)里船”，同樣膾炙人口，數(shù)字深化了時(shí)空意境他還有“霜皮溜雨四十圍，黛色參天二千尺”，“青松恨不高千尺，惡竹應(yīng)須斬萬(wàn)竿”等，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的夸張和愛(ài)憎柳宗元的“千山鳥

31、飛絕，萬(wàn)徑人蹤滅孤舟蓑笠翁，獨(dú)釣寒江雪”，數(shù)字具有尖銳的對(duì)比和襯托作用，他的“一身去國(guó)六千里，萬(wàn)死報(bào)荒十二年”和韓愈的“一封朝奏九重天，夕貶潮州路八千”一樣，抒發(fā)遷客的失意之情，異曲同工，驚心動(dòng)魄岳飛的“三十功名塵與土，八千里路云和月”，陸游的“三萬(wàn)里河?xùn)|入梅，五千仞岳上摩天”，同樣是壯懷激烈的還有一些狀似打油詩(shī)之作，也含有一定的哲理如唐詩(shī)題百鳥歸巢圖：“一只一只復(fù)一只，五六七八九十只，鳳凰何少鳥何多？食盡人間千萬(wàn)石”傳說(shuō)鄭板橋見(jiàn)人賞雪吟詩(shī)，戲作：“一片二片三四片，五六七八九十片，千片萬(wàn)片無(wú)數(shù)片，飛入梅花總不見(jiàn)”8讀來(lái)妙題橫生文君復(fù)書： 西漢時(shí)期，司馬相如赴長(zhǎng)安趕考，對(duì)送行的妻子卓文君發(fā)誓：“

32、不高車駟馬，不復(fù)此過(guò)”多情的卓文君卻深為憂慮，就叮囑他：“男兒功名固然很重要，但也切勿為功名所纏，作繭自縛”說(shuō)完，司馬相如便上路了到了長(zhǎng)安，勤奮讀書，終于官拜中郎將從此，他沉湎于聲色犬馬、紙醉金迷的生活覺(jué)得卓文君配不上他了，處心積慮想休妻，另娶名門千金小姐時(shí)光任苒，一轉(zhuǎn)眼5年過(guò)去了一天卓文君正暗字垂淚，忽然京城來(lái)了一名差官，交給她一封信，并說(shuō)司馬相如大人吩咐，立等回書卓文君又驚又喜，拆開一看，寥寥數(shù)語(yǔ)：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬(wàn)” 卓文君一下子明白了，當(dāng)了新貴的丈夫，已有棄她之意卓文君回信寫道：“一別以后，二地相懸，只說(shuō)三四個(gè)月，又誰(shuí)知五年六年七弦琴無(wú)心彈，八行書無(wú)可傳，九連環(huán)又從中折斷，十里長(zhǎng)亭望眼欲穿，百思想，千思念，萬(wàn)般無(wú)奈把郎怨萬(wàn)語(yǔ)千言說(shuō)不完，百無(wú)聊賴十依欄，重九登高看孤雁，八月中秋月圓人不圓，七