1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)到底有多少道習(xí)題兼論數(shù)學(xué)解題長(zhǎng)度眾所周知，問題與解是數(shù)學(xué)的心臟。解題是數(shù)學(xué)教學(xué)的顯著特征。無需諱言，在應(yīng)試教育的大背景下，高中數(shù)學(xué)的解題教學(xué)尤其重要。本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)教學(xué)體系為例，給出高效構(gòu)建高中數(shù)學(xué)習(xí)題體系的策略，初步提出解題長(zhǎng)度的概念，拋磚引玉，旨在優(yōu)化高中數(shù)學(xué)的有效教學(xué)，讓學(xué)生真正從浩如煙海的“題?！敝薪饷摮鰜怼Ｒ?、粗獷的高中數(shù)學(xué)習(xí)題體系的建構(gòu)策略解決數(shù)學(xué)問題需要具備哪些條件? 通常認(rèn)為,首先是必須具有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，其次是要具有一定的數(shù)學(xué)思想方法。概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可以用文字和符號(hào)來記錄和描述，但隨著時(shí)間

2、的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。在數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是一種意識(shí)形態(tài)，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，并且不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也對(duì)你還會(huì)起作用。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得。由此可見，在高中數(shù)學(xué)中 “知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，而數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)

3、識(shí)和運(yùn)用，其綜合體現(xiàn)就是所謂的“能力”。按照高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)要求，同類的學(xué)生所要解決的問題都是相同的、有限的，但是隨著教學(xué)日復(fù)一日地進(jìn)行，學(xué)生往往或多或少地能夠解答一些習(xí)題。如果學(xué)生在解答一個(gè)習(xí)題時(shí)沒有出現(xiàn)任何錯(cuò)誤，從理論上說，這個(gè)習(xí)題就不需要重做了。這樣一來，一個(gè)學(xué)期要做的習(xí)題不是越來越多，而是越來越少。因此,從理論上說，數(shù)學(xué)教學(xué)過程可以用如下集合的減法公式來表示： B(t)U-R(t)=。這里U是指確定的高中數(shù)學(xué)習(xí)題全集（最佳時(shí)，它是唯一的），其容量是一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的“常數(shù)”；R(t)是指學(xué)生已經(jīng)得到完全正確解答的習(xí)題集（即U的子集），其容量是一個(gè)隨時(shí)間(t)的推移而不斷增加

4、的“變數(shù)”；B(t)則是劃去那些已經(jīng)得到完全解答的習(xí)題所剩下的習(xí)題構(gòu)成的習(xí)題集（即在U中R(t)的補(bǔ)集），其容量是隨時(shí)間(t)推移而不斷減小的“變數(shù)”,也是后續(xù)教學(xué)的焦點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)習(xí)題全集是決定整個(gè)教學(xué)成績(jī)的關(guān)鍵因素，它的質(zhì)量直接決定高中數(shù)學(xué)教學(xué)的最后質(zhì)量。怎樣科學(xué)地確定高中數(shù)學(xué)的習(xí)題全集？教科書是幾代人集體智慧的結(jié)晶，具有很強(qiáng)的權(quán)威性、指導(dǎo)性、規(guī)范性，也是解題能力的生長(zhǎng)點(diǎn)，其中的例題和習(xí)題應(yīng)當(dāng)是高中數(shù)學(xué)習(xí)題全集的核心部分，學(xué)生必須要能夠徹底地解答這些題目。在教學(xué)實(shí)踐中，不少教師感到僅有教科書里的習(xí)題是不夠的，有必要對(duì)其加以擴(kuò)展。在當(dāng)前各種教輔材料鋪天蓋地之際，那些來自于教科書之外的習(xí)題不能不

5、經(jīng)研究、選擇、有計(jì)劃就進(jìn)入習(xí)題全集。當(dāng)前,學(xué)生數(shù)學(xué)課業(yè)負(fù)擔(dān)過重和數(shù)學(xué)教師負(fù)擔(dān)過重(包括批改作業(yè)的體力負(fù)擔(dān)與實(shí)績(jī)競(jìng)爭(zhēng)的心理負(fù)擔(dān))日益劇烈,其成因:一是師生受“作業(yè)做得越多越好”經(jīng)驗(yàn)的誤導(dǎo);二是教師自身缺乏自信心和判斷力;三是教研管理不到位。怎樣選擇教科書之外的習(xí)題進(jìn)入高中數(shù)學(xué)習(xí)題全集呢？首先，要認(rèn)真研究高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)要求，并將教科書中的習(xí)題按照基本題、中檔題和難題區(qū)別開來，確認(rèn)在教學(xué)中學(xué)生必須真正解決的那些習(xí)題；其次，選擇與教科書相匹配的教輔資料、當(dāng)?shù)孛；蚵?lián)考的同步測(cè)驗(yàn)試卷，通過認(rèn)真研究后將其中的一些真正有價(jià)值的題目（以變式題為主，擴(kuò)展題為輔，份量和難度按學(xué)生的實(shí)際水平在整體上加以控制

6、）選入習(xí)題全集。當(dāng)然，我們有必要選定一部分題目留作階段性測(cè)驗(yàn)之用；最后，按學(xué)期將所有的習(xí)題進(jìn)行全面的整理，并編成“學(xué)生用習(xí)題全集計(jì)劃書”加以實(shí)施。在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用“減法智慧”能夠體現(xiàn)有效教學(xué)的最基本特征：績(jī)效特征（效率趨高、策略優(yōu)良）和活動(dòng)要素特征（學(xué)生愉快、教師導(dǎo)向、彈性、生成），加強(qiáng)教學(xué)的針對(duì)性，切實(shí)減輕師生的負(fù)擔(dān)，有效提高學(xué)生（特別是學(xué)困生）的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)。二、精確的高中數(shù)學(xué)習(xí)題體系的建構(gòu)策略問題樹是麥肯錫分析問題最常使用的工具。問題樹就是將一個(gè)問題的所有子問題分層羅列，從最高層開始，并逐步向下擴(kuò)展:把一個(gè)已知問題當(dāng)成樹干，然后開始考慮這個(gè)問題和哪些問題相關(guān)。每想到一點(diǎn)，就給這個(gè)問題（也

7、就是樹干）加一個(gè)“樹枝”，并標(biāo)明這個(gè)“樹枝”代表什么問題。一個(gè)大的“樹枝”上還可以有小的“樹枝”，如此類推，找出問題的所有相關(guān)問題。問題樹主要是幫助你理清自己的思路，不進(jìn)行重復(fù)和無關(guān)的思考。高中數(shù)學(xué)是一棵分支眾多的大樹:根是高中數(shù)學(xué)所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法,主干是與日益增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的背景問題，分支是用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)能夠解決的一系列問題；再向下擴(kuò)展，一部分是單純地利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)就能夠完全解決的問題，另一部分是不僅要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)而且要利用數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法才能夠完全解決的問題。由此,我們產(chǎn)生一個(gè)貪婪的想法:高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)質(zhì)是“問題樹”的教學(xué)。高中數(shù)學(xué)中的

8、“問題樹”是一個(gè)有權(quán)重但無環(huán)路的無向連通圖G, 它包含的頂點(diǎn)集是由一個(gè)個(gè)問題組成的集合Vv1, v 2,.,vs，邊集是由問題的解組成的集合EE1,.,Et,對(duì)于任意一條邊Ei，都有一個(gè)由問題的解所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法組成的權(quán)重wi(我們暫且理解為問題的解所蘊(yùn)涵知識(shí)點(diǎn)的個(gè)數(shù)與數(shù)學(xué)思想方法的個(gè)數(shù)之和)。顯然, 這樣的“問題樹”不是唯一的,但存在各邊的最小的“最小問題樹”。 這樣，高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)教學(xué)就是在確認(rèn)了“最小問題樹”之后，使學(xué)生最大程度地真正解決“最小問題樹”中的問題。怎樣確認(rèn)高中數(shù)學(xué)的“最小問題樹”？一種可行的想法是：利用前述的“高中數(shù)學(xué)習(xí)題全集”來構(gòu)造“最小問題樹”，即構(gòu)造出最佳

9、的“高中數(shù)學(xué)習(xí)題全集”。前述的“高中數(shù)學(xué)習(xí)題全集”，是憑借少數(shù)的精英教育的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累下來的，其顯著特點(diǎn)是由于地域和技術(shù)的局限性，選題比較粗糙，與教學(xué)要求不相符合，特別是容易出現(xiàn)教學(xué)功能性重復(fù)或者缺失，因而難以公認(rèn)。這一點(diǎn)，從當(dāng)前鋪天蓋地的各種教輔材料（特別是習(xí)題集）良莠不齊可見一斑。為精確起見，我們不妨借助于現(xiàn)代信息技術(shù)（計(jì)算機(jī)題庫(kù)管理系統(tǒng)+網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)）來實(shí)現(xiàn)。高中數(shù)學(xué)的計(jì)算機(jī)題庫(kù)管理系統(tǒng)可以由“題型”（單選項(xiàng)）、“知識(shí)點(diǎn)”（多選項(xiàng)）、“數(shù)學(xué)思想方法”（多選項(xiàng)）、“難度”（單選項(xiàng)）、“用途”（多選項(xiàng)）、“來源”（多選項(xiàng)）、“錄入時(shí)間”（單選項(xiàng)）等項(xiàng)目組成?！邦}型”分“選擇題”、“填空題”、“解

10、答題”等?！爸R(shí)點(diǎn)”分“冊(cè)號(hào)”、“章名”、“節(jié)名”、“知識(shí)點(diǎn)名”。以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修課為例，課本有5+2=7冊(cè)，13+6=19章，73+24=97節(jié)，約120個(gè)知識(shí)點(diǎn)?！皵?shù)學(xué)思想方法”分“數(shù)學(xué)方法”、“數(shù)學(xué)思想”，其中高中數(shù)學(xué)方法常用的有五種：觀察與實(shí)驗(yàn)法（包括圖像法）、分析(包括逆證法)與綜合法(包括定義法、公式法)、特殊與一般法(包括參數(shù)法、待定系數(shù)法)、歸納與類比法(包括換元法、解析法)、補(bǔ)差法（包括消去法、放縮法、反證法）等；高中數(shù)學(xué)思想常用的有三種：符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷耄òê瘮?shù)與方程思想）、數(shù)形結(jié)合思想、對(duì)立統(tǒng)一的思想（包括整體思想、分類討論思想、化歸思想）等。高中數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)

11、思想是相輔相成的。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的精神實(shí)質(zhì)和理論基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)方法則是體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的技術(shù)手段?！半y度”通常分“容易”、“偏易”、“中等”、“偏難”、“難”五檔?！坝猛尽狈帧罢n型”、“用處”，其中“課型”分新授課、復(fù)習(xí)課；“用處”分例題、同步訓(xùn)練、測(cè)試等?！皝碓础狈帧罢n本”、“參考書”、“地區(qū)聯(lián)考卷”、“高考真卷”、“高考模擬卷”等。由此可見，如果一個(gè)數(shù)學(xué)題以涉及到的知識(shí)點(diǎn)為1-3個(gè)、涉及到的“數(shù)學(xué)思想方法”中“數(shù)學(xué)方法”、“數(shù)學(xué)思想”各1-2個(gè)，則大約有(120+120119/2+120119118/6) (5+10) (3+3)= 25 929 000道不同的題目，高達(dá)2 500萬之多；如果

12、一個(gè)數(shù)學(xué)題以涉及到的知識(shí)點(diǎn)為1-2個(gè)、涉及到的“數(shù)學(xué)思想方法”中“數(shù)學(xué)方法”、“數(shù)學(xué)思想”各1-2個(gè)，則大約有(120+120119/2) (5+10) (3+3)= 653 400道不同的題目，也高達(dá)50萬之多。因此，無論從理論上還是從實(shí)踐上看，“題海”戰(zhàn)術(shù)是低效的甚至是得不償失的。在過去，題目“難度”的劃定是沒有確切標(biāo)準(zhǔn)的。為了解決這個(gè)問題，我們又產(chǎn)生一個(gè)貪婪的想法:我們將題目的一個(gè)解所蘊(yùn)涵的知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù)A加上數(shù)學(xué)方法個(gè)數(shù)B與數(shù)學(xué)思想個(gè)數(shù)C之積的和，稱為這個(gè)解的長(zhǎng)度（D）。即D=A+BC?？紤]到高中數(shù)學(xué)的“一題多解”現(xiàn)象（“一題多解” 產(chǎn)生的根源在于對(duì)同一數(shù)學(xué)問題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想

13、?！耙活}多解” 之所以深受數(shù)學(xué)教師的重視，就是因?yàn)樵诮忸}過程中能夠多層次、多角度的思考問題，全面地應(yīng)用知識(shí)來分析問題與解決問題。但是，“一題多解”教學(xué)必須注意兩點(diǎn)：一是并不是所有的一題多解都能起到培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維的目的。學(xué)生不同于科學(xué)家，學(xué)生真正能掌握的僅僅是一兩種。二是一題多解不一定是有益的，要把握時(shí)機(jī)，根據(jù)教學(xué)目的進(jìn)行取舍。不要胡亂堆砌，讓學(xué)生驚嘆于教師的高明之余卻茫然于各種解法；要突出解題分析和解題回顧，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法。因此，必須優(yōu)化解題方法。），我們將某題目的所有解（或優(yōu)化了的一題多解）的長(zhǎng)度的最小值, 稱為這個(gè)題目的解題長(zhǎng)度。例如, 某題目共有兩種解法:解法一所蘊(yùn)涵的知

14、識(shí)點(diǎn)為2個(gè),數(shù)學(xué)方法為2個(gè) ,數(shù)學(xué)思想為1個(gè),則解法一的解題長(zhǎng)度為2+21=4; 解法二所蘊(yùn)涵的知識(shí)點(diǎn)為1個(gè),數(shù)學(xué)方法為2個(gè) ,數(shù)學(xué)思想為2個(gè),則解法二的解題長(zhǎng)度為1+22=5; 因?yàn)榻夥ㄒ坏慕忸}長(zhǎng)度與解法二的解題長(zhǎng)度的最小值為4,所以這個(gè)題目的解題長(zhǎng)度為4。顯而易見，一個(gè)題目的“難度”與“解題長(zhǎng)度”成正相關(guān)。這樣，我們便可以用題目的解題長(zhǎng)度來劃定其“難度”。下表給出題目“難度”劃定的一種標(biāo)準(zhǔn)。 標(biāo)準(zhǔn)容易題偏易題中等題偏難題難題解題長(zhǎng)度23-45-89-1010以上教學(xué)標(biāo)識(shí)了解/識(shí)別理解/獨(dú)立操作掌握/應(yīng)用/遷移根據(jù)高中數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)要求，在確認(rèn)了“題目難度標(biāo)準(zhǔn)”的問題之后，我們就能進(jìn)一

15、步地研究題目的難度分布與相應(yīng)的題量分布問題，以便有效地精確控制教學(xué)。以江蘇省教學(xué)要求為例, 在必修課的120個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，了解/識(shí)別的約35個(gè), 理解/獨(dú)立操作的約77個(gè),掌握/應(yīng)用/遷移的僅有8個(gè)。顯而易見，無論在基礎(chǔ)年級(jí)的新授課階段還是在高三年級(jí)的總復(fù)習(xí)階段，對(duì)教學(xué)要求不同的知識(shí)點(diǎn)，都應(yīng)當(dāng)配上份量和難度各不相同的習(xí)題。這樣，“高中數(shù)學(xué)習(xí)題全集”到底應(yīng)當(dāng)有多少道題合適？怎樣分配？我們又產(chǎn)生一個(gè)貪婪的想法:以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修課為例，假設(shè)每學(xué)期20周，每周5節(jié)數(shù)學(xué)課，每節(jié)數(shù)學(xué)課15道習(xí)題（其中例題3-4道，課堂訓(xùn)練2-3道，課后作業(yè)8-10道），高中三年應(yīng)有數(shù)學(xué)習(xí)題近1萬道。如果再按了解、理解、掌握的份量之比為2：3：5計(jì)算，每一個(gè)了解級(jí)的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)有習(xí)題17道（分新授課、總復(fù)習(xí)兩次完成；下同），理解級(jí)的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)有習(xí)題25道，掌握級(jí)的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)有習(xí)題42道。按上述的思路（誠(chéng)然，這些想法還不太成熟，有待于