1、假設(shè)法講義及練習(xí)1 .假設(shè)法的概念。假設(shè)法是通過對數(shù)學(xué)問題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖儯缓蟾鶕?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進行計算和推理，再根據(jù)計算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進行修正和還原，最后使原問題得到解決的思想方法。假設(shè)法是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較常用的方法，實際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種。2 .假設(shè)法的重要意義。假設(shè)法實際上是根據(jù)原來的數(shù)據(jù)、數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系，做一些數(shù)據(jù)的改變，把原問題轉(zhuǎn)化成新的問題，而且新的問題易于理解和解決，是一種迂回戰(zhàn)術(shù)，表面上看解題的步驟變多了，但實際上退一步海闊天空，更有利于計算和推理，有利于培養(yǎng)靈活的思維方式、解決問題的能力和推理能力。3 .假設(shè)法的具體應(yīng)用。假設(shè)法在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較普遍，

2、例如在有關(guān)分?jǐn)?shù)的實際問題，比和比例的實際問題，雞兔同籠問題，邏輯推理問題，圖形的周長、面積和體積等問題中都有應(yīng)用。4 .假設(shè)法的學(xué)習(xí)。假設(shè)法的學(xué)習(xí)應(yīng)注意以下幾點。第一，根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)進行假設(shè)。在解決問題的過程中，如果遇到數(shù)量關(guān)系稍復(fù)雜的問題，要思考它與已掌握的什么知識有關(guān)系，用什么思想方法或者模型來解決，然后想方設(shè)法把它轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系明確而且易于理解的已有的知識。案例1:(1)六年級參加植樹的男生和女生共有36人，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的3倍。男生和女生各有多少人?2（2）六年級參加植樹的男生和女生共有36人，其中男生人數(shù)的4是女生人數(shù)的2倍。男生和女生各有多少人？分析：第（1

3、）題，是學(xué)生非常熟悉的問題，男生人數(shù)與女生人數(shù)的數(shù)量關(guān)系非常清楚且易于理解，既可以用方程解決，也可以用一般的算術(shù)方法計算。第（2）題，數(shù)量關(guān)系與第（1）題有類似的地方，但又稍復(fù)雜，可看作是第（1）題的變型題。兩個數(shù)量無法直接用一個未知數(shù)表示，因而無法直接用一元一次方程解決；如果用算術(shù)方法，可這樣想：根據(jù)題中的條件可知，在不改變男生和女生的比例關(guān)系前提下，可假設(shè)男生有3人，那么3的三分之二是2,2除以2等于1,因而女生有1人，所以男生人數(shù)是女生的3倍。這樣就把第（2）題轉(zhuǎn)化成了第（1）題，再用算術(shù)方法列式計算便可。案例2:小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價有8元一本的和13元一本的兩種。

4、其中8元一本的和13元一本的各買了幾本？分析：假設(shè)10本書都是買的8元一本的，那么才花了80元，比實際少花20元。兩種書的單價相差5元，20里有幾個5,就得出13元的有幾本。20+（13-8）=4,所以8元的買了6本，13元的買了4本。第二，在數(shù)量之間具有一定的比例關(guān)系前提下，可假設(shè)其中的一個數(shù)量為單位“1”，可大大簡化計算的繁瑣程度。案例3:足球比賽門票是20元一張，平均每場有5000名觀眾，降價后每場觀眾增加了50%收入tf加了20%降價后門票的價格是多少？分析：首先要明確一個基本的數(shù)量關(guān)系式：觀眾人數(shù)X門票價格=收入。先按照一般的解題思路分析，根據(jù)題意，要求的是降價后門票的價格，需要知道

5、降價后的收入和觀眾人數(shù)。降價后的收入是：5000X20X（1+20%）=120000（元）。降價后的觀眾人數(shù)是：5000X(1+50%)=7500(人)。所以降價后的門票價格是：120000+7500=16(元)實際上此題還可以用假設(shè)法，根據(jù)題意，降價后的人數(shù)和收入都是在原來的基礎(chǔ)上分別按照一定比例變化，實際上觀眾人數(shù)是500好是500并不影響計算的結(jié)果，因此只需要設(shè)觀眾人數(shù)為單位1就行。假設(shè)降價前的觀眾人數(shù)是1,則降價后的觀眾人數(shù)是1X(1+50%)=1.5,降價前的收入是20X1,則降價后的收入是20X1X(1+20%)=24,所以降價后的門票價格是：24+1.5=16(元)。案例4:如下

6、圖所示，水池和菜地組成了一個正方形，水池和林地組成了一個長方1 1形，重疊的部分是水池。水池的面積占長方形的6,占正方形的4o林地的面積比菜地多20阡方米，水池的占地面積是多少？林地水池菜地分析：因為水池的面積既與長方形有比例關(guān)系，也與正方形有比例關(guān)系，所以可設(shè)11-1二51-1二3水池的面積為1,那么林地的面積為6。菜地的面積為4，那么林地比菜地多2(5-3)個單位面積，1個單位面積是200+(53)=100(平方米)。所以水池的占地面積為10阡方米。第三，“數(shù)量的增減”假設(shè)1 .分?jǐn)?shù)乘除法問題中的增減假設(shè)。案例5一桶油，第一次倒出五分之二，第二次比第一次多倒出10千克，桶里還剩下3時克油，

7、這桶油共重多少千克？分析：從“第二次比第一次多倒出10千克”入手，假設(shè)第二次沒有多倒10千克，而是與第一次倒出的同樣多，則多倒的10千克就歸屬于剩下的，也就是第二次倒少了，則桶內(nèi)就剩多了。這道題就轉(zhuǎn)變成：第一次倒出,第二次也倒出,還剩下（30+10）二4阡克。前兩次共倒出+=,還剩下1-=,那么剩下的40千克對應(yīng)著這桶油的列式解答：（10+30）+（1-BX2）=200（千克）。2 .工程問題中的增減假設(shè)。案例6一批零件，甲單獨做8天完成，乙單獨做10天完成，現(xiàn)在由甲乙共同完成這批零件，中途甲因事請假一天，完成這批零件共用了多少天？分析：假設(shè)甲沒有請假，則甲、乙工作時間相同，共完成這批零件的（

8、1+）倍。列式解答：（1+）+（+）=5（天）?；蚣僭O(shè)乙中途也請假一天，則甲、乙工作時間也相同，只完成這批零件的（1-）。列式解答：（1-）+（+）+1=5（天）。3 .幾何圖形中的增減假設(shè)。案例7在一個面積為32平方厘米的正方形內(nèi)畫一個最大的圓，這個圓的面積是多少平方厘米？分析：根據(jù)題意作圖（如圖1）。計算圓的面積需要知道圓的半徑，圖中這個圓的半徑恰好是正方形邊長的一半，但是正方形的邊長是多少呢？這對小學(xué)生來說，的確是一道無法逾越的障礙，因此，解答這一問題時就應(yīng)另辟蹊徑。假設(shè)將正方形的面積32cm擴大2倍，彳#到64cE,則正方形的邊長就是8cni即可得圓的直徑也為8cm半徑為4cmi由此推

9、算出圓的面積：3.14X（）+2=25.12（cE）。為什么要除以2?因為假設(shè)將正方形的面積擴大2倍，算出的結(jié)果要回到原題就要縮小2倍，所以要除以2?；蚣僭O(shè)將正方形的面積32cm縮小2倍，得到16cm則正方形的邊長為4cmi由此推出圓的面積：3.14X（）IX2=25.12（cmB）。第四，“以實代虛”假設(shè)案例8甲、乙兩所小學(xué)，甲校人數(shù)相當(dāng)于乙校人數(shù)的40%甲校女生占30%乙校男生占42%如果將甲、乙兩校合并，那么女生占總?cè)藬?shù)的百分之幾？分析：題目中沒有具體的人數(shù)，三個百分?jǐn)?shù)之間又沒有直接聯(lián)系，使問題變得更為抽象。解題時可以采用“以實代虛”的方法，假設(shè)乙校的人數(shù)，則可以求出甲、乙兩校的男、女生

10、人數(shù)。假設(shè)乙校人數(shù)為100人，則甲校人數(shù)為100X40%=40（人）；甲校女生有40X30%=12（人），乙校女生有100X（1-42%）=58（人），所以甲、乙兩校合并后，女生占總?cè)藬?shù)的百分?jǐn)?shù)是（12+58）+（100+40）=50%本題的乙校人數(shù)可以假設(shè)成任何數(shù)，但假設(shè)成100人更便于計算。第五，“同一量”假設(shè)當(dāng)問題里有兩個或兩個以上未知數(shù)量時，可以假設(shè)它們?yōu)橥环N量，然后按照題中的已知條件進行推算。案例9在一個籠子里關(guān)了一些雞和一些兔子，數(shù)頭一共有36個，數(shù)腳一共有100只。問雞和兔各多少只？分析：假設(shè)36只全是雞，就應(yīng)該有2X36=72（只）腳，這就比題目所說的100只腳,少了100-

11、72=28（只）。為什么腳會少呢？很顯然是把四只腳的兔子當(dāng)成了兩只腳的雞，把一只兔當(dāng)成一只雞就少了（4-2）=2（只）腳，少了28只腳，就相當(dāng)于把14只兔子當(dāng)成雞，由此可求出兔子的只數(shù)，列式計算如下：兔子只數(shù)為（100-2X36）+（4-2）=14（只），雞的只數(shù)為36-14=22（只）。或假設(shè)36只全是兔子，它們的腳共有4X36=144（只），這又比100只腳多了44只腳,顯然是把兩只腳的雞當(dāng)成四只腳的兔子而多算的，由此可推算雞的只數(shù)，列式計算如下：雞的只數(shù)為（4X36-100）+（4-2）=22（只），兔子的只數(shù)為36-22=14（只）。用假設(shè)法解題時，一定要抓住假設(shè)后的結(jié)果和實際結(jié)果之間

12、的不同，找出不同的緣由，這就是解題的突破口。恰當(dāng)?shù)剡\用好假設(shè)法，不僅能夠促進學(xué)生靈活運用所學(xué)知識，而且有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)練習(xí)：例1學(xué)校有籃球和足球共21個，借出籃球個數(shù)的g和1個足球后，兩種球的個數(shù)相等。原來有籃球和足球各多少個？（適于六年級程度）解：假設(shè)籃球沒有借出，足球借出一個，那么，可以把現(xiàn)有籃球的個數(shù)看作是數(shù)，把現(xiàn)有足千的個數(shù)看作2份數(shù)，兩種球的總份數(shù)是：3+2=5（份）3原來籃球的個數(shù)是：；二原來足球的個數(shù)是：21-12=9（個）例2兩根同樣長的繩子，甲繩剪去,乙繩剪去;米，剩下的繩子哪一根長？（適于六年級程度）解：此題可以有三種答案。119假設(shè)兩根繩子都長床則甲繩剪去紙剩下（

13、米）；剪4米后，剩下1-渭（米）.答：剩下的兩根繩子一樣長。（2）假設(shè)兩根繩子都比1米短，任意假設(shè)為。一6米，則甲繩剪去:后，剩下06X（1-3=04（米）=A（米）；乙繩剪去;米后,乘嚇0.6-；答：甲繩剩下的部分比乙繩剩下的部分長（3）假設(shè)兩根繩子都比1米長。任意假定為1.5米，則甲繩剪去!后，乘下15乂（1=15*g=1（米）號乙繩剪去，米后，剩下15=12533J5o（米）.答：乙繩剩下的部分比甲繩剩下的部分長。3,甲乙兩個煤場共存煤92噸，從甲場運出28噸后，乙場的存煤比甲場的4倍少6噸。兩場原來各存煤多少噸？（適于六年級程度）解：假設(shè)從甲場運出的不是28噸，而是比28噸少6噸的22

14、噸，那么，乙場的存煤數(shù)就正好是甲場的4倍，甲場的存煤是1份數(shù)，乙場的存煤是4份數(shù)，乙場的存煤是兩場存煤總數(shù)的所以，乙場原耒存煤器C92-22）x1=50C噸甲場原來存煤：92-50=42（噸）4,有兩塊地，平均畝產(chǎn)糧食185千克。其中第一塊地5畝，平均畝產(chǎn)糧食203千克。如果第二塊地平均畝產(chǎn)糧食170千克，第二塊地有多少畝？（適于五年級程度）解：假設(shè)兩塊地平均畝產(chǎn)糧食都是170千克，則第一塊地的平均畝產(chǎn)量比兩塊地的平均畝產(chǎn)多：203-170=33（千克）5畝地要多產(chǎn)：33X5=165（千克）兩塊地實際的平均畝產(chǎn)量比假設(shè)的平均畝產(chǎn)量多：185-170=15（千克）因為165千克中含有多少個15千

15、克，兩塊地就一共有多少畝，所以兩塊地的畝數(shù)一共是：165+15=11（畝）第二塊地的畝數(shù)是：11-5=6（畝）5,一項工作，甲、乙兩隊單獨做各需要10天完成，丙隊單獨做需要7.5天完成在三隊合做的過程中，甲隊外出1天，丙隊外出半天。問三隊合做完成這項工作實際用了幾天？（適于六年級程度）解：假設(shè)甲沒有外出，丙也未外出，也就是說，甲、乙、丙三個隊的工作天數(shù)一樣107527+話多，則三隊合做的工作量可達到：一1展（記干云637x3三隊合做這項工作，實際用的天數(shù)是:=35（天）6,一項工程，甲、乙兩隊合做80天完成。如果先由甲隊單獨做72天，再由乙隊單獨做90天，可以完成全部工程。甲、乙兩隊單獨完成全

16、部工程各需要用多少天？（適于六年級程度）解：假設(shè)甲隊做72天后，乙隊也做72天，則剩下的工程是：乙隊還需要做的時間是：90-72=18（天）乙隊單獨完成全部工程的時間是:=1180=180（天）72+（1-白90）loU1=72十二2甲隊單獨完成全部工程的時間是：.一7,某商店上月購進的藍墨水瓶數(shù)是黑墨水瓶數(shù)的3倍，每天平均賣出黑墨水45瓶,藍墨水120瓶。過了一段時間，黑墨水賣完了，藍墨水還剩300瓶。這個商店上月購進藍墨水和黑墨水各多少瓶？（適于高年級程度）解：根據(jù)購進的藍墨水是黑墨水的3倍，假設(shè)每天賣出的藍墨水也是黑墨水的3倍,則每天賣出藍墨水：45X3=135（瓶）這樣，過些日子當(dāng)黑墨

17、水賣完時藍墨水也會賣完。實際上，藍墨水剩下300瓶，這是因為實際比假設(shè)每天賣出的瓶數(shù)少：135-120=15（瓶）賣的天數(shù)：300+15=20（天）購進黑墨水：45X20=900（瓶）購進藍墨水：900X3=2700（瓶）8,甲、乙兩個機床廠今年一月份都超額完成了生產(chǎn)計劃，甲廠完成計劃的112%,乙廠完成計劃的110%。兩廠共生產(chǎn)機床400臺，比原計劃超產(chǎn)40臺。兩廠原計劃各生產(chǎn)多少臺機床？（適于六年級程度）解：假設(shè)兩個廠一月份都完成計劃的110%,則兩個廠一月份共生產(chǎn)機床：（400-40）X110%=396（臺）甲廠計劃生產(chǎn)：（400-396）+（112%-110%）=4+2%=200（臺）

18、乙廠計劃生產(chǎn)：400-40-200=160（臺）9,某校三、四年級學(xué)生去植樹。三年級去150人，四年級去的人數(shù)比三年級人數(shù)的2倍少20人。兩個年級一共去了多少人？（適于三年級程度）解：假設(shè)四年級去的人數(shù)正好是三年級的2倍，而不是比三年級的2倍少20人，則兩個年級去的人數(shù)正好是三年級人數(shù)的3倍。兩個年級去的人數(shù)是：150X3=450（人）因為實際上，四年級去的人數(shù)比三年級2倍少20人，所以兩個年級去的實際人數(shù)是：450-20=430（人）10,甲、乙、丙三個鄉(xiāng)都拿出同樣多的錢買一批化肥。買好后，甲、丙兩個鄉(xiāng)都比乙鄉(xiāng)多18噸，因此甲鄉(xiāng)和丙鄉(xiāng)各給乙鄉(xiāng)1800元。問每噸化肥的價格是多少元？（適于高年級

19、程度）解：假設(shè)甲、丙兩個鄉(xiāng)買的化肥不比乙鄉(xiāng)多18噸，而是與乙鄉(xiāng)買的同樣多，則應(yīng)把多出來的2個18噸平均分。平均分時每個鄉(xiāng)多得：18X2+3=12（噸）因為甲、丙兩個鄉(xiāng)都比乙鄉(xiāng)多得18噸，而平均分時每個鄉(xiāng)得12噸，所以乙鄉(xiāng)實際比甲、丙兩個鄉(xiāng)都少：18-12=6（噸）每噸化肥的價格：1800+6=300（元）小52，例1某班男生比全班人數(shù)的g少4人，女生比全班人數(shù)的?多6人,這個11,班"小芹二舌一尸:二,解：假設(shè)男生增加4人，女生減少4人，則全班總?cè)藬?shù)不變，男生正好是52全班人數(shù)的女生比全班人數(shù)的二多工6-4=2（人）全班人數(shù)是：52（6-4）人）男生人數(shù)是：45X£-4=21（人）2女生人數(shù)是：12,學(xué)校運來紅石專和青石專共9750塊。紅石專用去20%,青石t用去1650塊后，剩下的紅石專和青石專的塊數(shù)正好相等。學(xué)校運來紅石專、青石專各多少塊？（適于六年級程度）解：假設(shè)少運來1650塊青石專，則一共運來而專：9750-1650=8100（塊）以運來的紅石專的塊數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量1,則剩下的紅石專的分率是：1-20%=80