1、數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法第六章第六章數(shù)值積分和數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分和數(shù)值微分 2n如果函數(shù)如果函數(shù)f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上連續(xù)，且原函數(shù)為上連續(xù)，且原函數(shù)為F(x)，則可用牛頓，則可用牛頓萊布尼茲公式求定積分萊布尼茲公式求定積分 n從理論上來說，任何可積函數(shù)都有原函數(shù)，但從理論上來說，任何可積函數(shù)都有原函數(shù)，但對有些函數(shù)來說，找到原函數(shù)往往很困難對有些函數(shù)來說，找到原函數(shù)往往很困難 )()()(aFbFdxxfba2sin xxln1xxsin2xedxeax023n有的被積函數(shù)盡管能用初等函數(shù)的有限形式表有的被積函數(shù)盡管能用初等函數(shù)的有限形式表示出來，但表達(dá)式過于復(fù)雜，也不便使用示出來，

2、但表達(dá)式過于復(fù)雜，也不便使用 n在實際問題中，更多的函數(shù)是用表格或圖形表在實際問題中，更多的函數(shù)是用表格或圖形表示的，對這種函數(shù)，更無法用牛頓示的，對這種函數(shù)，更無法用牛頓萊布尼萊布尼茲公式求積分茲公式求積分 n數(shù)值積分的基本思想是構(gòu)造一個簡單函數(shù)數(shù)值積分的基本思想是構(gòu)造一個簡單函數(shù)Pn (x)（代數(shù)插值函數(shù)，容易積分）來近似代替被積（代數(shù)插值函數(shù)，容易積分）來近似代替被積分函數(shù)分函數(shù)f (x)，然后通過求，然后通過求 求得求得 的近似值的近似值 bandxxP)(badxxf)(4n將積分區(qū)間細(xì)分，在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函將積分區(qū)間細(xì)分，在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是

3、數(shù)值積分的數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想思想n用代數(shù)多項式去代替被積函數(shù)進(jìn)行積分是本章用代數(shù)多項式去代替被積函數(shù)進(jìn)行積分是本章討論的數(shù)值積分的主要內(nèi)容討論的數(shù)值積分的主要內(nèi)容 n本章的另一個內(nèi)容是數(shù)值微分，如果函數(shù)以表本章的另一個內(nèi)容是數(shù)值微分，如果函數(shù)以表格的形式給出，或函數(shù)的表達(dá)式過于復(fù)雜時，格的形式給出，或函數(shù)的表達(dá)式過于復(fù)雜時，就要使用數(shù)值方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分就要使用數(shù)值方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分 56.1 數(shù)值積分概述數(shù)值積分概述n數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想n代數(shù)精度代數(shù)精度 n插值求積公式插值求積公式n構(gòu)造插值求積公式的步驟構(gòu)造插值求積公式的步驟 66.1.1

4、 數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想n積分的幾何意義積分的幾何意義n在幾何意義上可解釋為由在幾何意義上可解釋為由x=a, x=b, y=0, y=f(x)所圍所圍成的曲邊梯形的面積成的曲邊梯形的面積 n積分的近似計算公式（數(shù)值求積公式）積分的近似計算公式（數(shù)值求積公式）n梯形公式（用直線代替曲邊）梯形公式（用直線代替曲邊） n左矩形公式左矩形公式( )( )( )d()2baf af bIf xxbabaabafdxxf)()(76.1.1 數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想86.1.1 數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想n中矩形公式中矩形公式n拋物公式，又稱辛普森（拋物公式，又稱辛普森

5、（Simpson）公式）公式 )2()()(babafabdxxf()( )d ( )4 ()( )62babaabIf xxf aff b96.1.1 數(shù)值積分的基本思想數(shù)值積分的基本思想n數(shù)值求積方法數(shù)值求積方法n取取a，b內(nèi)若干節(jié)點內(nèi)若干節(jié)點 處的高度處的高度 通過加權(quán)平通過加權(quán)平均的方法近似地得出積分值均的方法近似地得出積分值n求積公式的截斷誤差或余項求積公式的截斷誤差或余項n數(shù)值求積方法的特點數(shù)值求積方法的特點 n直接利用積分區(qū)間直接利用積分區(qū)間a, b上一些離散結(jié)點的函數(shù)值上一些離散結(jié)點的函數(shù)值進(jìn)行線性組合來近似計算定積分的值進(jìn)行線性組合來近似計算定積分的值 kx()kf x0(

6、)()nbkkakf x dxA f xbankkkxfAdxxffR0)()(106.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度n例：設(shè)積分區(qū)間例：設(shè)積分區(qū)間a, b為為0, 2 n梯形公式梯形公式n辛普森公式辛普森公式n取取 時，梯形公式和辛普森公式的計時，梯形公式和辛普森公式的計算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較如下表所示算結(jié)果與準(zhǔn)確值比較如下表所示 20)2()0()(ffdxxf)2() 1 (4)0(31)(20fffdxxf432, 1)(xxxxxf116.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度n定義：求積公式定義：求積公式 對于對于 均準(zhǔn)確成立，即均準(zhǔn)確成立，即 而對于而對于 不能不能準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有準(zhǔn)確成立，

7、則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 0( )d()nbkkakf xxA f xmxxxxf,., 1)(2mmxaxaxaaxf.)(2210 0R f 1)(mxxf126.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度n求積公式求積公式 具有具有m次代數(shù)精度的條件次代數(shù)精度的條件n代數(shù)精度越高，求積公式越精確代數(shù)精度越高，求積公式越精確 n梯形公式和中矩形公式具有梯形公式和中矩形公式具有1次代數(shù)精度，辛普森次代數(shù)精度，辛普森公式具有公式具有3次代數(shù)精度次代數(shù)精度 0( )()nbkkakf x dxA f x 0220110( )1,1( ),()2 1( ),()1nkknkkknmmmmkkkf

8、 xAbaf xxA xbaf xxA xbam136.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度n凡至少具有零次代數(shù)精度的求積公式一定滿足凡至少具有零次代數(shù)精度的求積公式一定滿足f(x)=1時，等式兩端相等時，等式兩端相等 即即n求積系數(shù)的基本特征：求積系數(shù)之和等于積分區(qū)間求積系數(shù)的基本特征：求積系數(shù)之和等于積分區(qū)間長度長度 bankkAdx011nkkabA0146.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度n代數(shù)精度和結(jié)點的關(guān)系代數(shù)精度和結(jié)點的關(guān)系n定理：對于給定的定理：對于給定的n+1個（相異）節(jié)點個（相異）節(jié)點 總存在求積系數(shù)總存在求積系數(shù) 使求積公式使求積公式 至少有至少有n次的代數(shù)精度次的代數(shù)精度 n證：令證：令

9、，使求積公式，使求積公式 準(zhǔn)確成立，即準(zhǔn)確成立，即,0,1,kx kn,0,1,kA kn0( )d()nbkkakf xxA f x2( )1, ,nf xx xx0( )d()nbkkakf xxA f x156.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度 當(dāng)節(jié)點當(dāng)節(jié)點 互異時，互異時， 有唯一解有唯一解 0122001 111001 11()2 1()1nnnnnnnnnnAAAbaA xA xA xbaA xA xA xbankx,0,1,kA kn166.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度n用代數(shù)精度為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造求積公式，即由節(jié)點數(shù)用代數(shù)精度為標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造求積公式，即由節(jié)點數(shù)寫出求積公式寫出求積公式 n例：給定兩個結(jié)

10、點例：給定兩個結(jié)點a、b，其對應(yīng)的函數(shù)值，其對應(yīng)的函數(shù)值f(a)、f(b)，求積公式求積公式 兩個結(jié)點至少有一次代數(shù)精度，當(dāng)兩個結(jié)點至少有一次代數(shù)精度，當(dāng) 時，時，求積公式準(zhǔn)確成立，即有求積公式準(zhǔn)確成立，即有babfAafAdxxf)()()(10 xxf, 1)(176.1.2 代數(shù)精度代數(shù)精度 通過上面兩個方程，解出通過上面兩個方程，解出 所以構(gòu)造出求積公式所以構(gòu)造出求積公式)(21221010abbAaAabAA210abAA)()(2)(bfafabdxxfba186.1.3 插值求積公式插值求積公式n插值求積公式插值求積公式n設(shè)已知函數(shù)設(shè)已知函數(shù) ,給定節(jié)點給定節(jié)點 及函數(shù)值及函數(shù)值

11、 n構(gòu)造構(gòu)造n次插值多項式次插值多項式 ，其對應(yīng)插值型求積公式，其對應(yīng)插值型求積公式n將將( )f x012naxxxxbL()kf x( )P x0( )d( )d()nbbkkaakf xxP xxA f x0( )() ( )nkkkP xf x lx代入，有0( )d( )d() ( )nbbbkkaaakf xxP x xf x lx xd196.1.3 插值求積公式插值求積公式n求積系數(shù)求積系數(shù)n定義：求積公式定義：求積公式 ，其系數(shù)，其系數(shù) 時，則稱求積公式為插值求積公式時，則稱求積公式為插值求積公式 00()( )()nnbkkkkakkf xlx xf xAd( )bkkaA

12、lx xd0( )d()nbkkakf xxA f x ( )bkkaAlx xd206.1.3 插值求積公式插值求積公式n復(fù)雜函數(shù)復(fù)雜函數(shù) 積分轉(zhuǎn)化為計算多項式積分積分轉(zhuǎn)化為計算多項式積分n求積系數(shù)求積系數(shù) 只與區(qū)間和節(jié)點有關(guān)，而與被只與區(qū)間和節(jié)點有關(guān)，而與被積函數(shù)無關(guān)，可預(yù)先算定積函數(shù)無關(guān)，可預(yù)先算定 n求積系數(shù)之和為區(qū)間長度求積系數(shù)之和為區(qū)間長度 nn+1個節(jié)點的插值求積公式至少具有個節(jié)點的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度 ( )f x( )bkkaAlx xd0nkkAba216.1.3 插值求積公式插值求積公式n兩點公式兩點公式 n構(gòu)造以構(gòu)造以a，b為結(jié)點的線性插值多項式為

13、結(jié)點的線性插值多項式 )()()(1bfabaxafbabxxP)()()(21)(21)()(21)()()()()()()()(221bfafabababbfbabaafdxaxabbfdxbxbaafdxbfabaxafbabxdxxPTbabababa226.1.3 插值求積公式插值求積公式n三點公式三點公式 n以以a， ，b為節(jié)點，構(gòu)造二次插值多項式為節(jié)點，構(gòu)造二次插值多項式2bac)()()( )()()()()()()(2bfcbabcxaxcfbcacbxaxafbacabxcxxP)()()()()()( )()()()()()()(2102bfcfafdxcbabcxaxb

14、fdxbcacbxaxcfdxbacabxcxafdxxPSbabababa236.1.3 插值求積公式插值求積公式n其中其中)(61)()(2)(31)(1)()(1)()(1)()(223320ababbccbababbacadxbcxcbxbacadxbxcxbacadxbacabxcxbababa246.1.3 插值求積公式插值求積公式n類似地，可求得類似地，可求得n得三點公式得三點公式 )(64)()(1abdxbcacbxaxba)(61)()(2abdxcbabcxaxba)()(4)(6bfcfafabS256.1.3 插值求積公式插值求積公式n插值求積公式的余項插值求積公式的

15、余項n設(shè)插值求積公式的余項為設(shè)插值求積公式的余項為Rf，由插值余項定理得，由插值余項定理得 n由此可知，如果函數(shù)由此可知，如果函數(shù)f(x)為次數(shù)小于或等于為次數(shù)小于或等于n的多項的多項式，則式，則Rf0，且，且 bankkkxfAdxxf0)()(dxxnfdxxPxfdxxpdxxffRbabanbaba)()!1()()()()()()1(266.1.3 插值求積公式插值求積公式n定理定理: n+1個節(jié)點的求積公式個節(jié)點的求積公式 至少具有至少具有 n 次代數(shù)精度的充要條件是該公式是次代數(shù)精度的充要條件是該公式是插值求積公式插值求積公式 0( )d()nbkkakf xxA f x276.

16、1.3 插值求積公式插值求積公式n例：考察求積公式例：考察求積公式 的代數(shù)精度的代數(shù)精度n解：設(shè)解：設(shè)f(x)=1， 公式左邊公式左邊 公式右邊公式右邊)1 ()0(2) 1(21)(11fffdxxf1121dx2) 121 (21286.1.3 插值求積公式插值求積公式 設(shè)設(shè)f(x)=x 公式左邊公式左邊 公式右邊公式右邊 設(shè)設(shè)f(x)=x2 公式左邊公式左邊 公式右邊公式右邊 110 xdx0) 1021(2111232dxx1) 1021 (21296.1.4 構(gòu)造插值求積公式的步驟構(gòu)造插值求積公式的步驟n插值求積公式的步驟插值求積公式的步驟n在在a, b上選節(jié)點上選節(jié)點 n求求 和和

17、n利用利用 ，或，或n解關(guān)于解關(guān)于 的線性方程組求出的線性方程組求出 ，得到，得到n用用 ，驗證精度，驗證精度 kx()kf x( )dbkkaAlxxkAkA0( )()nbkkakf x dxA f x1( ),nf xx306.1.4 構(gòu)造插值求積公式的步驟構(gòu)造插值求積公式的步驟n例：對例：對 ，構(gòu)造一個至少有，構(gòu)造一個至少有3次代數(shù)精度次代數(shù)精度的求積公式的求積公式 n解：解：4個節(jié)點至少有個節(jié)點至少有3次代數(shù)精度，在次代數(shù)精度，在0,3上選上選0，1，2，3 利用利用 有有 30( )df xx( )dbkkaAlxx330000(1)(2)(3)3( )dd(0 1)(02)(03

18、)8xxxAl xxx12393,88AAA316.1.4 構(gòu)造插值求積公式的步驟構(gòu)造插值求積公式的步驟n例：例： 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明其代數(shù)精度數(shù)精度盡量高，并指明其代數(shù)精度 n解：解： 因為求積公式有因為求積公式有 3個未知數(shù)，設(shè)求積個未知數(shù)，設(shè)求積公式對于公式對于 均準(zhǔn)確成立，有均準(zhǔn)確成立，有 hhhfAfAhfAxxf)()0()(d)(101,1, 01AAA2( )1, ,f xx x10111223112000(2/3)AAAhhAhAh Ah Ah326.1.4 構(gòu)造插值求積公式的步驟構(gòu)造插值求積公式的步驟

19、 解之，得解之，得 于是有求積公式于是有求積公式 其代數(shù)精度至少為其代數(shù)精度至少為2次次 將將 代入求積公式，左邊右邊代入求積公式，左邊右邊0，公式準(zhǔn)確，公式準(zhǔn)確成立。將成立。將 代入求積公式，左邊代入求積公式，左邊 ， 右邊右邊 ，公式不準(zhǔn)確成立。所以求積公式的代數(shù)精，公式不準(zhǔn)確成立。所以求積公式的代數(shù)精度為度為3次。次。101141,333Ah Ah Ahhhhfhfhhfhxxf)(3)0(34)(3d)(3( )f xx4( )f xx525h523h336.1.4 構(gòu)造插值求積公式的步驟構(gòu)造插值求積公式的步驟n例：確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代例：確定下列求積公式中的待定參數(shù)，

20、使其代數(shù)精度盡量高，并指明其代數(shù)精度數(shù)精度盡量高，并指明其代數(shù)精度 n例：確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代例：確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明其具有的代數(shù)精度數(shù)精度盡量高，并指明其具有的代數(shù)精度 21012( )d()(0)( )hhf xxA fhA fA f h)2()()0(d)(23010hfAhfAfAxxfh346.2 牛頓柯特斯公式牛頓柯特斯公式n公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出 n牛頓柯特斯公式的代數(shù)精度牛頓柯特斯公式的代數(shù)精度 n梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項n牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性 n復(fù)化求積法復(fù)化求積法356.2

21、.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出n牛頓柯特斯公式牛頓柯特斯公式n插值求積公式在積分區(qū)間上，所取結(jié)點是等距時稱插值求積公式在積分區(qū)間上，所取結(jié)點是等距時稱為牛頓柯特斯公式為牛頓柯特斯公式 n插值求積公式中插值求積公式中n取取 ，且節(jié)點等距，且節(jié)點等距， 稱柯特斯系數(shù)稱柯特斯系數(shù) n將積分區(qū)間將積分區(qū)間a, b n等分，得牛頓等分，得牛頓-柯特斯公式柯特斯公式( )bkkaAlx dx0()( )dd()()()nbbiaaikikkikxxxxxxxxxx1kkcAbakc0( )d()()nbkkakf xxbac f x366.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出n柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù) 的求取的求取 n將

22、積分區(qū)間將積分區(qū)間a, b n等分，有步長等分，有步長 ，節(jié)點，節(jié)點 n作變換作變換 0( )d()()nbkakf xxbac f akhbahnkcbahnkxakhxathixaih00011ddnnbnikaiikii ki kxxathaihcxh tbaxxnhakhaih001dnnkii ktictnki0,1,knnk,.1 , 0376.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出n或或00( 1)()d()! !nknnkiikctitn nkk1001111,0,d1012tnkct1101011,d1102tkct20011212,0,d20 1026ttnkct21010221,d

23、210 123ttkct22010112,d220 2 16ttkct386.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出n柯特斯求積系數(shù)表柯特斯求積系數(shù)表 n 11/21/2 21/64/61/6 31/83/83/81/8 47/9016/452/1516/457/90 519/28825/9625/14425/14425/9619/288 641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840 7751/172803577/172801323/172802989/172802989/172801323/172803577/17280751/17280 8989/283505888/2

24、8350-928/2835010496/28350-4540/2835010496/28350-928/283505888/28350989/283500c1c2c3c5c4c6c7c8c396.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出n柯特斯系數(shù)的性質(zhì)柯特斯系數(shù)的性質(zhì) n柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù)Ck之和為之和為1，即，即 n柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù)Ck具有對稱性，即具有對稱性，即CkCn-k n柯特斯系數(shù)有時為負(fù)柯特斯系數(shù)有時為負(fù) nkkC01 babaknkbaknknkkdxabdxxlabdxxlabC111)(1)(1000406.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出n常用的低階牛頓柯特斯公式常用的低階牛頓柯特

25、斯公式n當(dāng)當(dāng)n=1時時, 有有 梯形公式梯形公式 相當(dāng)于用直線相當(dāng)于用直線P(x)代替代替f(x)計算積分計算積分 0111()()22baf x dxbaf xf x( ( )( )2baTf af b416.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出426.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出n當(dāng)當(dāng)n=2時有時有 拋物線拋物線(辛普森辛普森)公式公式 相當(dāng)于用過兩個端點和中點的二次相當(dāng)于用過兩個端點和中點的二次 拋物線拋物線P(x)代替代替f(x)計算積分計算積分 012141()()()666baf x dxbaf xf xf x ( )4 ()( )62baabSf aff b436.2.1 公式的導(dǎo)出公式

26、的導(dǎo)出446.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出n當(dāng)當(dāng)n=4時有時有 n柯特斯公式柯特斯公式 012347162167()( )()()()9045154590baf x dxbaf xf xf xf xf x012347162167()()()()()9045154590Cbaf xf xf xf xf x456.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出n例：用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式求例：用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式求積分積分 ，并與精確值比較，并與精確值比較n解：梯形公式解：梯形公式 辛普森公式辛普森公式10dexx859. 1718. 321ee201de0110 xx1101201 01

27、e d(e4 ee )10.313171.7188666xx 466.2.1 公式的導(dǎo)出公式的導(dǎo)出 柯特斯公式柯特斯公式 4, 4 , 3 , 2 , 1 , 0,abhkkhaxk1,43,21,41, 043210 xxxxx11310142401 0e d7 e32 e12 e32 e7 e901154.645441.7182890 xx 476.2.2 牛頓柯特斯公式的代數(shù)精度牛頓柯特斯公式的代數(shù)精度n定理：當(dāng)定理：當(dāng)n是偶數(shù)時，牛頓柯特斯求積公式是偶數(shù)時，牛頓柯特斯求積公式具有具有n+1次代數(shù)精確度次代數(shù)精確度 n梯形公式，梯形公式， n=1( 2個節(jié)點）個節(jié)點）,有有1次代數(shù)精度次

28、代數(shù)精度 n辛普森（拋物線）公式，辛普森（拋物線）公式，n=2 ( 3個節(jié)點）個節(jié)點）,有有3次次代數(shù)精度代數(shù)精度 n柯氏公式，柯氏公式，n=4 ( 5個節(jié)點）個節(jié)點）,有有5次代數(shù)精度。因次代數(shù)精度。因為其代數(shù)精度高，所以常采用為其代數(shù)精度高，所以常采用 486.2.2 牛頓柯特斯公式的代數(shù)精度牛頓柯特斯公式的代數(shù)精度例 用牛頓-科特斯公式計算定積分10dsinxxxI。 解解 對區(qū)間1 , 0用梯形公式，xxxfsin)(，1)0(f，8414710. 0) 1 (f。所以，1n ,1(0)(1)0.92073552Tff 9588510. 0)21(f，2n ,11 (0)4 ( )(1

29、)0.946135962Sfff， 4,0.9460830nC 496.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項n梯形公式的截斷誤差梯形公式的截斷誤差n定理（梯形公式的余項）：設(shè)定理（梯形公式的余項）：設(shè)f(x)在在a, b上具有連上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的余項（誤差續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的余項（誤差)n證：在求積區(qū)間證：在求積區(qū)間a, b上，設(shè)上，設(shè) （M2 0，常數(shù)），在常數(shù)），在a點附近將點附近將f (x)展成泰勒級數(shù)展成泰勒級數(shù)),(, )(12)()(31bafabfR 2)(Mxf baaxfaxafafxf 2)(! 21)( )()(506.2.3

30、 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項 另一方面，注意到另一方面，注意到 322*)(61)( )(21)()()(! 21)( )()(abfafabafabdxaxfaxafafdxxfIbaba 2)(21)( )()(abfabafafbf 322)(41)( 21)()()(21)( )(22)()(2abfabafafababfabafafabbfafabT 516.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項 梯形公式的截斷誤差為梯形公式的截斷誤差為 3*)(121abfTI 32*)(12abMTI526.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公

31、式和辛普森公式的余項例例 證梯形公式的代數(shù)精度為證梯形公式的代數(shù)精度為1。 證明證明 梯形公式是梯形公式是 ( )d( ( )( )2babaf xxf af b),(, )(12)()(31bafabfR 誤差誤差 當(dāng)當(dāng)f(x)=1,x 時，時，R1 (f ) = 0, 梯形公式成為準(zhǔn)確等式梯形公式成為準(zhǔn)確等式. 當(dāng)當(dāng)f(x)=x2 時，根據(jù)梯形公式，時，根據(jù)梯形公式， R1 (f )不為零。不為零。因此，梯形公式的代數(shù)精度為因此，梯形公式的代數(shù)精度為1。536.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項n辛普森公式的截斷誤差辛普森公式的截斷誤差 n定理：定理： （辛普森公

32、式的余項）設(shè)（辛普森公式的余項）設(shè)f(x)在在a, b上具上具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛普森公式的余項有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛普森公式的余項n證：假設(shè)在區(qū)間證：假設(shè)在區(qū)間a, b上，上， （M4 0，常，常數(shù)）在數(shù)）在 附近，將附近，將f (x)展成泰勒級數(shù)展成泰勒級數(shù)),(, )(2880)()()4(52bafabfR 4)4()(Mxf2bacbacxfcxcfcxcfcxcfcfxf 4)4(32)(! 41)(! 31)(21)( )()(546.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項 另一方面另一方面5)4(34)4(32*2)(6012)(31)()(! 41)(

33、! 31)(21)( )()( abfabcfabcfdxcxfcxcfcxcfcxcfcfdxxfIbaba4)4(322)(2412)(6122)(2)( )()( abfabcfabcfabcfcfaf556.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項 從而從而4)4(322)(! 412)(! 3122)(2)( )()( abfabcfabcfabcfcfbf5)4(34)4(22)(3612)(31)(2)(1212)()(4)(26)()(4)(6 abfabcfabcfabfabcfcfcfabbfcfafabS566.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公

34、式和辛普森公式的余項 截斷誤差限為截斷誤差限為 5)4(5)4(5)4(*2)(9012)(3612)(601abfabfabfSI54*290abMSI576.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項例例 證明辛普森公式的代數(shù)精度為證明辛普森公式的代數(shù)精度為3。 證明證明辛普森公式是辛普森公式是 誤差誤差 當(dāng)當(dāng)f(x)=1,x,x2,x3 時，時，R2 ( f ) = 0,辛普森公式成為準(zhǔn)確等式辛普森公式成為準(zhǔn)確等式. 當(dāng)當(dāng)f(x)=x4 時，時，因此，辛普森公式的代數(shù)精確度為因此，辛普森公式的代數(shù)精確度為3。( )d( ( )4 ()( )62babaabf xxf a

35、ff b),(, )(2880)()()4(52bafabfR !42880)()(52abfR 0，辛普森公式不能準(zhǔn)確成立。，辛普森公式不能準(zhǔn)確成立。586.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項n定理定理 （柯特斯公式的余項）：設(shè)（柯特斯公式的余項）：設(shè)f(x)在在a, b上上具有連續(xù)的六階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯公式的余項具有連續(xù)的六階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯公式的余項7(6)48( )()( ),( , )9454baRffa b 596.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項導(dǎo)出左矩形公式baafabxxf)()(d)(的余項。 解解 將)(xf在ax 處進(jìn)行

36、泰勒展開，)()()(axfafxf 其中ba,，且依賴于x，即)(f是依賴于x的連續(xù)函數(shù)。 對上式兩邊在ba,上積分，有babababaxaxfafabxaxfxafxxfd)()()(d)(d)(d)( 606.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項左矩形公式的余項 babaLxaxfafabxxfRd)()()(d)( ax 在ba,上不變號，由廣義積分中值定理知，至少有一點ba,，使babaLxaxfxaxfRd)()(d)( 即 21( )() , , 2LRfbaa b 616.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項n例：用梯形公式、辛普

37、森公式計算積分例：用梯形公式、辛普森公式計算積分 的近似值，并估計余項的近似值，并估計余項 n解：用梯形公式計算解：用梯形公式計算dxex2111835. 2)(21221211eeTdxexxxxexxxfexxfexf143121)12()( ,1)( ,)(1548. 8) 1 ( | )( |max21fxfx626.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項 估計余項估計余項 用辛普森公式計算用辛普森公式計算6796. 0| )( |max12) 12(|2131xfRx0236. 2)4(612215 . 11211eeeSdxexxexxxxxf15678)4(

38、)2436121()(43.198) 1 (| )(|max)4()4(21fxfx636.2.3 梯形公式和辛普森公式的余項梯形公式和辛普森公式的余項 估計余項估計余項 06890. 0| )(|max2880) 12(|)4(2152xfRx646.2.4 牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性n在數(shù)值計算中，初始數(shù)據(jù)的誤差和計算過程中在數(shù)值計算中，初始數(shù)據(jù)的誤差和計算過程中產(chǎn)生的誤差都會對計算結(jié)果產(chǎn)生影響產(chǎn)生的誤差都會對計算結(jié)果產(chǎn)生影響n如果計算結(jié)果對這些誤差的影響不敏感，則認(rèn)如果計算結(jié)果對這些誤差的影響不敏感，則認(rèn)為算法是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的為算法是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的 65

39、6.2.4 牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性n定義：對于給定的定義：對于給定的0，如果存在，如果存在0，只要，只要 有有 則數(shù)值求積公式則數(shù)值求積公式 是穩(wěn)定的是穩(wěn)定的 nkxfxfkk,.,1 , 0,| )()(|nknkkkkkxfAxfAfIfI00| )()(| |bankkkxfAdxxf0)()(666.2.4 牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性n定理：數(shù)值求積公式定理：數(shù)值求積公式 的求積系數(shù)的求積系數(shù) 時，求積公式是穩(wěn)定時，求積公式是穩(wěn)定的的 n證：對任意給定的證：對任意給定的0，取，取 當(dāng)當(dāng)k=0, 1, , n時，有時，有 ，又因為數(shù)值，又因為數(shù)值求

40、積公式求積公式bankkkxfAdxxf0)()(),.,2 , 1 , 0(0nkAkab| )()(|kkxfxf676.2.4 牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性 得得 即當(dāng)即當(dāng)Ak全為正數(shù)時，求積公式是穩(wěn)定的全為正數(shù)時，求積公式是穩(wěn)定的 nkkabA0nkknkkkknkkkkababAxfxfAxfxfAfIfI000)(| )()(|)()(| |686.2.5 牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性牛頓柯特斯公式的穩(wěn)定性 但是如果但是如果Ak有正有負(fù)時，將有有正有負(fù)時，將有 對于柯特斯系數(shù)對于柯特斯系數(shù)Ck，當(dāng)，當(dāng)n8時有正有負(fù)，將有時有正有負(fù)，將有 這樣求積公式的誤差得不到控制，穩(wěn)定

41、性沒有保證。這樣求積公式的誤差得不到控制，穩(wěn)定性沒有保證。因此實際計算中不使用因此實際計算中不使用n較大的牛頓柯特斯公式。較大的牛頓柯特斯公式。 nkkCab0|)(nknkkkabAA00)(|696.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n復(fù)化求積法的引入復(fù)化求積法的引入n梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式在區(qū)間不大時，梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式在區(qū)間不大時，用來計算定積分是簡單實用的用來計算定積分是簡單實用的 n但當(dāng)區(qū)間比較大時，精度差但當(dāng)區(qū)間比較大時，精度差 n為減小因區(qū)間過大造成的誤差過大，將積分區(qū)間等為減小因區(qū)間過大造成的誤差過大，將積分區(qū)間等分成分成 n 等份，對每等份（每個小區(qū)間）分

42、別用低階等份，對每等份（每個小區(qū)間）分別用低階的牛頓柯特斯公式（如梯形公式、辛普森公式或的牛頓柯特斯公式（如梯形公式、辛普森公式或柯特斯公式）求積，然后將其結(jié)果加起來，得到積柯特斯公式）求積，然后將其結(jié)果加起來，得到積分的近似值分的近似值 706.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n復(fù)化求積法的基本思想復(fù)化求積法的基本思想n為減小因區(qū)間過大而造成的誤差過大，將積分區(qū)間為減小因區(qū)間過大而造成的誤差過大，將積分區(qū)間等分成若干等份等分成若干等份,每份成為一個子區(qū)間，然后對每個每份成為一個子區(qū)間，然后對每個子區(qū)間用低階的求積公式（如梯形公式、辛普森公子區(qū)間用低階的求積公式（如梯形公式、辛普森公式或科特斯公式

43、等）求積，再利用積分的區(qū)間可加式或科特斯公式等）求積，再利用積分的區(qū)間可加性，把各區(qū)間上的積分加起來，得到復(fù)化求積公式性，把各區(qū)間上的積分加起來，得到復(fù)化求積公式716.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n復(fù)化求積法的基本步驟復(fù)化求積法的基本步驟n等分求積區(qū)間，比如取步長等分求積區(qū)間，比如取步長 ，分，分a, b為為n等分，分點為等分，分點為n在區(qū)間在區(qū)間 xk, xk+1上使用以上求積公式求得上使用以上求積公式求得Ikn取和值取和值 ，作為整個區(qū)間上的積分近似值，作為整個區(qū)間上的積分近似值 nabhkhxxk010nkkII726.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 n將積分區(qū)

44、間等分成將積分區(qū)間等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上分個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上分別用梯形求積公式求積，然后再將其結(jié)果加起來別用梯形求積公式求積，然后再將其結(jié)果加起來 n設(shè)設(shè)f(x) 在在a,b上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，n是正整數(shù)是正整數(shù). 將將a,b等分成等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間0111,kknnx xxxxx,0,1,kbaxakhhknn736.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n在在 上，運用梯形公式上，運用梯形公式n然后對各子區(qū)間的積分值相加然后對各子區(qū)間的積分值相加 1,kkxx)()(21kkkxfxfhI)()(2)(2()(211)11010bfxfafhxfxfhITn

45、kkkknknkkn746.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n復(fù)化梯形公式的誤差復(fù)化梯形公式的誤差n當(dāng)當(dāng)f(x)在在a, b有連續(xù)的有連續(xù)的2階導(dǎo)數(shù)時，在子區(qū)間階導(dǎo)數(shù)時，在子區(qū)間 xk , xk+1的誤差為的誤差為n在在a, b 上的誤差為上的誤差為3()12kTkhRf 1kkkxx311()12knnTTkkkhRRf 1kkkxx756.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n由于由于f(x)連續(xù)，對連續(xù)函數(shù)在連續(xù)，對連續(xù)函數(shù)在a, b上存在上存在，有，有n 111nkknkkffnfnf32( )( ),( ,)1212ThbaRnfh fab 766.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n例：用例：用n=

46、6的復(fù)化梯形公式計算積分的復(fù)化梯形公式計算積分 的的近似值近似值 n解：解： 1.8276555.24ln dx x, 2 . 1, 2 . 5, 4,ln)( abbaxxf2 . 0642 . 5, 6 hn5.240.2ln (4)(5.2)2( (4.2)(4.4)(4.6)2xdxfffff )5()8 . 4(ff776.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n例：用例：用n=6的復(fù)化梯形公式計算積分的復(fù)化梯形公式計算積分 5 . 35 . 0dxx786.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n復(fù)化辛普森公式復(fù)化辛普森公式n將將xk , xk+1對分，中點記為對分，中點記為 n則復(fù)化辛普森（拋物線）

47、求積公式則復(fù)化辛普森（拋物線）求積公式2121kkkxxx1110201111212221311222111012112 ()4 ()()6 ()4 ()()()4 ()()6()4 ()()()4 ()() ( )4()2()( )6 ( )4 ()6nnkkkknnnnnkkkknkkhSf xf xf xhf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xhf af xf xf bhf af x2 ()( )kf xf b796.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n復(fù)化辛普森公式的誤差復(fù)化辛普森公式的誤差n當(dāng)當(dāng)f(x) 在在a, b上有連續(xù)的上有連續(xù)的4 階導(dǎo)數(shù)時，在子區(qū)

48、間階導(dǎo)數(shù)時，在子區(qū)間 辛普森公式的誤差為辛普森公式的誤差為n截斷誤差限為截斷誤差限為 1,kkxx5(4)(4)(4)12()()()2880snhRfff 4(4)4(4)( )2880( )( )1802bah fba hf ,),(28801)4(5kkkksxxfhRk806.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n例：計算積分例：計算積分 ，如果用復(fù)化梯形公，如果用復(fù)化梯形公式，問區(qū)間式，問區(qū)間0,1應(yīng)分多少等份才能使誤差不超應(yīng)分多少等份才能使誤差不超過過 。如果改用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到。如果改用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣的精度，區(qū)間同樣的精度，區(qū)間0,1應(yīng)分多少等份？應(yīng)分多少等份？n解：取

49、解：取 區(qū)間長度區(qū)間長度b-a=1，對復(fù)化梯形公式有余項，對復(fù)化梯形公式有余項 10dxeIx51021xexf)(xxexfexf)(,)( )4(816.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法 即即取取n=213，即將區(qū)間，即將區(qū)間0,1分為分為213等份等份 用復(fù)化辛普森公式計算時，要求用復(fù)化辛普森公式計算時，要求5221021)1(121| )( 12| )(|enfhabxRn85.212,106152nn54)4(41021)1(28801| )(2880| )(|enfhabxRn826.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法 即即 取取n=4，即將區(qū)間，即將區(qū)間0,1分為分為8等份時，用等份時，用

50、n=4的復(fù)的復(fù)化辛普森公式則可達(dá)到誤差不超過化辛普森公式則可達(dá)到誤差不超過 7066. 3n51021836.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n例：利用數(shù)據(jù)表例：利用數(shù)據(jù)表 計算積分計算積分dxxI102*14846.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n解：取解：取n = 8用復(fù)化梯形公式用復(fù)化梯形公式 取取n=4, 用辛普森公式用辛普森公式 13899. 31872432852212832412812)0(21818fffffffffT856.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n比較比較T8 與與S4兩個結(jié)果，它們都需要調(diào)用兩個結(jié)果，它們都需要調(diào)用f 9次，工次，工作量基本相同，但精度差別卻很大。這項計算結(jié)

51、果作量基本相同，但精度差別卻很大。這項計算結(jié)果表明，復(fù)化辛普森公式是一種精度較高的求積公式表明，復(fù)化辛普森公式是一種精度較高的求積公式 14159. 31874432854212834412814)0(61414fffffffffS866.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n辛普森公式的另一種表示辛普森公式的另一種表示n為編程序方便，將辛普森公式寫成為編程序方便，將辛普森公式寫成 nkkkxfxfbfafnabS1)()(22)()(321876.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式 n將子區(qū)間將子區(qū)間 分成分成4等份，內(nèi)分點依次為等份，內(nèi)分點依次為n復(fù)化柯特斯公式的誤差復(fù)化柯

52、特斯公式的誤差n當(dāng)當(dāng)f(x)在在a, b有連續(xù)的有連續(xù)的6階導(dǎo)數(shù)時，復(fù)化柯特斯公階導(dǎo)數(shù)時，復(fù)化柯特斯公式的誤差式的誤差1,kkxx113424,kkkxxx111100421130147 ( )32() 12()9032() 14()7 ( )nnnkkkknnkkkkhCf af xf xf xf xf b6(6)2()( )( ), , 9454cbahRfa b 886.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n例：已知例：已知 的數(shù)據(jù)表的數(shù)據(jù)表 用復(fù)化求積法計算定積分用復(fù)化求積法計算定積分 sin( )xf xx113(0)1,( )0.99739784,( )0.98961582,( )0.97

53、672674,848153( )0.95885102,( )0.93615564,( )0.90885164,284fffffff7( )0.877192548f8414710. 0) 1 (f10dsinxxxI896.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n解：解：81111315 (0)2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )8284828372 ( )2 ( )(1)0.945690948Tfffffffff41111315 (0)4 ( )2 ( )4 ( )2 ( )4 ( )4684828372 ( )4 ( )(1)0.946083348Sfffffffff9460833. 0

54、)1 (7)87(32)43(12)85(32)21(14)83(32)41(12)81(32)0(7219012fffffffffC906.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n例：用復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式（用例：用復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式（用7個點上的函數(shù)值）計算積分個點上的函數(shù)值）計算積分 的近的近似值似值 602dsin4916.2.5 復(fù)化求積法復(fù)化求積法n例：分別用復(fù)化梯形法和復(fù)化辛普森法計算下例：分別用復(fù)化梯形法和復(fù)化辛普森法計算下列積分列積分 8,d4102nxxx926.3 變步長求積和龍貝格算法變步長求積和龍貝格算法n使用復(fù)化求積公式之前須給出合適的步長，步使用復(fù)化求積公

55、式之前須給出合適的步長，步長取得太大精度難以保證，步長太小則會導(dǎo)致長取得太大精度難以保證，步長太小則會導(dǎo)致計算量的增加計算量的增加936.3.1 變步長梯形求積法變步長梯形求積法n變步長積分法思想：將區(qū)間逐次對分進(jìn)行計算，變步長積分法思想：將區(qū)間逐次對分進(jìn)行計算，用前后兩次計算的結(jié)果進(jìn)行估計，若合乎精度用前后兩次計算的結(jié)果進(jìn)行估計，若合乎精度要求，就停止計算；否則再次對分，重復(fù)以上要求，就停止計算；否則再次對分，重復(fù)以上計算過程，直至達(dá)到精度要求為止計算過程，直至達(dá)到精度要求為止946.3.1 變步長梯形求積法變步長梯形求積法n變步長梯形求積法的實現(xiàn)變步長梯形求積法的實現(xiàn)n設(shè)將區(qū)間設(shè)將區(qū)間a,

56、 b n等分，共有等分，共有n + 1個分點，按復(fù)化個分點，按復(fù)化梯形公式計算梯形公式計算Tn，需要計算，需要計算n + 1個個f (x)的值的值 n如果將求積區(qū)間再次對分，若仍然直接用復(fù)化梯形如果將求積區(qū)間再次對分，若仍然直接用復(fù)化梯形公式計算二分后的積分值公式計算二分后的積分值T2n ，則需要計算，則需要計算2n+1個個f(x) 的值的值 nT2n 的全部分點中有的全部分點中有n + 1個是二分前原有的點個是二分前原有的點 n每個小區(qū)間每個小區(qū)間xk , xk+1經(jīng)過二分再增加一個新分點經(jīng)過二分再增加一個新分點 后，用復(fù)化梯形公式求得該區(qū)間上的積分值為后，用復(fù)化梯形公式求得該區(qū)間上的積分值

57、為 21kx956.3.1 變步長梯形求積法變步長梯形求積法n對區(qū)間對區(qū)間a, b因此有因此有)()(2)(4121kkkkxfxfxfhI10101011102)(221)(2)()(4)()(2)(4212121nkknnkknkkkkkknknxfhTxfhxfxfhxfxfxfhT966.3.1 變步長梯形求積法變步長梯形求積法n前一項前一項Tn是二分前的積分值，后一項只涉及二分時是二分前的積分值，后一項只涉及二分時新增加的分點新增加的分點 ，所要計算，所要計算f 值的次數(shù)為值的次數(shù)為nn遞推公式由于避免了老節(jié)點的重復(fù)計算，而使計算遞推公式由于避免了老節(jié)點的重復(fù)計算，而使計算量減少了一

58、半量減少了一半 21kx976.3.1 變步長梯形求積法變步長梯形求積法n變步長梯形求積法的誤差分析變步長梯形求積法的誤差分析n把區(qū)間分成把區(qū)間分成n等份，用復(fù)化梯形公式計算積分等份，用復(fù)化梯形公式計算積分I的近的近似值似值Tn時，截斷誤差為時，截斷誤差為n如果把區(qū)間再二等分為如果把區(qū)間再二等分為2n等份，計算出定積分的近等份，計算出定積分的近似值似值T2n，則截斷誤差為，則截斷誤差為)( )(122nnnfnababTIR)( )2(122222nnnfnababTIR986.3.1 變步長梯形求積法變步長梯形求積法n當(dāng)當(dāng)f(x)在在a, b上變化不大時，有上變化不大時，有n當(dāng)步長二分后誤差

59、將減至當(dāng)步長二分后誤差將減至1/4，即有，即有 n將上式移項整理，可得驗后誤差估計式將上式移項整理，可得驗后誤差估計式)( )( 2nnff412nnTITI)(3122nnnTTTI996.3.1 變步長梯形求積法變步長梯形求積法n只要二分前后兩個積分值只要二分前后兩個積分值Tn與與T2n相當(dāng)接近，就可以相當(dāng)接近，就可以保證計算結(jié)果保證計算結(jié)果T2n的誤差很小，使的誤差很小，使T2n接近于積分值接近于積分值I 1006.3.1 變步長梯形求積法變步長梯形求積法n例：用變步長梯形法則計算積分例：用變步長梯形法則計算積分n解：解： 對區(qū)間對區(qū)間0, 1用梯形公式用梯形公式 所以所以 將區(qū)間二等分

60、將區(qū)間二等分 10dsinxxxIxxxfsin)(1)0(f8414710. 0) 1 (f9207355. 0) 1 ()0(211ffT9588510. 0)21(f21111( )0.9397933222TTf1016.3.1 變步長梯形求積法變步長梯形求積法再將區(qū)間二等分再將區(qū)間二等分 再將區(qū)間二等分再將區(qū)間二等分 1/40.9896158f3/40.9088516f9445135. 04341412124ffTT1/80.9973979f3/80.9767267f5/80.9361551f7/80.8771926f9456909. 087858381812148ffffTT1026