1、漸漸 開開 線線 與與 擺擺 線線BABABAABM 以基圓圓心以基圓圓心O O原點(diǎn)，直線原點(diǎn)，直線OAOA為為x x軸建立平軸建立平面直角坐標(biāo)系面直角坐標(biāo)系設(shè)基圓的半徑設(shè)基圓的半徑為為r r，點(diǎn)，點(diǎn)M M的坐的坐標(biāo)（標(biāo)（x,yx,y) )由由惟一決定。惟一決定。 取取為參數(shù)，則點(diǎn)為參數(shù)，則點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(rcos(rcos,rsin ),設(shè)設(shè)e1是與是與 同向的單位同向的單位向量，向量，從而向量從而向量e1= (cos(cos,sin ),設(shè)設(shè)e2是是與與 同向的單位向量，所以同向的單位向量，所以 = （r r）e2，同時(shí)，同時(shí) = (x(xrcosrcos, y sin ),由圖

2、可知，由圖可知，e2 =（ sin , coscos)OBBMBMBM(x(xrcosrcos, y sin )= （r r）（ sin , coscos)y =r(sinsin cos)x=r(coscos + sin )（為參數(shù)）為參數(shù)）注意：注意： 4.基圓內(nèi)無漸開線基圓內(nèi)無漸開線 3.漸開線的形狀取決于基圓的大小漸開線的形狀取決于基圓的大小1.發(fā)生線發(fā)生線BM沿基圓滾過的長度等沿基圓滾過的長度等于基圓上被滾過的圓弧長度。于基圓上被滾過的圓弧長度。 2.漸開線上任意點(diǎn)的法線恒與基圓相切。漸開線上任意點(diǎn)的法線恒與基圓相切。 例例1.有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪，齒輪的有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪，齒輪的齒

3、廓線的基圓直徑為齒廓線的基圓直徑為22mm,求齒廓所求齒廓所在的漸開線的參數(shù)方程。在的漸開線的參數(shù)方程。解：因?yàn)榛鶊A的直徑為解：因?yàn)榛鶊A的直徑為22mm，所以，所以基圓的半徑為基圓的半徑為11mm，因此齒廓線的，因此齒廓線的漸開線的參數(shù)方程為：漸開線的參數(shù)方程為：X=11 (cos + sin )Y=11(sin cos)（為參數(shù)）為參數(shù)）例例2.當(dāng)當(dāng)= ， 時(shí)，求出漸開線時(shí)，求出漸開線42X=cos + sin Y=sin cos上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，并求出，并求出A，B的距離。的距離。四、平擺線探究：探究： 如果在自行車的輪子上噴一個(gè)如果在自行車的輪子上噴一個(gè)白色印記，那么自行車在筆

4、直的道白色印記，那么自行車在筆直的道路上行使時(shí)，白色印記會(huì)畫出什么路上行使時(shí)，白色印記會(huì)畫出什么樣的曲線？樣的曲線？1、平擺線的定義我們把定點(diǎn)我們把定點(diǎn)P的軌跡叫做的軌跡叫做，又叫，又叫。當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上一個(gè)定點(diǎn)圓周上一個(gè)定點(diǎn)P的的軌跡是什么？軌跡是什么？OABP 平擺線在它與定直線的平擺線在它與定直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的部分兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的部分叫做一個(gè)拱。叫做一個(gè)拱。上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是：上述問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是：xyO DAEBPC2 2、平擺線的參數(shù)方程、平擺線的參數(shù)方程取定直線為取定直線為X軸，軸，定點(diǎn)定點(diǎn)P滾

5、動(dòng)時(shí)落在滾動(dòng)時(shí)落在定直線上的一個(gè)定直線上的一個(gè)位置為原點(diǎn)，建位置為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。立直角坐標(biāo)系。設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為r。設(shè)P(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn)，此時(shí)圓轉(zhuǎn)過 角，圓心位于A點(diǎn)，則BAP= ，作ABOx，PDOx，PCAB。由題意，OB=BP=r那么，x=OD=OB-DB=OB-PC=r( -sin )y=DP=BA-CA=r (1 -cos )所以，平擺線的參數(shù)方程為：所以，平擺線的參數(shù)方程為：(sin ),()(1 cos ).xryr為參數(shù)2 2、平擺線的參數(shù)方程、平擺線的參數(shù)方程(sin ),()(1 cos ).xryr為參數(shù)平擺線的參數(shù)方程為：平擺線的參數(shù)方程為：思考

6、思考1 1：在平擺線的參數(shù)方程中，參數(shù)：在平擺線的參數(shù)方程中，參數(shù) 的取值范圍的取值范圍是什么？一個(gè)拱的寬度與高度各是什么？是什么？一個(gè)拱的寬度與高度各是什么？xyO DAEBPC思考思考2 2：若點(diǎn)：若點(diǎn)Q Q在半徑在半徑APAP上，且上，且AQ=r/2AQ=r/2，當(dāng)圓滾動(dòng)時(shí)，當(dāng)圓滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)點(diǎn)Q Q的軌跡是什么？的軌跡是什么？3、擺線 擺線是研究一個(gè)動(dòng)圓在一條曲線（基線）上滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡。 當(dāng)基線是直線時(shí)，就得到平擺線或變幅平擺線。 當(dāng)基線是圓且動(dòng)圓在定圓內(nèi)滾動(dòng)時(shí)，就得到內(nèi)擺線或變幅內(nèi)擺線。 當(dāng)基線是圓且動(dòng)圓在定圓外滾動(dòng)時(shí)，若兩圓外切，就得到外擺線或變幅外擺線。三、小結(jié)(sin),()(1 cos ).xryr為參數(shù)1、擺線是研究一個(gè)動(dòng)圓在一條曲線（基線）上滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡。當(dāng)基線是直線時(shí)，就得到平擺線