1、第七章習(xí)題P8-習(xí)題7-1A-7、求滿足下列條件的動點軌跡的方程：(1)到點-4,3,4的距離等于到 xoy面的距離。1 2 2 2解：設(shè)動點坐標(biāo)為(x,y,z )，則p(x+4 ) +(y 3 ) +(z 4 ) =|z，整理可得動點的軌跡方程為：2 2x y8x -6y -8z 4仁 0。2丄2丄 2.x + y + z =1A-9、求下列曲線在 xoy平面上的投影曲線方程：(1)丿X + z= 122解：由xz=1得z =1 -x代入第一個方程得2xy -2x二0，曲線在xoy平面上的投影曲線方程A-10、分別求母線平行于x軸及y軸而且通過曲線2x2x2 2 2-y2 3z =162 2

2、y - z =4的柱面方程。解：兩式消去 x得母線平行于 x軸的柱面方程：3y2-5z28 = 0。兩式消去y得母線平行于y軸的柱面方程：3x2 2z 20 oP20習(xí)題 7-2A-5、已知 A1,2,-4 , AB -3,2,1，求點 B 的坐標(biāo)。解：令 B 的坐標(biāo)為 x, y,z，由 AB 二3,2,仁得：- 1,2,z 4 = - 3,2,1 ，從而x-1=-3,y-2=2,z4=1 ,得 B 點坐標(biāo)為 - 2,4,-3。 2 12A-10、已知有向線段P1P2的長度為6,方向余弦分別為，一，一，點R的坐標(biāo)為-3,，求點P2。33 3解：由P1P2 的方向余弦組成的向量 e =, cos

3、卩,cosP1P2同方向的單位向量，I 3 3故 Pi P2 = P P2 cosa, cos P,cos" = 6$ - 2 , ,2 ! =4,2,。令 p?的坐標(biāo)為(x, y, z),1 3 3 3,則 x 3, y - 2, z - 5* =4,2,4，可得 P2 的坐標(biāo)為-7,4,9。A-11、已知兩點 M1 4,、.2,1 , M2 3,0,2，試計算M1M2的模、方向余弦和方向角。解：MM =1,-龐,1的模為 MM = Y(-1 f +(-Q +12 =2。0,二1,所以_ 1_2i方向余弦分別為Cos-T,cos'，cosj。由于方向角的范圍為，注，-O34

4、3A-12、已知點P的向徑0P為單位向量，且與 z軸的夾角為TT'，另外兩個方向角相等，求點6P的坐標(biāo)。*"JT解：設(shè)0P兩個相等的方向角為：，則cos22cos2 :6二 3 2COS2 ： = 1，解得 cos：4OP = icosa,cos P,cos?=丿士 ，空，點P的坐標(biāo)為",I 44 2 丿<2 <3、或42<2 込、442,B-3、試確定m與n的值，使向量a二-2,3,n與b =如,-6,2?平行。解：a b二 =-，得 m =4， n =-1。 m -62P26習(xí)題 7-3A-1、已知 a3,-2,-5'，bJ6,0,2f

5、。求：fe- tlr 卜(1) a b(2) a a(3) 4a - b a 2b解：(1)ab=36：i20：L-52=8(2) a a =3 3-2 一2 訓(xùn) 1-5-5 =38(3) 4a -b a 216,-8,-22"5,-2,-1； = 6 15-8-2訓(xùn)-221=128。A-4、設(shè) a =3i - j - 2k，b 二 i 2j-k，求(1 )向量的模a，b ；(2) coSa, b)解：(1)a = J32 +(_1 2 +(_2f =，b = Ji2 +22 +(_1=v'6 ；3 1 ；12-2-121<14 <614rI afr-l*A-6、

6、設(shè) a = 3，忡=4，并且 a 丄 b，試求(a + b A (a b)。解：a b a-b=a a-a b b a-b b = 2b a,G +bkG b )=2qasin(b,a )=2x4x3>d = 24。8、已知 A1,-1,2,B 5,-6,2,C 1,3,-1，求(1)同時與AB及AC垂直的單位向量；(2 ) ABC的面積；(3)從頂點B到邊AC的高的長度。_ i j k_ _解：(1)AbxAC = 4 -5 0 =15i+12j+16k，AB><AC= Jl52 +122 +162 = 250 4-3所以同時垂直于 AB，AC的單位向量為:(2)ABx A

7、CS ABC3 12 1652525AB AC251 25(3)從頂點B到邊AC的高為h，則S abc h = 5 h =，所以 h = 5。2 2P34習(xí)題 7-4A-3、求滿足下列條件的平面的方程：(1) 平行于平面2x -8y *2-2=0且經(jīng)過點3,0,-5。解：待求平面方程可設(shè)為2x -8y z D =0 ,代入點3,0,-5得D=-1 ,所以平面方程為2x - 8y z -1 = 0。(2) 過點1,1,1與點0,1,-1且與平面x y z=0垂直。解：設(shè)P 1,1,1，Q 0,1,-1 ， PQ二"1,0,2，平面x y 0的法向量為m1,1,1，待求平面的法向量n同時

8、垂直于向量 PQ, n1，故，法向量n可取為向量PQ，口的向量積，即n 二 PQ 1,0,2，1,1,1 - -2,1,*，所以，平面方程為：-2x-1 y-1 z-1 =0，即2x - y -z =0。(3)過點1, -5,1與點3,2,-2且平行于y軸。解：設(shè)待求平面的法向量為n。 n與由點P(1,-5,1), Q(3,2, 一2)構(gòu)成的向量PQ=2,7,-3；及y軸上的單位向量q =10,1,0?同時垂直，故n可取為PQ與q的向量積，即 n二PQ 口= 13,0,2?，待求平面方程為：3 x -1 0 y 5 2 z-1=0,即卩3x 2z 5=0(4)過點A 2,9,-6且與向徑OA垂

9、直解：向徑OA - 2,9,- 6.可取為待求平面的法向量，故待求平面方程為：2 x -29 y - 9 -6 z 6 =0，即 卩 2x 9y - 6z - 121= 0。A-5、設(shè)平面過點 5,-7,4且在三個坐標(biāo)軸上截距相等，求這平面的方程。解：設(shè)平面方程為 =1，將點5,-7,4代入方程得：a = 5-7 4 = 2，所以平面方程為：a a ax y z - 2 = 0。A-9、求平面x y z 0與平面x -2y - z 3二0的夾角，并判別坐標(biāo)原點到哪個平面的距離更近。 解：兩個平面的法向量分別為：匚二1,1,*，E二可，-2,-，。則兩平面的夾角余弦為：coS = coSn“ n

10、2111 -21 -1nin212 12 12 12 -2 2 -1 2所以兩平面的夾角為J2arcco。3|o+ 0 + 0 + 1 43原點到第一個平面的距離為：d1。到第二個平面的距離為112+12+123d2_0工0+0+ 3_ 右2 +(-2f +(-1 f。顯然，原點到第一個平面的距離更近。2P40習(xí)題 7-5A-2-(1 )求過點0,2,4且同時平行于平面 x 21與y - 3z 2的直線方程。解：該直線的方向向量S =1,0,2? 0,1,-3： -2,3,1，則直線的對稱式方程為:x_y_ z4-2O31"2x -3y +z-6=0（2）求過點（2,0,1 ）且與直

11、線丿平行的直線的方程。4x2 y+3z+ 9 = 0解：直線的方向向量 s2,一31 <4,一2,3： -一7,一2,8，所以直線方程為:x-2y z-1-7 -2 8A-3、寫出下列直線的對稱式方程及參數(shù)方程：（2）丿3x4y + 5z + 6 = °2x _5y + z_1 = 0解：令y = 0代入方程組得11-15直線的方向向量s3,-4,5? 12,-5,11；21,7,-773,1,-1，所以對稱式方程為:1115xz _ y =731-1參數(shù)方程為:11x3t7z=*t7B-2、求下列投影點的坐標(biāo)：1 ）點-1,2,0在平面x 2y-z 1 = 0上的投影。解:過

12、點-1,2,0與平面x 2y - z 1 = 0垂直的直線l與平面的交點即是投影點，直線I的方向向量s可參數(shù)方程代入平面方程，可得： -2 - 2 -1 t 2 2 2t-t1=6t 4 = 0，得 t。再將 t =33x = -1 t取為平面的法向量，即 S = 12-1，故，直線I的參數(shù)方程為<y=2 + 2t。為求直線與平面的交點，將z = _t代入?yún)?shù)方程可得交點P47習(xí)題 7-6A-1、求下列旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2（1 ）將zox面上的拋物線z =5x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周。解：y2 z2 二 5x2 2(2 )將xoy面上的橢圓X y 1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周。94解:(4)將xoy面上的直線y

13、 = 2x 1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周。解：土Jy2 +z2 =2x +1，兩邊平方 y2 +z2 = （2x + 1 f。第八章習(xí)題P57-習(xí)題 8-1A-4、求下列函數(shù)的定義域 z = 4 - x2 - y21x2 y2 -1解：定義域為 D = 1 x, y 4亠x2 y2 -1，這是以原點為圓心，半徑分別為1和2的兩個圓構(gòu)成的圓環(huán),不包括內(nèi)環(huán)。2 2 2（5） z=ln（x -y） arccos（x y ）解：定義域為 D = L x, y ix2y, x2 y2 -1:，這是開口向上的拋物線x2 - y 0與半徑分別1的圓圍成的圖形的向面部分，不包括拋物線。A-5、求下列函數(shù)的極限1（2） l

14、im x y sin -（）x，y woxyj1j1解：因為（x o $ + 丫）= 0， sin一 蘭 1,故（l imoox + yjsin=0（4）lim 2xEl（x,y*%0）xy解：原式（2 - Jxy + 4 fe + Jxy + 4）（x0）xy（2+Jxy+4）xv1-1-limlim x,y K0,0 xy 2 i xy 4x,y i i0,0 2 xy 44A-7、設(shè)函數(shù)fx,_"x，討論函數(shù)f x, y在點0,0處的連續(xù)性。解:lim f x,y 二 lim 2x0x_p x 2y 士xy±x2 2k x22k x4 k21 k2可見，k不同時，即動

15、點（x, y）沿不同的路徑趨近于（0,0）時，極限不同，故f x,y不存在，所以函數(shù)f x, y在0,0處不連續(xù)。P66習(xí)題 8-2A-1、求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(6)z = arctan -x + y解:(x y) _(X _ y)(8)解:(9)解:2X yix +, 2(x + y )2y2 2y x_y-(x y) -(x - y)z=ex y sin(xy)x2y2-2xx y2x2 :：.y2xx2 y22xex y sin(xy) yex y cos(xy) =e x2xsin(xy) ycos(xy)】=2yex y sin(xy) xex y cos(xy)二 ex y 2ysi

16、n(xy) xcos(xy)z = arcsinx-：z:x1x2 y2yx2 y2兩邊同時對x求偏導(dǎo)數(shù)得:1 :zyy -z ： x 1 xy粽 _ y2(1 + xy)y.x 1 xy=y2(1 + xy)y，2xy.:z12 . x2 y2- xy/ X'2 T/Xy2 廠國(x2+y2)辭+ y210) z = (1 +xy解：兩邊取對數(shù)Inz = yln(1 xy)兩邊同時對 y求偏導(dǎo)數(shù)得:1 ；zxln(1 xy) y z ；y1 xy空=(1 十 xy )y In(1 十 xy) + 彳1一x = (1 + xy )y In(1 + xy) + xy(1 十 xy )y

17、:y1 xy注：此題還有其它方法做A-8、求下列函數(shù)的2z2 2d zd z， 2 xy: y2 y3(2) z = x e y sinx解:r 2x；z.x二 2xey y3 cosx，-z2 y2x e 3y sinx y二 2ey - y3sin x，:2-zy22xey 3y cosx， x：y：z2 y2 x e 6ysinx yP74習(xí)題 8-3A-1、求下列函數(shù)的全微分(1)z = x2 y解:-:zdz 二2xy+ ： dx + y丿2xy3 dy(2)z = In x2 y2解:x2xcz2y2 2 ， - - 2 2 ，x y y x y2xx2 y2 dx2y x2x22

18、 xdx ydy y(4) z = xcos(x -y)zz解：cos x - y Jxsin x -y ,- xsinx-y:x:ydz 二 Cosx - y ；xsin xy dx xsin xy dyA-4、求下列函數(shù)的全微分(3)x=e解:.U.x= exsin(yz),=zex cos(yz)， y=yex cos(yz)cudx2e，1匹)22, 2.u£U2 du e 2dx dy dz4B-3、驗證函數(shù)z =2 ,x2 2 二x y0,x2 y2 =0y2=0在0,0處連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在，但是不可微分。解：(1)令 x = rcosv , y = rsinv則 lim

19、z = lim rsin2 cos2- 0，即原函數(shù)在原點處連續(xù)。x,y j 0,0J0(2) M“imzx'0 z0,0 “im 口“& xTxxT x所以原函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)均存在。(3)令=x = rcos"，二y = rsin ，則= lim z 0, y - z 0,0；y y )°Fim0 =0y >0 y心z = z(x,y z(0,0 )=z(0 + x,)-z0,Axy232仏x2 +Ay2 )=rsin2 cos ：因為 lim r sincos = sin2 丁cos2 ：； - 0，因也匕 r sin2 71 cos2 71 在 rTr

20、 > 0時不是比r高階的無窮小,故z=zx, y - z 0,0二z 0=x,0 J =y - z 0,0不能表示成00 y - o( r)，所以原函數(shù)在原點處不可微分。P82習(xí)題 8-4A-2、設(shè)xIn v,u ,v = 3x - 2y，y求三和蘭excy解:.z.:z:x:u.u :z ：v,12ulnv x：v :xy vx32一2八 3x0y23x2:z.:z:u.u:z :v+:v :yx=2ulnv -2x2A-4、設(shè) Z= ex'y，而 x =sint，解: dzdtex dtdy dtx _2y“ 2A-6、設(shè) z= tan 3t 2x-y2，u 2 二三=ln

21、3x 2y2vy3x - 2y yy = t3，求 dzdtcost ex'y ：i-2 3t2 二 cost-6t2esint_2t3解:匸=sec 3t 2x2dt2 -= sec 3t + 2 -、rxA-8、設(shè) u =e2 y2z2，而解:-ux2 -'y2 z2=e:x:u1r dz"1，八'，求五。f3 + 4x齊紂閔-(Vt 21 -1JU孑-2 . t 2< t丿2 二 sec2 2t 彳t3t2z = y2sinx，求丄，ex2x 2z-二 ex2 y2 y4sin2x:x二 2x y4sin2xex2 y2曲2 y2 z2cz2y 2

22、z.u2x 2y2sinx y2cosxx2y2 亠y4 sin2 x2=e2y 2y sinx 2ysinxx2：；y2 ：；y4sin2 x32二e2y 4y sin xA-11、設(shè)f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(3) Zf yln x,2x 3y-：Z解：xfi'戈 f2 2 二 #fi' 2f2，二xxyfi In x f2二 In x fi 3 f2A-14、設(shè)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求下列函數(shù)的；：2z口2:'zl、 rv.x y-2:zo ( 1) z = f x y,xyZ''''_z''

23、9;'解：f11 f2 y =也yf2，f11f2= f1xf2:xjy因為f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以仇;二f21，故；：2zx2-f11 1f12y y f21 1f22""2"y)=忖 +2yfj2 + y f?2j11 1 怙 x 1 f2 y f211f22 x = % 亠 x y f12xyf22f2C2zy'-f111 f12X X f21 1 f222 ''f112xf12X f22P88習(xí)題8-5A-2、下列方程確定z為x, y的函數(shù)，求.Xo(1) ez - xyz = y解：方程兩邊同時對X求偏導(dǎo)數(shù)得:.:z.X

24、_ yz _ xyz = 0，解得exyz.Xze - xy方程兩邊同時對 y求偏導(dǎo)數(shù)得：ez；z:y；zy-xz - xy0，解得；z:yXZze - xycz czA-2、下列方程確定 z是x, y的函數(shù)，求 , ex dy(3) x2y2yz ez = 1解：方程兩邊同時對 x求偏導(dǎo)數(shù)得:2xy2y 三 eV方程兩邊同時對 y求偏導(dǎo)數(shù)得：x2.X-X-X 2y-ezz:z _z2x -2zez0 ,解yy:X2y - ez2xy=0，解得Z-2z - 2 y-：zA-6、設(shè)f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，方程z二f xz,z - y確定z是X, y的函數(shù)，求 ex-=Z解：方程兩邊同時對 X求偏導(dǎo)數(shù)得

25、:方程兩邊同時對 y求偏導(dǎo)數(shù)得:-'zf z=f1X 二-z X一z，解得X: X-：zzfi-f2，解得cy1 - xf1 - f2A-8、求由下列方程組確定的函數(shù)的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。(2)2 2 1 2 x y z I 2x y z = 1，求嚇dz dz解：方程組同時對 z求導(dǎo)數(shù)得:2x + 2$"dZ dZ ，解得竺 空屯I。dzdz dzz+2y dy z+2x 2x-y dz 2x-y(4)3y = U"，求xsinv = ysinu：v解：方程組同時對 y求導(dǎo)數(shù)得:vxcosv = sinu.uycosu -cudv+=111cucv.x cosv

26、 = -sin ui y cosul變?yōu)椋獾肞94習(xí)題8-6x cosv - sin uxcosv ycosu:vyycosu sinuxcosv ycosuA-1、求下列曲線在指定點處的切線及法平面方程：2t1 t廠（4）曲線x 壬，y二，z二t在點1,0,1處;1 +t t解:21 t 2,1 1tT,t點 1,0,1 處對應(yīng) t =1，此時 s = ?»,-2,1'2故切線的對稱式方程為:x-1_y-0_z-11 -2 1法平面方程為：1 (x -1) 2) (y -0) 1 (z-1) =0，即 x-2y z = 2。A-3、求下列曲面在指定點處的切平面及法線方程x

27、（1）曲面 z = y In 在 1,1,1 處。z，廣解：令 F （x, y,z ）= y +ln x z，則 n =卡；,F；,Fz' >=1 ,1,T -1zlX z點 1,1,1 處 n = 1,1,-2故切平面方程為：1 (x _1)1 (y _1)(_2) (z_1) = 0，即 x y_2z = 0法線方程為：x -1 y-1 z-111-2(3)曲面 ezz xy 二 3在點 2,1,0 處。解：令 F (x, y,z )=ez z +xy -3，則 n = *：, F；, F； = <y, x,ez 1點2,1,0處切平面的法向量'1,2,0?故切

28、平面方程為：1 (x -2) 2 (y -1) 0 (z -0) =0 ,即卩x 2y =4法線方程為：x - 2 y -1 z12 02 2 2A-4、求曲面x 2y 3z =21平行于x 4y 6 0的切平面方程。解：令 F x, y,z = x2 2y2 3z221 ,切平面的法向量 = F x, F y, F； J、2x ,4 y ,6 ；與平面Ji2x 4y 6z,x 4y 60的法向量1,4,6?平行，由向量平行的充要條件得：2k，x二k，146y=2k，z=2k，代入曲面方程解得：k= 1當(dāng)k =1時，曲面上的點為 1,2,2，n1,4,6，此時切平面方程為：(x -1) 4(y

29、 -2) 6(z _2) =0，即 x 4y 6z =21k - -1時，曲面上的點為：；：1,一2,-2 ， n二'1,4,6'，此時切平面方程為：(x 1) 4(y 2) 6(z 2H 0，即 x 4y 6z = -21P101習(xí)題8-7A-1、求函數(shù)x2y2在點1,2處沿該點到點 2,3的方向的方向?qū)?shù)。解:令 P(1,2)，Q(2,2 + J3)，則 PQ = 1,%/3=2丄2:,cos 。-Z又一x my=2=2y = 4，所以-:z-1 PQ=2 143=1232 2A-7、求函數(shù)z = x2- xy y2在點1,1處沿方向余弦為cos，cos：的方向的方向?qū)?shù)，

30、并指出：1沿什么方向的方向?qū)?shù)值最大？2）沿什么方向的方向?qū)?shù)值最小？3）沿什么方向的方向?qū)?shù)值為零。解：設(shè)在點1,1處的方向余弦為cos：，cos，的方向為I。；zz.Iy =1,1.:z=（2一比冷，卄 2y $弓=1，所以=1 CO兇 +1 COS0 =COSG +COS0 = J2cos 日-（-表示從x軸逆時針方向轉(zhuǎn)動到方向I八牛時，即沿方向亠j的方向?qū)D(zhuǎn)過的角度）。所以 ；時，即沿方向i j的方向?qū)?shù)最大;4數(shù)最小，二或時，即沿方向-ij或i-j的方向?qū)?shù)為零。44特另U注意：-1 cos：£亠1 cos： = cos很 亠cos* = cos：簽亠si n篇：l &q

31、uot;2 2 2 .A-10、設(shè) f x, y, z 二 x 2y 3z xy 3x2y6z，求 gradf 1,1,1。 解: f；(1,1,1)=(2x + y + 3h,1,1 廠 6 , f；(1,1,1) = (4y + x-2»,1,1 廠 3 , f；(1,1,1)=(6z_6怙 =0，所以 gradf(1,1,1)=6； + 3jP111習(xí)題8-8A-3、求函數(shù) f(x, y) =ex_y x2 -2y2 極值。解: fx =ex_y x22y22xex = x22y2 2xex_y,fy = -ex_y (xx_2y2) exy ：-4y j： 2y2 _x24y

32、ex_yf；x=2x 2 ex 今 X2 -2y22x ex 今=x2一 2y24x 2 eyf；y- 4y ex 今一 x2 -2y22x ex 今-x22y2- 2x一4y ex_yfyy =4y -4 ex 今一 2y2- x2-4y ex今二 x22y28y - 4ex_yfx =0t、 J 、由x ，解得兩個點( 4,2),(0,0)Jy =0對于點-4,-2 ,A=fxxx=4=_6e<0, B = fxyx=-4=8e, C = fyy x= T2e"y=2y二y 二4-芻。則三角形面積為:S* 2x 叭4-x2。問題轉(zhuǎn)化為求S= 2x x2y 宀r4 -0豈x豈

33、2 3的最大值。AC -B2 =8e- .0 ,且 A 0 所以 f (-4,-2) =8e -為極大值。對于點0,0 ,A=fxxX =2>Q , B = fxyX=O, ChfyyXdh/y =0y=0y=02AC B - -80 ,所以0,0不是極值點。A-5、某廠要用鐵板做成一個體積為4m3的無蓋長方體水箱，問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省。解：令長、寬、高分別為 x, y,z，則問題轉(zhuǎn)化為在條件 xyz = 4之下求xy 2xz - 2yz 的最小值，其中 x 0, y 0,z0 o令L(x, y, z, ) =xy - 2xz - 2yz (xyz -4)，對x

34、, y,z,分別求偏導(dǎo)數(shù)，并令為零，得聯(lián)立方程組：y + 2z + 九 yz= 0x + 2z + hxz = 02 x 2 目；xy 二 0xyz-4=0解得：x = y= 2 , z=1。2 2A-6、求橢圓x 3y =12的內(nèi)接等腰三角形(三角形底邊平行于橢圓長軸)的最大面積。解：方法1不妨設(shè)內(nèi)接三角形底邊的兩個頂點的坐標(biāo)為(-X, y),( x,y)，其中x 0, y ： 0面積為S，則S = x(2- y)引入拉格朗日函數(shù)： L(x,y, ) =x(2-y) '(x2 3y2-12)，則由Lx =2_y 2x' =0Ly = -x 6y，=02 2x 3y -12 =

35、0得唯一可能極值點(3, -1)，該點也是最值點，最大面積S = 32 -( -1) = 9方法2顯然，三角形的一個頂點在y軸上，不妨設(shè)在(0,2)，而底邊上的兩個頂點在x軸的下面，并關(guān)于y軸對稱。設(shè)底邊右邊頂點為x, y，則左邊頂點為-x, y，其中y = -15 / 372x X3從而y = _1，所以最大內(nèi)接三角形面積為S =9。第九章習(xí)題P117-習(xí)題 9-1A-1、設(shè)有一平面薄片，占有 xoy面上的閉區(qū)域D，薄片上分布有面密度為l（x,y）的電荷，且l（x, y）在D上連續(xù)，試用二重積分表達該薄片上的全部電荷。解：M =（x, y）d匚DA-3、根據(jù)二重積分的幾何意義確定下列二重積分

36、的值：（1） Ia _ x2 y2 d二，其中 D = x, y x2 y2 _ a2 a 0。D解：z = a - X y 為頂點在0,0, a開口向下的圓錐面，根據(jù)二重積分的幾何意義，11 'a- x2 -y2d表示頂點在0,0, a，底面為圓x2y2二a2的圓錐的體積。因此D11 'a- . x2 - y2 d "DP132-習(xí)題 9-2A-1、畫出下列積分區(qū)域的圖形，并且計算這些二重積分（2） Iii3x2yd；，其中D是由兩坐標(biāo)軸與直線 xy=2所圍成的閉區(qū)域;D解：（圖略）22=2 2仃（3x+2y” = （ dx（3x+2ydy = J0（-2x +2x

37、 + 4dxD2x3 x2 4x 23020（4） . cos x y d二，其中D是由直線x = 0, y =禦，y = x所圍成的閉區(qū)域;D解:（圖略）Uy兀JJcoSx + y ” dy coSx 十 y dx = （sin2y-sin y dyD1-cos2 y cosy=-20(5) x2yd二，其中 D -、x, y x2D解 11x2yd-D2二,x02 1 2一：2264(4_x)r二x和直線x y = 2所圍成的閉區(qū)域;D是由拋物線y22y-3y214274解方程組丿嚴(yán)2y =x得得7乂 =1，*x + y = 2仏=1k.x2 =4 y2 - 2（8）1 yd匚，其中D解：

38、（圖略）12_y131 - y d= ,dy1 - y dx = , 2 - 3y y dyD（10） 11 xd二，其中D是由雙曲線xy = 1和直線y = x, y = 2所圍成的閉區(qū)域。 d y解：（圖略）2 y x2牛嚴(yán)1916-! 21 2+ 144y 丿 1A-4、改變下列二次積分的積分次序1 y .（2?吩）0dy0 f x,ydx1y11解：0dy。f x,ydxjdxxf x,y dy2 2y(2) 0 dy fy2 f 仗,ydx2X 二 v解：解方程組，得 X1 = 0, 0； X2 = 4, y? = 2x 二 2yxf (x,y)dy dyj f (x, ydx =

39、( dxfxy2e In x(3)0 dx0 f x,y dye ln x解: dx f (x,y)dy= dyy f(x,ydxA-6、計算下列立體的體積:(2)由平面x =0, y=0, x y=1所圍成的柱體被平面 z二0及拋物面x . . . x2 y2d二，其中D是由圓周x2 y2 =2y與y軸所的位于第一象限內(nèi)的閉區(qū)域。 y2 = 6 - z截得的立體。11 _x22解：V = dx(6x -y dy5x -0 3175 x2A-7、畫出積分區(qū)域的圖形，x +dx3)2 314x+ x33把二重積分13017f(x,y)dxdy表示為極坐標(biāo)系中的二次積分，其中積分區(qū)域DD是：(3)

40、 " x, y a2 空 x2 y2 < b2,x< y < . 3x, x _ 0* 0 a b ；解： f(x,y)dxdy二 3dv rf(rcos,rsiz)d=。 aD4A-9、把下列二次積分化為極坐標(biāo)系中的二次積分，并且計算積分值:(1)02dx02x，x2 y2 dy-rdr24cosP2j2co»2co詡嚴(yán)v sin2)'2I10解: 也2 aX2y2d= 2半 sin r2dr =0 0D覽抽兩晉心Teo”：169A-10、利用極坐標(biāo)計算下列二重積分：(1). e"，其中 D 邛 x,y x2 y2 乞4，D解：I ie

41、x y d 二 d rer dr 1 e4 -1 d： - e4 -仁八L000D（3 ln 1 x2 y2 d二，其中D是由圓周x2 y1與兩坐標(biāo)軸所的位于第一象限內(nèi)的閉區(qū)域。D解：11 ln 1 x2 y2 deD兀021 “l(fā)n21 d 2ln2 124JJTA-12、設(shè)平面薄片占據(jù)的閉區(qū)域 D是由螺旋線 亍=2二的一段弧0與射線所圍成，它的面22密度"x, y二x2 y2，求該薄片的質(zhì)量。解:i 兀 2甘冗8"t 4M = jRx2 +y2g =d叫 P PdP=8 日3d& =P141 習(xí)題 9-3x2 y ax內(nèi)部的那部分曲面的面積。A-1、求上半球面J

42、a2 - x2 - y2含在圓柱面解：柱面x2 y2二ax在xoy平面上的投影D即為積分域。a c o s r=a 2- d 'dr0 2 22- a -rH二-a2ji 廠=-a. 2八 a2JI2 2-rac o 2 2J2sin B -1 ）dB = 2a （1 sin日）d = a （兀-2）解：I1d-DI212xodxo xdy 二1x 2xdx = 05I3ydD12xodxo ydy 二11xdx 二02則形心坐標(biāo)為,y5 8A-4、求下列平面圖形 D的形心：（1）D由拋物線y= 2x與直線x=1,y = 0所圍成。12 X1 0dx0 dy0 2xdx 二A-5、圓盤

43、x y咗2ax a - 0內(nèi)各點處的面密度 "二x y，求此圓盤的質(zhì)心。32acos16ar rdr =J32acos -2x,yd-= .2d0D2JI2acos r3 二 y"x,yd-二=m0r cost r rdrr si nr r rdrD的區(qū)間上的積分為零）。= 8a4= 4a42 cos5知-曲015JI2 sinvcos4vdv - 0 （奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱仗'叫2+廣愕,0丿A-8、設(shè)均勻薄片（面密度為常數(shù) ）占據(jù)的閉區(qū)域則質(zhì)心坐標(biāo)為D如下，求指定的轉(zhuǎn)動慣量:()D=*x, yp解法2卩ba4a22Xa oJIbk4a，其中x2 a2 - x2

44、dxx 二 a sin 2 a2sin a cos)a cos)d21-cos4a4d -ji1'2-si n44io4 a16H:解：h 二亠 x,y d 2小 0 D-2M為薄片的質(zhì)量，M二二ab。x = ar cos。 解法二（學(xué)生可能看不懂）：借助廣義極坐標(biāo).y = br sin 日cosS d八姑a 2 M42二 1 2 22 .a3b" 2二0 * 0 a r cos ' abdr= oP150-習(xí)題 9-4A-1、化三重積分I =仃Jf（x,y,zdv為三次積分（先對 z，次對y，后對x），其中積分區(qū)域。分別是:Q（1）由三個坐標(biāo)面與平面 6x 3y 2

45、z -6 =0所圍成。解。在xoy面的投影區(qū)域為 Dxy=（x, y）0蘭y< 22 x,0蘭"，12_2xI = f x, y,zdv= 0dx0Q3 _3x _3ydy°f x,y,zdz。(x, y, z p< 譏 33 x 2 y,( x, y)w D(2)由旋轉(zhuǎn)拋物面 z = x2 y2與平面z二1所圍成。解：I 在xoy面的投影區(qū)域為Dxy = x, y)x2 +y2"= x, y 右-x2 蘭 y<-x2,1蘭 x< ",M - ' x, y, zx2 -y2乞 z < 1,(x, y) Dxy11J1

46、 _x21故 I ! ! ! f x,y,zdv=dx 亠2dy 疋 y2 f x,y,zdz。Q(3)由圓錐面x2 y2與上半球面z = 2 - x2 - y2所圍成。解：圓錐面z = . x2 y2與上半球面z =2 - x2 - y2的交線為x2 十 y2 = 1' J在xoy面的投影區(qū)域為Dxy 二"(x, y) x2y2 一仁-x, y j； ：1 - x2 一 y 一 一1 - x2 ,-1 一 x - 1，M = x, y,z x2 y2 乞 z 2 - x2 - y2, (x, y) DXy :故1t 1 x2、2 -x2 _y2I I II f x, y,z

47、dv=dx t#dy x2 y2 f x, y,zdzA-3、計算下列積分(1) iiixydv，其中|是由三個坐標(biāo)面與平面 xz 1所圍成的閉區(qū)域。Q23解。在xoy面上的投影區(qū)域 Dxy=£x,y卩蘭y蘭2 2x,0蘭x蘭1，。在Dxy上任取一點(x,y)，過該點作平行于z軸的直線，與fl的下、上兩個交點坐標(biāo)分別為z0，z2 = 3 - 3x -矽。故2”232、3 xy _ 3x y xy dy212 _2x 3_3x 史12_2xxyd °dx° dy o 2 xydz- °dx °Q1 3 0 3 1 3 4 1° 2 x1

48、 一 x dx1-x =t 21 （1一 t）t3 （一 dt） =2°（ t3 一 t4） dU 10（4） | | ,z2dv，其中門是由上半球面z = 1 - x2 - y2和平面z = 0所圍成的閉區(qū)域。Dy -rc 0 乞亡1,0 " _2八,Q解：用柱面坐標(biāo)計算，I】在xoy面的投影區(qū)域為 - < r,v,z Oez e、1r2, r,【盧12 2 2- 1 ）z rdz= ° 此 o3r 1 - r 22 dr =32 2 二 1!.!.!.z d 0 dr 0drQA-4、利用柱面坐標(biāo)計算下列三重積分（1）! izdv，其中|是由上半球面z = . 2-x2-y2和旋轉(zhuǎn)拋物面z二21止二0 152 二15x2 y2所圍成的閉區(qū)域。解:上半球面z =遲'2 - x2 - y2和旋轉(zhuǎn)拋物面 z = x2 y2的交線為:=2 - x2x2 y2x +y =1。在xoy面的投影區(qū)域為 D用z = 1r,v 0乞心1,0 v 2二？,-z 一 .2-r2, r/ 盧 Dj21斗2 _r2兀1IMZdS ° Z ° dr r 2 z 8" ° E ° Qr上上d, 2乜d”220 2412（2） i 11z x2 y2dv，其中11是由