1、6.1數(shù)列的概念及其表示高考理數(shù)高考理數(shù) (北京市公用北京市公用)一致命題、省一致命題、省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組五年高考1.(2021課標全國課標全國,14,5分分)記記Sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前n項和項和.假設(shè)假設(shè)Sn=2an+1,那么那么S6=.答案答案-63解析此題主要調(diào)查由解析此題主要調(diào)查由an與與Sn的關(guān)系求數(shù)列的通項公式的關(guān)系求數(shù)列的通項公式.解法一解法一:由由Sn=2an+1,得得a1=2a1+1,所以所以a1=-1,當當n2時時,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得得an=2an-1,an是首項為是首項為-1,公比為公比為2的等比數(shù)列的等比數(shù)

2、列.S6=-63.解法二解法二:由由Sn=2an+1,得得S1=2S1+1,所以所以S1=-1,當當n2時時,由由Sn=2an+1得得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即即Sn=2Sn-1-1,Sn-1=2(Sn-1-1),又又S1-1=-2,Sn-1是首項為是首項為-2,公比為公比為2的等比數(shù)列的等比數(shù)列,所以所以Sn-1=-22n-1=-2n,所以所以Sn=1-2n,S6=1-26=-63.61(1)1aqq6(12 )122.(2021課標課標,16,5分分,0.154)設(shè)設(shè)Sn是數(shù)列是數(shù)列an的前的前n項和項和,且且a1=-1,an+1=SnSn+1,那么那么Sn=.答案答案-1n解析解

3、析an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由又由a1=-1,知知Sn0,-=1,是等差數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為且公差為-1,而而=-1,=-1+(n-1)(-1)=-n,Sn=-.1nS11nS1nS11S11a1nS1n3.(2021浙江浙江,13,6分分)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn.假設(shè)假設(shè)S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,那么那么a1=,S5=.答案答案1;121解析解法一解析解法一:an+1=2Sn+1,a2=2S1+1,即即S2-a1=2a1+1,又又S2=4,4-a1=2a1+1,解得解得a1=1.又又an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn

4、=2Sn+1,即即Sn+1=3Sn+1,由由S2=4,可求出可求出S3=13,S4=40,S5=121.解法二解法二:由由an+1=2Sn+1,得得a2=2S1+1,即即S2-a1=2a1+1,又又S2=4,4-a1=2a1+1,解得解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,那么Sn+1+=3,又S1+=,是首項為,公比為3的等比數(shù)列,1212nS123212nS32Sn+=3n-1,即Sn=,S5=121.1232312n5312評析此題調(diào)查了數(shù)列的前評析此題調(diào)查了數(shù)列的前n項和項和Sn與與an的關(guān)系的關(guān)系,利用利用an+1=Sn+1-Sn

5、得出得出Sn+1=3Sn+1是解題的關(guān)是解題的關(guān)鍵鍵.4.(2021浙江浙江,20,15分分)知等比數(shù)列知等比數(shù)列an的公比的公比q1,且且a3+a4+a5=28,a4+2是是a3,a5的等差中項的等差中項.數(shù)列數(shù)列bn滿足滿足b1=1,數(shù)列數(shù)列(bn+1-bn)an的前的前n項和為項和為2n2+n.(1)求求q的值的值;(2)求數(shù)列求數(shù)列bn的通項公式的通項公式.解析此題主要調(diào)查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等根底知識解析此題主要調(diào)查等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和等根底知識,同時調(diào)查運算求解才干和同時調(diào)查運算求解才干和綜合運用才干綜合運用才干.(1)由由a4+2是是a3,a5的等差中項得的等差中

6、項得a3+a5=2a4+4,所以所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得解得a4=8.由由a3+a5=20得得8=20,解得解得q=2或或q=,由于由于q1,所以所以q=2.(2)設(shè)設(shè)cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列數(shù)列cn的前的前n項和為項和為Sn.由由cn=解得解得cn=4n-1.由由(1)可知可知an=2n-1,所以所以bn+1-bn=(4n-1),1qq1211,1,2,nnSnSSn112n故bn-bn-1=(4n-5),n2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)+(4n-9)+7+3.設(shè)Tn=3+7+11+(4n

7、-5),n2,Tn=3+7+(4n-9)+(4n-5),所以Tn=3+4+4+4-(4n-5),因此Tn=14-(4n+3),n2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3).212n212n312n1212212212n1212212212n112n1212212212n112n212n212n易錯警示利用錯位相減法求和時易錯警示利用錯位相減法求和時,要留意以下幾點要留意以下幾點:(1)錯位相減法求和錯位相減法求和,只適宜于數(shù)列只適宜于數(shù)列anbn,其中其中an為等差數(shù)列為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列為等比數(shù)列.(2)在等式兩邊所乘的數(shù)是等比數(shù)列在等式兩邊所乘的數(shù)是等比數(shù)列bn的公比的公比.(3)

8、兩式相減時兩式相減時,一定要錯開一位一定要錯開一位.(4)特別要留意相減后等比數(shù)列的項數(shù)特別要留意相減后等比數(shù)列的項數(shù).(5)進展檢驗進展檢驗.5.(2021課標課標,17,12分分,0.299)知數(shù)列知數(shù)列an滿足滿足a1=1,an+1=3an+1.(1)證明證明是等比數(shù)列是等比數(shù)列,并求并求an的通項公式的通項公式;(2)證明證明+.12na11a21a1na32解析解析(1)由由an+1=3an+1得得an+1+=3.又又a1+=,所以所以是首項為是首項為,公比為公比為3的等比數(shù)列的等比數(shù)列.an+=,因此因此an的通項公式為的通項公式為an=.(2)由由(1)知知=.由于當由于當n1時

9、時,3n-123n-1,所以所以.于是于是+1+=.所以所以+.1212na123212na321232n312n1na231n131n112 3n11a21a1na13113n32113n3211a21a1na32評析此題調(diào)查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題評析此題調(diào)查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等問題,放縮法求和是此題的難點放縮法求和是此題的難點.1.(2021廣東廣東,19,14分分)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn,滿足滿足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且且S3=15.(1)求求a1,a2,a3的值的值;(2)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式的通項公式.教師公用題組教師公

10、用題組解析解析(1)依題有依題有解得解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)Sn=2nan+1-3n2-4n,當當n2時時,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).-并整理得并整理得an+1=(n2).由由(1)猜測猜測an=2n+1,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當當n=1時時,a1=2+1=3,命題成立命題成立;當當n=2時時,a2=22+1=5,命題成立命題成立.假設(shè)當假設(shè)當n=k時時,ak=2k+1命題成立命題成立.那么當那么當n=k+1時時,ak+1=2k+3=2(k+1)+1,即當即當n=k+1時時,結(jié)論成立結(jié)論成立.11221233123234,41

11、28,15,SaaSaaaSaaa (21)612nnann(21)612kkakk(21)(21)612kkkk綜上,nN*,an=2n+1.2.(2021江蘇江蘇,20,16分分)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn.假設(shè)對恣意的正整數(shù)假設(shè)對恣意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)m,使得使得Sn=am,那么稱那么稱an是是“H數(shù)列數(shù)列.(1)假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列an的前的前n項和項和Sn=2n(nN*),證明證明:an是是“H數(shù)列數(shù)列;(2)設(shè)設(shè)an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,其首項其首項a1=1,公差公差d0.假設(shè)假設(shè)an是是“H數(shù)列數(shù)列,求求d的值的值;(3)證明證明:對恣意的等差數(shù)列對恣意的等差數(shù)列an,總存在兩個總存在兩個“H數(shù)列數(shù)列bn和和cn,使得使得an=bn+cn(nN*)成立成立.解析解析(1)證明證明:由知得由知得,當當n1時時,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是對恣意的正整數(shù)于是對恣意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)總存在正整數(shù)m=n+1,使得使得Sn=2n=am.所以所以an是是“H數(shù)列數(shù)列.(2)由知由知,得得S2=2a1+d=2+d.由于由于an是是“H數(shù)列數(shù)列,所以存在正整數(shù)所以存在正整數(shù)m,使得使得S2=am,即即2+d=1+(m-1)d,于是于是(m-2)d=1.由于由于