1、積分法積分法原原 函函 數數基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數的積分函數的積分不定積分不定積分積分學積分學基本積分表基本積分表 kCkxkdx()1(是常數是常數)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdx|ln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8

2、( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdx|cos|lntan)16( Cxxdx|sin|lncot)17( Cxxxdx| )tan(sec|lnsec)18( Cxxxdx| )cot(csc|lncsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa |ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax | )( |ln1)24(2222Caxaxadxax |ln211)21(22Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(sh;)(.

3、 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 第一類換元法第一類換元法常用代換常用代換:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數代換三角函數代換.tan,)(. 322taxxaxf 令令如如雙曲函數代換雙曲函數代換.1. 4tx 令令倒置代換倒置代換第二類換元法第二類換元法被積函數被積函數正正、余余弦弦函函數數多多項項式式 指指數數函函數數多多項項式

4、式 反反三三角角函函數數多多項項式式 對數函數對數函數多項式多項式 后面后面畫紅線者拖到畫紅線者拖到 dxexexx cossin 或或兩者都可兩者都可分部積分法分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 幾種特殊類型函數的積分幾種特殊類型函數的積分（1）有理函數的積分）有理函數的積分定義定義兩個多項式的商表示的函數稱有理函數兩個多項式的商表示的函數稱有理函數.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非負整數；都是非負整數；naaa,10及及mbbb,10都是實數，并且都是實數，并且00 a，00 b.真分式

5、化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數法待定系數法四種類型分式的不定積分四種類型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積此兩積分都可積,后者有遞推公式后者有遞推公式令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2

6、） 三角函數有理式的積分三角函數有理式的積分定義定義 由三角函數和常數經過有限次四則運算由三角函數和常數經過有限次四則運算構成的函數稱之一般記為構成的函數稱之一般記為)cos,(sinxxR（3） 簡單無理函數的積分簡單無理函數的積分討論類型討論類型:),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法: 作代換去掉根號作代換去掉根號;necxbaxt 令令;nbaxt 令令問題問題1:1:曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積問題問題2:2:變速直線運動的路程變速直線運動的路程存在定理存在定理廣義積分廣義積分定積分定積分定積分定積分的性質的性質定積分的定積分的計算法計算法牛頓牛頓- -萊布尼

7、茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 定積分定積分牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數上連續(xù)，則積分上限的函數dttfxxa )()(在在,ba上具有導數，且它的導數上具有導數，且它的導數是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理定理（原函數存在定理）定理（原函數存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數數dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數數.定理定理 （微積分基本公式）（微積分基本公式） 如果如果)(xF是連續(xù)函是連續(xù)函數數)(

8、xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的一個原函數，則上的一個原函數，則 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函數在區(qū)間它的任一原函數在區(qū)間上的定積分等于上的定積分等于一個連續(xù)函數在區(qū)間一個連續(xù)函數在區(qū)間表明表明baba定積分的計算法定積分的計算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（1）換元法）換元法（2）分部積分法）分部積分法分部積分公式分部積分公式 bababavduuvudv，則，則上的奇、偶函數且連續(xù)上的奇、偶函數且連續(xù)分別為分別為，若若,)()(llxgxf ，0d)(

9、 llxxf lllxxgxxg0d)(2d)(為為常常數數，則則為為周周期期的的連連續(xù)續(xù)函函數數，是是以以若若aTxf)( TTaaxxfxxf0d)(d)(兩個重要性質兩個重要性質廣義積分廣義積分(1)無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim當極限存在時，稱廣義積分當極限存在時，稱廣義積分收斂收斂；當極限不存在；當極限不存在時，稱廣義積分時，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. bdxxf)( baadxxf)(lim(2)無界函數的廣義積分無界函數的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當極限存在時，稱廣義積分當極限存在時，稱廣義積分收斂收斂；當極限不存

10、在；當極限不存在時，稱廣義積分時，稱廣義積分發(fā)散發(fā)散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0微微 元元 法法理理 論論 依依 據據名稱釋譯名稱釋譯所求量所求量的特點的特點解解 題題 步步 驟驟定積分應用中的常用公式定積分應用中的常用公式定積分的應用定積分的應用定積分應用的常用公式定積分應用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標情形直角坐標情形abab dA2)(2

11、1xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標情形極坐標情形(2) 體積體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA(3) 平面曲線的弧長平面曲線的弧長xoyabxdxx dy弧長弧長dxysba 21A曲線弧為曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導導數數弧長弧長dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長弧長 drrs

12、 )()(22(4) 旋轉體的側面積旋轉體的側面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側側(5) 細棒的質量細棒的質量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 轉動慣量轉動慣量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(為為線線密密度度x (7) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水壓力水壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為為比比重重 (9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0

13、 xF)(為引力系數為引力系數G(10) 函數的平均值函數的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12定定 義義幾何意義幾何意義性性 質質計算法計算法應應 用用二重積分二重積分定定 義義幾何意義幾何意義性性 質質計算法計算法應應 用用三重積分三重積分重積分重積分上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)域在區(qū)域若若Dyxfz),( ，)()(21xgyxg 連連續(xù)續(xù)，且且)(),(21xgxg則有則有 Dyxyxfdd),( )()(21d),(dxgxgbayyxfx)2(上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)域在區(qū)域若若Dyxfz),( ，)()(21yxy 連連續(xù)續(xù)，且且)(),(21y

14、y 則有則有 Dyxyxfdd),( )()(21d),(dyydcxyxfy )3(oxyabx，：其中其中bxaD ，：其中其中dycD oxycdy二重積分的計算二重積分的計算.)sin,cos()()(21 rdrrrfd 1)sin,cos(Drdrdrrf ,:1 D).()(21 r（）極坐標系下（）極坐標系下重積分的應用重積分的應用(1) 體積體積的體積為的體積為之間直柱體之間直柱體與區(qū)域與區(qū)域在曲面在曲面Dyxfz),( DdxdyyxfV.),(設設S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 ;122dxdyAxyDyzxz (2) 曲面積曲

15、面積當薄片是均勻的，重心稱為形心當薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心為為(3) 重心重心薄片對于薄片對于x軸的轉動慣量軸的轉動慣量薄片對于薄片對于y軸的轉動慣量軸的轉動慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 設有一平面薄片，占有設有一平面薄片，占有xoy面上的閉

16、區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點在點),(yx處的面密度為處的面密度為),(yx ，假定，假定),(yx 在在D上連續(xù)，平面薄片對于上連續(xù)，平面薄片對于x軸和軸和y軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為(4) 轉動慣量轉動慣量薄片對薄片對軸上單位質點的引力軸上單位質點的引力z 設設有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點點),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，計計算算該該平平面面薄薄片片對對位位于于z 軸軸上上的的點點), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質質點點的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222

17、dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數為引力常數f(5) 引力引力xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過點過點Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz先單后重先單后重:. ),(),(),(),(21 DyxzyxzDdzzyxfdxdydyxF 三重積分的計算三重積分的計算截面法的一般步驟

18、：截面法的一般步驟：(1) 把積分區(qū)域把積分區(qū)域 向某軸向某軸（例如（例如z 軸）投影，得投軸）投影，得投影區(qū)間影區(qū)間,21cc；(2) 對對,21ccz 用過用過z軸且平行軸且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD;(3) 計算二重積分計算二重積分 zDdxdyzyxf),( 其結果為其結果為z的函數的函數)(zF；(4)最后計算單積分最后計算單積分 21)(ccdzzF即得三重積分值即得三重積分值.z先重后單先重后單 dvzyxf),( 21),(ccDzdxdyzyxfdz .,sin,coszzryrx () 柱面坐標柱面坐標.),sin,cos(),( dzrd

19、rdzrrfdvzyxf ,dzrdrddv .cos,sinsin,cossin rzryrx,sin2 ddrdrdv dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf() 球面坐標球面坐標對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對坐標的對坐標的曲線積分曲線積分定義定義計算計算聯(lián)系聯(lián)系曲線積分曲線積分 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分定定義義 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯(lián)聯(lián)系系dsQPQdyP

20、dxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (與方向有關與方向有關)格林公式格林公式定定理理（格格林林公公式式）函函數數上上的的是是平平面面區(qū)區(qū)域域設設1),(),(CDyxQyxP,1函函數數）函函數數稱稱為為（一一階階偏偏導導數數都都連連續(xù)續(xù)的的C線線組組成成，或或逐逐段段光光滑滑的的簡簡單單閉閉曲曲由由光光滑滑的的邊邊界界DD 的的正正方方向向是是人人沿沿此此并并約約定定D 在在其其左左側側，則則方方向向前前進進時時區(qū)區(qū)域域DdxdyyPxQQdyPdxDD )(dxdyQPyxD 與路徑無關

21、的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區(qū)區(qū)域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數數, ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與路徑無關與路徑無關內內在在)1( CDCQdyPdx閉曲線閉曲線, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內存在內存在在在),()3(xQyPD ,)4(內內在在等等價價命命題題定積分定積分曲線積分曲線積分二重積分二重積分計算計算計算計算Green公式公式各種積分之間的聯(lián)系各種積分之間的聯(lián)系曲面面積的計算法曲面面積的計算法SDxy),(yxfz xyozS xyDyxdxdyzz221

22、dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab的的一一個個原原函函數數，求求是是已已知知例例)(cosxfxxdxxxxf cos)(的的一一個個原原函函數數是是解解：由由于于)(cosxfxx)(cosxfxx 即即dxxxxxdxxxxf cos)cos(cos)(Cxxxxdxx 2)cos(21coscos典型例題典型例題例例解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf

23、.)()(212Cxfxf xdxx4sincos 計計算算例例xdxxxdxx404sincos2sincos 解解：xdxx422sincos2 xdxx420sincos4 xdxx420sincos4 xxd sinsin4420 02sin545 x 54 例例. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 所所圍圍平平面面圖圖形形與與直直線線求求曲曲線線例例bybyax 12222積積。軸軸旋旋轉轉所所的的旋旋轉轉體體的的體體繞繞yaba2每每一一個個截截面面的的半半徑徑

24、為為：為為積積分分變變量量解解：我我們們以以,y2)(1bya )(122bya 截截面面面面積積為為 bbdybya)(122 旋旋轉轉體體的的體體積積為為 bdybya022)(12 032232bbyya ba238 例例 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 D例例解解圍成圍成由由其中其中計算計算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD所圍立體的體積所圍立體的體積與與求曲面求曲面例例Vyxzyxz222213 解解將此兩曲面的交線將此兩曲面的交線 222213yxzyxz面，面，投向投向 xoy投影為投影為 0122zyx的邊界線，的邊界線，面投影區(qū)域面投影區(qū)域這正是該立體在這正是該立體在Dxoy即積分區(qū)域即積分區(qū)域 D于是所求立體體積為于是所求立體體積為 DyxyxVdd)3(22 Dyxyxdd)1(22 Dyxyxdd)222(22 10220d)22(drrr xyz例例 寫寫出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標標二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11|