1、2020屆四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考試題數(shù)學(xué)(文)一、單選題1 .已知集合 A 1,13,4,集合 B x|x2 4x 3 0,則 AI B ()A. 1,4B. 1,14C. 1,3,4D. - ,13,【答案】A【解析】集合 A, B是數(shù)集，集合B是一元二次不等式解的集合，求出解集，與A集合的交集運(yùn)算求出公共部分 .【詳解】解：Q 集合 A 1,1,3,4,集合 B=x|x -4x 3>0=(-,1) (3,+),AI B =4-1,4.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二不等式的解法和集合交集運(yùn)算，交集運(yùn)算口訣：“越交越少，公共部分”.2.已知復(fù)數(shù)4iz A. 1B. ,3

2、C. 2D. 3【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)4i. =.3+i1. 3i,再利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式求出結(jié)果解：Q z_4i_4i(1、3i)1.3i (1 . 3i )(1 、3i)zv3+i 4(73)2 1 2故選：C .【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)運(yùn)算復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算關(guān)鍵是分母“實(shí)數(shù)化”，其一般步驟如下：(1)分子、分母同時(shí)乘分母的共軻復(fù)數(shù)；(2)對(duì)分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算；(3)整理、化簡(jiǎn)成實(shí)部、虛部分開的標(biāo)準(zhǔn)形式.復(fù)數(shù)的模等于復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也等于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.3 .為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已

3、了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣【答案】C【解析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選 C.【考點(diǎn)】分層抽樣.4 .已知實(shí)數(shù)0 a b,則下列說(shuō)法正確的是()A. c c a bC. lna< Inb【答案】C【解析】 A B利用不等式性質(zhì)可判斷，【詳解】1解：對(duì)于AQ實(shí)數(shù)0 a b,a對(duì)于B. c 0不成立.對(duì)于C .利用對(duì)數(shù)函數(shù)y22b. ac <bcD(fa(1)b22C、D利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷1 cc

4、一一一，一一，c 0不成立 b abln x單調(diào)遞增性質(zhì)，即可得出.1、x .對(duì)于D.指數(shù)函數(shù)y (-)單倜遞減性質(zhì)，因此不成立.2故選：C .【點(diǎn)睛】利用不等式性質(zhì)比較大小.要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件.解決此類問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.5 .已知命題p：x 2m 1,q:x2 5x 6 0,且P是q的必要不充分條件， 則實(shí)數(shù)m 的取值范圍為(A. mb. mC. m>1d. m 122【答案】D【解析】求出命題q不等式白解為2x3, P是q的必要不充分條件， 得q是P的子 集，建立不等式求解.【詳解】解：Q 命題 p：x 2m 1,q:x2 5x 6

5、 0,即：2 x 3,p是q的必要不充分條件，(2,3)(,2 m 1,),2m 1 3 ,解得m 1 .實(shí)數(shù)m的取值范圍為m 1.故選：D .【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).6.若數(shù)列an為等差數(shù)列，且滿足3 a5= a3 a8,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則s尸( )A. 27B. 33C. 39D. 44【答案】B【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)，若 m n= p q ,則am an= ap

6、 aq求出a6= 3,再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得S111(ai+a11) 11a6=332【詳解】 解：因?yàn)? a5= a3 %,由等差數(shù)列性質(zhì)，若m n= p q ,則am an=ap aq得,a6 = 3 .Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，則 Sii= 11(a1+a11) 11a6= 33 .2故選：B .【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前n項(xiàng)和.如果an為等差數(shù)列，若 m n= p q ,則am an= ap aq(m, n, p, q N*).（2）要注意等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用，如S2n i （2n 1）an.7 .已知，是空間中兩個(gè)不同的平面，m,n是空間中兩

7、條不同的直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若m ,n ，且，則m nB.若m,n，且 m/ ,n/ ，則 /C.若 m,n / ，且 ，則 m nD.若 m,n / ，且 / ，則 m n【解析】利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，對(duì)選項(xiàng)做出判斷，舉出反例排除解：對(duì)于A,當(dāng)m ,n ，且,則m與n的位置關(guān)系不定，故錯(cuò);對(duì)于B ,當(dāng)mn時(shí)，不能判定 / ,故錯(cuò)；對(duì)于C,若m,n/ ，且 ，則m與n的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；對(duì)于D ,由m, /可得m ，又n/ ，則m n故正確.故選：D .【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理 和性質(zhì)定理.一般可借助正

8、方體模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.228 .已知拋物線y2= 20x的焦點(diǎn)與雙曲線 3211a 0,b 0的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且 a b9拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為-,那么該雙曲線的離心率為（2A.B.C.22【解析】由拋物線 y2= 20x的焦點(diǎn)（5,0）得雙曲線3241a 0,b 0的焦點(diǎn) a b 9由焦半徑公(5,0),求出g 5,由拋物線準(zhǔn)線方程 x5被曲線截得的線段長(zhǎng)為-,解：由拋物線y2=20x,可得 2p= 20,則p=10,故其準(zhǔn)線方程為 x 5 ,Q拋物線2 x = 20x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線 -2a0,b的左焦點(diǎn),Q拋物線y2= 20x的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為2

9、b29 22一,又 c =25= a2a= 4,b=3,則雙曲線的離心率為本題考查拋物線的性質(zhì)及利用過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)求離心率弦過(guò)焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長(zhǎng).9.如圖，在 ABC中,uuurAN1 uuur -AC , 3P是BN上的一點(diǎn),uur mACuuur 2 uuu AP -AB ,3則實(shí)數(shù)m的值為()1 BC. 1D.uur mACuuu 2 uuuAP AB變形為3uuuAPuuur mAC2 uuu 一 AB ,3uuur由ANuuuuuuruuurAC 3AN,轉(zhuǎn)化在VABN中，利用B、P、N三點(diǎn)共線可得解：依題:uuu uuur2 uur uuir2 uuuAPmAC

10、 AB3mAN AB,33又B, P, N三點(diǎn)共線，c 213m - 1 ,解得 m -.39故選：B .本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是（1）先選擇一組基底，并A P、B運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程（組）求參數(shù)的值.（2）直線的向量式參數(shù)方程:uur三點(diǎn)共線？ OPuuu uuu（1 t）OA tOB （ O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，t R）2110.已知實(shí)數(shù)a 0,b 1滿足a b=5,則一 的最小值為（）a b 1A. 3 2,.2b. 3 4,2C, 3 2 2d. 3 4 24466【答案】A21

11、，【解析】所求 的分母特征，利用 a b= 5變形構(gòu)造a （b 1） 4 ,再等價(jià)變 a b 11 21 一，形1（2 ）a （b 1）,利用基本不等式求最值.4 a b 1【詳解】解：因?yàn)?,b1滿足a b= 5,21211則（）a b 1 一 a b 1 a b 14；（3 2歷,當(dāng)且僅當(dāng)2 b 1-a時(shí)取等號(hào),a b 1本題考查通過(guò)拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.（1）拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形 ；（2）代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)（3）拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前

12、提.11 .關(guān)于圓周率 支，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)的值：先請(qǐng)全校 mg同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì) x, y；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì) x, y的個(gè)數(shù)a ；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù) a估計(jì) 的值，那么可以估計(jì)的值約4aAmB.a 2m4a 2mC k D k0 x 1【解析】由試驗(yàn)結(jié)果知 m對(duì)01之間的均勻隨機(jī)數(shù) x, y，滿足，面積為1,0 y 1由幾何概型概率計(jì)算公式,再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)（x, y）,滿足條件的面積,得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估

13、計(jì)的值.解：根據(jù)題意知,m名同學(xué)取m對(duì)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，其面積為 1,若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x, y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有1 a 14a 2m其面積S -；則有一一一，解得 4 2 m 4 2m本題考查線性規(guī)劃可行域問(wèn)題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問(wèn)題.線性規(guī)劃 可行域是一個(gè)封閉的圖形， 可以直接解出可行域的面積； 求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積， 必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo),找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解rx x r12.已知 a (2sin ,cos),b 22(/cosx,2cos x),函數(shù) f (

14、x)22r ra b在區(qū)間4，一， 一一一一、一0,上恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)3的取值范圍為()8 5a 5,2)【答案】BC.5 73,4。2【解析】先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出f (x) 2sin( x 一) 1 ,函數(shù)在區(qū)6、一 4間0,上恰有3個(gè)極值點(diǎn)即為二個(gè)最值點(diǎn)，x k ,k Z解出，362kx ,k Z ,再建立不等式求出 k的范圍，進(jìn)而求得的范圍.3【詳解】解： f x 、3 sin x 2cos2-x. 3 sin x cos x 12,k Zf(0) 2,2sin( x ) 1 6令 x k , k Z ,解得對(duì)稱軸x 6234又函數(shù)f x在區(qū)間0,恰有3個(gè)極值點(diǎn)，只

15、需3一 75解得75.42故選：B .y= Asin( x+ )+t 或x+的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題 (1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y= Acos( x+ )+t的形式；(2)根據(jù)自變量的范圍確定弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍二、填空題2x y 2 013.實(shí)數(shù)x,y滿足x y 1 0 ，則z 2x y的最大值為x y 2 02【解析】畫出可行域，解出可行域的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，比較大 小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解：作出可行域，如圖所示,則當(dāng)直線Z= 2xy過(guò)點(diǎn)C時(shí)直線的截距最大，

16、z取最大值.12- 1 32C(一,)，同理 B(0,2), A( 1,0),32 22ZcZbZaZc本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問(wèn)題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得， 所以對(duì)于一般的線性規(guī)劃問(wèn)題， 若可行域是一個(gè)封閉的圖形,我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來(lái)求最值14 .在 ABC中，a=2, b = 3, c=4,則其最大內(nèi)角的余弦值為八 1【答案】'4【解析】因?yàn)閏a,所以在ABC中最大的內(nèi)角為角 C ,則由余弦定理，得2-2a bcosC

17、4 9 162ab15 .已知直三棱柱 ABC A1BC1中,ABC= 3AB= 4, BC= CC1= 2,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為【解析】以B為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系，求出山(1_LUUIQABi ( 273,2,2), BCi0,2,2 ,利用空間向量夾角公式可得 【詳解】2 一 一一 一直二棱枉 ABC AB1cl 中， ABC=，AB=4, BC=CCi= 2 3以B為原點(diǎn)，在平面 ABC中，過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線為x軸，BC為y軸，BB為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,CiARM, 2,0), B(0,0,2), B(0,0,0), Ci(0,2,

18、2)山11一 山山ABi ( 2.3,2,2), BQ (0,2,2)設(shè)異面直線ABi與BCi所成角為則異面直線ABi與BCi所成角的余弦值為:cosumr uur ABigBCi 田ur-田L(fēng)uLULI LULU .AB1gBe120 g.，8故答案為：21°5本題考查利用空間向量求異面直線所成角空間角.兩條異面直線所成角的求法r r（i）選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；（2）設(shè)兩條異面直線 a,b的方向向量為a,b,其夾r ragb角為，（3）代入公式cosj二sinq二十十求解（其中為異面直線a,b所成的角）.a bi6.已知函數(shù)f (x) x3ia,x 一，e與g（x） 3ln

19、x x i的圖象上存在關(guān)于 x e軸對(duì)稱的點(diǎn)，則 a的取值范圍為【答案】2, e3 2【解析】?jī)珊瘮?shù)圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程11x x a= 3lnx x 1在區(qū)間一,e上有斛，化間萬(wàn)程a-1=x3nx在區(qū)間一,e上 ee有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解【詳解】2 .1.一一解：根據(jù)題息，右函數(shù) f (x) x x a(- x e)與g x 3ln x x 1的圖象上 e存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，1則萬(wàn)程x x a= -3lnx x 1在區(qū)間一,e上有斛， e即方程a-1=x3-3lnx在區(qū)間Le上有解，e3 ,、設(shè)函數(shù) g(x) x3 3lnx ,其導(dǎo)數(shù) g

20、'(x) 3x2 一 -(x) ,x x一 11又由x ,e,可得：當(dāng)一x 1時(shí)，g'(x) 0,g(x)為減函數(shù)，ee當(dāng)1 x e時(shí)，g'(x) 0,g(x)為增函數(shù)，故函數(shù)g(x) x3 31nx有最小值g(1) 1,一 ,11-3 -1又由 g(一) 3,g(e) e 3；比較可得：g(-) g(e),e ee33故函數(shù)g x x31nx有最大值g e e 3,故函數(shù)g xx3 31nx在區(qū)間1,e上的值域?yàn)?,e33;e若方程a 1= x3 3lnx在區(qū)間1,e上有解,e3 2,即a的取值范圍是2, e3 2；故答案為：2, e3 2；本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)

21、間上最值求參數(shù)的問(wèn)題，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的拓展.由于函 數(shù)y f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的根，在研究方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決.此類問(wèn)題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.三、解答題17 .某企業(yè)為了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間，對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄，得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了9個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）.若用時(shí)不超過(guò)40 （分鐘），則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員（1）求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù);（2）從樣本數(shù)據(jù)用時(shí)不超過(guò) 50分鐘的工人中隨機(jī)抽取 2個(gè)，求至少有一個(gè)工人是優(yōu)秀員工的

22、概率.5【答案】（1）中位數(shù)為43,眾數(shù)為47. （2）7【解析】（1）莖葉圖完全反映所有的原始數(shù)據(jù)，由莖葉圖直接得中位數(shù)43,眾數(shù)47（2）用列舉法得到用時(shí)不超過(guò) 50分鐘的工人中隨機(jī)抽取 2個(gè)的基本事件總數(shù)為 21種, 和所求至少有一個(gè)工人是優(yōu)秀員工的基本事件數(shù)為15種，利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】 解：1由莖葉圖得：中位數(shù)為43,眾數(shù)為47.2設(shè)不超過(guò)50的工人為a,b,c,d,e, f,g ,其中a,b,c為優(yōu)秀員工，從這7名工人中隨機(jī)抽取 2人的基本事件有 21個(gè)，分別為：a,b, a,c, a,d,a,e, a, f, a, g, b, c, b,d, b,e, b,

23、f, b,gc,d, c,e, c, f,c,g,d,e, d, f, d,g, e, f, e,g, f, g其中至少有一名工人是優(yōu)秀員工的基本事件有15個(gè)，15 5至少有一個(gè)工人是優(yōu)秀員工的概率P二三.21 7【點(diǎn)睛】本題考查利用莖葉圖中位數(shù)和眾數(shù)問(wèn)題及古典概型的概率.解決古典概型實(shí)際問(wèn)題的步驟：（1）判斷是否是古典概型，（2）列舉或計(jì)算基本事件總數(shù)和所求基本事件數(shù)（3）用古典概型的概率公式計(jì)算18 .如圖，四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，PA= PC=5,點(diǎn)M,N分別是AB, PC的中點(diǎn).（1）求證：MN /平面PAD ;4 4（2）若 cos PCD=,DAB=

24、 60 ,求二棱錐 P ADN 的體積.5【答案】（1）見解析（2） 273【解析】1取PD的中點(diǎn)H,證明四邊形AMNH為平行四邊形，利用線面平行的判定定理可得.2由1問(wèn)MN/平面PAD,利用等積法轉(zhuǎn)換5 ADN = VNI PAD= Vm PAD = VP3 ADM，利用余弦定理求出 PD=3,用勾股逆定理證明 PD DC , PD AD ,證明PD 平面ABCD,得高PD=3 ,再計(jì)算S ADM =2 J3從而得VP ADN,2 J3 3 2/3 2【詳解】1證明：取PD的中點(diǎn)H ,連接NH ,AH ,1Q N 是 PC 的中點(diǎn)， NH /DC, NH = DC , 2一-1八又 AM /

25、 /DC, AM = -DC , NH /AM 且 NH =AM , 2四邊形AMNH為平行四邊形，則 MN /AHPAD,又MN 平面PAD, AH 平面4PCD59,則 PC2 PD2 DC2,MN /平面 PAD；2 解：Q PC=5,DC = 4,cos24PD2 25 16 2 5 4 -5PD DC ,同理 PD AD , 又 AD DC = D , PD 平面 ABCD ,又 MN/平面 PAD, VP- ADN= VN PAD= VM-PAD= VP- ADM ,又 Q DAB 60 , Sadm -42 2百.22-2x/33273 .2ADN【點(diǎn)睛】本題考查線面平行判定定理

26、及利用等積法求三棱錐的體積判定線面平行的方法：（1）利用線面平行的判定定理（2）利用面面平行的性質(zhì)定理 （3）利用面面平行的性質(zhì)；求空間幾何體體積的思路：若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.其中，求三棱錐的體積常用等體積轉(zhuǎn)換法；若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式 求解.19.已知數(shù)列 an滿足對(duì)任意n N*都有2an 1= an an 2 ,其前n項(xiàng)和為Sn ,且S7=49,a3是a-與己3的等比中項(xiàng)，a-a2.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an ；一，一一 ._a_ 1一一 .9T 20(2)已知數(shù)

27、列 如 滿足bn 2 n ,Cn=anbn,設(shè)數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Tn,求6n 5大于1000的最小的正整數(shù)n的值.【答案】(1) an 2n 1(2) 4【解析】(1)利用2an 1= an an 2判斷an是等差數(shù)列，利用S7=49，求出a4= 7,利用等比中項(xiàng)建立方程，求出公差可得.(2)利用an的通項(xiàng)公式an,求出bn 22n 4n,Cn2n 1gf,用錯(cuò)位相減法求出20 6n 3 4n 1,最后建立不等式求出最小的正整數(shù).99【詳解】解：1Q任意n N*都有2an產(chǎn)an an 2,數(shù)列an是等差數(shù)列，Q S=49, 7a4=49, a4= 7,又Qa3是a1與an的等比中項(xiàng)，a a?

28、,設(shè)數(shù)列 an的公差為d ,且d 0,i r2則 7 d 7 3d 7 9d ,解得 d=2,a產(chǎn) 7 3d = 1,an 1 2 n 1 2n 1 ；2 由題意可知 bn 22n 4n,Cn2n 1 G4n,_1_2_nTn 1 43 4? 2n 1 4 ，23_n 1 -4Tn 1 43 4 ?2n 14，-彳導(dǎo):3Tn4 242 243?2 4n 2n 14n 1Tn2096n 594n9Tn 20 4n 16n 522 n由 9TH0>1000得'22n 2100052n 2 10n 4,滿足條件的最小的正整數(shù) n的值為4 .【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公

29、式及錯(cuò)位相減法求和.(1)解決等差數(shù)列通項(xiàng)的思路(1)在等差數(shù)列 an中，ad是最基本的兩個(gè)量，一般可設(shè)出ai和d ,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列方程(組)求解即可.(2)錯(cuò)位相減法求和的方法：如果數(shù)列 an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列an 8n的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解；在寫“ Sn ”與“ qSn ”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“ Sn qSn ”的表達(dá)式3 rrrr20 .已知點(diǎn) P(1-),a(x 1,y),b(x 1,y),且 ab4 ,滿足條件的Q(x,y)點(diǎn)2的軌跡為曲線C.(1

30、)求曲線C的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)(0, 1)的直線l ,直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，直線PA, PB與l的方程；若不存在,y軸分別交于M ,N兩點(diǎn)，使得PM = PN ?若存在，求出直線 請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)【解析】(1)1/5存在，y 3x 1或y -x 14得(x 1)2 y2J(x 1)2 y2 4看成 Q(x,y)到兩定點(diǎn)Fi( 1,0), F2(1,0)的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線C的方程.(2)先討論斜率不存在情況是否符合題意，當(dāng)直線 l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線點(diǎn)斜式方kPB= 0,再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判kPA程 y kx 1 ,由 |PM = PN ,

31、可得別式得到關(guān)于k的一元二次方程求解【詳解】解：1 設(shè) Fi( 1,0), F2(1,0),rrr由 a (x 1,y),b (x 1,y) , a可得小(x 1)2y2 J(x 1)2y2 4 ,即為 QFiQF2 =4 ,由4F1F2 ,可得Q的軌跡是以Fi( 1,0), F2 (1,0)為焦點(diǎn)，且2a 4的橢圓,22由g 1,a= 2,可得b Ja2 c2J3,可得曲線C的方程為土 -L 1；432假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)(0, 1)的直線l符合題意.當(dāng)直線l的斜率不存在，設(shè)方程為x= 0,可得M , N為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，PM = PN不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y kx 1 , A(x1

32、,kx1 1), B(X2,kx2-1)由 PM=PN,可得 kpMkpN = 0,即 kpAkpB = 0,5 ,5可得匚kx2 2X 1 x2 10 ,化為 2kxix2 (k5、，-)(x1 x2) 5 0 , 2y kx 1由 223x2 4y2 12可得(3+ 4k2)x2- 8kx- 8=0,由(0, 1)在橢圓內(nèi)，可得直線l與橢圓相交,8kx x2 2,x1x23 4k823 4k2則2" 士)(k n52化為 16k 8k(k ) 5(3 4k2)2所以存在直線l符合題意，且方程為5 01 3.50,即為 4k2 12k 5 0,解得 k 或k -,2 21/5-x1

33、或 y-x1.22【點(diǎn)睛】本題考查求軌跡方程及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題.(1)定義法求軌跡方程的思路 ：應(yīng)用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵在于由已知條件推出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的等量關(guān)系式，由等量關(guān)系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解；(2)解決是否存在直線的問(wèn)題時(shí)，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解 .21.已知函數(shù) f x ln x 1 ax 1 a a R .(1)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間;(2)若 bln x 1exx 1> 0對(duì)任意x> 0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【答案】(1)見解析(2) 0,【解析】(1)函

34、數(shù)求導(dǎo)f '(x)ax 1 a ,討論參數(shù)范圍，解f'(x)0求單增區(qū)間,解f '(x) 0求單減區(qū)間;(2)不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題,g(x) bln(x1)x 1 ,對(duì)任意x 0,g(x) 0 等價(jià)于 g(x) g(0),研究 gx單調(diào)性求解.解:1 f (x)的定義域?yàn)?1,), f '(x)ax 1a x 10時(shí),a(x1) 10 ,故函數(shù)f (x)在(1,)單調(diào)遞增;0時(shí),1 時(shí)，f'(x) 0,當(dāng) x1,1 時(shí)，f'(x) a0 ,故函數(shù)f(x)11- 1)單調(diào)遞增，在 a(-1,a)單調(diào)遞增;2 令 g(x)bln(x 1

35、)則 g(0)0,對(duì)任意x0,g(x) 0等價(jià)于 g(x)g(0),g'(x) 上ex 1,g'(0) b，當(dāng)b 0時(shí)，g '(0) 0 ,則存在m(0,m)使，g'(x) 0,g(x)在(0,m)上是減函數(shù),x (0,m)時(shí)，g(x) g(0),與條件不符,b 0當(dāng)時(shí)，由x 0,可知x 1 1 ,故0g'(x) 0g(x)在(0,)上是增函數(shù),x 0時(shí)，g(x) g(0),即 g(x) 0；綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍為0,).導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)本題考查含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)性的步驟： 求f'(x)

36、； (2)確定f x在(a,b)內(nèi)的符號(hào)；作出結(jié)論：f '(x) 0時(shí)為增函數(shù)；f '(x) 0時(shí)為減函數(shù).研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.不等式恒成立問(wèn)題的求解方法：(1)已知不等式f(x,) 0(為實(shí)參數(shù))對(duì)任意的x D恒成立，求參數(shù) 的取值范圍.利用導(dǎo)數(shù)解決此類問(wèn)題可以運(yùn)用分離參數(shù)法，(2)如果無(wú)法分離參數(shù)，可以考慮對(duì)參數(shù)或自變量進(jìn)行分類討論求解_x 2cos22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)，以坐y 2 2sin標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為4cos .(1)求曲線Ci的極坐標(biāo)方程和曲線 C2的普通方程；(2)設(shè)射線0P ：二與曲線G交于不同于極點(diǎn)