1、會計(jì)學(xué)1第講空間第講空間(kngjin)桿件結(jié)構(gòu)的有限元法桿件結(jié)構(gòu)的有限元法第一頁，共26頁。第1頁/共26頁第二頁，共26頁。依同樣方法可以確定當(dāng)單元 j 端發(fā)生單位位移時(shí)， 桿端力與桿端位移之間的關(guān)系。 當(dāng)單元的桿端位移分量為任意值時(shí)，可以寫出空間單元剛度方程，以矩陣表示為 第2頁/共26頁第三頁，共26頁。zjyjxjjjjziyixiiiizzzzyyyyyyyyzzzzzzzzyyyyyyyyzzzzzjyjxjjjjziyixiiiiwvuwvulEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEI

2、lEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMMMZYXMMMZYX400060200060040600020600000000000006012000601200600012060001200000000000200060400060020600040600000000000006012000601200600012060001200000000000222223232323222223232323式（2-1）第3頁/共26頁第四頁，共26頁。式 （ 2-1） 可 以 簡 寫 為 eeekF （ 2-2） 其 中 單 元 剛 度 矩

3、陣 為 lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlGJlGJlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAkzzzzyyyyyyyyzzzzzzzzyyyyyyyyzzzze4000602000600406000206000000000000060120006012006000120600012000000000002000604000600206000406000000000000060120006012006000120600012000000000

4、00222223232323222223232323（ （2-3） 式（2-3）為局部坐標(biāo)系中的空間單元剛度矩陣。它是 12 階方陣，其性質(zhì)也與平面結(jié)構(gòu) 的相同。 第4頁/共26頁第五頁，共26頁。第5頁/共26頁第六頁，共26頁。綜合上三式 iiizzyzxzzyyyxyzxyxxxiiiZYXlllllllllZYX (2-4) 這就是在端點(diǎn) i 由整體坐標(biāo)系中的桿端力iiiZYX、推算局部坐標(biāo)系中桿端力iiiZYX、的轉(zhuǎn)換關(guān)系式。其中兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣（簡稱“關(guān)系矩陣” ）為 zzyzxzzyyyxyzxyxxxlllllllllt （2-5） 參照上述方法，同樣可以推出以ziyixiM

5、MM、表示i zi yi xMMM、，以jjjZYX、表示jjjZYX、，以zjyjxjMMM、表示j zj yj xMMM、的表達(dá)式，其轉(zhuǎn)換矩陣也是 t。 第6頁/共26頁第七頁，共26頁。第7頁/共26頁第八頁，共26頁。第8頁/共26頁第九頁，共26頁。設(shè)i、j、k三點(diǎn)在整體(zhngt)坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)分別為（xi、yi、zi）、(xj、yj、zj)、(xk、yk、zk)，那么如何根據(jù)這三個點(diǎn)的坐標(biāo)值來確定坐標(biāo)系的關(guān)系矩陣t中的九個元素呢？t中的第一行元素較容易確定。如圖2-4可得第9頁/共26頁第十頁，共26頁。lzzllyyllxxlijzxijyxijxx (2-10) 其中

6、 l 為桿長，可按下式求得 222)()()(ijijijzzyyxxl （2-11） 設(shè) i、j、k 分別為三個坐標(biāo)軸方向的單位矢量，xO軸矢量 x 可表示為 kljlilxzxyxxx （2-12） 因?yàn)閦O軸的矢量 z 與平面 ijk 垂直，所以有 jkjkjkikikikzzxyxxzzyyxxkjik jkiz)()( （2-13） 第10頁/共26頁第十一頁，共26頁。為后面的運(yùn)算方便，可設(shè) jkjkikikjkjkikikjkjkikikyyxxyyxxXYzzxxzzxxZXzzyyzzyyYZ 則有 XYkZXjYZiZ zO軸的方向余弦為 222/lXYllZXllYZlz

7、xyxxx 為后面的運(yùn)算方便，可設(shè) jkjkikikjkjkikikjkjkikikyyxxyyxxXYzzxxzzxxZXzzyyzzyyYZ 第11頁/共26頁第十二頁，共26頁。則有 XYkZXjYZiZ zO軸的方向余弦為 222/lXYllZXllYZlzxyxxx 式中 2222)()()(XYZXYZl （2-16） 由于yO軸與xO軸垂直， yO軸與zO軸垂直， 且yO的方向余弦之和等于1，于是有 10)(0222zyyyxylllkixyxy 第12頁/共26頁第十三頁，共26頁。以上三式可組成聯(lián)立方程 100222zyyyxyikikikzxyxxxzyyyxyzxzyyx

8、yyxxxylllzzyyxxllllllllllll （2-20） 解式（2-20）的聯(lián)立方程，可得 333231/lSllSllSlzyyyxy （2-21） 式中 3222123232221)(1 ()()()()(1 ()()()()(1 (SSSlzzlyyllxxllSzzllyylxxllSzzllyyllxxlSikzxikyxxxikxxzxikzxyxikyxikxxyxikzxxxikyxxxikxx 由式（2-10） 、式（2-15）和式（2-21）便可確定坐標(biāo)關(guān)系矩陣 t。 第13頁/共26頁第十四頁，共26頁。第14頁/共26頁第十五頁，共26頁。第三節(jié) 空間剛架分

9、析舉例 空 間剛架 整體剛 度矩 陣 K 的形成 、結(jié)點(diǎn) 荷載列 陣的形 成和支 承條件的引入，均與平面剛架的處理方法相同。 例 2-1 試求圖 2-5a 所示空間剛架 B 結(jié)點(diǎn)的位移及各桿內(nèi)力。設(shè)各桿的材料和幾何性質(zhì)相同。 ./15,10,100 .3,102 .1,106 .2,3 .2,005.0,109,101 .2454545242mkNqkNPmImImJmlmAGPaGGPaEzy 第15頁/共26頁第十六頁，共26頁。（矩形截面梁在扭轉(zhuǎn)時(shí)將發(fā)生翹曲。本題中桿件為實(shí)體截面，約束所引起的附加正應(yīng)力已略去，J 為“相當(dāng)極慣性矩” 。 ） 解： （1）確定結(jié)點(diǎn)，劃分單元，建立坐標(biāo)系。括

10、號內(nèi)數(shù)字為結(jié)點(diǎn)位移編號，見（圖 2-5b） 。 （2）形成局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣ek mkNlEImkNlEIkNlEIkNlEImkNlEImkNlEImkNlEImkNlEImkNEImkNEImkNlGJmkNlEAzyzyzzyyzy/104688. 512,/101875. 212105626. 66,10625. 261005. 14,1025. 52102 . 44,101 . 22103 . 6,1052. 21075. 9,/10375. 433333232433323325 第16頁/共26頁第十七頁，共26頁。將以上數(shù)據(jù)代入式（2-3） ，得局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣

11、 1050000065620525000065620042000262500021000262500009750000097500002625021880002625021880065620005469065620005469000000437500000004375000000656201050000065620000262500042000262500009550000097500002625021880002625021880065620005469065620005469000000437500000004375001k 第17頁/共26頁第十八頁，共26頁。第18頁/共26頁第十九頁

12、，共26頁。單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為 001000000000010000000000100000000000000001000000000010000000000100000000000000001000000000010000000000100000000000000001000000000010000000000100T 第19頁/共26頁第二十頁，共26頁。根據(jù)單元剛度矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系 eeeTeTkTk 可求得整體坐標(biāo)系中單元的單元剛度矩陣 9750000097500000042000002625021000002625001050006562000525006562000043750000

13、000437500000065620546900065620546900262500021880262500021889750000097500000021000002625042000002625000065620001050006562000043750000000437500000065620546900065620546900262500021880262500021882k 第20頁/共26頁第二十一頁，共26頁。（4）根據(jù)直接剛度法組集整體剛度矩陣。以下所列為以子塊表示的整體剛度矩陣，各子塊中的元素由21kk 和中的元素組成。 3222111100jjjiijiijjjiijiik

14、kkkkkkkK （5）引入支承條件，修改整體剛度矩陣 K，可得修改后的整體剛度矩陣 1147500065620084000262502625001147506562002625043968700656206562010937002625000439687FK 第21頁/共26頁第二十二頁，共26頁。（6）組集結(jié)點(diǎn)荷載列陣 P0,并引入支承條件，求自由結(jié)點(diǎn)荷載列陣 PF。 單元、單元的固端力分別為 TfTfFF2 . 70001802 . 700018030005030005021 單元、單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載 TeTeefeTeePPFTP2 . 70001802 . 700018030005030005021 整個結(jié)構(gòu)的總載荷列陣 TP002 . 70180302 . 702303000500引入支承條件修改后 TFp302 . 70230 第22頁/共26頁第二十三頁，共26頁。（7）解方程，求自由結(jié)點(diǎn)位移。 由引入支承條件后整個結(jié)構(gòu)的剛度方程： FFFPK 求得自由結(jié)點(diǎn)位移 TF333105997. 20102337. 20100029. 50 進(jìn)而可確定整體坐標(biāo)系下各單元的桿端位移 TT000000105997. 20102337. 20100029. 50105997. 20102337. 201000