1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上有限元方法的發(fā)展及應用1 有限元法介紹1.1 有限元法定義有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它是起源于20世紀50年代末60年代初興起的應用數學、現代力學及計算機科學相互滲透、綜合利用的邊緣科學。有限元法的基本思想是將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的(較簡單的）近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件(如結構的平衡條件），從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算

2、精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。有限元法最初應用在工程科學技術中,用于模擬并且解決工程力學、熱學、電磁學等物理問題。1.2 有限元法優(yōu)缺點有限元方法是目前解決科學和工程問題最有效的數值方法，與其它數值方法相比，它具有適用于任意幾何形狀和邊界條件、材料和幾何非線性問題、容易編程、成熟的大型商用軟件較多等優(yōu)點。（1）概念淺顯，容易掌握，可以在不同理論層面上建立起對有限元法的理解，既可以通過非常直觀的物理解釋來理解，也可以建立基于嚴格的數學理論分析。（2）有很強的適用性，應用范圍極其廣泛。它不僅能成功地處理線性彈性力學問題、費均質材料、各向異性材料、非線性應立-應變關

3、系、大變形問題、動力學問題已及復雜非線性邊界條件等問題，而且隨著其基本理論和方法的逐步完善和改進，能成功地用來求解如熱傳導、流體力學、電磁場等領域的各類線性、非線性問題。他幾乎適用于求解所有的連續(xù)介質和場問題，以至于目前開始向納米量級的分子動力學滲透。（3）有限元法采用矩陣形式表達，便于編制計算機軟件。這樣，不僅可以充分利用高速計算機所提供的方便，使問題得以快速求解，而且可以使求解問題的方法規(guī)范化、軟件商業(yè)化，為有限元法推廣和應用奠定了良好的基礎。但是，在求解一些特殊問題，特別是間斷問題時，有限元方法存在著某些固有的缺陷。例如：（1）有限元采用的是連續(xù)性的位移近似函數，對于裂紋類強間斷問題，為

4、獲得足夠的計算精度，需要對網格進行足夠的細分，計算量極大。（2）在采用拉格朗日法求解金屬沖壓成形、裂紋動態(tài)擴展、流固耦合、局部剪切等涉及特大變形問題時，有限元網格可能會產生嚴重扭曲，使計算精度急劇下降甚至計算無法繼續(xù)，因此，需要不斷地進行網格重構，計算量極大。同時，為了模擬裂紋的動態(tài)擴展過程，也需要不斷地進行網格重構。（3）在處理夾雜問題時，單元的邊須位于夾雜與基體的界面處，即使對于網格自動化程度很高的二維問題這也很不容易，而三維問題則更復雜。1.3 有限元法的派生 有限元法作為數值方法中的基礎方法，有其一定的使用范圍，也由于一定的弊端決定了其不完全通用性。在有限元方法基礎上，發(fā)展出有其特殊使

5、用范圍的更精準的派生數值方法，下面介紹幾種重要的數值方法。1.3.1有限差分法有限差分法（FDM，Finite Difference Method）已經發(fā)展的一些近似數值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以處理一些相當困難的問題。但對于幾何形狀復雜的邊界條件，其解的精度受到限制，甚至發(fā)生困難。作為60年代最重要的科技成就之一的有單元法。在理論和工程應用上都得到迅速發(fā)展，幾乎所有用經典力學解析方法難以解決的工程力學問題郁可以用有限元方法求解。它將連續(xù)的求解域離散為一組有限個單元的組合體，解析地模擬或逼近求解區(qū)域。由于單元能按各種不同的聯結方式組合在一起，且單元本身又可有不同的幾何形狀，因此

6、可以適應幾何形狀復雜的求解域。有限元的另一特點是利用每一單元內假設的近似函數來表示全求解區(qū)域上待求的未知場函數。單元內的近似函數由未知場函數在各個單元結點上數值以及插值函數表達，這就使未知場函數的結點值成為新的未知量，把一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題，只要結點來知量解出，便可以確定單元組合體上的場函數。隨著單元數目的增加，近似解收斂于精確解。但是有限元方法常常需要很大的存貯容量，甚至大得無法計算；由于相鄰界面上只能位移協調，對于奇異性問題（應力出現間斷）的處理比較麻煩。這是有限單元法的不足之處。1.3.2邊界元法邊界元法（BEM，Boundary Element Method

7、）是在有限元法之后發(fā)展起來的一種較精確有效的工程數值分析方法。與有限元法在連續(xù)體域內劃分單元的基本思想不同，邊界元法是在定義域的邊界上劃分單元，用滿足控制方程的函數去逼近邊界條件，通過對邊界分元插值離散，化為代數方程組求解。降低了問題的維數，可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀，利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數，而具有解析與數值相結合的特點，通常具有較高的精度。邊界元法的主要缺點是它的應用范圍以存在相應微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質等問題難以應用，故其適用范圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數方程組的系數陣是非對稱滿陣，對解題規(guī)模產生較大限制。上述兩種數值方

8、法的主要區(qū)別在于，邊界元法是“邊界”方法，而有限元法是“區(qū)域”方法，但都是針對連續(xù)介質而言，只能獲得某一荷載或邊界條件下的穩(wěn)定解。對于節(jié)理裂隙發(fā)育的巖體或顆粒散體的處理則要麻煩得多，更無法進行大變形、分離、回轉及塌落過程的模擬。這就使得人們去探索和尋求適合模擬節(jié)理巖體和顆粒散體運動變形特性的有效數值方法。1.3.3 離散元法離散元法（DEM，Distinct Element Method）是由Cundall P A (1971)首先提出并應用于巖土體穩(wěn)定性分析的一種數值分析方法。它是一種動態(tài)的數值分析方法,可以用來模擬邊坡巖體的非均質、不連續(xù)和大變形等特點,因而,也就成為目前較為流行的一種巖土

9、體穩(wěn)定性分析數值方法。該方法在進行計算時,首先將邊坡巖體劃分為若干剛性塊體 (目前已可以考慮塊體的彈性變形) ,以牛頓第二運動定律為基礎,結合不同本構關系,考慮塊體受力后的運動及由此導致的受力狀態(tài)和塊體運動隨時間的變化。它允許塊體間發(fā)生平動、轉動,甚至脫離母體下落,結合CAD技術可以在計算機上形象地反應出邊坡巖體中的應力場、位移及速度等力學參量的全程變化。該方法對塊狀結構、層狀破裂或一般碎裂結構巖體比較適合。1.3.4 廣義有限元法廣義有限元方法（GFEM，Generalized Finite Method）是常規(guī)有限元方法在思想上的延伸，它基于單位分解方法,通過在結點處引入廣義自由度，對結點

10、自由度進行再次插值,從而提高有限元方法的逼近精度，或滿足對特定問題的特殊逼近要求?；趶V義有限元方法對單元形狀函數構造理論的深入研究，具有任意內部特征（空洞、夾雜、裂紋等）及外部特征（凹角、角點、棱邊等）的復雜問題,都將在簡單、且與區(qū)域無關的有限元網格上加以求解。1.3.5 擴展有限元法擴展有限元（XFEM，Extended Finite Element Method）是在標準有限元方法的框架下，提出來的一種用于解決裂紋、孔洞、夾雜等間斷問題的數值方法。在有限元的近似函數中，增加能反映待求問題間斷特性的附加函數項，采用水平集方法（LSM）描述間斷面的幾何特性及其移動規(guī)律。擴展有限元方法與標準有

11、限元方法相比，具有計算精度高、勿需網格重構等特點。2 有限元法的發(fā)展有限元法是R.Courant于1943年首先提出的。自從提出有限元概念以來,有限元理論及其應用得到了迅速發(fā)展。過去不能解決或能解決但求解精度不高的問題，都得到了新的解決方案。傳統的FEM假設：分析域是無限的；材料是同質的，甚至在大部分的分析中認為材料是各向同性的;對邊界條件簡化處理。但實際問題往往是分析域有限、材料各向異性或邊界條件難以確定等。為解決這類問題,美國學者提出用GFEM （Gener-alized Finite Element Method）解決分析域內含有大量孔洞特征的問題；比利時學者提出用HSM （the Hy

12、brid metis Singular element of Membrane plate）解決實際開裂問題。在FEM應用領域不斷擴展、求解精度不斷提高的同時，FEM也從分析比較向優(yōu)化設計方向發(fā)展。印度Mahanty博士用ANSYS對拖拉機前橋進行優(yōu)化設計，結果不但降低了約40%的前橋自重，還避免了在制造過程中的大量焊接工藝，降低了生產成本。FEM在國內的應用也十分廣泛。自從我國成功開發(fā)了國內第一個通用有限元程序系統JIGFEX后，有限元法滲透到工程分析的各個領域中，從大型的三峽工程到微米級器件都采用FEM進行分析，在我國經濟發(fā)展中擁有廣闊的發(fā)展前景。目前在進行大型復雜工程結構中的物理場分析時

13、，為了估計并控制誤差,常用基于后驗誤差估計的自適應有限元法。基于后處理法計算誤差,與傳統算法不同，將網格自適應過程分成均勻化和變密度化2個迭代過程。在均勻化迭代過程中，采用均勻網格尺寸對整體區(qū)域進行網格劃分，以便得到一個合適的起始均勻網格；在變密度化迭代過程中只進行網格的細化操作，并充分利用上一次迭代的結果，在單元所在的曲邊三角形區(qū)域內部進行局部網格細化，保證了全局網格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的網格能光滑銜接，從而提高網格質量。整個方案簡單易行，穩(wěn)定可靠，數次迭代即可快速收斂,生成的網格布局合理，質量高。2.1有限元法的國內外研究現狀FEM作為求解數學物理問題的一種數值方法，已經歷了50

14、余年的發(fā)展。20世紀50年代，它作為處理固體力學問題的方法出現。1943年，Courant第一次提出單元概念。19451955年,Argyris等人在結構矩陣分析方面取得了很大進展。1956年，Turner、Clough等人把剛架位移法的思路推廣應用于彈性力學平面問題。1960年,Clough首先把解決彈性力學平面問題的方法稱為“有限元法”,并描繪為“有限元法 = Rayleigh Ritz法 + 分片函數”。幾乎與此同時,我國數學家馮康也獨立提出了類似方法。FEM理論研究的重大進展，引起了數學界的高度重視。自20世紀60年代以來,人們加強了對FEM數學基礎的研究。如大型線性方程組和特征值問題

15、的數值方法、離散誤差分析、解的收斂性和穩(wěn)定性等。FEM理論研究成果為其應用奠定了基礎,計算機技術的發(fā)展為其提供了條件。20世紀70年代以來，相繼出現了一些通用的有限元分析(FEA: Finite Element Analysis)系統,如SAP、ASKA、NASTRAN等，這些FEA系統可進行航空航天領域的結構強度、剛度分析,從而推動了FEM在工程中的實際應用。20世紀80年代以來，隨著工程工作站的出現和廣泛應用,原來運行于大中型機上的FEA系統得以在其上運行，同時也出現了一批通用的FEA系統,如ANSYS-PC、NISA,SUPERSAP等。20世紀90年代以來,隨著微機性能的顯著提高，大批

16、FEA系統紛紛向微機移植，出現了基于Windows的微機版FEA系統。經過半個多世紀的發(fā)展,FEM已從彈性力學平面問題擴展到空間問題、板殼問題;從靜力問題擴展到動力問題、穩(wěn)定問題和波動問題;從線性問題擴展到非線性問題；從固體力學領域擴展到流體力學、傳熱學、電磁學等其他連續(xù)介質領域；從單一物理場計算擴展到多物理場的耦合計算。它經歷了從低級到高級、從簡單到復雜的發(fā)展過程,目前已成為工程計算最有效的辦法之一。2.2有限元法的網格化分發(fā)展作為有限元走向工程應用樞紐的有限元網格劃分，是有限元法的一個非常重要的研究領域，經歷了40 多年的發(fā)展歷程。有限元網格劃分算法研究中的某些難點問題始終未能得到真正意義

17、上的解決，它們的解決對工程問題具有重要的現實價值和理論意義。有限元分析的基本過程可分為三個階段：有限元模型的建立（即前處理）、有限元解算、結果處理和評定（即后處理）。根據經驗, 有限元分析各階段所用的時間為：40%-45%用于模型的前處理，50%-55%用于后處理，而分析計算只占5%左右； 更有指出有限元建模占有限元分析一半以上的工作量, 甚至高達 80%。因此，有限元分析的前后處理一直都是有限元分析的瓶頸問題，嚴重地阻礙著有限元分析技術的應用和發(fā)展。許多學者對有限元網格生成方法近 30 年的研究進行了概括和總結，對某些重要分支領域的研究進展方面也做出了貢獻。近年來, 有限元網格生成方法研究有

18、兩個顯著特點：（1）經歷了一個進化過程，一些方法的研究與應用出現停滯，而另外一些方法在不斷地深入、完善和發(fā)展，成為適應性強、應用范圍廣泛的通用方法；（2）領域和主題在不斷擴展和深入，研究重點由二維平面問題轉移到三維曲面和三維實體問題，從三角形、四面體網格自動生成轉移到四邊形、六面體網格自動生成。3 有限元法的應用有限元法最初應用在求解結構的平面問題上,發(fā)展至今，已由二維問題擴展到三維問題、板殼問題，由靜力學問題擴展到動力學問題、穩(wěn)定性問題，由結構力學擴展到流體力學、電磁學、傳熱學等學科，由線性問題擴展到非線性問題，由彈性材料擴展到彈塑性、塑性、粘彈性、粘塑性和復合材料，從航空技術領域擴展到航天

19、、土木建筑、機械制造、水利工程、造船、電子技術及原子能等，由單一物理場的求解擴展到多物理場的耦合，其應用的深度和廣度都得到了極大的拓展。3.1有限元法的應用過程FEM應用于實際問題須經歷以下過程，如圖1所示。程序開發(fā)算法研究有限元方程數學描述未知問題應用理論研究有限元建模否是計算結果有限元建模結果處理數值計算系統開發(fā)已知問題提出改進的方案圖1. FEM的應用過程（1）問題的數學描述。對問題客觀規(guī)律的數學描述(通常是微分方程及邊界條件)是建立有限元方程的前提。單元特性矩陣和整體有限元方程都是基于數學模型建立的。常見的彈性力學基本方程、運動方程、熱傳導方程等都是對客觀現象的數學描述。（2）有限元方

20、程的建立。利用變分原理,通過離散、單元分析、整體分析等過程,建立數學模型的有限元方程，它通常是一組易于用數值方法求解的代數方程。（3）算法研究。有限元方程的計算量龐大，須有有效的算法來保證計算效率和精度，同時考慮對計算條件的要求。如求解大型線性方程組的帶寬法、波前法，求解大型特征值問題的分塊Lanczos法等。（4）程序開發(fā)。數值計算依賴于計算機,因此求解算法需用相應的計算程序來實現。（5）有限元建模。對應于FEA系統的前處理(Pre-processing)。它為數值計算提供所有原始輸入數據(節(jié)點數據、單元數據和邊界條件數據)。因為模型形式直接決定計算精度和規(guī)模，且建模所需時間約占整個FEA的

21、70%左右，所以建模質量和效率是FEA的關鍵。圖2列出了有限元建模中的關鍵技術。CAD系統幾何建模單元特性定義網格劃分邊界條件定義模型處理截面造型圖2 有限元建模的關鍵技術（6）數值計算。對應于FEA系統的計算(Solving)。它由一系列計算程序組成,計算程序又稱求解器(solver)。每個求解器完成特定類型的計算。因此求解器越多,系統功能越強。（7）結果處理。對應于FEA系統的后處理(Post-processing)。它對計算結果進行處理、顯示、運算和列表等。若按照(1)(7)過程,問題得以解決，則FEM應用結束;反之,則需根據求解結果提出改進方案,循環(huán)執(zhí)行(5)(7)過程,直至問題解決或

22、得到最佳設計。對于一個全新的問題,必須從第一步開始。而對已知的問題，可從第(5)步開始，即直接利用已有的FEA系統,建立有限元模型。在實際應用中，絕大多數問題都屬于第二類問題。3.2 有限元法的應用領域FEM最早應用于固體力學領域,但由于其解決問題的有效性和實用性，很快推廣應用于溫度場、電磁場、流場、聲場等連續(xù)介質領域。目前FEM的應用領域主要包括：（1）靜力分析。包括線性非線性靜力分析。線性靜力分析研究線彈性結構的變形和應力，它是工程結構分析和設計中最基本的方法。非線性結構靜力分析主要研究外載作用下引起的非線性響應，其中非線性來源主要是材料非線性、幾何非線性和邊界條件非線性3大類。（2）動力

23、分析。主要包括以下分析類型：1）模態(tài)分析。用于求解多自由度系統的模態(tài)參數。為計算得到的計算機主板的前三階振型。2）瞬態(tài)響應分析。求解在時域內結構承受隨時間變化的載荷和速度作用時的動力響應。3）簡諧響應分析。對簡諧激勵結構在其平衡位置的振動進行分析。4）頻譜響應分析和隨機振動分析。用于分析結構受已知頻率激勵時的最大響應。5）屈曲和失穩(wěn)分析。分析考察結構的極限承載能力，研究結構總體或局部的穩(wěn)定性，獲得結構失穩(wěn)形態(tài)和失穩(wěn)路徑。6）自動接觸分析。用于接觸邊界定義和摩擦分析。（3）失效和破壞分析。包括斷裂分析（線彈性斷裂分析和彈塑性斷裂分析）、裂紋萌生與擴展分析、跌落分析和疲勞失效分析。（4）熱傳導分析

24、。包括穩(wěn)態(tài)熱傳導分析、瞬態(tài)熱傳導分析、熱輻射、強迫對流及溫度的耦合分析。（5）電磁場分析。它用于對電磁場中電感、電容、磁通量密度、渦流、電場分布、磁力線分布、能量損失等物理量進行分析。（6）聲場分析。它用來研究在含有流體介質中聲波的傳播問題,或分析浸在流體中的固體結構的動態(tài)特性。（7）研究流體速度、壓強、密度變化規(guī)律和粘滯流體的運動規(guī)律及粘滯流體中運動物體所受阻力及其它熱力學性質。（8）耦合場分析。考慮兩種或兩種以上物理場的交叉作用和相互影響(耦合)。3.3 有限元法的應用的熱點和前景隨著FEM研究的深入，過去不能解決或能解決但求解精度不高的問題，都得到了新的解決方案。傳統的FEM假設：分析域是無限的；材料是同質的,甚至在大部分的分析中認為材料是各向同性的;對邊界條件簡化處理。但實際問題往往是分析域有限、材料各向異性或邊界條件難以確定等。為解決這類問題，美國的heofanis Strouboulis & LinZhang等人提出用GFEM (Generalized Finite Element Method)解決分析域內含有大量孔洞特征的問題；比利時的Nguyen Dang Hung和越南的Tran Thanh Ngoc提出用HSM (the Hybrid metis Singular element of