1、15.1 球?qū)ΨQ度規(guī)場(chǎng)的一般結(jié)構(gòu)第五章 球?qū)ΨQ的引力場(chǎng) 球?qū)ΨQ：能找到三個(gè)兩兩正交的對(duì)稱軸繞其中任一軸的無窮小轉(zhuǎn)動(dòng)都保持度規(guī)場(chǎng)不變。 等度規(guī)映射 轉(zhuǎn)動(dòng)映射的生成元是凱林矢量場(chǎng)。32(1 )2313( 2 )3121( 3 )12xxxxxx無窮小映射繞三個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的生成元滿足凱林方程,0ggg xx2球?qū)ΨQ度規(guī)場(chǎng)的一般形式2( , )2( , )22222(sin)r tr tdsedtedrr dd 5.2 席瓦西爾(Schwarzschild)外部解真空?qǐng)龇匠?采用球坐標(biāo):0R,3210rtxxxx其余為零22331122200sin,rgegrgeg引力源靜止（與t無關(guān)）122222222

2、211sinGMGMdsdtdrrddrr 3 5.3 伯克霍夫(Birkhoff)定理 如果球?qū)ΨQ的引力源不是靜止而是在作徑向運(yùn)動(dòng)，且在運(yùn)動(dòng)中保持球?qū)ΨQ性，如收縮,膨脹或徑向振蕩，則它的外引力場(chǎng)仍可用席瓦西爾解描述.trtr, Birkhoff定理的意義: Schwarzschild解描述的是球?qū)ΨQ源的外引力場(chǎng)，但這源不必是靜止的，因此當(dāng)觀測(cè)到一個(gè)席瓦西爾引力場(chǎng)時(shí),我們無法判明它的源是一個(gè)穩(wěn)定的恒星,還是一個(gè)膨脹的，收縮，振蕩的恒星。12( )2222222211sintkkdsedtdrrddrr 45.4 席瓦西爾坐標(biāo)的物理意義席瓦西爾解中所用的坐標(biāo) 的意義., rt1. 在席瓦西爾度規(guī)

3、中00igijjiijijgggggh0000因此相鄰點(diǎn)的固有距離 是(無交叉項(xiàng))LjiijdxdxhL 222222212sin21drdrdrrGML2. 度規(guī)與t無關(guān), 所以積分性的有限測(cè)量是有意義的。“靜態(tài)”觀者53. 等r面上的幾何與三維歐氏空間球面幾何相同.測(cè)量等r面上任一大圓的周長(zhǎng)s將有:rs2測(cè)量等r面的總面積A將有:24 rA4. r的大小不反映等r面上任一點(diǎn)至坐標(biāo)中心r=0的固有距離.時(shí)， 坐標(biāo)非物理GMr20rrg22222212sin21drdrdrrGML因?yàn)閺较蛳噜忺c(diǎn)的固有距離不僅與徑向坐標(biāo)差(dr)成比例，而且比例系數(shù)與 r 有關(guān)(1)(2)6時(shí)間坐標(biāo)與時(shí)間測(cè)量的

4、關(guān)系00ig：席瓦西爾坐標(biāo)時(shí)是全空間對(duì)準(zhǔn)了的即不同地點(diǎn)的同時(shí)事件是用同樣的時(shí)間坐標(biāo)標(biāo)志的在 的區(qū)域，坐標(biāo)系是物理的，可以有靜觀測(cè)者GMr2 距離公式 的導(dǎo)出是以存在局域靜止觀測(cè)者為前提的jiijdxdxhL 若 則 是一個(gè)正定的二次型GMr2jiijdxdxh7 靜止觀測(cè)者用他攜帶的鐘所測(cè)到的時(shí)間差T與坐標(biāo)時(shí)差t的關(guān)系0000000000000000011121(,0,0,0)Tgu dxgdx ugu ug dx ug u ugdxugGMTtuur 由 T為靜觀測(cè)者用他攜帶的鐘所測(cè)到的空間某一點(diǎn) 的兩事件之間的時(shí)間差，而t為這兩事件之間的坐標(biāo)時(shí)差0idx0dx靜止觀測(cè)者8坐標(biāo)時(shí)t對(duì)不同地點(diǎn)

5、是對(duì)準(zhǔn)了的因此空間不同地點(diǎn)時(shí)鐘的快慢(固有時(shí))是不一樣的！r 越小(但必須比2GM大)，引力場(chǎng)越強(qiáng)，時(shí)鐘走的越慢，若 r 趨于2GM, T0 ，即時(shí)鐘的指針趨于凝固，這就是黑洞視界表面的情形。21GMTtr21GMTtr坐標(biāo)時(shí)t 是無窮遠(yuǎn)處觀測(cè)者的時(shí)鐘記錄的時(shí)間921GMTtrtT遠(yuǎn)場(chǎng)處近場(chǎng)處Pound & Rebka Experiment (1959)10When the Light is Trapped22sGMRc221TtGMrc Black Hole!Schwarzschild半徑1122 3kmsGMRc太陽Schwarzschild半徑天體的致密程度用/sRR表示天體 太

6、陽 白矮星 中子星 黑洞/sRR5.4104101101在越致密的天體附近，光線彎曲的程度越大12時(shí)間延遲在黑洞附近的時(shí)鐘比遠(yuǎn)處的時(shí)鐘走得慢。在視界處的時(shí)鐘看上去完全停止。From Jacks point of view:Sees the ship getting further away. Flashes the laser every second by his watch.Sees a blue beam leave the laser. From Jills point of view:Each flash takes longer to arrive, and is redder a

7、nd fainter than the one before it. 13Near the Event Horizon.Jack Sees: Laser flashes blue every second by his watch The outside world looks distorted Jill Sees: Laser flashes come 1 hour apart Flashes are shifted to radio wavelengths and are getting fainter with each flash. Down the hole.Jack: Universe vanishes as he crosses the horizon Gets shredded by strong tides near the singularity and crushed to infinite density. Jill: