1、類 比 探 究 類 問 題 解 析 版1、如圖，在矩形 ABCM, AD=4 M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn) E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)EM并延長(zhǎng)交線段 CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)如圖1,求證：AE=DF(2)如圖2,若AB=2過點(diǎn)M作MG EF交線段BC于點(diǎn)G判斷4GEF的形狀，并說明 理由；(3)如圖3,若AB=2j3,過點(diǎn)M作MG EF交線段BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G.直接寫出線段AE長(zhǎng)度的取值范圍；判斷4GEF的形狀，并說明理由.【答案】 解：(1)在矩形 ABCD43, / EAM=Z FDMI900, / AME=Z FMD. AM=DMAE陣ADFM (ASA)。，AE=DF(2) GEF等腰直角

2、三角形。理由如下：過點(diǎn)G作GhU A計(jì)H, . /A=/ B=Z AHG=90 ,，四邊形ABGK矩形。，GH=AB=2 . MGLEF,.-.ZGME=90 。 ./AME+/GMH=90。 . /AME+/AEM=90 , . . / AEMg GMHX AD=4, M是 AD的中點(diǎn)，AM2。. . AN=HG .AE陣AHMG (AAS。，ME=MG . . / EGM=45 。由(1)得 AE廬 DF Ml，ME=MF又 MGL EFGE=GF/ EGF=2/ EGM =90。GEF是等腰直角三角形。(3) 23 v AEW 2J3 。34GEF是等邊三角形。理由如下：過點(diǎn)G作GhU

3、A或 AD延長(zhǎng)線于點(diǎn) H, / A=Z B=Z AHG=90 ,二.四邊形 ABGK矩形。 .GH=ab=2'3。 . MGL EF,Z GME=90 。 . . / AME+/ GMH=90 。GHoAM<3。二 /0MEG=60 /AM曰/AEM=90 , ，/AEMgGMH又. / A=Z GHM=90°, .AEM HMG-.3EM- -人/MG GH 2 3在 Rt GMlE3,tan Z MEG= -EM AM 2由(1)得 AE廬 DFM，ME=MF又 MGL EF GE=GF. GEF1等邊三角形。2、(1)如圖1,在正方形 ABCM, E是AB上一點(diǎn)，

4、F是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 DF= BE.求證：CE= CF;(2)如圖2,在正方形 ABCD43, E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果 / GCE= 45 ° ,請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明：GE= BE+ GD(3)運(yùn)用(1) (2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖 3,在直角梯形 ABCD43, AD/ BC(BC>AD), Z B= 90 ° , AB= BG E是 AB上一點(diǎn),且/DCE= 45° , BE= 4, DE=10,求直角梯形 ABCM面積. .CBE GDI3(SAS。CE= CE(2)證明： 如圖，延長(zhǎng) AD至F,使DF=BE連

5、接CE由(1)知CBMCDF/ BCE= / DCE / BC曰 / ECD= / DC斗 / ECD即 / EC曰 / BCD= 90°。又/GCE= 45 ° , ，/GC已/GCE= 45. CE= CF, /GCE=/GCR GC= GC. .ECg AFC(3 (SAS。.-.GE= GF,.GE= DF+ GD= BE+ GD(3)如圖，過C作CG!AD,交AD延長(zhǎng)線于G.在直角梯形 ABCD43, AD/ BC, . / A= / B= 90又 / CGA= 90° , AB= BC, 四邊形ABCD為正方形。AG= BG已知 / DCE= 45 &

6、#176; ,根據(jù)(1) (2)可知，ED= BE+ DG 10=4+DG 即 DG=6設(shè) AB= x,則 AE= x-4, AD= x-6,在 RtAE砰， DE=AE2+aE",即 102= (x-6) 2 解這個(gè)方程，得：x=12或x= 2 (舍去)。 .AB=12。一1 , _1,_、一 S梯形 abcd- (ADBC) AB-(612)12108。梯形ABCD勺面積為108。3、在正方形 ABCM,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在線段BC上(不含點(diǎn)B), / BPE= 1 ZACB, 2PE交BO于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF± PE,垂足為F,交AC于點(diǎn)G.(1) 當(dāng)點(diǎn)P

7、與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖).求證：BO® POE(4分)(2)通過觀察、測(cè)量、猜想： 變=,并結(jié)合圖證明你的猜想；(5分) PE 一(3)把正方形ABC改為菱形，其他條件不變(如圖 )，若/ACB=a,BF求也 的值.(用含a的式子表不)(5分)PE（圖勒陽）（圖）【答案】 解：（1）證明：二四邊形ABC比正方形，P與C重合,，OB=OP ,/BOC=BOG=90 。1 . PH BG , /PFB=90 , Z GBO=90 Z BGO, / EPO=90 乙 BGO。2 .Z GBO =EPO。. .BOBPOE(AAS。BF 1,(2) -o證明如下：PE 2如圖，過 P作PM/AC

8、交BG于M,交BO于N, /PNE= BOC=9d, / BPN=Z OGB- / OBC= OCB =45°,/ NBP=Z NRBNB=NP. / MBN=9° / BMN/NPE=9°/BMNZMBN=NPEoABMN3APEN (ASA。BM=PE1 , _ , _ _. /BPE=1/ACB /BPN= ACB，/ BPF之 MPF。 2-.PF± BM,ZBFPMFP=9C°o又 PF=PF BPF MPFASA1°BF=MF ,即 BF=1 BM21 BF 1BF= PE, 即。2 PE 2(3)如圖，過 P作PM/AC

9、交BG于點(diǎn)M 交BO于點(diǎn)N,/BPNW ACB=4 , /PNE= BOC=9C°o,11 _ ，一一由(2)同理可得 BF= BM / MBN= EPN。2. /BNM=PNE=90°, .BMN PENBM BNoPE PN/BEF4 A.(1) ZBEF=(用含a的代數(shù)式表示)；(2)當(dāng)AB= AD時(shí)，猜想線段ED. EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;(3)當(dāng)ABAD時(shí)，將“點(diǎn)E在AD上”改為“點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且 AE>AB, AB【答案】解：(1) 180° 2a。(2) EB=EF證明如下:/ EBF=180 / BEF- / EFB元=/ E

10、FB。EB=EEBF 1=tan 。PE 24、如圖 1,梯形 ABCN, AD/ BC, /ABC= 2/BCD= 2a，點(diǎn) E在 AD上，點(diǎn) F在 DC上，且= mDE AD= nDE"，其他條件不變(如圖 2),求E：的值(用含 m n的代數(shù)式表示)。由(1)得：/ BEF=180 °-2 a =/ BDC_ ,OE OB 尤 OE OD又. / EOB=Z DOF.1.A EOB DOF，=,即=OD OF OB OF. /EOD=BOF, .EO'BOF。 . / EFB4 EDO=。在 RtBNPh tanBMPE= tan，即速=tan。 PE連接BD

11、交EF于點(diǎn)O,連接BFZADC=18 0 /C=180 - a。/BDCWADC- ZADB=180 2a。(3) 延長(zhǎng)AB至G,使AG=AE連接BE, GE22皿 /,180 A 1801802貝U / G=Z AEG=1. AD/ BC,/EDF至 C=a , /GBC=A , / DEBW EBC。BNPN1. AD/ BC, ./A=180° - ZABC=1802 a ,. AB=ADADB=1 (180° /A)2EDF至 G。.一/ BEF4A , ./BE% GBCo / GBC+ EBC= DEB+ BEF ,即 / EBG= FED。 .DES AGBE

12、oEB 二 BGEF DE. AB=mDE AD=nDE . - AG=AE=(n+1) DEBG=AGrAB= (n+1) DE-mDE=(n+1 m) DEEB (n 1 m) DE .=n 1 m °EF DE5、探索發(fā)現(xiàn)： 已知：在梯形 ABCD43, CD/ AB, AD BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E, AG BD相交于點(diǎn)O,連接EO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M交CD于點(diǎn)No(1)如圖，如果AD=BC求證：直線 EM是線段AB的垂直平分線；(2)如圖，如果ADw BC那么線段 AM與BM是否相等？請(qǐng)說明理由。學(xué)以致用：僅用直尺(沒有刻度)，試作出圖中的矩形ABCM一條對(duì)稱軸。(寫出作【答

13、案】 解：(1)證明：AD=BC CD/ AB AC=BD / DAB=Z CBAAE=BE點(diǎn)E在線段AB的垂直平分線上。在4ABD和 ABAC中，-. AB=BA AD=BC AC=BD. .AB¥ ABAC (SSS。./DBAW CAB。，OA=OB點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上。直線EM是線段AB的垂直平分線。(2)相等。理由如下：. CD/ AB, . .EDNh AEAM, AEN(C EMB, AED(C EAB。DNDECNCEDECEDNCNBMCN , , 。 ：- 。 ：-AMAEBMBEAEBEAMBMAMDN. CD/ AB, . .ON»OMB, ON8AOM/ O