1、數(shù)學(xué)教育哲學(xué)講座數(shù)學(xué)教育哲學(xué)講座 周周 根根 龍龍2007年7月一、引言一、引言 兩千多年來，數(shù)學(xué)一直處在絕對主義范式的統(tǒng)治兩千多年來，數(shù)學(xué)一直處在絕對主義范式的統(tǒng)治下，這種認(rèn)識范式視數(shù)學(xué)本體上是不可誤的、數(shù)學(xué)是客下，這種認(rèn)識范式視數(shù)學(xué)本體上是不可誤的、數(shù)學(xué)是客觀真理、且數(shù)學(xué)遠(yuǎn)離人類事務(wù)和價值。觀真理、且數(shù)學(xué)遠(yuǎn)離人類事務(wù)和價值。 當(dāng)今越來越多的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家對此提出了異議，當(dāng)今越來越多的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家對此提出了異議，如如Laktaos(1976)Laktaos(1976)、DavisDavis與與Hersh(1980)Hersh(1980)、TymoczkoTymoczko(1986),(19

2、86),他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是可誤的，像其它知識一樣，數(shù)他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是可誤的，像其它知識一樣，數(shù)學(xué)是人類創(chuàng)造的產(chǎn)物。學(xué)是人類創(chuàng)造的產(chǎn)物。 這一變化的意義（放棄數(shù)學(xué)的可靠性）：這一變化的意義（放棄數(shù)學(xué)的可靠性）： 導(dǎo)致人類根本沒有可靠的結(jié)論；導(dǎo)致人類根本沒有可靠的結(jié)論； 放棄數(shù)學(xué)與生俱來的偽安全性；放棄數(shù)學(xué)與生俱來的偽安全性； 若數(shù)學(xué)是不可誤的客觀知識，則數(shù)學(xué)不必承擔(dān)任若數(shù)學(xué)是不可誤的客觀知識，則數(shù)學(xué)不必承擔(dān)任何社會責(zé)任；何社會責(zé)任； 若數(shù)學(xué)是可誤的社會建構(gòu)，則數(shù)學(xué)就是一個探究若數(shù)學(xué)是可誤的社會建構(gòu)，則數(shù)學(xué)就是一個探究和認(rèn)識的過程，是人類不斷創(chuàng)造和發(fā)明的廣闊天地，和認(rèn)識的過程，是人類不斷創(chuàng)造和發(fā)明的廣闊

3、天地，是不會終結(jié)的產(chǎn)物。是不會終結(jié)的產(chǎn)物。 如此動態(tài)的數(shù)學(xué)觀對教育的影響舉足輕重：如此動態(tài)的數(shù)學(xué)觀對教育的影響舉足輕重： 數(shù)學(xué)教學(xué)的目的應(yīng)包括使學(xué)生獲得自我創(chuàng)造數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的應(yīng)包括使學(xué)生獲得自我創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識的能力；知識的能力； 數(shù)學(xué)至少在學(xué)校要更新形式，以便所有社會群體數(shù)學(xué)至少在學(xué)校要更新形式，以便所有社會群體易于接受其概念，并容易得到由它帶來的財富和權(quán)易于接受其概念，并容易得到由它帶來的財富和權(quán)利利； 再不可理所當(dāng)然地把數(shù)學(xué)活動及其應(yīng)用的涵義置之再不可理所當(dāng)然地把數(shù)學(xué)活動及其應(yīng)用的涵義置之一邊，而對數(shù)學(xué)的潛在價值作出深入的分析。一邊，而對數(shù)學(xué)的潛在價值作出深入的分析。 在教學(xué)領(lǐng)域與數(shù)學(xué)觀

4、相聯(lián)系的一些基本問題：在教學(xué)領(lǐng)域與數(shù)學(xué)觀相聯(lián)系的一些基本問題： 學(xué)習(xí)的本質(zhì)：學(xué)習(xí)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)由哪些哲學(xué)假說或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)由哪些哲學(xué)假說或可能隱含的假說所構(gòu)成？應(yīng)采納何種認(rèn)識論和學(xué)習(xí)論？可能隱含的假說所構(gòu)成？應(yīng)采納何種認(rèn)識論和學(xué)習(xí)論？ 教育目的：教育目的：數(shù)學(xué)教育的目的是什么？誰提出的目的？數(shù)學(xué)教育的目的是什么？誰提出的目的？為誰提出的目的？建立在什么價值標(biāo)準(zhǔn)上的目的？這為誰提出的目的？建立在什么價值標(biāo)準(zhǔn)上的目的？這個目的使誰受益，誰受損？個目的使誰受益，誰受損？ 數(shù)學(xué)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)的本質(zhì)：數(shù)學(xué)教學(xué)依據(jù)什么哲學(xué)假說或可能的數(shù)學(xué)教學(xué)依據(jù)什么哲學(xué)假說或可能的隱含假說？這些假說可靠嗎

5、？為達(dá)到數(shù)學(xué)教育目的隱含假說？這些假說可靠嗎？為達(dá)到數(shù)學(xué)教育目的應(yīng)采取何種方法？這些方法和目的一致嗎？應(yīng)采取何種方法？這些方法和目的一致嗎？ 事實上，無論人們的意愿如何，一切數(shù)學(xué)教學(xué)法根事實上，無論人們的意愿如何，一切數(shù)學(xué)教學(xué)法根本上都出于某一數(shù)學(xué)哲學(xué)，即便是很不規(guī)范的教學(xué)法也本上都出于某一數(shù)學(xué)哲學(xué)，即便是很不規(guī)范的教學(xué)法也如此。（如此。（Thom,1971Thom,1971） 問題并不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)問題并不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么。學(xué)到底是什么。如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭議。（解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭

6、議。（HershHersh,1979,1979） 教師專業(yè)數(shù)學(xué)思想的形成與他們表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的教師專業(yè)數(shù)學(xué)思想的形成與他們表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的典型方式存在著一致性，這有力說明了教師的數(shù)學(xué)觀、典型方式存在著一致性，這有力說明了教師的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)信仰和愛好的確影響著他們的教學(xué)活動。數(shù)學(xué)信仰和愛好的確影響著他們的教學(xué)活動。 二、絕對主義觀和可誤主義觀二、絕對主義觀和可誤主義觀 數(shù)學(xué)哲學(xué)是哲學(xué)的一個分支。它的任務(wù)是反思數(shù)學(xué)哲學(xué)是哲學(xué)的一個分支。它的任務(wù)是反思并解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)。并解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)。 數(shù)學(xué)知識是由具有證明的一組命題所構(gòu)成的，數(shù)學(xué)知識是由具有證明的一組命題所構(gòu)成的，由于數(shù)學(xué)證明僅依據(jù)推理而不求助于經(jīng)驗

7、材料，由于數(shù)學(xué)證明僅依據(jù)推理而不求助于經(jīng)驗材料，因此認(rèn)為數(shù)學(xué)知識是所有知識中最為可靠的知識。因此認(rèn)為數(shù)學(xué)知識是所有知識中最為可靠的知識。 數(shù)學(xué)哲學(xué)傳統(tǒng)上把自己的任務(wù)看作為數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)哲學(xué)傳統(tǒng)上把自己的任務(wù)看作為數(shù)學(xué)知識的可靠性提供基礎(chǔ)，即構(gòu)建一個系統(tǒng)。在這系統(tǒng)中能夠可靠性提供基礎(chǔ)，即構(gòu)建一個系統(tǒng)。在這系統(tǒng)中能夠編排數(shù)學(xué)知識從而能系統(tǒng)地建立起數(shù)學(xué)的真理性。編排數(shù)學(xué)知識從而能系統(tǒng)地建立起數(shù)學(xué)的真理性。 這樣做取決于或明或暗地廣泛承認(rèn)的下列假設(shè)：這樣做取決于或明或暗地廣泛承認(rèn)的下列假設(shè)： 數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù)是為數(shù)學(xué)知識，也可以說是為了數(shù)學(xué)哲學(xué)的任務(wù)是為數(shù)學(xué)知識，也可以說是為了數(shù)學(xué)真理奠定一個系統(tǒng)的并且

8、絕對可靠的基礎(chǔ)。這個數(shù)學(xué)真理奠定一個系統(tǒng)的并且絕對可靠的基礎(chǔ)。這個假設(shè)是基礎(chǔ)主義的依據(jù)，也就是這樣一個信條：數(shù)學(xué)假設(shè)是基礎(chǔ)主義的依據(jù)，也就是這樣一個信條：數(shù)學(xué)哲學(xué)的作用是否為數(shù)學(xué)知識奠定可靠的基礎(chǔ)。哲學(xué)的作用是否為數(shù)學(xué)知識奠定可靠的基礎(chǔ)。 基礎(chǔ)主義與數(shù)學(xué)知識的絕對觀密切相關(guān)，因為基基礎(chǔ)主義與數(shù)學(xué)知識的絕對觀密切相關(guān)，因為基礎(chǔ)主義把驗證數(shù)學(xué)知識的絕對性這一任務(wù)視為數(shù)學(xué)哲礎(chǔ)主義把驗證數(shù)學(xué)知識的絕對性這一任務(wù)視為數(shù)學(xué)哲學(xué)的中心任務(wù)。學(xué)的中心任務(wù)。1.1.數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì) 傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)知識一直作為可靠知識的范式。傳統(tǒng)上，數(shù)學(xué)知識一直作為可靠知識的范式。NewtonNewton的的原理原理和

9、和SpinoznSpinozn的的倫理學(xué)倫理學(xué)都采用了都采用了EuclidEuclid的的幾幾何原本何原本的形式（公理化思想）。長期以來，數(shù)學(xué)一直作的形式（公理化思想）。長期以來，數(shù)學(xué)一直作為人類所知的最可靠知識的源泉。為人類所知的最可靠知識的源泉。 知識的本質(zhì)是什么？知識的本質(zhì)是什么？ 其哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)答案是，知識是已判定為合理的信念。其哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)答案是，知識是已判定為合理的信念。 更準(zhǔn)確地說，命題型知識由得到承認(rèn)（即得到相更準(zhǔn)確地說，命題型知識由得到承認(rèn)（即得到相信）的命題所組成，并有充分根據(jù)判定這些命題。信）的命題所組成，并有充分根據(jù)判定這些命題。 知識可以按照對它進(jìn)行論證的依據(jù)進(jìn)行分類。知識可

10、以按照對它進(jìn)行論證的依據(jù)進(jìn)行分類。先驗先驗知識由僅僅根據(jù)推理而判定的那些命題所組成，而不依知識由僅僅根據(jù)推理而判定的那些命題所組成，而不依賴于對現(xiàn)實世界的觀察。賴于對現(xiàn)實世界的觀察。 數(shù)學(xué)知識屬于先驗知識，因為它只由基于推理而斷數(shù)學(xué)知識屬于先驗知識，因為它只由基于推理而斷定的命題所組成。定的命題所組成。 推理包括演繹邏輯和所用的定義，連同我們所假定推理包括演繹邏輯和所用的定義，連同我們所假定的數(shù)學(xué)公理或公設(shè)，構(gòu)成了推斷數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。因此的數(shù)學(xué)公理或公設(shè)，構(gòu)成了推斷數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。因此數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，是由數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，是由演繹證明所組成

11、的。演繹證明所組成的。 數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，即確定數(shù)學(xué)命題真理性的依據(jù)，是由演繹證明所組成的。是由演繹證明所組成的。 在證明中往往用到兩種類型的假設(shè)：數(shù)學(xué)的和邏在證明中往往用到兩種類型的假設(shè)：數(shù)學(xué)的和邏輯的。輯的。 邏輯假設(shè)即推理規(guī)則（整個證明理論的一部分）邏輯假設(shè)即推理規(guī)則（整個證明理論的一部分）和邏輯句法，被認(rèn)為是邏輯的基本組成部分，也是推和邏輯句法，被認(rèn)為是邏輯的基本組成部分，也是推理運用過程的組成部分。因此我們認(rèn)為，邏輯毫無疑理運用過程的組成部分。因此我們認(rèn)為，邏輯毫無疑問是知識判定的依據(jù)。問是知識判定的依據(jù)。 數(shù)學(xué)假設(shè)即數(shù)學(xué)公理或公設(shè)，是數(shù)學(xué)證

12、明依賴的數(shù)學(xué)假設(shè)即數(shù)學(xué)公理或公設(shè)，是數(shù)學(xué)證明依賴的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 。數(shù)學(xué)假設(shè)的合理性又由誰來保證呢？數(shù)學(xué)假設(shè)的合理性又由誰來保證呢？ 事實上，非歐幾何證明了，事實上，非歐幾何證明了，EuclidEuclid公理和平行公設(shè)公理和平行公設(shè)被人們不再看作是基本的或無可爭辯的真理，不再認(rèn)為被人們不再看作是基本的或無可爭辯的真理，不再認(rèn)為任何這種真理之一遭否定或拒絕時都會引起矛盾?，F(xiàn)代任何這種真理之一遭否定或拒絕時都會引起矛盾。現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識包括了很多依賴于公理系假設(shè)的分支學(xué)科，而數(shù)學(xué)知識包括了很多依賴于公理系假設(shè)的分支學(xué)科，而這些公理不可看作為基本的普遍真理，如群論公理或集這些公理不可看作為基本的普遍

13、真理，如群論公理或集合論公理。合論公理。 2.數(shù)學(xué)知識的絕對主義觀數(shù)學(xué)知識的絕對主義觀 絕對主義數(shù)學(xué)觀：絕對主義數(shù)學(xué)觀： 認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是絕對可靠的認(rèn)為數(shù)學(xué)真理是絕對可靠的, ,數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是一種而且也許是唯一的一種確定的、是一種而且也許是唯一的一種確定的、不容置疑的客觀知識領(lǐng)域。不容置疑的客觀知識領(lǐng)域。 演繹法為數(shù)學(xué)知識的斷定提供了保證。演繹法為數(shù)學(xué)知識的斷定提供了保證。 斷定數(shù)學(xué)（和邏輯）提供絕對可靠知識即真斷定數(shù)學(xué)（和邏輯）提供絕對可靠知識即真理的依據(jù)如下：理的依據(jù)如下： 首先，證明中的基本陳述視其為真，數(shù)學(xué)公首先，證明中的基本陳述視其為真，數(shù)學(xué)公理假定為真，以便這樣考慮使系統(tǒng)得到發(fā)展，數(shù)理假

14、定為真，以便這樣考慮使系統(tǒng)得到發(fā)展，數(shù)學(xué)定義令其為真，邏輯公理認(rèn)其為真。學(xué)定義令其為真，邏輯公理認(rèn)其為真。 其次，邏輯推理規(guī)則保持著真理性，即只承其次，邏輯推理規(guī)則保持著真理性，即只承認(rèn)由真理推導(dǎo)出來真理。認(rèn)由真理推導(dǎo)出來真理。 這種數(shù)學(xué)知識的絕對主義觀是建立在以下兩種假設(shè)這種數(shù)學(xué)知識的絕對主義觀是建立在以下兩種假設(shè)基礎(chǔ)上：涉及公理和定義假設(shè)的數(shù)學(xué)假設(shè)，以及涉及公基礎(chǔ)上：涉及公理和定義假設(shè)的數(shù)學(xué)假設(shè)，以及涉及公理假設(shè)、推理規(guī)則和形式語言及其句法的邏輯假設(shè)。理假設(shè)、推理規(guī)則和形式語言及其句法的邏輯假設(shè)。 羅素悖論羅素悖論 RusselRussel通過定義通過定義“不是自身的一個元素不是自身的一個

15、元素”這一特性，這一特性，提出了這個悖論。提出了這個悖論。FregeFrege規(guī)則允許這一特性的外延作為規(guī)則允許這一特性的外延作為一個集合。但這樣一來，這個集合是自身的一個元素一個集合。但這樣一來，這個集合是自身的一個元素當(dāng)且僅當(dāng)它不是自身的一個元素，這就是一個矛盾。當(dāng)且僅當(dāng)它不是自身的一個元素，這就是一個矛盾。 這些矛盾的發(fā)現(xiàn)自然對數(shù)學(xué)知識的絕對主義這些矛盾的發(fā)現(xiàn)自然對數(shù)學(xué)知識的絕對主義觀是潛在的致命威脅。觀是潛在的致命威脅。 如果數(shù)學(xué)是可靠的，則它的所有定理都是可如果數(shù)學(xué)是可靠的，則它的所有定理都是可靠的，那么它的理論怎么會出現(xiàn)矛盾呢？靠的，那么它的理論怎么會出現(xiàn)矛盾呢？ 既然這虛張聲勢矛

16、盾的出現(xiàn)并無錯誤，那么既然這虛張聲勢矛盾的出現(xiàn)并無錯誤，那么必定在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中出現(xiàn)了問題。必定在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中出現(xiàn)了問題。 這些危機帶來的結(jié)果是，數(shù)學(xué)哲學(xué)的一些學(xué)這些危機帶來的結(jié)果是，數(shù)學(xué)哲學(xué)的一些學(xué)派發(fā)展起來，其目的是解釋數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)并重派發(fā)展起來，其目的是解釋數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)并重建它們的可靠性。三大學(xué)派分別是邏輯主義、形建它們的可靠性。三大學(xué)派分別是邏輯主義、形式主義、構(gòu)造主義（直覺主義）。式主義、構(gòu)造主義（直覺主義）。A邏輯主義邏輯主義 邏輯主義是把純數(shù)學(xué)作為邏輯基本構(gòu)成成分的思邏輯主義是把純數(shù)學(xué)作為邏輯基本構(gòu)成成分的思想學(xué)派。想學(xué)派。主要倡導(dǎo)者有主要倡導(dǎo)者有LeibnizLeibniz、Fr

17、egeFrege、RusselRussel等人。等人。 RusselRussel的觀點最為顯明。主要有兩個論點：的觀點最為顯明。主要有兩個論點：（1 1）所有數(shù)學(xué)概念最終都可以歸結(jié)為邏輯概念；）所有數(shù)學(xué)概念最終都可以歸結(jié)為邏輯概念；（2 2）所有數(shù)學(xué)真理都可以單作憑公理和邏輯推演）所有數(shù)學(xué)真理都可以單作憑公理和邏輯推演規(guī)則得到證明。規(guī)則得到證明。 RusselRussel等人（等人（1910-19131910-1913）用一系列的定義確立了上）用一系列的定義確立了上述第一論點，但是在第二點上失敗了。數(shù)學(xué)需要非邏輯述第一論點，但是在第二點上失敗了。數(shù)學(xué)需要非邏輯公理如無窮公理（所有自然數(shù)的集合都

18、是無窮的）和選公理如無窮公理（所有自然數(shù)的集合都是無窮的）和選擇公理。擇公理。 因此不是所有的數(shù)學(xué)定理（真理）都能單純從邏輯因此不是所有的數(shù)學(xué)定理（真理）都能單純從邏輯公理導(dǎo)出。許多重要的數(shù)學(xué)公理確實是獨立的，并且無公理導(dǎo)出。許多重要的數(shù)學(xué)公理確實是獨立的，并且無論采用這些公理還是否定這些公理都不會引起矛盾。論采用這些公理還是否定這些公理都不會引起矛盾。 后來邏輯主義想了許多方法來改進(jìn)，但后來都失敗后來邏輯主義想了許多方法來改進(jìn)，但后來都失敗了，因此把數(shù)學(xué)知識的確定性歸結(jié)為邏輯的確定性這一了，因此把數(shù)學(xué)知識的確定性歸結(jié)為邏輯的確定性這一邏輯主義綱領(lǐng)已在原則上失敗了。邏輯不能為數(shù)學(xué)知識邏輯主義綱

19、領(lǐng)已在原則上失敗了。邏輯不能為數(shù)學(xué)知識提供可靠的基礎(chǔ)。提供可靠的基礎(chǔ)。 B B形式主義形式主義 通俗地說，形式主義是如下觀點：數(shù)學(xué)是按規(guī)則在通俗地說，形式主義是如下觀點：數(shù)學(xué)是按規(guī)則在紙上用符號所做的一種無意義的形式游戲。紙上用符號所做的一種無意義的形式游戲。 HilbertHilbert的形式主義綱領(lǐng)旨在把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為不予解的形式主義綱領(lǐng)旨在把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為不予解釋的形式系統(tǒng)。釋的形式系統(tǒng)。 HilbertHilbert借助一種有限制然而有意義的元數(shù)學(xué)，通過借助一種有限制然而有意義的元數(shù)學(xué)，通過導(dǎo)出所有數(shù)學(xué)真理的形式的對應(yīng)產(chǎn)物來說明他的形式系導(dǎo)出所有數(shù)學(xué)真理的形式的對應(yīng)產(chǎn)物來說明他的形式系統(tǒng)適合于

20、數(shù)學(xué)，并通過相容性證明說明該形式系統(tǒng)對數(shù)統(tǒng)適合于數(shù)學(xué)，并通過相容性證明說明該形式系統(tǒng)對數(shù)學(xué)是可靠的。學(xué)是可靠的。 但但Godel的不完全理論（的不完全理論（1931）證明了這是一個）證明了這是一個無法實現(xiàn)的綱領(lǐng)。無法實現(xiàn)的綱領(lǐng)。 其第一個定理證明了甚至不是所有算術(shù)定理都能其第一個定理證明了甚至不是所有算術(shù)定理都能由由PeanoPeano公理（或任意一個更大的遞歸公理系統(tǒng)）導(dǎo)公理（或任意一個更大的遞歸公理系統(tǒng)）導(dǎo)出。出。 第二個定理證明了對所要研究的系統(tǒng)而言，證明第二個定理證明了對所要研究的系統(tǒng)而言，證明其相容性需要比維持系統(tǒng)的其相容性需要比維持系統(tǒng)的“自我完善自我完善”更強的元數(shù)學(xué)，更強的元數(shù)

21、學(xué)，所以也就根本無所謂系統(tǒng)的所以也就根本無所謂系統(tǒng)的“自我完整自我完整”可言?？裳?。( (形式系形式系統(tǒng)無法保證自身的可靠性統(tǒng)無法保證自身的可靠性) )C構(gòu)造主義構(gòu)造主義 構(gòu)造主義綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)知識的一種重建（數(shù)學(xué)活動的構(gòu)造主義綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)知識的一種重建（數(shù)學(xué)活動的改革），以防止數(shù)學(xué)意義的喪失或陷入矛盾。改革），以防止數(shù)學(xué)意義的喪失或陷入矛盾。 最著名的構(gòu)造主義者是直覺主義者最著名的構(gòu)造主義者是直覺主義者Brouwer. 持構(gòu)造主義觀點的數(shù)學(xué)家的共同觀點是，經(jīng)典數(shù)學(xué)持構(gòu)造主義觀點的數(shù)學(xué)家的共同觀點是，經(jīng)典數(shù)學(xué)或許靠不住，需要用或許靠不住，需要用“構(gòu)造構(gòu)造”的方法和推理重建數(shù)學(xué)。的方法和推理重建數(shù)學(xué)。

22、 他們主張數(shù)學(xué)真理和數(shù)學(xué)對象的存在性這兩者都必他們主張數(shù)學(xué)真理和數(shù)學(xué)對象的存在性這兩者都必須由構(gòu)造的方法加以確定。這即是說，證實真理性和存須由構(gòu)造的方法加以確定。這即是說，證實真理性和存在性，就需要數(shù)學(xué)地加以改造。這和利用矛盾加以證明在性，就需要數(shù)學(xué)地加以改造。這和利用矛盾加以證明的反證法相對立（他們也不承認(rèn)邏輯上的排中律）。的反證法相對立（他們也不承認(rèn)邏輯上的排中律）。 對于構(gòu)造主義者來說，知識必須通過構(gòu)造主義邏輯對于構(gòu)造主義者來說，知識必須通過構(gòu)造主義邏輯的構(gòu)造性證明加以確立。的構(gòu)造性證明加以確立。 數(shù)學(xué)術(shù)語或?qū)ο蟮囊饬x應(yīng)通過這一形式過程，使數(shù)學(xué)術(shù)語或?qū)ο蟮囊饬x應(yīng)通過這一形式過程，使得數(shù)學(xué)

23、術(shù)語或?qū)ο蟮靡詷?gòu)造出來。得數(shù)學(xué)術(shù)語或?qū)ο蟮靡詷?gòu)造出來。 直覺主義是構(gòu)造主義的代表。其不僅無法解釋非構(gòu)直覺主義是構(gòu)造主義的代表。其不僅無法解釋非構(gòu)造性經(jīng)典數(shù)學(xué)的實質(zhì)，而且否定它的有效性。既沒有證造性經(jīng)典數(shù)學(xué)的實質(zhì)，而且否定它的有效性。既沒有證實經(jīng)典數(shù)學(xué)所面臨的無法回避的問題，也沒有說明經(jīng)典實經(jīng)典數(shù)學(xué)所面臨的無法回避的問題，也沒有說明經(jīng)典數(shù)學(xué)的非協(xié)調(diào)性和非真實性。事實上，其綱領(lǐng)提出后，數(shù)學(xué)的非協(xié)調(diào)性和非真實性。事實上，其綱領(lǐng)提出后，經(jīng)典的純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)的走勢越來越強，因此直覺主義經(jīng)典的純粹和應(yīng)用數(shù)學(xué)的走勢越來越強，因此直覺主義遭到人們的拒絕。遭到人們的拒絕。 3可誤主義觀可誤主義觀 可誤主義觀：數(shù)

24、學(xué)真理是可誤的且是可以糾正的，可誤主義觀：數(shù)學(xué)真理是可誤的且是可以糾正的，決不能把數(shù)學(xué)知識看作是不能糾正或更改的真理。決不能把數(shù)學(xué)知識看作是不能糾正或更改的真理。 反面的表達(dá)形式：反面的表達(dá)形式： 數(shù)學(xué)知識不是絕對真理，它沒有絕對有效性。數(shù)學(xué)知識不是絕對真理，它沒有絕對有效性。 正面的表達(dá)形式：正面的表達(dá)形式： 數(shù)學(xué)知識中可糾正的且永遠(yuǎn)要接受更正。數(shù)學(xué)知識中可糾正的且永遠(yuǎn)要接受更正。 其代表人物是其代表人物是LakatosLakatos。 三、三、 數(shù)學(xué)哲學(xué)的重新認(rèn)識數(shù)學(xué)哲學(xué)的重新認(rèn)識 上面我們是在這樣的假設(shè)下進(jìn)行思考的：數(shù)學(xué)知識是上面我們是在這樣的假設(shè)下進(jìn)行思考的：數(shù)學(xué)知識是一組附有證明的命

25、題形式的真理，而數(shù)學(xué)哲學(xué)的功能就是一組附有證明的命題形式的真理，而數(shù)學(xué)哲學(xué)的功能就是建立這種知識的可靠性。當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)這一假設(shè)站不住腳時，建立這種知識的可靠性。當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)這一假設(shè)站不住腳時，就不得不重新考慮數(shù)學(xué)哲學(xué)的本質(zhì)。就不得不重新考慮數(shù)學(xué)哲學(xué)的本質(zhì)。什么是數(shù)學(xué)哲學(xué)的功能和范圍呢？什么是數(shù)學(xué)哲學(xué)的功能和范圍呢？ 數(shù)學(xué)哲學(xué)不應(yīng)僅考慮其數(shù)學(xué)哲學(xué)不應(yīng)僅考慮其“內(nèi)在問題內(nèi)在問題”，而應(yīng)把數(shù)學(xué)放在，而應(yīng)把數(shù)學(xué)放在人類思想和人類歷史的大背景中來考慮。數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)該全人類思想和人類歷史的大背景中來考慮。數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)該全面考慮人類創(chuàng)造知識的環(huán)境和數(shù)學(xué)的歷史根源。面考慮人類創(chuàng)造知識的環(huán)境和數(shù)學(xué)的歷史根源。 如果認(rèn)識

26、論僅注重單一靜態(tài)的知識形式，而忽略知識如果認(rèn)識論僅注重單一靜態(tài)的知識形式，而忽略知識發(fā)展的動態(tài)，那么它就不能恰當(dāng)?shù)亟忉屩R。發(fā)展的動態(tài)，那么它就不能恰當(dāng)?shù)亟忉屩R。 絕對主義觀和可誤主義觀比較絕對主義觀和可誤主義觀比較絕對主義觀：絕對主義觀：注重終結(jié)的或展現(xiàn)了的知識，以及知識的基礎(chǔ)和判定；注重終結(jié)的或展現(xiàn)了的知識，以及知識的基礎(chǔ)和判定； 把知識看作一種客觀成果的知識，常根本否定涉及知識把知識看作一種客觀成果的知識，常根本否定涉及知識發(fā)生的哲學(xué)合理性，并把知識發(fā)生問題推給心理學(xué)和社會科學(xué)（構(gòu)造主發(fā)生的哲學(xué)合理性，并把知識發(fā)生問題推給心理學(xué)和社會科學(xué)（構(gòu)造主義除外）。義除外）?？烧`主義觀：可誤主義

27、觀：注重知識發(fā)生和人類對創(chuàng)造知識的貢獻(xiàn)；注重知識發(fā)生和人類對創(chuàng)造知識的貢獻(xiàn)； 能認(rèn)識到出錯在數(shù)學(xué)中的作用能認(rèn)識到出錯在數(shù)學(xué)中的作用。絕對主義觀絕對主義觀 ： 數(shù)學(xué)（連同邏輯）占有作為唯一可靠知識領(lǐng)域的地數(shù)學(xué)（連同邏輯）占有作為唯一可靠知識領(lǐng)域的地位，數(shù)學(xué)只依賴嚴(yán)格的證明，同時還否認(rèn)數(shù)學(xué)與歷史、位，數(shù)學(xué)只依賴嚴(yán)格的證明，同時還否認(rèn)數(shù)學(xué)與歷史、知識發(fā)生以及人類環(huán)境條件相關(guān)的內(nèi)在聯(lián)系，這一切助知識發(fā)生以及人類環(huán)境條件相關(guān)的內(nèi)在聯(lián)系，這一切助長了把數(shù)學(xué)當(dāng)作單獨的分離學(xué)科的觀點。長了把數(shù)學(xué)當(dāng)作單獨的分離學(xué)科的觀點。 可誤主義觀可誤主義觀 ： 可誤主義把更多的內(nèi)容納入了數(shù)學(xué)哲學(xué)的范圍。由可誤主義把更多的內(nèi)

28、容納入了數(shù)學(xué)哲學(xué)的范圍。由于數(shù)學(xué)是可誤的，因此認(rèn)為數(shù)學(xué)絕不能與物理學(xué)及其他于數(shù)學(xué)是可誤的，因此認(rèn)為數(shù)學(xué)絕不能與物理學(xué)及其他科學(xué)的經(jīng)驗（因而是可誤的）知識相分離?？茖W(xué)的經(jīng)驗（因而是可誤的）知識相分離。 可誤主義注重數(shù)學(xué)知識的發(fā)生及結(jié)果，從而把數(shù)學(xué)可誤主義注重數(shù)學(xué)知識的發(fā)生及結(jié)果，從而把數(shù)學(xué)看作是歷史及人類實踐的組成部分。數(shù)學(xué)不能脫離人類看作是歷史及人類實踐的組成部分。數(shù)學(xué)不能脫離人類學(xué)和社會科學(xué)，或者一般地看作人類文化的一部分。數(shù)學(xué)和社會科學(xué)，或者一般地看作人類文化的一部分。數(shù)學(xué)與人類的整體知識結(jié)構(gòu)相關(guān)，是其不可分割的一部分。學(xué)與人類的整體知識結(jié)構(gòu)相關(guān)，是其不可分割的一部分。絕對主義觀絕對主義觀

29、 ： 數(shù)學(xué)是客觀存在，無所謂價值，僅涉及數(shù)學(xué)本身的數(shù)學(xué)是客觀存在，無所謂價值，僅涉及數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在邏輯。內(nèi)在邏輯。僅從數(shù)學(xué)內(nèi)部考慮問題，因此把數(shù)學(xué)當(dāng)作是僅從數(shù)學(xué)內(nèi)部考慮問題，因此把數(shù)學(xué)當(dāng)作是客觀的、絕對超道德的人性價值的知識。客觀的、絕對超道德的人性價值的知識。 可誤主義觀可誤主義觀 ： 數(shù)學(xué)充滿著像其他知識領(lǐng)域或人類奮斗一樣的人性數(shù)學(xué)充滿著像其他知識領(lǐng)域或人類奮斗一樣的人性價值。價值。 通過數(shù)學(xué)歷史和社會淵源，把數(shù)學(xué)與其他人類聯(lián)系通過數(shù)學(xué)歷史和社會淵源，把數(shù)學(xué)與其他人類聯(lián)系在一起，認(rèn)為數(shù)學(xué)賦有價值，充滿道德價值和社會價值，在一起，認(rèn)為數(shù)學(xué)賦有價值，充滿道德價值和社會價值，這些價值在數(shù)學(xué)應(yīng)用和

30、發(fā)展中發(fā)揮著重要作用。這些價值在數(shù)學(xué)應(yīng)用和發(fā)展中發(fā)揮著重要作用。 數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)解釋數(shù)學(xué)哲學(xué)應(yīng)解釋 （1 1）數(shù)學(xué)知識（它的本質(zhì)、判定和生成）；）數(shù)學(xué)知識（它的本質(zhì)、判定和生成）；一種合適的數(shù)學(xué)哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)：一種合適的數(shù)學(xué)哲學(xué)標(biāo)準(zhǔn)： 過去對數(shù)學(xué)哲學(xué)是研究數(shù)學(xué)知識的邏輯基礎(chǔ)的錯誤過去對數(shù)學(xué)哲學(xué)是研究數(shù)學(xué)知識的邏輯基礎(chǔ)的錯誤認(rèn)識掩蓋了數(shù)學(xué)哲學(xué)的上述任務(wù)。認(rèn)識掩蓋了數(shù)學(xué)哲學(xué)的上述任務(wù)。 （2 2）數(shù)學(xué)對象（它們的本質(zhì)和根源）；）數(shù)學(xué)對象（它們的本質(zhì)和根源）；（3 3）數(shù)學(xué)應(yīng)用（在科學(xué)、技術(shù)和其他領(lǐng)域中數(shù)學(xué)的有效性）；）數(shù)學(xué)應(yīng)用（在科學(xué)、技術(shù)和其他領(lǐng)域中數(shù)學(xué)的有效性）；（4 4）數(shù)學(xué)實踐（數(shù)學(xué)家的活動：現(xiàn)在的

31、和過去的）。）數(shù)學(xué)實踐（數(shù)學(xué)家的活動：現(xiàn)在的和過去的）。運用新標(biāo)準(zhǔn)對各哲學(xué)學(xué)派作進(jìn)一步分析：運用新標(biāo)準(zhǔn)對各哲學(xué)學(xué)派作進(jìn)一步分析： A 絕對主義學(xué)派絕對主義學(xué)派 他們的任務(wù)本應(yīng)解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)，包括解釋諸如數(shù)學(xué)他們的任務(wù)本應(yīng)解釋數(shù)學(xué)的本質(zhì)，包括解釋諸如數(shù)學(xué)運用和數(shù)學(xué)生成等外在的社會及歷史因素。由于三大學(xué)運用和數(shù)學(xué)生成等外在的社會及歷史因素。由于三大學(xué)派狹隘、排他的固有偏見，因而他們不可能以寬廣的思派狹隘、排他的固有偏見，因而他們不可能以寬廣的思路去構(gòu)想并表達(dá)數(shù)學(xué)（直覺主義可能除外）。他們不僅路去構(gòu)想并表達(dá)數(shù)學(xué)（直覺主義可能除外）。他們不僅不能達(dá)到自己選擇的基礎(chǔ)主義的目標(biāo)，而且即使達(dá)到了，不能達(dá)到自

32、己選擇的基礎(chǔ)主義的目標(biāo)，而且即使達(dá)到了，其數(shù)學(xué)哲學(xué)對于新標(biāo)準(zhǔn)來說仍是不夠恰當(dāng)?shù)?。其?shù)學(xué)哲學(xué)對于新標(biāo)準(zhǔn)來說仍是不夠恰當(dāng)?shù)摹?B進(jìn)步絕對主義（相對形式絕對主義而言）進(jìn)步絕對主義（相對形式絕對主義而言） 不同的絕對主義概念的關(guān)鍵在于它們對數(shù)學(xué)知識和理論不同的絕對主義概念的關(guān)鍵在于它們對數(shù)學(xué)知識和理論采取靜態(tài)還是動態(tài)觀。形式主義和邏輯主義是形式絕對主義，采取靜態(tài)還是動態(tài)觀。形式主義和邏輯主義是形式絕對主義，他們承認(rèn)在數(shù)學(xué)公理基礎(chǔ)上能夠發(fā)現(xiàn)和證明數(shù)學(xué)理論的新定他們承認(rèn)在數(shù)學(xué)公理基礎(chǔ)上能夠發(fā)現(xiàn)和證明數(shù)學(xué)理論的新定理。而他們既不觸及數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)造或變化，也不觸及非形理。而他們既不觸及數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)造或變化，也

33、不觸及非形式數(shù)學(xué)，更不用說觸及人類的作用。根據(jù)他們的觀點，數(shù)學(xué)式數(shù)學(xué)，更不用說觸及人類的作用。根據(jù)他們的觀點，數(shù)學(xué)不過由固定、形式的理論所組成。不過由固定、形式的理論所組成。 進(jìn)步絕對主義哲學(xué)：進(jìn)步絕對主義哲學(xué)：（1 1）接受公理理論的創(chuàng)造和變化；）接受公理理論的創(chuàng)造和變化；（2 2）由于需要數(shù)學(xué)直覺作為理論創(chuàng)造的基礎(chǔ)，因而）由于需要數(shù)學(xué)直覺作為理論創(chuàng)造的基礎(chǔ)，因而承認(rèn)純形式數(shù)學(xué)之外還有其他類型的數(shù)學(xué)存在；承認(rèn)純形式數(shù)學(xué)之外還有其他類型的數(shù)學(xué)存在；（3 3）承認(rèn)新知識和理論創(chuàng)造中人類活動和活動的結(jié)果。）承認(rèn)新知識和理論創(chuàng)造中人類活動和活動的結(jié)果。C 柏拉圖主義柏拉圖主義 柏拉圖主義觀把數(shù)學(xué)對象

34、當(dāng)作某個理念領(lǐng)域里的真柏拉圖主義觀把數(shù)學(xué)對象當(dāng)作某個理念領(lǐng)域里的真實、客觀存在。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和對象不依賴于人類而真實存實、客觀存在。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和對象不依賴于人類而真實存在，做數(shù)學(xué)即是發(fā)現(xiàn)這些結(jié)構(gòu)和對象的先驗存在關(guān)系的在，做數(shù)學(xué)即是發(fā)現(xiàn)這些結(jié)構(gòu)和對象的先驗存在關(guān)系的過程。數(shù)學(xué)知識是由這些對象以及對其關(guān)系和結(jié)構(gòu)的描過程。數(shù)學(xué)知識是由這些對象以及對其關(guān)系和結(jié)構(gòu)的描述所組成。述所組成。缺陷：缺陷： （1 1）沒有恰當(dāng)?shù)亟忉寯?shù)學(xué)家們?nèi)绾潍@得柏拉圖王國中）沒有恰當(dāng)?shù)亟忉寯?shù)學(xué)家們?nèi)绾潍@得柏拉圖王國中的知識；的知識； （2 2）既不內(nèi)在也不可外在地恰當(dāng)?shù)亟忉寯?shù)學(xué)。）既不內(nèi)在也不可外在地恰當(dāng)?shù)亟忉寯?shù)學(xué)。 真實性、客觀

35、存在性、似自主性真實性、客觀存在性、似自主性即數(shù)學(xué)服從于即數(shù)學(xué)服從于自身的內(nèi)在規(guī)律和邏輯）自身的內(nèi)在規(guī)律和邏輯） D 約定主義約定主義 數(shù)學(xué)約定主義觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識和真理基于語言數(shù)學(xué)約定主義觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識和真理基于語言約定。特別認(rèn)為邏輯和數(shù)學(xué)的真理性，可根據(jù)所涉及約定。特別認(rèn)為邏輯和數(shù)學(xué)的真理性，可根據(jù)所涉及的術(shù)語的意義加以分析。把語言約定作為基本數(shù)學(xué)定的術(shù)語的意義加以分析。把語言約定作為基本數(shù)學(xué)定理的根基，數(shù)學(xué)大廈建構(gòu)在這一根基上。它指明了數(shù)理的根基，數(shù)學(xué)大廈建構(gòu)在這一根基上。它指明了數(shù)學(xué)的基本社會性質(zhì)。學(xué)的基本社會性質(zhì)。 E 經(jīng)驗主義經(jīng)驗主義 數(shù)學(xué)真理是經(jīng)驗的概括。數(shù)學(xué)真理是經(jīng)驗的概括。

36、數(shù)學(xué)概念起源于經(jīng)驗。數(shù)學(xué)概念起源于經(jīng)驗。 數(shù)學(xué)真理可用經(jīng)驗來判斷，即數(shù)學(xué)真理來自于數(shù)學(xué)真理可用經(jīng)驗來判斷，即數(shù)學(xué)真理來自于對物理世界的觀察。對物理世界的觀察。F F 擬經(jīng)驗主義擬經(jīng)驗主義 數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的或曾經(jīng)做過的事情，它具有任數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的或曾經(jīng)做過的事情，它具有任何人類活動或創(chuàng)造所固有的不完善性。擬經(jīng)驗主義把何人類活動或創(chuàng)造所固有的不完善性。擬經(jīng)驗主義把數(shù)學(xué)實踐放在首位。數(shù)學(xué)實踐放在首位。 擬經(jīng)驗主義數(shù)學(xué)觀要點：擬經(jīng)驗主義數(shù)學(xué)觀要點： 數(shù)學(xué)是處理數(shù)學(xué)問題時人與人之間的對話。數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是處理數(shù)學(xué)問題時人與人之間的對話。數(shù)學(xué)是可誤的，決不可認(rèn)為數(shù)學(xué)結(jié)果（包括概念和證明）是可誤的，決不可認(rèn)為數(shù)

37、學(xué)結(jié)果（包括概念和證明）是最終的或完善的，它們可以嚴(yán)密性的標(biāo)準(zhǔn)的變化，是最終的或完善的，它們可以嚴(yán)密性的標(biāo)準(zhǔn)的變化，或隨著新的挑戰(zhàn)、新意義的產(chǎn)生，而需要重新商榷?；螂S著新的挑戰(zhàn)、新意義的產(chǎn)生，而需要重新商榷。由于數(shù)學(xué)是人類的活動，因此我們就不能把它與它的由于數(shù)學(xué)是人類的活動，因此我們就不能把它與它的歷史以及在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用割裂開來。歷史以及在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用割裂開來。擬經(jīng)驗主義代表著擬經(jīng)驗主義代表著“近代數(shù)學(xué)哲學(xué)中經(jīng)驗主義的復(fù)興近代數(shù)學(xué)哲學(xué)中經(jīng)驗主義的復(fù)興”。擬經(jīng)驗主義的五個觀點：擬經(jīng)驗主義的五個觀點： （1 1）數(shù)學(xué)是可誤的；）數(shù)學(xué)是可誤的；（2 2）數(shù)學(xué)是假設(shè)）數(shù)學(xué)是假設(shè)- -演繹的；演

38、繹的；（3 3）歷史是核心；）歷史是核心；（4 4）斷定非形式數(shù)學(xué)的首要性；）斷定非形式數(shù)學(xué)的首要性；（5 5）知識創(chuàng)造理論。）知識創(chuàng)造理論。 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)或非形式化數(shù)學(xué)理論的發(fā)展有一個簡單數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)或非形式化數(shù)學(xué)理論的發(fā)展有一個簡單模式，它包括下列步驟：模式，它包括下列步驟： （1 1）最初設(shè)想；）最初設(shè)想；（2 2）證明；）證明；（3 3）產(chǎn)生）產(chǎn)生“總體總體”反例（最初設(shè)想的反例）；反例（最初設(shè)想的反例）；（4 4）重新檢驗證明；）重新檢驗證明；（5 5）檢查其他定理的證明，以便觀察在這些證明中是否出）檢查其他定理的證明，以便觀察在這些證明中是否出現(xiàn)那個新發(fā)現(xiàn)的引理或那個新的產(chǎn)生于證明的概念；

39、或許現(xiàn)那個新發(fā)現(xiàn)的引理或那個新的產(chǎn)生于證明的概念；或許發(fā)現(xiàn)這個概念處于不同證明的交合處，出現(xiàn)這種情況帶有發(fā)現(xiàn)這個概念處于不同證明的交合處，出現(xiàn)這種情況帶有基本重要的意義；基本重要的意義；（6 6）檢驗?zāi)切┦芘g的最初設(shè)想的而迄今仍被承認(rèn)的結(jié)果；）檢驗?zāi)切┦芘g的最初設(shè)想的而迄今仍被承認(rèn)的結(jié)果；（7 7）反例變成新例子）反例變成新例子開辟新的研究領(lǐng)域。開辟新的研究領(lǐng)域。 LakatosLakatos的數(shù)學(xué)哲學(xué)的實質(zhì)在于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生論，的數(shù)學(xué)哲學(xué)的實質(zhì)在于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生論，這是數(shù)學(xué)實踐的理論，所以也是數(shù)學(xué)歷史的理論。這是數(shù)學(xué)實踐的理論，所以也是數(shù)學(xué)歷史的理論。 LakatosLakatos未指出

40、數(shù)學(xué)創(chuàng)造或發(fā)現(xiàn)的心理學(xué)理論，因未指出數(shù)學(xué)創(chuàng)造或發(fā)現(xiàn)的心理學(xué)理論，因為他沒有研究個體頭腦中的公理、定義和猜想的起因，為他沒有研究個體頭腦中的公理、定義和猜想的起因，而注重于將個人的創(chuàng)造轉(zhuǎn)換成大家承認(rèn)的公開的數(shù)學(xué)而注重于將個人的創(chuàng)造轉(zhuǎn)換成大家承認(rèn)的公開的數(shù)學(xué)知識這個過程知識這個過程一個主要包括批判和再形成的過程。一個主要包括批判和再形成的過程。 擬經(jīng)驗主義部分地論述了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、它的發(fā)擬經(jīng)驗主義部分地論述了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、它的發(fā)生和判定。生和判定。 LakatosLakatos把數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)解釋成假設(shè)把數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)解釋成假設(shè)演繹式演繹式的、擬經(jīng)驗的，形成了與波普爾的科學(xué)哲學(xué)極其想像的的、擬

41、經(jīng)驗的，形成了與波普爾的科學(xué)哲學(xué)極其想像的結(jié)果。結(jié)果。 LakatosLakatos哲學(xué)一個關(guān)鍵長處在于它不是規(guī)定性的哲學(xué)一個關(guān)鍵長處在于它不是規(guī)定性的而是表述性的，他努力表述數(shù)學(xué)的本來面目，而不是而是表述性的，他努力表述數(shù)學(xué)的本來面目，而不是表述它應(yīng)該如何加以實踐數(shù)學(xué)。表述它應(yīng)該如何加以實踐數(shù)學(xué)。 缺陷：沒有解釋數(shù)學(xué)的可靠性，沒有論述數(shù)學(xué)對缺陷：沒有解釋數(shù)學(xué)的可靠性，沒有論述數(shù)學(xué)對象或其發(fā)生的本質(zhì)，沒有解釋應(yīng)用數(shù)學(xué)的本質(zhì)，沒有象或其發(fā)生的本質(zhì)，沒有解釋應(yīng)用數(shù)學(xué)的本質(zhì)，沒有證實把數(shù)學(xué)史作為其數(shù)學(xué)哲學(xué)的實質(zhì)點的這種做法的證實把數(shù)學(xué)史作為其數(shù)學(xué)哲學(xué)的實質(zhì)點的這種做法的合理性。合理性。四、作為數(shù)學(xué)哲

42、學(xué)的社會建構(gòu)主義四、作為數(shù)學(xué)哲學(xué)的社會建構(gòu)主義 社會建構(gòu)主義將數(shù)學(xué)視為社會的建構(gòu)，它吸取了約定主社會建構(gòu)主義將數(shù)學(xué)視為社會的建構(gòu)，它吸取了約定主義的思想，承認(rèn)人類知識、規(guī)則和約定對數(shù)學(xué)真理的確定和義的思想，承認(rèn)人類知識、規(guī)則和約定對數(shù)學(xué)真理的確定和判定起著關(guān)鍵作用。判定起著關(guān)鍵作用。 它汲取擬經(jīng)驗主義的可誤主義認(rèn)識論，其中包括數(shù)學(xué)知它汲取擬經(jīng)驗主義的可誤主義認(rèn)識論，其中包括數(shù)學(xué)知識和概念是發(fā)展和變化的思想。識和概念是發(fā)展和變化的思想。 它還采納它還采納LakatosLakatos的哲學(xué)論點，即按照一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的的哲學(xué)論點，即按照一種數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯，數(shù)學(xué)知識在猜想和反駁中得到發(fā)展。邏輯，數(shù)學(xué)知識

43、在猜想和反駁中得到發(fā)展。 社會建構(gòu)主義相對規(guī)定性哲學(xué)來說是一種描述性數(shù)學(xué)社會建構(gòu)主義相對規(guī)定性哲學(xué)來說是一種描述性數(shù)學(xué)哲學(xué)，旨在合適的標(biāo)準(zhǔn)下解釋普遍所理解的數(shù)學(xué)的本質(zhì)。哲學(xué)，旨在合適的標(biāo)準(zhǔn)下解釋普遍所理解的數(shù)學(xué)的本質(zhì)。之所以采用社會建構(gòu)的說法，其依據(jù)是：之所以采用社會建構(gòu)的說法，其依據(jù)是： （1 1）數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)是語言知識、約定和規(guī)則，而）數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)是語言知識、約定和規(guī)則，而語言是一種社會建構(gòu)。語言是一種社會建構(gòu)。 （2 2）個人的主觀數(shù)學(xué)知識公布后轉(zhuǎn)化為使人接受的）個人的主觀數(shù)學(xué)知識公布后轉(zhuǎn)化為使人接受的客觀數(shù)學(xué)知識，這需要人際交往的社會過程?？陀^數(shù)學(xué)知識，這需要人際交往的社會過程。（

44、3 3）客觀性本身應(yīng)理解為社會的。）客觀性本身應(yīng)理解為社會的。 像擬經(jīng)驗主義一樣，社會建構(gòu)主義的核心是數(shù)學(xué)知識像擬經(jīng)驗主義一樣，社會建構(gòu)主義的核心是數(shù)學(xué)知識的生成，而不是數(shù)學(xué)知識的判定。的生成，而不是數(shù)學(xué)知識的判定。 新知識可以是主觀知識或客觀知識，其獨到之處在于新知識可以是主觀知識或客觀知識，其獨到之處在于同時考慮這兩種知識形式，并將主觀知識和客觀知識循環(huán)同時考慮這兩種知識形式，并將主觀知識和客觀知識循環(huán)聯(lián)系起來，其中每一個促進(jìn)另一個的更新。聯(lián)系起來，其中每一個促進(jìn)另一個的更新。 在這個循環(huán)中，新的主觀知識從主觀知識（個體的個在這個循環(huán)中，新的主觀知識從主觀知識（個體的個人創(chuàng)造）開始，經(jīng)發(fā)表

45、而形成客觀知識（通過主體間的審人創(chuàng)造）開始，經(jīng)發(fā)表而形成客觀知識（通過主體間的審視、再形成和接受）。視、再形成和接受）。 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中客觀知識被個體內(nèi)化和再建構(gòu)，成為在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中客觀知識被個體內(nèi)化和再建構(gòu)，成為個體的主觀知識。根據(jù)這個知識，個體創(chuàng)造并發(fā)表新的數(shù)學(xué)個體的主觀知識。根據(jù)這個知識，個體創(chuàng)造并發(fā)表新的數(shù)學(xué)知識，從而形成循環(huán)。知識，從而形成循環(huán)。 因此數(shù)學(xué)主觀知識和客觀知識彼此促成對方的產(chǎn)生和因此數(shù)學(xué)主觀知識和客觀知識彼此促成對方的產(chǎn)生和再產(chǎn)生。再產(chǎn)生。知識產(chǎn)生的社會建構(gòu)主義學(xué)說的基本假說：知識產(chǎn)生的社會建構(gòu)主義學(xué)說的基本假說： （1 1）個體具有主觀數(shù)學(xué)知識（再建構(gòu)的客觀知識和

46、）個體具有主觀數(shù)學(xué)知識（再建構(gòu)的客觀知識和新創(chuàng)造的主觀數(shù)學(xué)知識）。新創(chuàng)造的主觀數(shù)學(xué)知識）。 （2 2）發(fā)表是主觀數(shù)學(xué)知識變成客觀知識所必要的。）發(fā)表是主觀數(shù)學(xué)知識變成客觀知識所必要的。 （3 3）發(fā)表的數(shù)學(xué)知識歷經(jīng)）發(fā)表的數(shù)學(xué)知識歷經(jīng)LakatosLakatos所說的啟發(fā)式所說的啟發(fā)式過程變?yōu)榭陀^的知識（社會性的接受）。過程變?yōu)榭陀^的知識（社會性的接受）。 （4 4）啟發(fā)式過程取決于客觀標(biāo)準(zhǔn)（即審視、評判）啟發(fā)式過程取決于客觀標(biāo)準(zhǔn)（即審視、評判數(shù)學(xué)知識的標(biāo)準(zhǔn)）。數(shù)學(xué)知識的標(biāo)準(zhǔn)）。 （5 5）評判發(fā)表了的數(shù)學(xué)知識，其客觀標(biāo)準(zhǔn)是建）評判發(fā)表了的數(shù)學(xué)知識，其客觀標(biāo)準(zhǔn)是建立在客觀語言知識及數(shù)學(xué)知識的基

47、礎(chǔ)上。立在客觀語言知識及數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上。 （6 6）數(shù)學(xué)主觀知識根本上是內(nèi)化了的，再建構(gòu)了）數(shù)學(xué)主觀知識根本上是內(nèi)化了的，再建構(gòu)了的客觀知識。的客觀知識。 （7 7）在數(shù)學(xué)知識的增添、再建或再現(xiàn)方面，個人）在數(shù)學(xué)知識的增添、再建或再現(xiàn)方面，個人能夠發(fā)揮作用。能夠發(fā)揮作用。 1.1.客觀知識和主觀知識客觀知識和主觀知識 我們稱物質(zhì)世界為我們稱物質(zhì)世界為“第一世界第一世界”，我們的意識經(jīng)驗世界，我們的意識經(jīng)驗世界為為“第二世界第二世界”，書本、圖書館、電腦以及類似東西中的邏，書本、圖書館、電腦以及類似東西中的邏輯內(nèi)容為輯內(nèi)容為“第三世界第三世界”。 主觀知識是第二世界的知識，客觀知識是第三世界的

48、主觀知識是第二世界的知識，客觀知識是第三世界的知識，它包括人類思想的產(chǎn)物，如發(fā)表的定理、對這些定知識，它包括人類思想的產(chǎn)物，如發(fā)表的定理、對這些定理中有關(guān)問題的討論以及定理證明；客觀知識是由人創(chuàng)造理中有關(guān)問題的討論以及定理證明；客觀知識是由人創(chuàng)造的、是變化的。對于客觀知識是指共有的、主體間的知識，的、是變化的。對于客觀知識是指共有的、主體間的知識，即使是隱含、未充分表達(dá)清楚的也算在其中。即使是隱含、未充分表達(dá)清楚的也算在其中。 客觀數(shù)學(xué)知識的作用：客觀數(shù)學(xué)知識的作用： 根據(jù)社會建構(gòu)主義的看法，公開了的數(shù)學(xué)，即在公開根據(jù)社會建構(gòu)主義的看法，公開了的數(shù)學(xué)，即在公開領(lǐng)域中用符號表現(xiàn)的數(shù)學(xué)有可能成為客

49、觀知識。領(lǐng)域中用符號表現(xiàn)的數(shù)學(xué)有可能成為客觀知識。 把把LakatosLakatos的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)邏輯用于公開了的數(shù)學(xué)，這是一的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)邏輯用于公開了的數(shù)學(xué)，這是一個獲得社會承認(rèn)進(jìn)而獲得客觀性的過程。數(shù)學(xué)公理、定理、個獲得社會承認(rèn)進(jìn)而獲得客觀性的過程。數(shù)學(xué)公理、定理、猜想以及證明一旦形成并公開（即使是口頭上），自動的猜想以及證明一旦形成并公開（即使是口頭上），自動的（即社會承認(rèn)的）啟發(fā)即開始進(jìn)行。（即社會承認(rèn)的）啟發(fā)即開始進(jìn)行。 無論這個過程還是它的結(jié)果都是為社會所接受的，因無論這個過程還是它的結(jié)果都是為社會所接受的，因而是客觀的。同樣獲得社會性承認(rèn)的語言、邏輯約定和規(guī)而是客觀的。同樣獲得社會性承

50、認(rèn)的語言、邏輯約定和規(guī)則（隱含的或明確的）也是客觀的，這些約定和規(guī)則是啟則（隱含的或明確的）也是客觀的，這些約定和規(guī)則是啟發(fā)式過程的依據(jù)。發(fā)式過程的依據(jù)。 根據(jù)約定主義觀，我們斷言，正是這些約定和規(guī)則構(gòu)成根據(jù)約定主義觀，我們斷言，正是這些約定和規(guī)則構(gòu)成數(shù)學(xué)知識（包括邏輯）的基礎(chǔ)，因為它們提供了邏輯和數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)知識（包括邏輯）的基礎(chǔ)，因為它們提供了邏輯和數(shù)學(xué)定義的根據(jù)，同樣也提供了邏輯和數(shù)學(xué)公理及規(guī)則的依據(jù)。定義的根據(jù)，同樣也提供了邏輯和數(shù)學(xué)公理及規(guī)則的依據(jù)。數(shù)學(xué)主觀知識的作用：數(shù)學(xué)主觀知識的作用： 主觀知識維持并更新著客觀知識，不管是主觀知識維持并更新著客觀知識，不管是數(shù)學(xué)、邏輯或語言的知識。主

51、觀知識在社會建數(shù)學(xué)、邏輯或語言的知識。主觀知識在社會建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)中居于核心地位。構(gòu)主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)中居于核心地位。 2.2.社會建構(gòu)學(xué)說對數(shù)學(xué)的哲學(xué)解釋：社會建構(gòu)學(xué)說對數(shù)學(xué)的哲學(xué)解釋： A 數(shù)學(xué)的客觀性數(shù)學(xué)的客觀性 通過對絕對主義的有力批判，我們接受了數(shù)學(xué)知識的可通過對絕對主義的有力批判，我們接受了數(shù)學(xué)知識的可誤性。誤性。 數(shù)學(xué)知識的可誤性是社會建構(gòu)主義的核心假說，然而，數(shù)學(xué)知識的可誤性是社會建構(gòu)主義的核心假說，然而，人們?nèi)匀黄毡榘褦?shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)對象的客觀性作為數(shù)學(xué)的特人們?nèi)匀黄毡榘褦?shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)對象的客觀性作為數(shù)學(xué)的特性，所以任何一個數(shù)學(xué)哲學(xué)都必須對此作出解釋。性，所以任何一個數(shù)學(xué)哲學(xué)都

52、必須對此作出解釋。 我們已經(jīng)明確，客觀性應(yīng)理解為在于公眾，在于主體之我們已經(jīng)明確，客觀性應(yīng)理解為在于公眾，在于主體之間的約定，即客觀性是社會的。因此數(shù)學(xué)的客觀性即是說數(shù)間的約定，即客觀性是社會的。因此數(shù)學(xué)的客觀性即是說數(shù)學(xué)知識和對象是自主存在的，對于這個存在，主體間是有約學(xué)知識和對象是自主存在的，對于這個存在，主體間是有約定的，而與任何個體的主觀知識無關(guān)。定的，而與任何個體的主觀知識無關(guān)。為數(shù)學(xué)客觀性提供基礎(chǔ)的基質(zhì)是語言。為數(shù)學(xué)客觀性提供基礎(chǔ)的基質(zhì)是語言。B 數(shù)學(xué)對象數(shù)學(xué)對象 數(shù)學(xué)知識的客觀性是社會性的，它建立在人們對語言規(guī)則數(shù)學(xué)知識的客觀性是社會性的，它建立在人們對語言規(guī)則的接受上，而語言規(guī)

53、則是人們交流所必須的。的接受上，而語言規(guī)則是人們交流所必須的。 社會性接受也是數(shù)學(xué)對象獨立存在的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念和數(shù)社會性接受也是數(shù)學(xué)對象獨立存在的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)對象具有客觀實在性?？陀^的數(shù)學(xué)定義和真理明確決定數(shù)學(xué)學(xué)對象具有客觀實在性。客觀的數(shù)學(xué)定義和真理明確決定數(shù)學(xué)對象的規(guī)則和性質(zhì)。對象的規(guī)則和性質(zhì)。 這就使它們具有同其他社會概念一樣多的客觀存在意義。這就使它們具有同其他社會概念一樣多的客觀存在意義。正如普通語言術(shù)語具有社會存在意義一樣，數(shù)學(xué)對象通過數(shù)學(xué)正如普通語言術(shù)語具有社會存在意義一樣，數(shù)學(xué)對象通過數(shù)學(xué)知識的客觀性而獲得了穩(wěn)定性（即定義的穩(wěn)定性），接著又使知識的客觀性而獲得了穩(wěn)定性（

54、即定義的穩(wěn)定性），接著又使自己得到了永久性和客觀存在性。自己得到了永久性和客觀存在性。 數(shù)學(xué)對象的客觀性是不可避免地伴隨著對某些論題形式的數(shù)學(xué)對象的客觀性是不可避免地伴隨著對某些論題形式的承認(rèn)而來的本體論的承諾。承認(rèn)而來的本體論的承諾。 數(shù)學(xué)對象也有不同，從描述感知世界的自然語言中相數(shù)學(xué)對象也有不同，從描述感知世界的自然語言中相對具體的事物，到抽象的數(shù)學(xué)理論實體，許多東西離其基對具體的事物，到抽象的數(shù)學(xué)理論實體，許多東西離其基礎(chǔ)都相當(dāng)遠(yuǎn)了。礎(chǔ)都相當(dāng)遠(yuǎn)了。 許多初等數(shù)學(xué)術(shù)語和概念都是在現(xiàn)實世界中有實例和許多初等數(shù)學(xué)術(shù)語和概念都是在現(xiàn)實世界中有實例和具體的應(yīng)用，因為它們是用以描述自然（社會）世界的

55、語具體的應(yīng)用，因為它們是用以描述自然（社會）世界的語言的一部分。言的一部分。 用說明數(shù)學(xué)知識是客觀知識的同樣方式可以說明數(shù)學(xué)用說明數(shù)學(xué)知識是客觀知識的同樣方式可以說明數(shù)學(xué)對象是客觀的，它們是普通的語言對象，其中有些是具體對象是客觀的，它們是普通的語言對象，其中有些是具體的，但多數(shù)是抽象的。的，但多數(shù)是抽象的。 C 數(shù)學(xué)知識的發(fā)生數(shù)學(xué)知識的發(fā)生 承認(rèn)數(shù)學(xué)是社會建構(gòu)的，就是承認(rèn)客觀數(shù)學(xué)知識是人類承認(rèn)數(shù)學(xué)是社會建構(gòu)的，就是承認(rèn)客觀數(shù)學(xué)知識是人類的產(chǎn)物。的產(chǎn)物。 個體的數(shù)學(xué)思想是主觀思想，書寫是典型的表現(xiàn)形式。個體的數(shù)學(xué)思想是主觀思想，書寫是典型的表現(xiàn)形式。經(jīng)過公開的批判審視，一經(jīng)公布的主觀思想變成了

56、客觀思想，經(jīng)過公開的批判審視，一經(jīng)公布的主觀思想變成了客觀思想，其關(guān)鍵在于社會的接受。其關(guān)鍵在于社會的接受。 數(shù)學(xué)知識發(fā)生的決定性特征是從公開表示的（主觀）數(shù)學(xué)知識發(fā)生的決定性特征是從公開表示的（主觀）數(shù)學(xué)知識向客觀知識的轉(zhuǎn)換，即變成社會接受的數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)知識向客觀知識的轉(zhuǎn)換，即變成社會接受的數(shù)學(xué)知識。這一轉(zhuǎn)換取決于能否經(jīng)受公開審視和批判的過程。這一轉(zhuǎn)換取決于能否經(jīng)受公開審視和批判的過程。D 數(shù)學(xué)創(chuàng)造的多樣性數(shù)學(xué)創(chuàng)造的多樣性 某些知識的增加形成了內(nèi)容上的增加，而另外一些知某些知識的增加形成了內(nèi)容上的增加，而另外一些知識卻是現(xiàn)有知識的再構(gòu)造或再闡述。識卻是現(xiàn)有知識的再構(gòu)造或再闡述。 數(shù)學(xué)家是在

57、已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)理論下從事工作，許多工數(shù)學(xué)家是在已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)理論下從事工作，許多工作是在理論的現(xiàn)有方面發(fā)展新結(jié)果，或把理論中的現(xiàn)有方作是在理論的現(xiàn)有方面發(fā)展新結(jié)果，或把理論中的現(xiàn)有方法用于一些問題。法用于一些問題。 如果這些工作富有成果，那么就會使數(shù)學(xué)知識在整體如果這些工作富有成果，那么就會使數(shù)學(xué)知識在整體上有所增加。上有所增加。 數(shù)學(xué)家還把一個理論中的概念和方法用于另一個理論，數(shù)學(xué)家還把一個理論中的概念和方法用于另一個理論，或設(shè)法使以前分隔開存在的理論有所聯(lián)系。或設(shè)法使以前分隔開存在的理論有所聯(lián)系。 這些工作使分隔的數(shù)學(xué)間形成了新的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，這就這些工作使分隔的數(shù)學(xué)間形成了新的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，這就

58、形成了新的數(shù)學(xué)再構(gòu)造。如果在新的聯(lián)系作用下，兩個理形成了新的數(shù)學(xué)再構(gòu)造。如果在新的聯(lián)系作用下，兩個理論被重新構(gòu)造、重獲闡述并緊密地結(jié)合起來，那么這個工作論被重新構(gòu)造、重獲闡述并緊密地結(jié)合起來，那么這個工作就值得考慮了。就值得考慮了。 最后在某些往往是為了解決某個問題的理論研究中，最后在某些往往是為了解決某個問題的理論研究中，會產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)理論，這些可能是額外的新理論，也可能會產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)理論，這些可能是額外的新理論，也可能把先前的理論納入更大的、更一般的（普遍）的理論中去，把先前的理論納入更大的、更一般的（普遍）的理論中去，像這樣逐步走向更抽象和更一般化，是數(shù)學(xué)知識再建構(gòu)的像這樣逐步走向更抽象

59、和更一般化，是數(shù)學(xué)知識再建構(gòu)的主要因素。因為越一般化的理論其運用范圍越廣，一些專主要因素。因為越一般化的理論其運用范圍越廣，一些專門的前期理論可以歸入更一般的結(jié)構(gòu)中去（如集合論）。門的前期理論可以歸入更一般的結(jié)構(gòu)中去（如集合論）。E E 數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性 社會建構(gòu)主義要成為恰當(dāng)?shù)睦碚?，就必須解釋社會建?gòu)主義要成為恰當(dāng)?shù)睦碚?，就必須解釋“?shù)學(xué)在數(shù)學(xué)在科學(xué)中不可思議的有效性科學(xué)中不可思議的有效性”（WignerWigner,1960,1960）。）。 社會建構(gòu)主義可以從以下兩個方面解釋數(shù)學(xué)的（實際）社會建構(gòu)主義可以從以下兩個方面解釋數(shù)學(xué)的（實際）可應(yīng)用性：可應(yīng)用性：（1 1）數(shù)學(xué)建立在

60、我們經(jīng)驗的自然語言基礎(chǔ)上；）數(shù)學(xué)建立在我們經(jīng)驗的自然語言基礎(chǔ)上； （2 2）擬經(jīng)驗主義的數(shù)學(xué)觀說明了數(shù)學(xué)與經(jīng)驗科學(xué)無論如何）擬經(jīng)驗主義的數(shù)學(xué)觀說明了數(shù)學(xué)與經(jīng)驗科學(xué)無論如何沒什么多大差別。沒什么多大差別。 人們?nèi)绾潍@取主觀知識包括語言知識？人們?nèi)绾潍@取主觀知識包括語言知識？兩大要點：兩大要點： 第一，在經(jīng)驗以往知識的基礎(chǔ)上，存在著知識的主第一，在經(jīng)驗以往知識的基礎(chǔ)上，存在著知識的主動建構(gòu)，典型的有概念和假設(shè)，它們?yōu)槔斫獯蛳禄A(chǔ)，動建構(gòu)，典型的有概念和假設(shè)，它們?yōu)槔斫獯蛳禄A(chǔ)，并指導(dǎo)未來的行為。并指導(dǎo)未來的行為。 第二，在實際行動和講話模式中，人的經(jīng)驗以及物第二，在實際行動和講話模式中，人的經(jīng)驗以