1、2-2 力矩與力偶力矩與力偶2.2.力矩力矩1.1.力偶定義力偶定義3.3.力偶的等效條件和性質(zhì)力偶的等效條件和性質(zhì)5.5.算例算例4.4.力偶的平衡條件力偶的平衡條件6.6.空間力偶空間力偶7.7.力對軸之矩力對軸之矩1.1.力偶定義力偶定義什么是力偶什么是力偶力偶實(shí)例力偶實(shí)例力偶相關(guān)知識力偶相關(guān)知識力偶矩的計(jì)算力偶矩的計(jì)算何謂力偶何謂力偶?由兩個等值、反向、不共線的平行力組成的由兩個等值、反向、不共線的平行力組成的力系稱為力偶，記作力系稱為力偶，記作FF,FFAB什么是力偶什么是力偶 力力 偶偶 實(shí)實(shí) 例例F1F2力偶作用面力偶作用面 : :二力所在平面二力所在平面 力力 偶偶 臂臂 d

2、: d :二力作用線之間的垂直間隔二力作用線之間的垂直間隔力力 偶偶 系系 : :作用于剛體上的一群力偶作用于剛體上的一群力偶力偶相關(guān)知識力偶相關(guān)知識OFFABdab力偶矩的計(jì)算力偶矩的計(jì)算OFFABdab闡明：闡明：力偶對恣意點(diǎn)力偶對恣意點(diǎn)O O的矩的矩Mo(F, F/)Mo(F, F/)： FFF ,FOOOMMMFdbOaOFbOaOF F 力偶的作用效應(yīng)取決于力的大小和力偶臂的力偶的作用效應(yīng)取決于力的大小和力偶臂的長短，與矩心的位置無關(guān)。長短，與矩心的位置無關(guān)。力與力偶臂的乘積稱為力偶矩，記作：力與力偶臂的乘積稱為力偶矩，記作：F ,FM,或或M。FdMMF , FOFFABdabC力

3、偶矩的大小還可表示為：力偶矩的大小還可表示為：ABCM2F , F 為以一力為底邊，為以一力為底邊，另一力的起點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。另一力的起點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。ABC力偶矩的計(jì)算力偶矩的計(jì)算平面力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于：平面力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于：力偶矩的大小力偶矩的大小力偶在作用平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向力偶在作用平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向FdM留意：留意：力偶矩是一個代數(shù)量，正負(fù)號表示力力偶矩是一個代數(shù)量，正負(fù)號表示力偶的轉(zhuǎn)向，通常以逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，偶的轉(zhuǎn)向，通常以逆時針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。單位為反之為負(fù)。單位為Nm。力偶和力一樣都是最根本的力學(xué)量。力偶和力一樣都是最根本的力學(xué)量。2.2.力矩力矩平面中力對點(diǎn)之矩平

4、面中力對點(diǎn)之矩力對點(diǎn)之矩矢力對點(diǎn)之矩矢算例算例平面中力對點(diǎn)之矩平面中力對點(diǎn)之矩力力F 對對O點(diǎn)之矩的計(jì)算方法：點(diǎn)之矩的計(jì)算方法： FhMOF留意：留意：在平面問題中，力對點(diǎn)之矩為一代數(shù)量，以在平面問題中，力對點(diǎn)之矩為一代數(shù)量，以繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)。繞矩心逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負(fù)。 ABCMO2F的面積的面積OhABMo(F)FrO：矩心：矩心 h：力臂：力臂兩個要素兩個要素a.大小：力與力偶臂乘積大?。毫εc力偶臂乘積b.方向：轉(zhuǎn)動方向方向：轉(zhuǎn)動方向力對點(diǎn)之矩矢力對點(diǎn)之矩矢 力對點(diǎn)之矩矢的概念力對點(diǎn)之矩矢的概念 力對點(diǎn)之矩矢的矢量積和解析表達(dá)式力對點(diǎn)之矩矢的矢量積和解析表達(dá)式 力對點(diǎn)

5、之矩矢的性質(zhì)力對點(diǎn)之矩矢的性質(zhì) 合力矩定理合力矩定理 力對點(diǎn)之矩矢的概念力對點(diǎn)之矩矢的概念a.強(qiáng)度：力與力偶臂乘積強(qiáng)度：力與力偶臂乘積b.方位：轉(zhuǎn)動軸的方位方位：轉(zhuǎn)動軸的方位c.方向：轉(zhuǎn)動方向方向：轉(zhuǎn)動方向力對剛體產(chǎn)生的繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于三要素：力對剛體產(chǎn)生的繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于三要素： 力力 矩矩 矢矢 量量 的的 方方 向向 按右手定那么按右手定那么rOMFFrMOzyxF,F,FF力矢：力矢：矢徑：矢徑：力力F 對對O點(diǎn)之矩的計(jì)算方法：點(diǎn)之矩的計(jì)算方法：z,y,x r FrFOMOhABMo(F)FrO：矩心：矩心 h：力臂：力臂 力對點(diǎn)之矩矢的矢量積和解析表達(dá)式力對點(diǎn)之矩矢的矢量積和解析

6、表達(dá)式 xoyooMMMFFFxyFyFx力力 對坐標(biāo)原點(diǎn)對坐標(biāo)原點(diǎn)O 的矩為：的矩為：Fx，y，為力作用點(diǎn)，為力作用點(diǎn) A 的坐標(biāo)的坐標(biāo) 、 為力在為力在 x，和，和 y 軸上的投影軸上的投影yFxFxyFxFyOABxFyFFijxy 力對點(diǎn)之矩的矢量運(yùn)算力對點(diǎn)之矩的矢量運(yùn)算=FFxFyFzrkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz FrFMOzyxFFFzyxkji前已述及：前已述及：由此可得：由此可得： xyzzxyyzxyFxFFMxFzFFMzFyFFM=FrMOZYXzyxkjikyFxFjxFzFizFyFxyzxyzFxFyFz力矩的單位：力矩的單位：mN mkN 或或 力

7、對點(diǎn)之矩矢的性質(zhì)：力對點(diǎn)之矩矢的性質(zhì)： 當(dāng)力沿其作用線挪動時，當(dāng)力沿其作用線挪動時， 堅(jiān)持不變。堅(jiān)持不變。 FOM 假設(shè)使假設(shè)使 ，那，那么：么： 0F OM或：或：F = 0，無力作用，無力作用或：或：h = 0，力經(jīng)過矩心，力經(jīng)過矩心 互為平衡的兩個力對同一點(diǎn)的矩的和互為平衡的兩個力對同一點(diǎn)的矩的和 = 0OhABMo(F)FrO：矩心：矩心 h：力臂：力臂 作用于剛體上的二力對剛體產(chǎn)生的繞一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動效作用于剛體上的二力對剛體產(chǎn)生的繞一點(diǎn)的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，可以以該點(diǎn)的一個矩矢來度量，這個矩矢等于應(yīng)，可以以該點(diǎn)的一個矩矢來度量，這個矩矢等于二力分別對該點(diǎn)之矩矢的矢量和。二力分別對該點(diǎn)之矩矢的矢量和

8、。 合力矩定理合力矩定理niinR121FFFFFnFrFrFrFr21RniioRoMM1FF定理表達(dá)：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等定理表達(dá)：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于各分力對同一點(diǎn)力矩的代數(shù)和于各分力對同一點(diǎn)力矩的代數(shù)和定理證明：定理證明：RFr1F2FiFnFAO假設(shè)假設(shè) n 個力匯交于個力匯交于A點(diǎn)，那么其合點(diǎn)，那么其合力為：力為：用用 同時矢積上式兩端同時矢積上式兩端r得到：得到：niioRoMM1FF0F1niioM定理的運(yùn)用：定理的運(yùn)用：運(yùn)用運(yùn)用1：當(dāng)合力對某點(diǎn)的矩較難計(jì)算時，?？上葘⒃摿Ψ纸猓寒?dāng)合力對某點(diǎn)的矩較難計(jì)算時，常可先將該力分解通常為正交分解，然

9、后用合力矩定理計(jì)算其力矩。通常為正交分解，然后用合力矩定理計(jì)算其力矩。運(yùn)用運(yùn)用2：當(dāng)平面匯交力系平衡時，其合力為零，所以該當(dāng)平面匯交力系平衡時，其合力為零，所以該匯交力系對恣意點(diǎn)匯交力系對恣意點(diǎn)O的力矩等于零的力矩等于零從而，當(dāng)平面匯交力系平衡時，可采用上面的力矩從而，當(dāng)平面匯交力系平衡時，可采用上面的力矩方程替代平面匯交力系的投影方程方程替代平面匯交力系的投影方程0011niyinixiFF由于平面匯交力系只需兩個獨(dú)立平衡投影的方程，由于平面匯交力系只需兩個獨(dú)立平衡投影的方程，所以只需兩個獨(dú)立的平衡力矩的方程。所以只需兩個獨(dú)立的平衡力矩的方程。留意：留意：求求: FMO解解: mN93.78

10、cosrFhFFMO按合力矩定理按合力矩定理mN93.78cosrFFMFMFMrOtOO,20mm60r知知: :F=1400N, F=1400N, 直接按定義直接按定義算例算例求：求：解：解：qlxqqlxqlxPl21d0由合力矩定理由合力矩定理xqlxxxqhPlldd020 得得lh32知：知：q,l；合力及合力作用線位置。合力及合力作用線位置。取微元如圖取微元如圖3力偶的等效條件和性質(zhì)力偶的等效條件和性質(zhì) 假設(shè)兩個力偶的力偶矩矢相等大小假設(shè)兩個力偶的力偶矩矢相等大小相等、轉(zhuǎn)向一樣，那么兩力偶彼此等效。相等、轉(zhuǎn)向一樣，那么兩力偶彼此等效。力偶的等效條件力偶的等效條件同平面內(nèi)力偶的等效

11、定理的證明：同平面內(nèi)力偶的等效定理的證明：設(shè)兩力偶設(shè)兩力偶(F, F/)(F, F/)和和(F0, F0/)(F0, F0/)，力偶矩相等，要，力偶矩相等，要求證明它們等效。求證明它們等效。00F ,FF , FMM知：知：210FFF將將 分解，分解，0F210FFF將將 分解，分解，0F1F1F2F2F0F0FFFd將力將力 和和 移到移到 A A、B B點(diǎn)點(diǎn)0F0F0F0FAB同平面內(nèi)力偶的等效定理的證明：同平面內(nèi)力偶的等效定理的證明：2200F ,FF ,FMMACBMOO2F ,FADBM2F ,F22去除去除 和和 ，和，和 構(gòu)成一個新的力偶構(gòu)成一個新的力偶1F1F2F2F1F1F

12、2F2F0F0FFFdCD0F0FAB22F ,FF ,FMM0F0F1F1F2F2FFFd0F0FABCD 必有必有FF,FF22可見力偶可見力偶 和和 等效等效F ,F22F ,F由于由于 和和 等效等效 00F ,F22F ,F證得證得 和和 等效。等效。00F ,FF ,F同平面內(nèi)力偶的等效定理的證明：同平面內(nèi)力偶的等效定理的證明：由于力偶由于力偶 和和 有一樣的力臂有一樣的力臂d d 和一樣的力偶矩。和一樣的力偶矩。22F ,FMF , F M力力 偶偶 的的 性性 質(zhì)質(zhì)性質(zhì)一：力偶無合力，即主矢性質(zhì)一：力偶無合力，即主矢FR=0；力偶不能與一個力等效，因此力偶不能與一個力等效，因此

13、不能與一個力平衡，力偶只能不能與一個力平衡，力偶只能用力偶來平衡。用力偶來平衡。性質(zhì)二：力偶對其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩性質(zhì)二：力偶對其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩都等于其力偶矩本身的大小。都等于其力偶矩本身的大小。FF FF FF F / 2F/ 2 平平 面面 力力 偶偶 的的 特特 點(diǎn)點(diǎn)特點(diǎn)一：力偶只能用力偶來平衡；特點(diǎn)一：力偶只能用力偶來平衡；特點(diǎn)二：特點(diǎn)二： 力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，只與力力偶對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，只與力偶矩的大小和正負(fù)有關(guān)。偶矩的大小和正負(fù)有關(guān)。結(jié)論：結(jié)論：力偶矩是力偶作用的獨(dú)一量度。力偶矩是力偶作用的獨(dú)一量度。力偶的表示方法：力偶的表示方法：=MMFFd4 .力偶系的平衡條件力偶系

14、的平衡條件由于力偶系的合成結(jié)果是一個合力偶矩，由于力偶系的合成結(jié)果是一個合力偶矩，力偶系平衡充要條件為：合力偶矩等于零力偶系平衡充要條件為：合力偶矩等于零01niiMM上式的投影方程為：上式的投影方程為：0, 0, 0111niizniiyniixMMM力偶系有三個獨(dú)立的平衡方程，可以求力偶系有三個獨(dú)立的平衡方程，可以求解三個未知量。解三個未知量。平面力偶系的平衡條件平面力偶系的平衡條件01niiM充要條件：即：一切各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：一切各力偶矩的代數(shù)和等于零。這個平衡方程質(zhì)能求解一個未知量。這個平衡方程質(zhì)能求解一個未知量。根據(jù)力偶實(shí)際，一個力偶與一個力是不能夠平衡的，根據(jù)力偶實(shí)際，

15、一個力偶與一個力是不能夠平衡的，圖示圓盤圖示圓盤 O 為何能在力偶為何能在力偶 M 和和力力 P 的作用下堅(jiān)持平衡的作用下堅(jiān)持平衡 ？平衡條件是什么平衡條件是什么 ？圓盤的半徑為圓盤的半徑為 r 。MOrP5 算例算例MPOOyF圖示圓盤圖示圓盤 O 為何能在力偶為何能在力偶 M 和和力力 P 的作用下堅(jiān)持平衡的作用下堅(jiān)持平衡 ？ 圓盤的中心圓盤的中心 O 處作用有一個處作用有一個垂直方向約束力，該力與力垂直方向約束力，該力與力 P 組成組成一個力偶，該力偶與力偶一個力偶，該力偶與力偶 M 堅(jiān)持堅(jiān)持平衡。平衡。PrMPFOy圓盤的平衡條件為：圓盤的平衡條件為：MOrP;200,20,10321

16、mmmNmNlMMM求：求： 光滑螺柱光滑螺柱AB所受程度力。所受程度力。知：知： 0M0321MMMlFA解得解得N200321lMMMFFBA解：由力偶只能由力偶平衡的解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，其受力圖為：性質(zhì)，其受力圖為：知知mkNM 21m.OAr50030求：系統(tǒng)平衡時的求：系統(tǒng)平衡時的2M以及鉸鏈以及鉸鏈 O 、B 處的處的約束力約束力1M2MABrO1M2MABrO2MABAF BFA1MOAFOFr1、對圓輪、對圓輪O 0M2、對于桿、對于桿AB2M)sinr(FA解得：解得：mkNMsinMM841212kNsinrMFFFABO811M)sinr(FA 0M求圖示剛架

17、支座求圖示剛架支座A、B的約束反力。的約束反力。ABCMaaa解：AC為二力桿，受力如圖。為二力桿，受力如圖。由于力偶只能用力偶來平衡，由于力偶只能用力偶來平衡，所以所以BC桿受力圖如下：桿受力圖如下：aMFMaFMBB2020( )aMFA2( )BCMFBCFFAFCCA對對BC桿桿不計(jì)自重的桿不計(jì)自重的桿AB與與DC在在C處為光滑接觸處為光滑接觸,它們分別受力它們分別受力偶矩為偶矩為m1與與m2的力偶作用的力偶作用 ,轉(zhuǎn)向如圖轉(zhuǎn)向如圖.問問m1與與m2的比值的比值為多大為多大,構(gòu)造才干平衡構(gòu)造才干平衡?60o60oABCDm1m2 桿A B只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束。那么A處

18、約束反力的方位可定。FC Mi = 0FA = FC = F AC = aa F - m1 = 0m1 = a F (1)60o60oABCDm1m2FA60o60oDm2BCAFDF CFD = FC = FCD = a Mi = 0- 0.5aF + m2 = 0m2 = 0.5 aF (2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:221mmy6. 6.空間力偶系空間力偶系MniiMM1上式的解析表達(dá)式為上式的解析表達(dá)式為 合力偶矢在合力偶矢在x x、y y、z z軸上的軸上的投影等于各分投影等于各分力偶矢在相應(yīng)力偶矢在相應(yīng)軸上投影的代軸上投影的代數(shù)和。數(shù)和。niizzniiyyniixxMMMMMM11

19、1kMjMiMMzyx 計(jì)算出合力偶矩矢在計(jì)算出合力偶矩矢在x、y、z軸上的投軸上的投影后，即可按照下述公式算得合力偶矩矢影后，即可按照下述公式算得合力偶矩矢的大小和方向。的大小和方向。RzRRyRRxRniizniiyniixRMMkMMMjMMMiMMMMM,cos,cos,cos2121217.7.力對軸之矩力對軸之矩力對軸之矩概念力對軸之矩概念力對坐標(biāo)軸之矩力對坐標(biāo)軸之矩力對軸之矩與力對點(diǎn)之矩的關(guān)系力對軸之矩與力對點(diǎn)之矩的關(guān)系算例算例 xyOzFMFMMz (F) = Fxyd = 2(OAB)將力向垂直于該軸的平面投影將力向垂直于該軸的平面投影 , ,力對軸的矩等于力的投影與投影力對

20、軸的矩等于力的投影與投影至軸的垂直間隔的乘積。至軸的垂直間隔的乘積。力力F F對對z z軸的矩等于該力在經(jīng)軸的矩等于該力在經(jīng)過過O O點(diǎn)垂直于點(diǎn)垂直于z z軸的平面上的軸的平面上的分量分量 對于對于O O點(diǎn)的矩。點(diǎn)的矩。xyF力對坐標(biāo)軸之矩力對坐標(biāo)軸之矩 將力向三個坐標(biāo)軸方將力向三個坐標(biāo)軸方向分解向分解, ,分別求三個分力對分別求三個分力對軸之矩，然后將三個分力軸之矩，然后將三個分力對軸之矩的代數(shù)值相加。對軸之矩的代數(shù)值相加。 zzyzxzzFMFMFMFM空間力對軸的矩等于零的條件空間力對軸的矩等于零的條件1、力經(jīng)過軸線、力經(jīng)過軸線2、力與軸線平行、力與軸線平行FzFxFyF C即：即： ZOzFMFM cosFMFMOz FMO FMz所以，可得所以，可得 OABFMFMxyOz2 cosFMFMOz OACFMO 2cosOACOAB由右圖可見：由右圖可見：結(jié)論的闡明：結(jié)論的闡明： C FMO FMzoABCBCAOF算例算例oABCBCAOF力力F的作用線與的作用線與AO, AO, BC平行平行,與與BC重合。重合。MAO(F) = MAO(F) = MBC(F) = MBC(F) = 0oABCBCAOFCO,BB和和CC相交。相交。MAB(F) = MCO(F) = MBB(F) = M