1、第二章導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的:1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。3、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系；2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2、公式；4、高階導(dǎo)數(shù)；6、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。§.1導(dǎo)數(shù)概念一、引例1. 直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng).時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為ss是t的函數(shù)s#(t)求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻to的速度，考慮比值S-昂=f(t)-f(to)t-tot-to這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t-to內(nèi)的平均速度.如果時(shí)間間隔選較短.這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻to的速度.但這樣做是不精確的.更確地應(yīng)當(dāng)這樣：令tf(t)-f(to)TorO.取比值tto的極限.如果這個(gè)極限存在.設(shè)為

3、V.即v=limv=limf(t)-f(to)t-to這時(shí)就把這個(gè)極限值V稱(chēng)為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻to的速度2. 切線(xiàn)問(wèn)題設(shè)有曲線(xiàn)C及C上的一點(diǎn)M.在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N作割線(xiàn)MN.當(dāng)點(diǎn)N沿曲線(xiàn)C趨于點(diǎn)M時(shí).如果割線(xiàn)MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT.直線(xiàn)MT就稱(chēng)為曲線(xiàn)C有點(diǎn)M處的切線(xiàn).設(shè)曲線(xiàn)C就是函數(shù)yf(x)的圖形現(xiàn)在要確定曲線(xiàn)在點(diǎn)M(xo,yo)(yo=f(xo)處的切線(xiàn).只要定出切線(xiàn)的斜率就行了.為此.在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N(x,y).于是割線(xiàn)MN的斜率為tan_yyo_f(x)f(xo)xxoxxo其中：為割線(xiàn)MN的傾角.當(dāng)點(diǎn)N沿曲線(xiàn)C趨于點(diǎn)M時(shí)x如果當(dāng)x>o時(shí).上式的極限存在.設(shè)為k.即

4、kim心)-心)xx)存在.則此極限k是割線(xiàn)斜率的極限.也就是切線(xiàn)的斜率.這里k=tan:.其中：是切線(xiàn)MT的傾角，于是.通過(guò)點(diǎn)M(xo,f(xo)且以k為斜率的直線(xiàn)MT便是曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)，二、導(dǎo)數(shù)的定義1函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)從上面所討論的兩個(gè)問(wèn)題看出.非勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度和切線(xiàn)的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極限：lim咖一哄)x/oX-Kolim"XIE令二x=x%則=y甘(xo7x)_f(xo)=f(x)-f(xo)x>xo相當(dāng)于匚0.于是x>x°x-Xd成為yf(xoLx)-f(xo)limlim.x0lx或.x_0二x定義設(shè)函數(shù)y二f(x)在點(diǎn)xo的某

5、個(gè)鄰域內(nèi)有定義.當(dāng)自變量x在Xo處取得增量：x(點(diǎn)xotx仍在該鄰域內(nèi))時(shí).相應(yīng)地函數(shù)y取得增量=y=f(xoTx)-f(xo)如果二y與二x之比當(dāng)=x；0時(shí)的極限存在.則稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo).并稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)yf(Xo：x)-f(xo)fgr啊忑電dy也可記為y|x%dx記為y|x%即df(x)XM或dX函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0處可導(dǎo)有時(shí)也說(shuō)成f(x)在點(diǎn)Xo具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在，導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式.常見(jiàn)的有f(xo)專(zhuān)叫h.f(xo)=lim心)一哄)WXdX-X0在實(shí)際中需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問(wèn)題函數(shù)的變化率問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)概

6、念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述f(Xo.X)-f(Xo)_x不存在.就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，f(XoX)-f(Xo)二:,f(xo)專(zhuān)叫h.f(xo)=lim心)一哄)WXdX-X0在實(shí)際中需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問(wèn)題函數(shù)的變化率問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述f(Xo.X)-f(Xo)_x不存在.就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，f(XoX)-f(Xo)二:,.在數(shù)學(xué)上就是所謂f(Xoh)f(Xo)如果不可導(dǎo)的原因是由于具0Ax.也往往說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.如果函數(shù)yf(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo).就稱(chēng)函數(shù)f(

7、x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo).這時(shí).對(duì)于任一xI.都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù).這個(gè)函數(shù)叫”dydf(x)做原來(lái)函數(shù)y寸(X)的導(dǎo)函數(shù).記作yf(x)dx.或dx.導(dǎo)函數(shù)的定義式二limX-0f(XLx)-f(x)Xlimf(xh)-f(x)二h】ohf(xo)與f(X)之間的關(guān)系：函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)f(x)就是導(dǎo)函數(shù)f(X)在點(diǎn)X=X0處的函數(shù)值.即f(X0)=f(X)x導(dǎo)函數(shù)f(X)簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù).而f(X0)是f(X)在X0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)fg在X0處的值左右導(dǎo)數(shù)：所列極限存在.則定義f(X)在Xo的左導(dǎo)數(shù)f(X)在Xo的左導(dǎo)數(shù)f(Xoh)_f(Xo)hf(X)

8、在Xo的右導(dǎo)數(shù)：qx0)=h烏!h,limf(xoh)_f(xo)如果極限h>-0h存在.則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在Xo的左導(dǎo)數(shù)limf(xoh)-f(xo)如果極限h；oh存在.則稱(chēng)此極限值為函數(shù)在Xo的右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:f(Xo)=A：<：f丄滄)=f.(滄)=A,2求導(dǎo)數(shù)舉例例1求函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).f(X)=himof(xh)-f(x)h(C)=o例2.求例2.求f(x)=1X的導(dǎo)數(shù)1_1解：f(x)啊竺嚴(yán)艦千r=_lim1=_1h(x+h)xhoa+hjxx2例3.求f(x)ax的導(dǎo)數(shù)，f(x)=limf(XhKJi宀x解：hjohhjohhlim1二

9、1hlim1二1也)h(7x+h+坂)飛烏肩東+7x一RX例2.求函數(shù)f(x)=xn(n為正整數(shù))在x-a處的導(dǎo)數(shù)解f(a)巳叫巳叫冒巳叫儀2ax"，aU-naZ把以上結(jié)果中的a換成x得f(x)二nxn4.即(xnf=nxn4.(C)7.厠.(仮)x»更一般地.有(XY山.其中為常數(shù)，例3.求函數(shù)f(x)二sinx的導(dǎo)數(shù)，1Timh_0h_limf(x+h)_f(x)_iimsin(x+h)-sinx解：f(xhohh丄h2cos(x)sin2=cosx2(sinx)=cosx.用類(lèi)似的方法.可求得(cosx)=-sinx.xiI例4.求函數(shù)f(x)=a(a>0a=1

10、)的導(dǎo)數(shù)=limf(x+h)-f(x)加a7x解：f(x)h«hh_phX.ah-1令ahaxlim"tjlogad十t)1ge特別地有(ex)=ex.5.求函數(shù)f(x)=logax(a>0.a才1)的導(dǎo)數(shù)f(xgimf(xh)-f(xLmlOga(xh)ogaXL0hh二ax=axlnaf(x)=lim弋ohlOga(號(hào)')WhmohlOga(1£)三忸g(記)11logae=-xxlnaf(x)Timloga(xh)-|ogaxM0f(x)Timloga(xh)-|ogaxM0hlimloga(1)h艦hlogad£)-lOga-1xx

11、lnaEV(Inx)二1x特殊地(ln)=(lOgax)-xlna3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)limf(xh)-f(x)極限h)oh存在的充分必要條件是limf(xh)_f(x)limf(xh)-f(x)h0-h及h0-都存在且相等.f(x、=limf(xh)-f(x)f(x)在x0處的左導(dǎo)數(shù)：T4x0)們一f如0)=limf(x卄)f(X)f(x)在x0處的右導(dǎo)數(shù)：嘖0)一hT0+h導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f丄X0)和右導(dǎo)數(shù)(X0)都存在且相等如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).且右導(dǎo)數(shù)fa)和左導(dǎo)數(shù)f"4b)都存在.就說(shuō)f(x)有閉區(qū)間a

12、,b上可導(dǎo).例6.求函數(shù)f(x)=x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)解衛(wèi)。)譜迪嚴(yán)訓(xùn)嚴(yán)一1fdh嶄呼黑.因?yàn)閒=f(0).所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo).四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f(xo)在幾何上表示曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M(xo,f(xo)處的切線(xiàn)的斜率.即f(x0)=tan:其中、是切線(xiàn)的傾角，如果y與(x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.這時(shí)曲線(xiàn)y=f(x)的割線(xiàn)以垂直于x軸的直線(xiàn)x=Xo為極限位置.即曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M(xo,f(xo)處具有垂直于x軸的切線(xiàn)x=xo,：由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程.可知曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M(xo,yo)處的切線(xiàn)方程為y-yo才(xo)(x-x

13、o).過(guò)切點(diǎn)M(xo,yo)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)叫做曲線(xiàn)y二f(x)在點(diǎn)M處的法線(xiàn)如果1f(xo)乜.法線(xiàn)的斜率為f(xo).從而法線(xiàn)方程為1yyo二f(xo)yJ(例8.求等邊雙曲線(xiàn)x在點(diǎn)2線(xiàn)方程.(x-xo)詩(shī)，2)處的切線(xiàn)的斜率.并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線(xiàn)方程和法丄7.所求切線(xiàn)及法線(xiàn)的斜率分別為k(£)xWk2珂計(jì)1所求切線(xiàn)方程為y4Tx-2).即4XyV=0,11所求法線(xiàn)方程為一2'"?).即2x-8y，15=0例9求曲線(xiàn)y二x、-x的通過(guò)點(diǎn)(0./)的切線(xiàn)方程.解設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo.則切線(xiàn)的斜率為3-xoxk2331f(xo)=(X2)=；X2于是所求切線(xiàn)的方程

14、可設(shè)為yxo.xo=3；xo(xxo)根據(jù)題目要求.點(diǎn)(o.-4)在切線(xiàn)上.因此_4_xoXoXo(o-xo)解之得XoN，于是所求切線(xiàn)的方程為yT(4丁4(xY)2即3x-ym.四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系設(shè)函數(shù)yh(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo).即女叫耳一f(x):x=lim-limx=f(x0)0=0這就是說(shuō).函數(shù)y(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的，所以.如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo).則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)，另一方面.一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo)例7.函數(shù)f(x)='x在區(qū)間(_：,.：)內(nèi)連續(xù).但在點(diǎn)xA處不可導(dǎo)，這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=0處導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大him0f(0h)_f(0)h&#

15、167;2函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù).那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù).并且u(x)_v(x)刃(x)_v(x)u(x)v(x)F(x)v(x)u(x)v(x)u(x)=u(x)v(x)-u(x)v(x)_v(x)v2(x)證明u(x)二v(x)=limhTu(xh)二v(xh)-u(x)二v(x)h=limh_Qu(xh)-u(x)Ih_v(xh)-v(x)hM(x)切(x)法則(1)可簡(jiǎn)單地表示為(u：v)=u】v,=limu(x亠h)v(x亠h)-u(x)v(x亠h)亠u(x)v(x亠h

16、)-u(x)v(x)0h=Hmu(xh)-u(x)hoh=u(x)v(x)u(x)v(x)v(xh)其中hPv(x，h)=v(x)是由于v(x)存在.故v(x)在點(diǎn)x連續(xù)法則(2)可簡(jiǎn)單地表示為(uv)-uvuv.u(x+h)u(x)u(x)=limv(xh)v(x)=limu(xh)v(x)-u(x)v(xh)_v(x)h0hh)ov(xh)v(x)h=limh)0u(xh)-u(x)v(x)u(x)v(xh)v(x)v(x+h)v(x)hu(xhKJx)p(x)v(xh)-*)h-_hv(xh)v(x)u(x)v(x)-u(x)v(x)-v2(x)法則(3)可簡(jiǎn)單地表示為/Uuv-uv()

17、=vv2(u:tv)ydv：(uv)T"vuv"./Uuv-uv(v)廠定理1中的法則、(2)可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形.例如.設(shè)u-u(x)、v-v(x)、w=w(x)均可導(dǎo).則有(uv-w)=uv'-w,(uvw)'：#(uv)w=(uv)w(uv)w=(uvuv)wuvw'7vwuvwuvw,即(uvw)=uvwuvwuvw,在法則中.如果v£(C為常數(shù)).則有(Cu)£u.32例1.y=2x/x3x7.求y323232解：y=2x-5x3xJ)二(2x)-5x)3x)-7)=2(x)'-5x)3x)23x2-

18、52x3£x210x3.oTTf(x)=x34cosx-sin-2.求f'(x)及(x)=(x3)(4cosx)-(sin/=3x2-4sinx例3.y=e(sinxcosx).求y.解：y'*eX)(sinxcosx)ex(sinxcosx)=ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)x=2ecosx.例4.y=tanx.求y,cos2x、"/Sinx、(sinx)"cosx-sinx(cosx)"y=(tanx)弋忘)二=cos2x2sin2xcos2xcos2x,即(tanx=se(?x.例5.y=secx.求y.y=(sec

19、x)=(丄)cosx-2(cosx)二空x解：cosxcos2xcosX二secxtanx.即(secx)=secxtanx,用類(lèi)似方法.還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(cotx)=-cscx.(cscx)=-cscxcotx.、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f(y)=o.那么它的反函數(shù)y=f'(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間lxx|x=f(y)yIy內(nèi)也可導(dǎo).并且(x)=(x)=1f(y).或dxdxdy簡(jiǎn)要證明：由于x=f(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù)).所以X=f(y)的反函數(shù)y=f,x)存在且f'(x)在Ix內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)，任取x三Ix

20、.給x以增量.：x(.x=0x7x三Ix),由y=f'(x)的單調(diào)性可知yj+x+M-f+x)丸.于是y1xi_x因?yàn)閥=f(x)連續(xù).故lim.y=0x_0從而f(x)"=limy=lim1岸ix岸jp魚(yú)f(y)上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說(shuō)成：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例6.設(shè)x=siny.y卜亍"2為直接函數(shù).則y=arcsinx是它的反函數(shù),函數(shù)x=siny在開(kāi)區(qū)間_2,7)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo).且(siny)cosy0.因此.由反函數(shù)的求導(dǎo)法則.在對(duì)應(yīng)區(qū)間lx=(-1.1)內(nèi)有(arcsinx)=.1=1二1=.1(siny)cosyJ1_sin2yJ1x21類(lèi)似地

21、有：(arccosx):J1x2yu()例7.設(shè)x=tany.2'2'為直接函數(shù).則y=arctanx是它的反函數(shù).函數(shù)x=tany在區(qū)間卜"27)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo).且2(tany)'=secy=0.因此.由反函數(shù)的求導(dǎo)法則.在對(duì)應(yīng)區(qū)間；)內(nèi)有(arctx)庁(arctx)庁1(tayi)1sey二11ta!y二11x2類(lèi)似地有：(arsotx)二汽2例8設(shè)x=ay(a0a=1)為直接函數(shù).則y=logax是它的反函數(shù)函數(shù)x=ay在區(qū)間1尸(；.-)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo).且(ay)"=ayIna和，因此.由反函數(shù)的求導(dǎo)法則.在對(duì)應(yīng)區(qū)間lx=(0.=)內(nèi)有二1二1

22、ayInaxlna到目前為止.所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來(lái)了.那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)3雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntanx、ex、的導(dǎo)數(shù)怎樣求？三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3如果u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo).函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u弓(x)可導(dǎo).則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在點(diǎn)x可導(dǎo).且其導(dǎo)數(shù)為半二f(u)g(x)或=乎dx或dxdudx.證明：當(dāng)u屯(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時(shí).y=f(X)也是常數(shù).此時(shí)導(dǎo)數(shù)為零.結(jié)論自然成立，當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時(shí).lu=0.此時(shí)有yfg(x二X)_fg(x)fg(x二x)fg(x)g(x二x)_g(x)LX=x.xg(x=x)-g

23、(x)g(x=x)g(x)udy=limy=limdx.j0.x簡(jiǎn)要證明：dyyryulimlimdx.J0.x.x=0.：uxdy.求dx,x3例9y=exf(u.u)_f(u)limg(x.：x)g(x)lu.J0lx=f(u)g(x),=vm：um=f(u)g(x)f(u亠：、u)-f(u)U=X3復(fù)合而成的.因此函數(shù)ywx3可看作是由y=eu.業(yè)型也3x2=3x2ex3dxdudx.因此2xdyy-sin101x2求dx,2xy=sin口,函數(shù)1-x2是由y=sinu.dy二業(yè)屯二cosu2(1X2)-(2x)22(")dxdudx2xu=-1x2復(fù)合而成的.(1x2)2對(duì)復(fù)

24、合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后dy例11.Insinx求dx,dy=(lnsinx)(sinx)解：dxsinx一(1+x2)2CO就不必再寫(xiě)出中間變量1cosx=cotxsinx3dy例12.尸31-“2求dx.-4x12解譽(yù)(1_2x2冋寸曲心如飛心彳尸復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形.例如.設(shè)yh(u).u二(v).(x).dy二業(yè)du二業(yè)dudvdxdudxdudvdx.xdy13.yMncos(ex).求dx,字二Incos(ex)匕cos(ex):dxcos(ex)=1-sin(ex)(ex)"=-extan(ex)cos(ex)sin1魚(yú)14.y=ex.求dx.c

25、os1(丄)xxdy.sin1sin1,.1sin-(ex)=ex(sin)=ex解：dxx1sin!12excosxx,例15設(shè)x0證明幕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式Lx巴解因?yàn)閄：(elnx)"nx.所以(xi=(e"nX)丄e"nx(Inx)=eJlnxx亠-x®,四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)(C)£(xj.(3) (sinx):cosx.(4) (cosx)=-sinx*2(5) (tanx)=secx.(6) (cotx)=-cscx.(7) (secx)=secxtanx.(8) (cscx)-cscxcotx(ax)=

26、axIna.x.x(e)毛.(11)(12)(logax)1xlna(Inx)(13)(13)(arcsinx)(14)(arccosx)11x2(15)(arctanx)11x2(16)_11+x2,2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x)vw(x)都可導(dǎo).則(arccotx)(1) (u_v)=u】v.(2) (Cu)u.(3) (uv)dvuv./u、uv-uvvv2,3反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)xh(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f(y)=0.則它的反函數(shù)且y=f*(x)在Ixh(ly)內(nèi)也可導(dǎo).并fJ(x)=1f(y).或dy_1dxdxdyx4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)y=f(x).而u=g

27、(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo).則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的導(dǎo)數(shù)為dy=業(yè)dudxdudx或y(x)=f(u)g(x).例16.求雙曲正弦shx的導(dǎo)數(shù).shx=1(ex_e公)解：因?yàn)?.所以(shx)=1-e)=1(ex亠e)=chx即(shx)：=chx,類(lèi)似地.有(chx)：=shx.例17.求雙曲正切thx的導(dǎo)數(shù)，解：因?yàn)閠hx二黔.所以(thx)-(thx)-ch2xsh2xch2x二1ch2x例18.求反雙曲正弦arshx的導(dǎo)數(shù)解：因?yàn)閍rshx=ln(x.1x2)所以(arsh"I；X2(V.ixx2.11x2由archx=ln(x_x2-1)可得(archx)1(ar

28、thx)rarthxln由21-x.可得1彳(archx)'=(arthx)"=1類(lèi)似地可得'.x2-1.1-x2,例佃.y書(shū)innxsin"x(n為常數(shù)).求yl解y=(sinnx)sinnx+sinnx-(sinnx)=ncosnxsinx+sinnxnsinx(sinx)=ncosnxsinx+nsinx-cosx=nsinx-sin(n+1)x§3高階導(dǎo)數(shù)一般地.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y"=f(x)仍然是x的函數(shù)，我們把y"=f(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)d2yyf(x)的二階導(dǎo)數(shù).記作y、f(x)或dx2.即y知)f(x)珂f

29、(x).dx2dx'dx，.相應(yīng)地.把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f"(x)叫做函數(shù)y斗(x)的一階導(dǎo)數(shù).類(lèi)似地.二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).叫做三階導(dǎo)數(shù).三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)一般地.(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作d3yd4ydnyy""y.y(n)或dx3dx4.dxn導(dǎo)數(shù).那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)高階導(dǎo)數(shù)，y稱(chēng)為一階導(dǎo)數(shù).y“.y"y.y都稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù)也常說(shuō)成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo)，如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處具有n階n階的導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的例1.y=axb.求y,解：y£7

30、=0.例2.s=sin-.t.求s'.2解cost.s-sin-t.例3.證明：函數(shù)='“以2滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)3y：1=0,y22x1x證明：因?yàn)閥2“2x_x2一、2x_x2.-、2x-x2-(1-x)IFFy=一所以y3y=o,例4.求函數(shù)解一般地2-2x2、2x-x22xx2_2xX2_(1_X)2(2x_x2)、.(2x_x2)3(2x-x2p_1y3xy=ex毛y的n階導(dǎo)數(shù)它y(4)wx.Zy.可得(n)xye(ex)(ne例5求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)解:y=sinx.y=cos=sirx()y=cosx(q)=sirxCyysirx(2y二cosc(2=sinx(

31、22)-sinx(3y=cos(x3y=cos(x3=sin(x4般地.可得y(n)=sin(xn§)即(sinx)(n)=sin(xn(cosx)(n)=cos(x+n)用類(lèi)似方法可得2.例6.求對(duì)函數(shù)ln(1，x)的n階導(dǎo)數(shù)解：y=ln(1x).y'plx)4.y(1x).3-4yU1)(-2)(1"$+)(-2)(-3)(1h).(n-1)!般地.可得(T)n4y(n)=(-1)(-2p(-n1)(1x)(1x)n.In(1+x)(n)TT)Z(叮)|即(1x)n.例6.求冪函數(shù)y=x*i是任意常數(shù))的n階導(dǎo)數(shù)公式，解：丫丄占山.y(2)(2嚴(yán).y(4)出卩1

32、)(2)Z)x"一般地.可得y(n)=H»V)(P/)(A+1)x血.即(X*21)(3)("仆山,當(dāng).n時(shí).得到(xn)(n)(-1)(-2)321才！,而(x)0,如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù).那么顯然函數(shù)u(x)十v(x)也在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)且(uv)(n)叭嚴(yán).(uv)=uv亠uv(uv)=uv2uvuvI(uv)"9'"v+3u“vFuWFv“.用數(shù)學(xué)歸納法可以證明n(uv)(n)=v'Cku(n-k)v(k)k=e這一公式稱(chēng)為萊布尼茨公式，22x(20)例8.y=xe.求y,解：設(shè)u=e

33、2x.v=x2.則/x(k)k2xZl/八、(u)()e(k=12,-,20).vTx.v7.(v)()=0(k£,4,20).代入萊布尼茨公式.得(20)(20)(20)1(19)心2(18)y=(uv)uvC20uvC20uv2019202x2192x182x=2ex202e2x2!2e2202xz2=2e(x20x95).§2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù)：形如y=f(x)的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)，例如y=sinx.ynx+ex,隱函數(shù)：由方程F(xy)d0所確定的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù)，例如.方程xy3m確定的隱函數(shù)為yy=3J-x,如果

34、在方程F(x,y)d0中.當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí).相應(yīng)地總有滿(mǎn)足這方程的唯一的y值存在.那么就說(shuō)方程F(x.y)=O在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù).把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù).叫做隱函數(shù)的顯化，隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的.甚曰不可能的，但在實(shí)際問(wèn)題中.有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此.我們希望有一種方法.不管隱函數(shù)能否顯化.都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)例1.求由方程exy_e=O所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，解：把方程兩邊的每一項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得從而從而eyyyxy'：=0xpy(x力專(zhuān)o),例2.求由方程y52y-x-3x7乂所確定的隱函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)y|x：e,解：把方

35、程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得5yy2yV_21x葺0y+21x6由此得5y42.因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí).從原方程得y=0.所以yl_121x6,_1y252山-2疋+忙=1(2?73)例3.求橢圓169在I'2丿處的切線(xiàn)方程.解：把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo).得x2yy=089從而從而y鼻-塞16yy/V3當(dāng)x=2時(shí).”2.代入上式得所求切線(xiàn)的斜率k=y|x34,所求的切線(xiàn)方程為y；、3和-2)即、3x4y-&3=0解：把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo).得x2+yy=089.y=3J3將x=2.2代入上式得于是于是-十一4,3y'：=0所求的切線(xiàn)方程為y_3、33(x_2)24即、.3x

36、4y8.3=0xy亠sinyT例4求由方程y2所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)，解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo).得1_女Icosy業(yè)=0dx2dxdy=2于是dx2-cosy上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo).得dyd2yj2sinydx-4sinydx2(2cosy)2(2cosy)3對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：這種方法是先在y=f(x)的兩邊取對(duì)數(shù).然后再求出y的導(dǎo)數(shù)設(shè)yf(x).兩邊取對(duì)數(shù).得Iny=Inf(x).兩邊對(duì)x求導(dǎo).得y=lnf(x)yy鼻f(x)Inf(x)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求幕指函數(shù)y=u(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù)，例5求gsinx(x>0)的導(dǎo)數(shù)解法一：兩邊取對(duì)數(shù).得Iny=sinxnx.上式兩邊

37、對(duì)x求導(dǎo).得11y=cosxInxsinx丄yx1y=y(cosxInxsinx)是x=xsinx(cosxInxx解法二：這種幕指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求y=xsinxsinxInxey=esinxInx(sinxInx)=xsinx(cosxInx-sinx)xj(xT)(x-2)例6.求函數(shù)(x-3)(x-4)的導(dǎo)數(shù)解：先在兩邊取對(duì)數(shù)(假定x>4).得=丄Iny2In(x-1)ln(x-2)Tn(x3)Tn(x-4).上式兩邊對(duì)x求導(dǎo).得1J(1.1一1一1)y2x-1x-2x-3x-4于是于是V(占XTy=(1二x)(2二x).(1)(2)當(dāng)x<1時(shí)、(3iX)(4-X

38、).當(dāng)2<x<3時(shí)-(3-x)(4-X)用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果，注：嚴(yán)格來(lái)說(shuō).本題應(yīng)分x>4,X£1.2<x<3三種情況討論.但結(jié)果都是一樣的、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)x=®(t)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程:y理(t)確定的,則稱(chēng)此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)，在實(shí)際問(wèn)題中.需要計(jì)算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).但從參數(shù)方程中消去參數(shù)t有時(shí)會(huì)有困難，因此.我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)x=：(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t(x).且此反函數(shù)能與函數(shù)y=*(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=：_(X).

39、若X二：(t)和y=：(t)都可導(dǎo).貝ydxdtdxdtdx_(t)dtdy(t)dydtdydx-dx即dx：(t)或dtdy=dy吐=dy1(t)dy丿(t)若x=F(t)和y仝!'(t)都可導(dǎo).則dx:(t)x=acostt_兀例7求橢圓y=bsint在相應(yīng)于點(diǎn)處的切線(xiàn)方程dy_(bsint)二bcost_bcott解：dx(acost)-asinta=_ba冷=acos一=a切點(diǎn)的坐標(biāo)為42.y-b=b(xa切線(xiàn)方程為y2a(2)即bxay一；'2ab=0.業(yè)t兀所求切線(xiàn)的斜率為dxt=4y0=bsinb242例8.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的

40、大小和方向解：先求速度的大小，速度的水平分量與鉛直分量分別為x(t)=v1.y"(t)=v2-gt.所以?huà)伾潴w在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小為X=Vt廠V2t兮gt2,2yft-gtv=：x(t)2y(t)2二M2(V2-gt)2再求速度的方向.設(shè)：是切線(xiàn)的傾角.則軌道的切線(xiàn)方向?yàn)閠an.：一=tan.：一=dyy(t)V2-gtdx_x(t)_v已知x=（t）,y=（t）.如何求二階導(dǎo)數(shù)已知x=（t）,y=（t）.如何求二階導(dǎo)數(shù)dy(t)由x逖t).dx_：d2y=d(dy)=d(屮(t)dtdx2"dx(dx)"dt(t)dx_屮“(t)叭t)屮護(hù)1(t)：(t)(

41、t)：(t)=,x=a(t-sint)例9計(jì)算由擺線(xiàn)的參數(shù)方程y二a(1-cost)所確定的函數(shù)yf(x)的二階導(dǎo)數(shù).dyy(t)a(1-cost)asint解.dx_x(t)-a(t-sint)a(1cost)啟J=cot丄1-cost2(t=2n二n為整數(shù)).啟J=cot丄1-cost2(t=2n二n為整數(shù)).2sin2±a(1-cost)a(1-cost)22（t亍2n二n為整數(shù)）,三、相關(guān)變化率dxdy設(shè)x=x（t）及y=y（t）都是可導(dǎo)函數(shù).而變量x與y間存在某種關(guān)系.從而變化率dt與dt間也存在一定關(guān)系，這兩個(gè)相互依賴(lài)的變化率稱(chēng)為相關(guān)變化率.相關(guān)變化率問(wèn)題就是研究這兩個(gè)變

42、化率之間的關(guān)系.以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率例10一氣球從離開(kāi)觀察員500f處離地面鉛直上升.其速度為140m/min（分），當(dāng)氣球高度為500m時(shí).觀察員視線(xiàn)的仰角增加率是多少？解設(shè)氣球上升t（秒）后.其高度為h.觀察員視線(xiàn)的仰角為a.則tan500,其中及h都是時(shí)間t的函數(shù).上式兩邊對(duì)t求導(dǎo).得sec2:d：_1如dt500dt.（米/秒），又當(dāng)h=500（米）時(shí).tana=1.sec?a=2,代入上式得2雪話(huà)0140所以dt一500一°.14(弧度/秒).即觀察員視線(xiàn)的仰角增加率是每秒0,14弧度,§5函數(shù)的微分一、微分的定義引例函數(shù)增量的計(jì)算及增量的構(gòu)成，一

43、塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響.其邊長(zhǎng)由X0變到X0/X.問(wèn)此薄片的面積改變了多少？2設(shè)此正方形的邊長(zhǎng)為x面積為A則A是x的函數(shù)：A=x.金屬薄片的面積改變量為222=A=(xo=x)-(xo)2xolx(=x).幾何意義：2xo.x表示兩個(gè)長(zhǎng)為xo寬為.伙的長(zhǎng)方形面積.C：x)2表示邊長(zhǎng)為厶x的正方形的面積，數(shù)學(xué)意義：當(dāng)&t0時(shí).(Ax)2是比從高階的無(wú)窮小.即(也x)2=o(Ax)；2x必x是&的線(xiàn)性函數(shù).是A的主要部分.可以近似地代替,A,定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義.xo及xox在這區(qū)間內(nèi).如果函數(shù)的增量.y=f(xo二x)-f(xo)可表示為=y=A=xo

44、(lx).其中A是不依賴(lài)于.x的常數(shù).那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0是可微的.而A：x叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo相應(yīng)于自變量增量X的微分.記作dy.即dy=A.x.函數(shù)可微的條件：函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo).且當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微時(shí).其微分-1定是dyf(xo)=x.證明：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微.則按定義有=y=A=xo(=x)上式兩邊除以Ax.得y=A.。(：x)xAx,于是.當(dāng)x>o時(shí).由上式就得到人=鵲瞥f(xo).因此.如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo可微.則f(x)在點(diǎn)xo也一定可導(dǎo).且A=(xo).反之.如果f(x)在點(diǎn)xo可導(dǎo).即鸚

45、2卄)存在.根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系.上式可寫(xiě)成鈔fg)機(jī)其中Jo(當(dāng)x>o).且Af(Xo)是常數(shù).x=0(.：x).由此又有-y=f(xo)二x心-x.因且f(Xo)不依賴(lài)于x.故上式相當(dāng)于所以f(x)在點(diǎn)Xo也是可導(dǎo)的.簡(jiǎn)要證明：一方面.y=A.x0(.X)辭A卯。弓二f(Xo)=A別一方面Ijm©X二f(xo)_f二f(xo)：=：y二f(xo)x：'=x以微分dy近似代替函數(shù)增量制的合理性：當(dāng)f(xo)P時(shí).有l(wèi)imY=limy1limy=1jody.j0f(xo).：xf(xo).j0dxy=dy切(dy),結(jié)論：在f(xo)旳的條件下.以微分dy斗"

46、;(xo)ix近似代替增量Ay=f(xo+ix)-f(xo)時(shí).其誤差為o(dy),因此.在|.兇很小時(shí).有近似等式Ly:dy,函數(shù)y=f(x)在任意點(diǎn)x的微分.稱(chēng)為函數(shù)的微分.記作dy或df(x).即dy甘"(x)Ax.例如dcosxNcosx)x二_sinx=xdeX=(e).x=ex.：x,例1求函數(shù)y=x2在x=1和x=3處的微分，解函數(shù)y=x2在x=1處的微分為2dyqx)b±Ax=2&；函數(shù)y=x2在x=3處的微分為dy=(x2)K3Ax=6Ax“例2.求函數(shù)y3當(dāng)x=_xq02時(shí)的微分，解：先求函數(shù)在任意點(diǎn)x的微分dy=(x3)©=3x2Ax

47、.再求函數(shù)當(dāng)x=2；xd0.02時(shí)的微分22dy|x£.x=o.o2=3x|xz2,.x£°2二320.02二0.24自變量的微分：因?yàn)楫?dāng)y味時(shí).dy=dx=(x)"鳥(niǎo)3x.所以通常把自變量x的增量Ax稱(chēng)為自變量的微分.記作dx.即dxx,于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy寸(x)dx.=f(x)從而有dx,這就是說(shuō).函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因此.導(dǎo)數(shù)也叫做“微、微分的幾何意義當(dāng)勿是曲線(xiàn)yf(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí).dy就是曲線(xiàn)的切線(xiàn)上點(diǎn)縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量當(dāng)|網(wǎng)很小時(shí).：y-dy比|綢小得多，因此在點(diǎn)M的鄰近.我們可以

48、用切線(xiàn)段來(lái)近似代替曲線(xiàn)段.三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則從函數(shù)的微分的表達(dá)式dy#"(x)dx可以看出.要計(jì)算函數(shù)的微分.只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù).再乘以自變量的微分.因此.可得如果下的微分公式和微分運(yùn)算法則微分公式：d(xy-x"xd(sinx)posxdxd(cosx)-sinxdxd(tanx)=secxdx2d(cotx)二-cscxdxd(secx)二secxtanxdxd(cscxcscxcotxdxd(ax)axlnadxd(e)=exdx1 .基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公式：(sinx)"posx(cosx)=-sinx2(tanx)=secx

49、(cotx)=-cscx(secx)-secxtanx(cscx)-cscxcotx(axHaxlna(e)=e(logax)(logax)二1xlna1d(logax)dxxlna1(Inxf=-x(arcsinx)j12tH-x21(arccosx)25_x2(arctanx)厶1+x2(arccotx)-1+x21(Inxf=-x(arcsinx)j12tH-x21(arccosx)25_x2(arctanx)厶1+x2(arccotx)-1+x21d(lnx)=±dxx1d(arcsinx)dxJ1_x21d(arccosx)2dx/_x2d(arctanx)=11x2dx1

50、d(arccotx)dx1+x2微分法則：d(ulv)=du士dvd(Cu)=Cdud(uv)二vduudvd(u)=vdu；udvdx(v")vv22 .函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導(dǎo)法則：(u_v)刃v(Cu)£u(uv)=uvuv(忙uX1uv(v=0)vv2證明乘積的微分法則：根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式.有d(uv)珂uv)dx.再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則.有(uv=uvuv.于是d(uv)=(uvuv)dx=uvdx亠uvdx,由于udx=duvdxdv.所以d(uv)=vduudv.3 .復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)y=f(u)及u二(x)都可導(dǎo).則復(fù)合函數(shù)y-：f(x)的微分為

51、dy=yxdx=f(u)(x)dx,于由x(x)dx=du.所以.復(fù)合函數(shù)y=(x)的微分公式也可以寫(xiě)成dy=f(u)du或dyyudu.由此可見(jiàn).無(wú)論u是自變量還是另一個(gè)變量的可微函數(shù).微分形式dy=f(u)du保持不變，這一性質(zhì)稱(chēng)為微分形式不變性，這性質(zhì)表示.當(dāng)變換自變量時(shí).微分形式dy=f(u)du并不改變例3.y=sin(2x1).求dy.解：把2x1看成中間變量u.則dy=d(sinu)wosudu=cos(2x1)d(2x1)cos(2x1)2dx=2cos(2x1)dx.在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí).可以不寫(xiě)出中間變量例4.y門(mén)n(1ex).求dy.解dy4n0ex2)=1d(1ex2)exQ/yJ?ex22xdx彳右；dx例5.y-excosx.求dy.解：應(yīng)用積的微分法則.得dy-(e1xcosx)=cosxd(e1x)e1xd(cosx)4cosx)e1J-3dx)e1*(-sinxdx)=-ex(3cosxsinx)dx.例6在括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù).使等式成立(1) d()=xdxd()=