1、講講 授：陳得良授：陳得良 TelTel：1332731100813327311008QQQQ：416501065416501065EmailEmail：deliang_deliang_12本章主要內(nèi)容24.1 彈性力學(xué)平面問題4.2彈性力學(xué)平面問題基本方程4.3 彈性力學(xué)平面問題的三角形單元4.4 彈性力學(xué)平面問題的整體分析4.5收斂準(zhǔn)則和單元位移函數(shù)的選擇4.6分析實(shí)例 嚴(yán)格地說，實(shí)際的彈性結(jié)構(gòu)都是空間結(jié)構(gòu)，并處于空間受力狀態(tài)，屬于空間問題，然而，對(duì)于某些特定問題，根據(jù)其結(jié)構(gòu)和外力特點(diǎn)可以簡(jiǎn)化為平面問題來處理。這種近似，可大大減少計(jì)算工作工作量，為有限元分析提供方便。彈性力學(xué)平面問題可分為

2、兩類： 如圖柱形管道和長(zhǎng)柱形壩體，具有如下特點(diǎn)：a縱向尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸，且各橫截面尺寸都相同；b 載荷和約束沿縱向不變，因此可以認(rèn)為，沿縱向的位移分量 等于零。Pxy34.1 彈性力學(xué)平面問題(1) 平面應(yīng)變問題xy 等厚或不等厚平板，具有如下特點(diǎn)：a 長(zhǎng)寬尺寸遠(yuǎn)大于厚度，b載荷只沿板面，且沿厚度均勻分布，因此可以認(rèn)為沿厚度方向的應(yīng)力分量等于零。上述兩類問題有許多共同特點(diǎn)，合成為彈性力學(xué)平面問題。(2) 平面應(yīng)力問題40,0YyxXyxyxyyxxxvyuyvxuxyyx,xyxyxyyxyyxxEEEE211)1 (2, )(1, )(1222 1.平衡方程2.幾何方程對(duì)于平面應(yīng)力問題3.

3、物理方程54.2 彈性力學(xué)平面問題基本方程 TxyyxTxyyx, D 2100010112ED DE21E1若令則而稱為彈性矩陣，它是一個(gè)對(duì)稱矩陣，它的元素只與彈性常數(shù)與有關(guān)。換成，把換成對(duì)于平面應(yīng)變問題，須把。 6vvuu,uSYlmXmlxyyyxx,S 在邊界上 在邊界上應(yīng)力邊界條件4.邊界條件7位移邊界條件YX ,SYX ,xyyx,*,vuuS*u*vxvyuyvxuxyyx*,UUW 設(shè)變形體處于平衡受力狀態(tài)：體積力為，在自由邊界上的表面力為應(yīng)力為設(shè)變形體產(chǎn)生虛位移，在固定邊界上的位移及為零，相應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)?則體積力和表面力在虛位移上作的外力虛功W 恒等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上作的虛變形

4、功即，。85 彈性體的虛功方程AxyxyyyxxSAdydxtUdstvYuXdydxtYvXuW)(,)()(*WSUdydxtdUxyxyyyxx)(*其中上面三個(gè)積分的意義為：中的第一個(gè)積分表示全部體積力作的虛功；第二個(gè)積分表示中的積分為它表示單面體四個(gè)側(cè)面上的應(yīng)力在虛應(yīng)變上作的虛功。上的表面力作的虛功。自由邊界9mji,分析一個(gè)典型三角形單元的力學(xué)特性。首先建立以單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)各點(diǎn)位移的關(guān)系式。設(shè)單元的結(jié)點(diǎn)號(hào)碼 ，其結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別 每個(gè)結(jié)點(diǎn)在其單元內(nèi)的位移可以有兩個(gè)，三個(gè)結(jié)點(diǎn)位移為一 單元的位移模式和形函數(shù)104.3 彈性力學(xué)平面問題三角形常應(yīng)變單元(xm, ym)uivi(x

5、i, yi)(xj, yj)ijmxyOujumvjvm),(iiyx),(jjyx),(mmyxijm( ,),(,),(,),ijmu vu vuv記單元的結(jié)點(diǎn)位移向量 和結(jié)點(diǎn)力向量FTiijjmmuvuvuvTxiyix jy jxmymFFFFFFF (4-1a) (4-1b)yx ,yaxaavyaxaau654321621,aaa 由于單元體也是一個(gè)二維的彈性體，單元內(nèi)各點(diǎn)的位移分量是坐標(biāo)按此位移模式，單元內(nèi)各點(diǎn)的位移可以由單元結(jié)點(diǎn)位移通過插值來獲得?？杉俣▎卧獌?nèi)任一點(diǎn)位移是其坐標(biāo)的線性函數(shù)，即式中，是待定常數(shù)，它可以確定于下：的函數(shù)，在進(jìn)行有限元分析時(shí)，需要假定一個(gè)位移模式： (

6、b),mjivuTiii（iivu ,ixy 其中子矩陣 式中，是結(jié)點(diǎn)在軸和 (a)軸方向的位移。11mji,),(iiyx),(jjyx),(mmyxmmmmmmjjjjjjiiiiiiyaxaavyaxaauyaxaavyaxaauyaxaavyaxaau654321654321654321ummjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxayuyuyuayxuyxuyxua11121,11121,21321設(shè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、將它們代入(b)式得聯(lián)立解(c)式關(guān)于的三個(gè)方程，可以求得(c)(d)，12mmjjiiyxyxyx1112其中(4-2)mji,mji,從解析幾何知，(4-

7、2)式中的等于三角形為使求得面積的值不致成負(fù)值，結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)向，如圖所示。的面積，的次序必須是逆時(shí)針13mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbau)()()(21)(11,11,mjmjimjmjijmmjmmjjixxxxcyyyybyxyxyxyxa),(mjimmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbav)()()(21將(d)式代入(b)式中的第一式，并稍加整理得其中 (4-3)同理得到(e)(f)14式(e)和式（f）可以看出單元內(nèi)部位移是由節(jié)點(diǎn)位移表示的),(,)(21mjiycxbaNiiiimmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu ij

8、mufN IN IN INvImjiNNN,N如令位移模式(e)、(f)就可以寫成上兩式可合并寫成矩陣形式如下式中是二階單位陣；形函數(shù)矩陣(4-4)(4-5)(4-6)位移狀態(tài)，因而稱為 ，矩陣 則稱為 。是坐標(biāo)的函數(shù)，它們反映單元形函數(shù)1516例 1 求圖示的三角形單元的形函數(shù)三角形單元 xvyuyvxuxyyx有了單元的位移模式，就可以利用平面問題的幾何方程(g)二 單元的應(yīng)變17 00010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvcbcbcbuv B求得應(yīng)變分量，將(e)、(d)兩式代入上式即得 或簡(jiǎn)寫成(4-7)(g)18 B mjiBBBB ),(,0021mj

9、ibccbBiiiii Bmjimjicccbbb, B,xyxy其中可寫成分塊形式而子矩陣公式(4-7)是用結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變的矩陣方程，矩陣是單元 。由于和所以中的元素都是常量，因而單元中各點(diǎn)的應(yīng)變分量也都是常量，故通常稱這種單元為 。(4-9)等都是常量，常應(yīng)變單元應(yīng)變矩陣(4-8)19 D DB BDS S S 便可導(dǎo)出以結(jié)點(diǎn)位移表示應(yīng)力的關(guān)系式。把(2-7)式代入上式，得到令 則(4-10)式寫成這就是應(yīng)力與結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，其中稱為 。(4-10) (h)(4-11)三 單元的應(yīng)力應(yīng)力矩陣20在得到應(yīng)變之后，再利用物理方程稱為彈性矩陣S iiiiiiiibccbcbEBDS212

10、1)1 (22對(duì)于平面應(yīng)力問題，的子矩陣可寫成(4-13)矩陣 S可寫成分塊形式 mjimjiSSSBBBDS(4-12),(mji21iiiiiiibccbcbES)1 (221)1 (22111)21)(1 (2)1 (對(duì)于平面應(yīng)變問題(4-14),(mji22 mmjjiiSSS S如果注意到(4-1)式，則(4-11)式可寫成從(4-13)、(4-14)式可以看出，個(gè)單元中的應(yīng)力分量也是常量。因而，相鄰單元將具有不同的應(yīng)力和應(yīng)變。這樣，越過公共邊界，從一個(gè)單元到另一個(gè)與它相鄰的單元，應(yīng)力和應(yīng)變的值都將有突變，但是位移是連續(xù)的（參閱下節(jié)），常應(yīng)變單元的這些性質(zhì)實(shí)際上都是由于選取線性的位移

11、模式所造成的。(4-15)中的元素都是常量，所以每23),(,)(21mjiycxbaNiiiimmjjiiyxyxyx1112mjimjixxcyyb11,11上節(jié)討論常應(yīng)變?nèi)切螁卧獣r(shí)，曾提出形函數(shù)其中mmjjiyxyxa ,坐標(biāo)輪換ijm24四 形函數(shù)的性質(zhì)jjjiiicbacba,mmmcba,21)(21),(iiiiiiiiycxbayxNmj ,0)(21),(0)(21),(mimiimmijijiijjiycxbayxNycxbayxN由(4-3)式可知，常數(shù)和依次式行列式 的第一行、第二行和第三行各元素的代數(shù)余子式，根據(jù)行列式的性質(zhì)：行列式的任一行（或列）的元素與其它行（或

12、列）的元素的代數(shù)余子式乘積之和則等于零，從而可以推出形函數(shù)的許多性質(zhì)如下：而在其余兩結(jié)點(diǎn)上的值25 1 形函數(shù) 在在本結(jié)點(diǎn) 上的值等于1，在除 以外的其他節(jié)點(diǎn)處都等于零iNii(,)0,(,)1,(,)0jiijjjjmmNxyNxyNxy(,)0,(,)0,(,)1miimjjmmmNxyNxyNxy類似地有（參見結(jié)構(gòu)及彈性力學(xué)有限元，劉懷恒主編26ycccxbbbaaaycxbaycxbaycxbayxNyxNyxNmjimjimjimmmjjjiiimji)()()(21)(21),(),(),(1),(),(),(yxNyxNyxNmji2 在單元任一點(diǎn)上三個(gè)形函數(shù)之和等于1根據(jù)前述行

13、列式的性質(zhì)，第一圓括號(hào)等于2，而第二、第三圓由此可見，三個(gè)形函數(shù)中只有二個(gè)是獨(dú)立的。括號(hào)都等于零。故有27證明：0),(,),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijiiijijiimmyxxcby)(3 在三角形單元的一邊上，例如邊上有也就是說，在邊上的形函數(shù)與第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)無關(guān)。事實(shí)上，邊的方程到(4-4)式，即可得到上面結(jié)果（學(xué)生自己證明）代28ijijm將ij邊坐標(biāo)代入形函數(shù)即可得到ij0),(),(yxNyxNnm 利用這一性質(zhì)，很容易證明相鄰兩個(gè)單元的位移，分別進(jìn)行線性插值之后 ，在公共邊是連續(xù)的，例如圖中單元 和 具有公共邊由(f)式在邊上29ijmijnij

14、jiNN ,vu ,ji ,式中如(f)式所示，可見在公共邊上的位移公共邊的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移所確定，所示相鄰單元的位移是連續(xù)完全由jjiijjiivNvNvuNuNu, 不論按照哪個(gè)單元來計(jì)算，根據(jù)(4-5)式公共邊上的位移均由下式表示30yyNyNyNxxNxNxNNNNmmjjiimmjjiimji11試證：在三結(jié)點(diǎn)三角形單元內(nèi)的任意一點(diǎn)都有2試證：在三結(jié)點(diǎn)三角形單元mji的一邊上，例如ji邊上有0),(),(1),(yxNxxxxyxNxxxxyxNmijijijii313求所示三角形的二次插值位移模式。該單元有三個(gè)主結(jié)點(diǎn)，兩個(gè)副結(jié)點(diǎn)。3233五 單元?jiǎng)偠染仃嚕?）單元的應(yīng)變能 （4-16

15、） （2）單元上外力的勢(shì)能 12TUd TTTvsAVddA cf pf pF（4-17）式中、分別表示單位體積的體積力、單元上的表面力、單元結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)荷載。vpspcF34將應(yīng)力矩陣、應(yīng)變矩陣、單元位移矩陣（4-16）、（4-17）后相加，得到單元的總勢(shì)能為：12TTTTTvscAdp dp dAB DBNNF利用最小勢(shì)能原理，取結(jié)點(diǎn)位移的變分，得到： 0由的任意性，有：0iijjmmuvuvuv（4-18）35考慮到的對(duì)稱性，對(duì)式（4-18）求偏導(dǎo)得到：TB DB0TTTvscAdddAB DBN pN pF記Td B DBkTTvscAp dp dANNFF則式（4-19）可寫為：k

16、F（4-19）（4-20）上式即為描述單元結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移向量之間關(guān)系的平衡方程。其中稱為單元?jiǎng)偠染仃?。k（4-22）（4-21） D Bdydx tBDBkT在3結(jié)點(diǎn)等厚三角形單元中，如果單元的材料是均質(zhì)的，矩陣 中的元素是常量，而且在三角形常應(yīng)變單元情況下，矩陣 中的元素也是常量，當(dāng)單元的厚度 t 也是常量時(shí)，則有 ，(4-23)36TTdtdxdy kB DBB DB于是(4-21)式可以簡(jiǎn)化為注意到 k iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk 物理意義：?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?中的任一列 的元素分別等于該單元的某個(gè)結(jié)點(diǎn) 沿坐標(biāo) j方向發(fā)生單位位移時(shí)，在各結(jié)點(diǎn)上所引起的結(jié)點(diǎn)力，它

17、決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)。即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。 將表達(dá)式(4-8)代入(4-22)式，即該平面應(yīng)力問題中三角形單元的剛度矩陣，寫成分塊形式如下(4-24)37ijk srsrsrsrsrsrsrsrsTrrsbbcccbbcbccbccbbEttBDBk21212121)1 (42E21E1其中對(duì)于平面應(yīng)變問題，上式中的 應(yīng)換成， 換成 至此單元的力學(xué)特性分析已告完成，下面就可以轉(zhuǎn)入結(jié)構(gòu)的整體分析。(4-25)38 用有限元解題，需把彈性體離散化后的每個(gè)單元所受的體力、面力、集中力都移置到有關(guān)的受載結(jié)點(diǎn)上，形成單元等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣 ，這種移置

18、時(shí)按靜力等效原理進(jìn)行的。 eF。u所謂靜力等效原理，對(duì)彈性體來說，是指彈性體上的原載荷與移置后的結(jié)點(diǎn)載荷，在彈性體的任意微小虛位移上所做的虛功相等；u 對(duì)于剛體，是指剛體上的原載荷與移置后的結(jié)點(diǎn)載荷向任一點(diǎn)簡(jiǎn)化時(shí)，具有相同的主矢和主矩，即對(duì)任意坐標(biāo)軸的載荷投影之和相等，對(duì)任意軸的力矩和也相等；u根據(jù)圣維南原理，這種載荷移置所引起的應(yīng)力誤差是局部的，不至于影響到整個(gè)結(jié)構(gòu)，而且隨著單元的細(xì)分，這種影響將逐漸減少。但載荷的移置，確實(shí)是有限元法的誤差來源之一39六 等效結(jié)點(diǎn)力和荷載列陣40基于單元結(jié)點(diǎn)平衡方程（4-19）0TTTvscAdddAB DBN pN pF(4-19)外力功的前兩個(gè)量分別表示

19、體積力、表面力移置到結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)力，依次定義為TvTsAFdFdAN pN p(4-26)(4-27)則很顯然式（4-21）中的荷載列陣 就等于體積力、表面力和單元結(jié)點(diǎn)荷載的疊加，因此作用在彈性體上的外力，需要移置到相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)上成為結(jié)點(diǎn)荷載。 Fj i),(yxM TyxPPP P1 集中力 的移置： 設(shè)單元 的邊界上 點(diǎn)受有集中力 ，且有利用靜力等效（虛功原理）原則將其移置到三個(gè)結(jié)點(diǎn)上，并組成單元結(jié)點(diǎn)載荷列陣）41PM Tvuf* eTiijjmmuvuvuv eMNf* MNM設(shè)單元的 點(diǎn)上發(fā)生任意微小虛位移 ，則單元三結(jié)點(diǎn) 上的虛位移組成的列陣式中 為形函數(shù)矩陣在 點(diǎn)處的取值。由于單元

20、任意點(diǎn)位移可以寫成 PNPfRTMTeTeTe)()(* PNRTMe),(mjiPNPNRyiMxiMei 根據(jù)彈性體的虛功原理，可寫出單元的虛功故有則(4-28)42上式 即為結(jié)點(diǎn)等效荷載 eiR虛位移乘以力等于虛功ijm( , )P x yTvxypppPdydxtt p t dx dy2 體積力 的移置。 (4-29)如果單元 上受有分布狀態(tài)的體力（單位體積力），且其上任意一點(diǎn) 的體力為 ，則可將 點(diǎn)的微小體積 （ 為單元厚度）上的體力載荷 當(dāng)作一個(gè)小集中力載荷列陣 ，然后對(duì)三角形單元面積積分，即得單元的體積移置到結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)載荷列陣(若將單元體的體力視為常量），此時(shí)式（4-26）可寫

21、為43vpA000 =t000TvAiixjyjmmFtdxdyNNpNdxdypNNNN p ( ) =,3TevTxyxyxyFNpt dx dytpppppp (4-30) ( , ,)yrryyrFtN p dxdytpN dxdyri j m 例如 而/3rN dxdy 自行證明 所以j isp( , )( , )Tssxsyppx ypx ydltsp t dl3 面力 的移置 如果單元 的邊上受有任意分布的面力 ，且(4-31)44sp則依據(jù)（4-27）式，同樣得到結(jié)點(diǎn)等效荷載i = ,TslsxjlsyFtdlpN I N ItdlpN p可將微分面積 上的面力載荷 當(dāng)作一個(gè)微

22、小集中載荷列 有了單元載荷列向量后，就可以式迭加到載荷列向量中去，即121enTeTTTneFFFFF 上述載荷移置列陣具有普遍意義，對(duì)于其它類型的平面單元也是適用的，只需把形函數(shù)矩陣 換成該種類型單元的 即可。但是，這三個(gè)公式在計(jì)算上是相當(dāng)麻煩的。對(duì)線性位移模式的單元，其載荷移置方法也可以利用剛體靜力等效原理進(jìn)行之。NN31 關(guān)于剛體靜力等效原理這里不在贅述；現(xiàn)將四種特殊載荷簡(jiǎn)化結(jié)果說明如下： 1. 均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，只需把 的重量移置到每個(gè)結(jié)點(diǎn)上。454 幾種特殊的結(jié)點(diǎn)荷載列陣lj iql tq21ij 2. 對(duì)于作用在長(zhǎng)度 的 邊上強(qiáng)度為 的均布表面力，只需 把 移置到結(jié)

23、點(diǎn) 及 上。mqjl tq2131j32m 3. 線性分布載荷，在結(jié)點(diǎn) 處強(qiáng)度為 ，在結(jié)點(diǎn) 處強(qiáng)度為0，則合力大小為 只需將合力的 移置到結(jié)點(diǎn) ， 移置到 結(jié)點(diǎn)。 46j iPji ,llP2llP1 4. 在 邊上作用在集中力 ，則 點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)載荷分別為 和 。 474.4 彈性力學(xué)平面問題的整體分析 結(jié)構(gòu)的整體分析：得到結(jié)構(gòu)的單元矩陣后，需將一系列的單元組成一個(gè)整體結(jié)構(gòu)，然后根據(jù)結(jié)點(diǎn)荷載平衡的原則進(jìn)行分析，得到整體剛度矩陣。整體分析包含四個(gè)步驟：建立整體剛度矩陣根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣解方程組，求出結(jié)點(diǎn)的位移，根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移，求出單元的應(yīng)變和應(yīng)力ennen 12 n TTnTTn211

24、2), 2 , 1(nivuTiiii 假說彈性體被劃分為 個(gè)單元和 個(gè)結(jié)點(diǎn)，并對(duì)每一個(gè)單元都進(jìn)行上述運(yùn)算，則得到 組形如 式的方程，把這些方程集合起來，便可得到表征整個(gè)彈性體平衡的表達(dá)式。為此目的，我們首先引進(jìn)整個(gè)彈性體的結(jié)點(diǎn)位移列陣 ，它是由各結(jié)點(diǎn)位移按給定的號(hào)碼從小到大順序排列組成的，即其中子矩陣是結(jié)點(diǎn) 的位移分量。一 結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣 eekR48由單元?jiǎng)偠染仃嚨玫秸w剛度矩陣的基本方法是剛度集成法，即整體剛度矩陣是單元?jiǎng)偠染仃嚨募?(4-31)12 nR1221TTTTnnFFFF11(1,2, )eeTnnTeeiiiiieeFXYUVini 再引進(jìn)整個(gè)彈性體的載荷列陣 ，它是

25、移置到結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)載荷，按照點(diǎn)的號(hào)碼從小到大順序排列組成的，即其中子矩陣是結(jié)點(diǎn) 上的等效結(jié)點(diǎn)載荷49 (4-32)6 1eF12 n211()()()TeeTeTeTijmnijmnFFFF( ,)TeeeixiyiFffij m將各單元的結(jié)點(diǎn)力列陣 加以擴(kuò)大，使之成為 階列陣其中子矩陣是單元結(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力（4-33）TTeTTTijmxiyixjyjxmymFFFFffffff50荷載列陣擴(kuò)展處為零元素mji,iRmji, 121enTeTTTneFFFFF （4-24）式中，矩陣號(hào)上面的 表示在分塊矩陣意義下 所在 的列的位置。這里以假定的次序恰和結(jié)點(diǎn)號(hào)碼的次序從小到大的排列是一致

26、的。各單元的結(jié)點(diǎn)力列陣經(jīng)過這樣擴(kuò)大以后便可相加，將全部單元的結(jié)點(diǎn)力列陣疊加在一起，就得到下式表示的彈性體的載荷列陣，即 這是因?yàn)橄噜弳卧策厓?nèi)力引起的等效結(jié)點(diǎn)力，在疊加過程中必然互相抵消，只剩下載荷所引起的等效結(jié)點(diǎn)力。(4-34)51 kn2 nmjikkkkkkkkkknmjimmmjmijmjjjiimijiinn1122將(4-24)式確定的六階方陣 加以擴(kuò)大，使成為 階的方陣(4-35) ( )( )eiiijimejijjjmmimjmmkkkkkkkkkk52 ijkij(4-32)式中的22階子矩陣 被放到(4-35)式中的第 雙行、第 雙列中。這樣，(4-22)式可改寫為 2

27、12122eeennnnkF kmji, en 12 12 nen 2111eenneneekF考慮到 擴(kuò)大以后，除了對(duì)應(yīng) 雙行和雙列上的九個(gè)子矩陣外，其余都為零，故上式左邊的單元位移列陣 已可用整體的位移列陣 替代，把上式對(duì) 個(gè)單元作和，則得(4-36)53 enek1 K eeneTnedydxtBDBkK11 上式左邊 是彈性體所有單元?jiǎng)偠染仃嚨目偤停Q為彈性體的整體剛度矩陣（或稱總剛度矩陣），通常都記作 。注意到單剛矩陣表達(dá)式式，則有(4-38)54 RK并基于此可將結(jié)構(gòu)整體平衡式寫為(4-37)55xy123456例2 整體剛度矩陣集成單元?jiǎng)澐趾徒Y(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖示ijmijmijm單元編

28、號(hào)單元編號(hào)單元結(jié)點(diǎn)局部編號(hào)單元結(jié)點(diǎn)局部編號(hào)單元結(jié)點(diǎn)整體編號(hào)單元結(jié)點(diǎn)整體編號(hào)（1）312（2）524（3）532（4）356ijm562j（ ）(2)m(2)i2j（ ）(2)jjk(2)jmk(2)jik(2)m(2)mjk(2)mmk(2)mik(2)i(2)ijk(2)imk(2)iik整體整體編號(hào) 123456 局部編號(hào)0001 00000020003 000000400050006 000000單元2的擴(kuò)展矩陣57結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣將所有單元的擴(kuò)展矩陣相加就得到整體剛度矩陣 K11u0223221nnvuuvuv K11221121314121,12 ,1TxyxynxnyTnnFFFF

29、FFKKKKKK 這可以從 中看出，令結(jié)點(diǎn)1在坐標(biāo)軸x方向的位移 而其余的結(jié)點(diǎn)位移 ，便得到結(jié)點(diǎn)載荷列陣等于 的第一列元素的列陣，二 整體剛度矩陣的性質(zhì) RK 剛度矩陣 中每一列元素的物理意義為：要迫使彈性體的某一結(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向發(fā)生單位位移，而其它結(jié)點(diǎn)位移都保持為零的變形狀態(tài)，在所有各結(jié)點(diǎn)上需要施加的結(jié)點(diǎn)力。58有上述實(shí)例可以看出整體剛度矩陣具有如下性質(zhì) K33Kxx TsrrskK rsnerssneTrTrneTsneTsrTsrKktBDBtBDBkKeeee1111)(剛度矩陣 的主元素總是正的。例如，由性質(zhì)1可知，剛度矩陣 中的元素 表示結(jié)點(diǎn)2在 方向產(chǎn)生單位位移而其它位移均為零時(shí)

30、，在結(jié)點(diǎn)2的 方向上必須施加的力，它自然應(yīng)順著位移方向，因而為正號(hào)。為此只要證明 ，事實(shí)上根據(jù)(4-32)、(4-36)式有所以剛度矩陣是對(duì)稱矩陣。因而在實(shí)際計(jì)算時(shí)，只需計(jì)算在對(duì)角線上以及在其一邊的元素。59剛度矩陣 是對(duì)稱矩陣 K K 它是一個(gè)稀疏陣，如果遵守一定的結(jié)點(diǎn)編號(hào)準(zhǔn)則，可使非零元素集中在主對(duì)角線附近呈帶狀。60(5) 整體剛度矩陣式奇異矩陣 ：和單元?jiǎng)偠染仃囈粯?，由于位移函?shù)中包含剛體位移，所以整體剛度矩陣也是一個(gè)奇異矩陣。必須要排除剛體位移后，才能變?yōu)檎ň仃?F K因?yàn)閺椥泽w在 的作用下處于平衡， 的分量應(yīng)滿足三個(gè)靜力平衡方程。這反映在 中就存在三個(gè)線性相關(guān)的行或列，因而它是奇

31、異的，不存在逆陣。 F 對(duì)于一個(gè)數(shù)值方法，我們總是希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分，得到的解答收斂于問題的精確解。從上面對(duì)于有限單元法的分析中可以看出，在單元形狀確定以后，位移模式的選擇是關(guān)鍵。載荷的移置、應(yīng)力矩陣和剛度矩陣的建立等等，都依賴于位移模式。很難想象，這樣一個(gè)與真正位移分布有很大差別的位移模式而能得到良好的數(shù)值解。已經(jīng)證明，對(duì)于一個(gè)給定的位移模式，其剛度系數(shù)的數(shù)值比精確的要大。這樣一來，在給定的載荷之下，計(jì)算模型的變形比實(shí)際結(jié)構(gòu)的要小。因此，當(dāng)單元網(wǎng)格分割得越來越細(xì)時(shí)，位移的近似解將由下方收斂于精確解，即得到真實(shí)解的下界。為了保證解答的收斂性，要求位移模式必須滿足以下三個(gè)條件。一、收斂準(zhǔn)則6

32、14.5 收斂準(zhǔn)則和單元位移函數(shù)的選擇每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩個(gè)部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的（即所謂各點(diǎn)的變應(yīng)變）；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，即所謂常應(yīng)變。從物理意義上看，當(dāng)單元尺寸無限縮小時(shí)，每個(gè)單元中的應(yīng)變應(yīng)趨于常量。除非我們的位移模式包含著這些常應(yīng)變，否則就沒有可能收斂于正確解。不難看出，位移模式(b)中與6532,aaaa有關(guān)的線性項(xiàng)是提供單元中的常應(yīng)變的。即當(dāng)結(jié)點(diǎn)位移是由某個(gè)剛體位移所引起時(shí)，彈性體內(nèi)不會(huì)有應(yīng)變。這樣，位移模式就不但要具有描述單元本身形變的能力。而且還要具有描述由于其他單元形變而通過結(jié)點(diǎn)位移引起單元?jiǎng)傮w位移的能力。例如，在位移模式(b)中，常數(shù)

33、項(xiàng) 就是提供剛體位移的（參見參考書P56）。41,aa1位移模式必須包含單元的剛體位移。2位移模式必須能包含單元的常應(yīng)變。62當(dāng)選擇多項(xiàng)式來構(gòu)成位移模式時(shí)，單元內(nèi)的連續(xù)性要求總是滿足的，單元間的協(xié)調(diào)性要求單元之間不開裂也不重疊，對(duì)于在以后要討論的梁、板和殼單元，還要求單元之間有斜率的連續(xù)性。通常，當(dāng)單元交界面上的位移取決于該交界面上結(jié)點(diǎn)的位移時(shí)，可以保證位移的協(xié)調(diào)性。 在有限單元法中，滿足條件1和2的單元，稱為完備單元；滿足條件3的單元上稱為協(xié)調(diào)單元或保續(xù)單元。我們已經(jīng)討論過的三角形單元，顯然同時(shí)滿足三個(gè)條件，因此是完備的協(xié)調(diào)單元。在某些梁、板以及殼體分析中，要使單元滿足條件3比較困難，實(shí)踐中

34、也出現(xiàn)只滿足條件1，2的單元，其收斂性也是令人滿意的。尤其是放松條件3的單元，即完備而不協(xié)調(diào)的單元，已經(jīng)獲得了很多成功的應(yīng)用。不協(xié)調(diào)單元的主要缺點(diǎn)是，不能事先肯定其剛度與真實(shí)剛度的大小關(guān)系。但是另一方面，不協(xié)調(diào)單元一般沒有協(xié)調(diào)單元那樣剛硬（換句話說，一般較柔軟），因此可能比協(xié)調(diào)單元收斂得快。 3位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、并使相鄰單元間的位移必須協(xié)調(diào)63選擇多項(xiàng)式位移模式的階次時(shí)，要考慮到解的收斂性，即要考慮到完備性和協(xié)調(diào)性的要求。實(shí)踐證明，這兩項(xiàng)是所要考慮的重要因素，但并不是唯一的因素。另一個(gè)因素是，位移模式應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的方位無關(guān)，即為幾何各向同性。對(duì)于線性多項(xiàng)式，各向同性的要求通常就等階于

35、必須包含常應(yīng)變狀態(tài)。對(duì)高次模式，就是不應(yīng)有一個(gè)偏惠的坐標(biāo)方向，也就是位移模式不應(yīng)隨局部坐標(biāo)的更換而改變。經(jīng)驗(yàn)證明，實(shí)現(xiàn)幾何各向同性的一種方法是，根據(jù)以下巴斯卡三角形來選擇二維多項(xiàng)式的各項(xiàng)：二、多項(xiàng)式位移模式階次的選擇64 1 常數(shù)項(xiàng) x y 一次項(xiàng) x2 xy y2 二次項(xiàng) x3 x2y xy2 y3 三次項(xiàng) x4 x3y x2y2 xy3 y4 四次項(xiàng) x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5 五次項(xiàng) 在二維多項(xiàng)式中，若包含三角形對(duì)稱軸一邊的任一項(xiàng)，則必須同時(shí)包含另一邊的對(duì)稱項(xiàng)（對(duì)稱軸往兩邊開始選擇）。選擇多項(xiàng)式模式要考慮的最后一個(gè)因素，就是多項(xiàng)式中的項(xiàng)數(shù)必須等于或稍大于單元邊界上的外

36、結(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)。通常是取得與單元的外自由度數(shù)相等，取過多的項(xiàng)是不恰當(dāng)?shù)摹?566123456uaa xa yvaa xa y如 3結(jié)點(diǎn)三角形單元 4結(jié)點(diǎn)四邊形單元12345678uaa xa ya xyvaa xa ya xy 6結(jié)點(diǎn)三角形單元2212345622779101112uaa xa ya xa xya yvaa xa ya xa xya y等等 8結(jié)點(diǎn)四邊形單元2222123456782222910111213141616uaa xa ya xa xya ya x ya xyvaa xa ya xa xya ya x ya xy),(,mjicbii2解題步驟可歸納為9步： 1劃分

37、單元，對(duì)結(jié)點(diǎn)編號(hào)，輸入結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)； 2對(duì)單元編號(hào)，按逆時(shí)針列出單元三個(gè)結(jié)點(diǎn)的號(hào)碼； 3計(jì)算載荷的等效結(jié)點(diǎn)力； 4計(jì)算單元常數(shù) 和 ； 5計(jì)算各單元的剛度矩陣； 6形成整體剛度矩陣中的非零子矩陣； 7處理約束，消除剛體位移； 8解總剛方程，求得結(jié)點(diǎn)位移； 9計(jì)算單元應(yīng)力。 通常，49步由計(jì)算機(jī)完成，13步用手工完成或計(jì)算機(jī)完成。 在實(shí)現(xiàn)以上各步驟時(shí)，為了達(dá)到一定的計(jì)算精度，節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)量，縮短計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間等目的，還需要注意下列事項(xiàng)。674.6 實(shí)施步驟和注意事項(xiàng)2141 對(duì)于具有結(jié)構(gòu)對(duì)稱、荷載對(duì)稱和反對(duì)稱情況，可取對(duì)稱部分作為計(jì)算模型。如 或 等。對(duì)稱邊的邊界條件為垂直于邊界的位移為零；反對(duì)稱

38、邊的邊界條件為平行于邊界的位移為零。 網(wǎng)格最好也要按對(duì)稱性劃分（對(duì)整體而言）。 一對(duì)稱性的利用68 對(duì)稱 反對(duì)稱69 通常集中荷載的作用點(diǎn)、分布荷載強(qiáng)度的突變點(diǎn)、分布荷載與自由邊界的交界點(diǎn)、支承點(diǎn)等都應(yīng)取作為結(jié)點(diǎn)。如果物體的厚度有突變點(diǎn)或者物體由不同材料組成時(shí)，不要把厚度不同或材料不同的區(qū)域劃分在同一單元里。 至于結(jié)點(diǎn)多少，要根據(jù)計(jì)算精度荷機(jī)算機(jī)容量等綜合考慮。從結(jié)果精度來看，當(dāng)然劃分得越細(xì)越好，但是，這樣做要增加準(zhǔn)備工作和電子計(jì)算機(jī)的運(yùn)算時(shí)間，甚至超出計(jì)算機(jī)的容量。因此，在保證精度的前提下，力求采用較少的單元。故在劃分單元時(shí)對(duì)應(yīng)力變化急劇的區(qū)域可分得細(xì)一些，應(yīng)力變化平緩得區(qū)域可以分得粗一些。

39、此外，單元三條邊的長(zhǎng)度不要懸殊太大，以免在計(jì)算中出現(xiàn)過大的誤差。二、結(jié)點(diǎn)的選擇和單元的劃分70不好好71 應(yīng)盡量使同一單元的相鄰結(jié)點(diǎn)的號(hào)碼差盡可能小，以便縮小剛度矩陣的帶寬B=2(d+1),節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)。若采用帶寬壓縮存放，整體剛度矩陣的存儲(chǔ)量N最多為 N = 2 n B = 4 n ( d + 1 ) 其中d為相鄰結(jié)點(diǎn)的最大差值，n為結(jié)點(diǎn)總數(shù)。d = 7，N = 448 d = 2，N = 168三、結(jié)點(diǎn)的編號(hào)72mji,四、單元結(jié)點(diǎn) 的次序?yàn)榱?不出現(xiàn)負(fù)值，結(jié)點(diǎn) 的次序應(yīng)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向。若對(duì) 取絕對(duì)值，次序隨便。 對(duì)于位移等于零的情況，這是常見的約束形式。 當(dāng)約束條件為 結(jié)點(diǎn)的水平位移 時(shí)，則在整體剛度矩陣 中，應(yīng)把與位移 對(duì)應(yīng)的 行碼和 列碼的主對(duì)角線元素改為1，其它元素改為0；右邊載荷向量 中，第 個(gè)元素改為0。例如：k0ku Kku12 k12 k R12 k五、邊界條件處理和整體剛度矩陣的修正73mji,002020000000100000