1、常微分方程的實(shí)際應(yīng)用于萍摘要：常微分方程在當(dāng)代數(shù)學(xué)中是極為重要的一個(gè)分支，它的實(shí)用價(jià)值很高，應(yīng)用也很廣泛,本文主要介紹常微分方程在幾何、機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電磁振蕩方面的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明，體會(huì)常微分方程對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題的作用，在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中通常是建立起實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，也就是建立反映這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的微分方程，求解這個(gè)微分方程，用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果解釋實(shí)際問(wèn)題，從而預(yù)測(cè)到某些物理過(guò)程的特定性質(zhì)，以便達(dá)到能動(dòng)地改造世界，解決實(shí)際問(wèn)題的目的。關(guān)鍵字：常微分方程，幾何，機(jī)械運(yùn)動(dòng)，電磁振蕩，應(yīng)用Abstract:Nomaldifferentialequationisanimportantpartofmathati

2、thasahighpracticalvalue.Thisthesisshowstheuseingeometry,mechaicsandelectrothermalandmakessomeexamples.Also,itsummarizesthenormalmoveofdealingwithpracticalproblemsbythenormaldifferentialequation.Normal,wesetupthemathsmaticmodeloftheproblem,solutethenormaldifferenticalequationmaketheuseoftheresulttoex

3、plainpracticalproblemsandmakeaforecastofsomespecialcharacterofphysicalprocess.Key:Normaldifferetialequationgeometrymechanicselectrothermaluse引言數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù)，是反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程中量與量之間的一種關(guān)系，但在大量的實(shí)際問(wèn)題中遇到稍為復(fù)雜的一些運(yùn)動(dòng)過(guò)程時(shí)，反映運(yùn)動(dòng)規(guī)律的量與量之間的關(guān)系（即函數(shù)）往往不能直接寫出來(lái)，卻比較容易地建立這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系式，不同的物理現(xiàn)象可以具有相同的數(shù)學(xué)模型，這一事實(shí)正是現(xiàn)代許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者

4、和工程人員應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問(wèn)題的理論依據(jù)。例如，利用電路來(lái)模擬某些力學(xué)系統(tǒng)或機(jī)械等等在現(xiàn)時(shí)已相當(dāng)普遍。在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其他領(lǐng)域中，例如化學(xué)、生物學(xué)、自動(dòng)控制、電力技術(shù)等等，都提出了大量的微分方程問(wèn)題，因此，社會(huì)的生產(chǎn)實(shí)踐是常微分方程理論取之不盡的基本源泉。止匕外，常微分方程與數(shù)學(xué)的其他分支的關(guān)系也是非常密切的。它們往往互相聯(lián)系、互相促進(jìn)。例如，幾何學(xué)、機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電磁振蕩就是常微分方程理論的豐富的源泉之一，常微分方程也是解決實(shí)際問(wèn)題不可或缺的武器。一、常微分方程在幾何學(xué)的應(yīng)用在幾何應(yīng)用問(wèn)題中，列的方程常常是含有變限定積分的方程。在求解時(shí)要化為相應(yīng)的微分方程或微分方程初值問(wèn)題。凡是

5、能用定積分計(jì)算的量，一定分布在某個(gè)區(qū)間(比如b,b】)上，并且對(duì)于該區(qū)間具有可加性，曲邊梯形的面積A與區(qū)間a,b】有關(guān)，當(dāng)把b,b1分成n個(gè)部分區(qū)間時(shí)，則所求量A也相應(yīng)地分成n個(gè)部分量AA(i=12，n),而A就等于所有這些部n分之和，即a=£&A，這時(shí)我們就稱面積A對(duì)區(qū)間la,b具有可加性，幾i1何中的面積、弧長(zhǎng)，曲線方程等都具有這種特性。在求解微分方程的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，列出方程是關(guān)鍵性的一步，一定要逐字逐句地仔細(xì)閱讀題目，根據(jù)題目的要求確定未知函數(shù)和自變量，然后利用題設(shè)中指出的(或包含的)相等關(guān)系列出方程，應(yīng)用問(wèn)題常常是初值問(wèn)題。因而，要從題設(shè)中確定未知函數(shù)滿足的初始條件。常

6、微分方程在解決幾何問(wèn)題的過(guò)程中通常采用數(shù)形結(jié)合，達(dá)到簡(jiǎn)易直觀的效果。利用y'表示曲線y=f(x)上(x,y)點(diǎn)處的切線斜率或-2表示曲線dyxy=f(x)上(x,y)點(diǎn)的法線斜率以及ff(t)dt表示由曲線ay=f(x)(f(x)上0),直線x=x,x=a,x軸所圍圖形的面積等方面的意義，列方程。解方程，在求解過(guò)程中一定要對(duì)常微分方程的解法熟悉于心，才能得心應(yīng)手。首先要審視方程，判斷方程類型，屬于一階微分方程還是可降階微分方程或高階微分方程等等。根據(jù)不同類型，確定解題方案。F面就讓我們結(jié)合具體例題來(lái)體會(huì)常微分方程在解決幾何問(wèn)題的應(yīng)例1，、設(shè)y=f(x)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A(0,1),B

7、(1,0)的一段連續(xù)曲線，M(x,y)為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C為M在x軸上的投影。O為坐標(biāo)3原點(diǎn)，若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為X+1,求63f(x)的表達(dá)式。解：根據(jù)題意有:f(0)=1,f=0且x1+f(x)+f12x將上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù),xf(x)-f(t)dt=當(dāng)0<xE1時(shí)，可化為一階線性微分方程:一1一1f(x)-f(x)=x-xx方程兩邊同除x,即得盤=1-2xx積分可得必=x1cxx于是，方程通解為f(x)=x21cx把f(1)=0代入通解，可確定常數(shù)c=-2故所求函數(shù)f(x)的表達(dá)式為：-2_2一f(x)=x1-2x=(x-1),0.x.1例2、在上

8、半平面求一條向上凹的曲線，其任一點(diǎn)p(x,y)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ長(zhǎng)度的倒數(shù)，(Q是法線與x軸的交點(diǎn)),且曲線在點(diǎn)(1,1)處切線與x軸平行。解：見圖，所求曲線為y=f(x),于是其在p(x,y)點(diǎn)處的曲率為：(1y2)2(1y2)2(.曲線為凹的，.二y">0)曲線y=f(x)在p(x,y)點(diǎn)處的法線方程：Y-y=-1(X-x)(y-二0)y它與x軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)Q(x+yy：0),1于是PQ=4(yy)2+y2=y(1+y'2)2,由題設(shè)k=1PQ即=11(1y2)2y(1y2)2=yy'=1+y'2這是不顯含x的方程初始條件為，y|

9、x1,y'|xT0令y'=p,y"=pdp,于是方程變?yōu)閐ydp2pdyyp1pdp二dy1py12x.二-ln(1+p)=lny+c1,代入y'|x=。，得c1=022-：2.pp=y-1=p=±qy-1,積分得ln(y-y2-1)=(x-1)c2代入y|xg=1,得C2=0故所求曲線為：2/(xJ)1xx)yqy-1=e，即y=2(ee)例3、已知曲線過(guò)(1,1)點(diǎn)，如果把曲線上任一點(diǎn)P處的切線與y軸的交點(diǎn)記作Q,則以PQ為直徑所做的圓都經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0),求此曲線方程。解：見圖所求曲線設(shè)為y=f(x)于是切線方程為Y-y=y(X-x)切線PQ與

10、y軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q(0,y-xy)設(shè)M點(diǎn)為切線段PQ的中點(diǎn)，坐標(biāo)為'xxy'y122)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F(1,0)MQ=MF,=1于是得方程yy-xy.y|xj1令y2=z,則方程1/2、1=2(y)、y2.12o21_:z=_z-'2'_dz2,dx=Inz=2lnxIncz=cx2(2)令z=c(x)x2為的解,代入并整理，得c(x)x2=-22c(x)x=c(x)=-x故的通解為:cx2=2x-1+dx即方程的通解為22y=2x-1cx,代入初值y|x/=1,得=0x故所求曲線為y2=2x-1例4、在制造探照燈的反射鏡面時(shí)，總是要求將點(diǎn)光源射出的光線平行地反射

11、出去，以保證探照燈有良好的方向性，試求反射鏡面的幾何形狀。解：取光源所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，而x軸平行于光的反射方向，(見圖)。設(shè)所求曲面由曲線V=f(x),z=0繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，則求反射鏡面問(wèn)題歸結(jié)為求xy平面上的曲線y=f(x)的問(wèn)題。過(guò)曲線y=f(x)上任一點(diǎn)M(x,y)作切線NT則由反射定律：入射角等于反射角，容易推知=“2從而OM=on注意到dy二tg：2=MPdxNP及5P=x,MP=y,OM=Jx2y2就得到函數(shù)y=f(x)所滿足的微分方程式吆=一這是齊次方程。dxxxy設(shè)二y,將它化為變量分離方程求解x得y2=c(c+2x)c為任意常數(shù)故反射鏡面的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面y2+z2=c(c+

12、2x)二、常微分方程在機(jī)械振動(dòng)中的應(yīng)用常微分方程與物理聯(lián)系甚為廣泛，下面我們就一起來(lái)看一下常微分方程在機(jī)械振動(dòng)中的應(yīng)用，常微分方程解決力學(xué)問(wèn)題需要：建立坐標(biāo)系，對(duì)所研究物體進(jìn)行受力分析；根據(jù)牛頓第二定律F=ma,列方程；解方程。下面，讓我們從實(shí)例中體會(huì)常微分方程在力學(xué)中的作用。例1：一個(gè)質(zhì)量為m的船以速度v0行駛，在t=0時(shí)，動(dòng)力關(guān)閉，假設(shè)水的阻力正比于vn,其中n為一常數(shù)，v為瞬時(shí)速度，求速度與滑行距離的函數(shù)關(guān)系。解：船所受的凈力=向前推力-水的阻力=0-kvn,加速度=速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即a=dv,dt于是，由題設(shè)有dvnm=-kvdt、V|t4=v0現(xiàn)在要求的不是速度與時(shí)間的關(guān)系,而是速

13、度與距離的關(guān)系，設(shè)距離為X,于是，上述方程可化為:dvdvdxdvmmmv-dtdxdtdx-kvn=mv1"dv=-kdx格)當(dāng)n#2時(shí)，兩邊積分，得2-nmv2-n-kxc把v|y=V0,x|t白=0代入上式，得2-nmV。2-n故v2'k(2-n)2Hxv0m當(dāng)n=2時(shí)，（戶mv/dv=-kdx,kx積分得v=cem,將初值代入，得c=v。kx故v-v0em例2、兩個(gè)質(zhì)量相同的重物掛于彈簧下端，其中一個(gè)墜落，求另一個(gè)重物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，已知彈簧掛一個(gè)重物伸長(zhǎng)為a。10解：如圖所示，建立坐標(biāo)系設(shè)彈簧自由狀態(tài)時(shí)長(zhǎng)度為l,取l十a(chǎn)處(即掛一重物時(shí)彈簧的長(zhǎng)度)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x軸鉛直

14、向下，設(shè)在t時(shí)刻，重物在x處,由虎克定律知，此時(shí)彈性恢復(fù)力為-kx,k為彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)“一”是因?yàn)閺椥曰謴?fù)力與位移反向，由牛頓第二定律有:212m=-ktdtx(0)=ax(0)=0掛兩重物時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)2a,由虎克定律有:mg2mg=k2a=k=a2方程=-9x,dt2a于是方程通解為x=gcos.gtc2sin.gtaa把初始條件x(0)=a,x'(0)=0代入以上兩式其特征方程：，2=_g=.gaa得c1=a,c2=0所求重物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為x=acos.gt數(shù)學(xué)擺是系于一根長(zhǎng)度為l的線上而質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圓周動(dòng)運(yùn)。如圖所示，試確定擺的運(yùn)動(dòng)方程。點(diǎn)

15、M向著平衡位置A的方向運(yùn)動(dòng)，即當(dāng)角中為正時(shí)，向減小中的方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)角邛為負(fù)時(shí)，向增大中的方向運(yùn)動(dòng)，所以MP的數(shù)值等于-mgsin%因此，擺的運(yùn)動(dòng)方程是mdv=-mgsin%即曹=.9而中。dtdt2l(1)如果只研究擺的微小振動(dòng)，即當(dāng)中比較小時(shí)的情況，我們可以取sin平的近似值中代入上式，這樣就得到微小振動(dòng)時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)方程:d2;dt2(2)如果我們假設(shè)擺是在一個(gè)粘性的介質(zhì)中擺動(dòng)，那么，沿?cái)[的運(yùn)動(dòng)方向就存在一個(gè)與速度v成比例的阻力，若阻力系數(shù)為N,則擺動(dòng)方程為d2dt2mdt(3)如果沿?cái)[的運(yùn)動(dòng)方向恒有一個(gè)外力F(t)作用于它，這時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)12稱為強(qiáng)迫微小振動(dòng)，其方程為：d4+匕當(dāng)+9*lF(t

16、)。dt2mdtlml當(dāng)要確定擺的某一個(gè)特定運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們應(yīng)給出擺的初始狀態(tài)：當(dāng)t=0d;日寸，甲=%=Wo。dt這里中0代表擺的初始位置，Wo代表初始角速度。例4：生產(chǎn)實(shí)踐中很多機(jī)械問(wèn)題都?xì)w結(jié)為彈性振動(dòng)問(wèn)題，下面便是一個(gè)彈簧振動(dòng)的典型例子。設(shè)有彈性系數(shù)c而自然長(zhǎng)度為l的彈簧豎著懸掛著。它的上端固定，下端懸掛，一個(gè)質(zhì)量為m的物體，物體受到垂直干擾力f=f4)，求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律所滿足的微分方程。解：如圖所示，取通過(guò)懸掛點(diǎn)的直線為x軸,向下記為正方向，原點(diǎn)取在系統(tǒng)平衡位置，為確定物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，先分析它的位置，x=x處的受力情況。(1)彈簧彈性力f0,依虎克定律f0=-c(6+x),其中6為彈簧在物體

17、重力作用下的伸長(zhǎng)量。(2)物體所受重力p=mg(3)介質(zhì)阻力R與物體運(yùn)動(dòng)速度成正比，與運(yùn)動(dòng)方向相反，dxR-v二一dt其中R為常數(shù)，稱為阻尼系數(shù)。(4)重力干擾力f=fi(t)13因此，這時(shí)物體所受合外力F=f0PRf=_cE，xmg-；Xflm/=-c、xmg-史dtdtfi(t)由于系統(tǒng)的平衡位置處，彈性力f0=-c6與重力p=mg平衡，故有再由牛二定律，得方程:-cmg=0于是上述方程寫成2dx,dx1小m-cx=f1(t)dt2dt若記一=2n,=k2mmfi(t)mf(t)則可寫成d2x八dx72nkx=f(t)dt2dt這就是該物體在外力f(t)作用下運(yùn)動(dòng)規(guī)律。x=x(t)所滿足的

18、微分方程若物體振動(dòng)過(guò)程中，未受外力干擾，即f(t)=0,則微分方程,2.dxcdx52nkx=0dt2dt三、常微分方程在電磁振蕩中的應(yīng)用建立起實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般是比較困難的，因?yàn)檫@需要對(duì)與問(wèn)題有關(guān)的自然規(guī)律有一個(gè)清晰的了解，如前面所求的力學(xué)問(wèn)題就要對(duì)牛二定律有清楚的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也需要有一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，為了要建立起實(shí)14際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，一定要學(xué)習(xí)有關(guān)的自然科學(xué)和工程技術(shù)的專業(yè)知識(shí)，微分方程往往可以看作是各種不同物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，我們?cè)诮⑽⒎址匠痰臅r(shí)候，只能考慮影響這個(gè)物理現(xiàn)象的一些主要因素，而把其它一些次要因素忽略掉，如果的確考慮到了那些最主要的因素，那么，我們所得到的微分方程，它的解

19、和所考慮的物理現(xiàn)象就是比較接近的，這時(shí)，我們得到的數(shù)學(xué)模型是有用的，否則，我們還應(yīng)考慮其它一些因素，以便建立起更為合理的數(shù)學(xué)模型，為了解決熱電學(xué)問(wèn)題，需要了解其中的一些基本規(guī)律，如下面將用到牛頓冷卻定律，其內(nèi)容為熱量總是從物體中溫度高的向溫度低的物體傳導(dǎo)；在一定溫度范圍內(nèi)，一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度和其所在介質(zhì)溫度差值成比例，等等，我們將在實(shí)例中一一解答。常微分方程解決電磁振蕩問(wèn)題通常建立起電熱學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，也就是反映這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的微分方程。求解這個(gè)微分方程。用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果解釋實(shí)際問(wèn)題，從而預(yù)測(cè)到某些物理過(guò)程的特定性質(zhì)，以便達(dá)到能動(dòng)地改造世界，解決實(shí)際問(wèn)題的目的。接下來(lái)，就讓

20、我們從實(shí)例中體會(huì)常微分方程在電熱方面的應(yīng)用。例1.R-L電路，如圖，它包含電感L,電阻R和電源E,設(shè)t=0時(shí)，電路中沒有電流，我們要求建立：當(dāng)開關(guān)k閉合后，電流I應(yīng)該滿足的微分方程，假設(shè)R,L,E都是常數(shù)。k解：為了建立電路的微分方程，我三E們引用關(guān)于電路的基爾霍夫第二定律：ILL15在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和等于零。注意到經(jīng)過(guò)電阻R的電壓降是RI,而經(jīng)過(guò)電感L的電壓降是LdIdt由基爾霍夫第二定律得到E-L*R-。dlR,E即一I=dtLL求出的I=1應(yīng)滿足條件:當(dāng)t=。時(shí)，I=。，如果假定在t=t。時(shí)，I=I。，電源E突然短路，因而E變?yōu)榱?，此后亦保持為零，那么電流I滿足方程。

21、dI+RI=。，及條件t=t。時(shí)，I=I。dtL。，。例2R-L-C電路，如圖所示，它包括電感L,電阻R和電容C,設(shè)RL,C均為常數(shù)，電源e(t)是時(shí)間t的已知函數(shù)，我們要求建立：當(dāng)開關(guān)k閉合后，電流I應(yīng)滿足的微分方程。解：注意到經(jīng)過(guò)電感L,電阻R和電容C的電壓降分別為L(zhǎng)且，RI和Q,dtC其中Q為電量，因此由基爾霍夫第二定律得到e(t)=L'RIQdtC1嚕,微分上式得到2_d2IRdII1de(t)dt2LdtLCLdt這就是電流I應(yīng)滿足的微分方程，如果e(t)=常數(shù)，得到16d2Idt2RdlI十LdtLC如果又有R=0,則得到d2Idt21二0LC例3".電容器的充電

22、和放電，如圖所示R-C電路，開始時(shí)電容C上沒有電荷，電容兩端電壓為零，我們把開關(guān)k閉合“1”后，電池E就對(duì)電容C充電，電容C兩端電壓Uc逐漸升高，經(jīng)過(guò)相當(dāng)時(shí)間后，電容充電完畢，我們?cè)侔验_關(guān)k合上“2”，這時(shí)電容就開始放電過(guò)程，現(xiàn)在要求找出充、放電過(guò)程中，電容C兩端的電壓Uc隨時(shí)間t的變化規(guī)律。解：對(duì)于充電過(guò)程，由閉合回路的基爾霍夫第二定律有UC+RI=E對(duì)電容C充電時(shí)，電容上的電量Q逐漸增多，根據(jù)Q=CUc得到：I=dQ=d(CUc)=Cdtdtdt將代入，得Uc滿足的微分方程:dUcRCcUC=EdtIIC這里R,C,E都是常數(shù)，方程屬于變量分離方程，將變量分離得到dUc二dtUc-ERCc兩邊積分，得到17lnUc-E=cRCCi_ltLtRCRC=C2e這里C2=土eCl為任意常數(shù)。將初始條件：t=0時(shí)，Uc=0代入得至口C2=-E這就是R-C電路充電過(guò)程電容C兩端的電壓變化規(guī)律，由知道，電壓Uc從零開始逐漸增大，且當(dāng)tTy時(shí)，Uc=E,在電工學(xué)中，通常稱RC為時(shí)間常數(shù)，當(dāng)t=3i時(shí)，Uc=0.95E,就是說(shuō)，經(jīng)過(guò)3的時(shí)間后，電容C上的電壓已達(dá)到外加電壓的95%,實(shí)際上，通常認(rèn)為這時(shí)電容C的充電過(guò)程已基本結(jié)束，易見充電結(jié)果Uc=E,對(duì)于放電過(guò)程，可以類似地進(jìn)行。例41.將某物體放置于空氣中，在時(shí)刻t=0時(shí)，測(cè)量它