1、 第四章第四章非線性方程數(shù)值解法非線性方程數(shù)值解法目目 錄錄v4.1 基本問題v4.2 二分法v4.3 迭代法v4.4 Newton迭代法v4.5 迭代的加速方法v4.6 多點迭代法v4.7 數(shù)值實驗及程序東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院24.1 4.1 基本問題基本問題v本章研究求解單變量非線性方程的各種數(shù)值解法：本章研究求解單變量非線性方程的各種數(shù)值解法：二分法；二分法； 單點迭代法；單點迭代法；多點迭代法；迭代法的收斂性。多點迭代法；迭代法的收斂性。東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院3( )0( ) , .f xxRf xC a b本章討論單變量非線性方程： 的求根問題，其中，v對

2、非線性方程求根大致分三個步驟：對非線性方程求根大致分三個步驟：判斷根的存在性及個數(shù)；根的隔離；根的精確化。4.2 4.2 二分法二分法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院4v二分法二分法：是一個把含根區(qū)間不斷縮短，使含根區(qū)間中點成為一個滿足誤差要求的近似解的方法二分法的計算步驟二分法的計算步驟東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院5注注：二分法要求：二分法要求：函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 且且 兩端點函數(shù)值異號兩端點函數(shù)值異號。( )0, f xa b計算非線性方程：在區(qū)間上的根。(), (2aba bxxf x0001、取中點=, 點的函數(shù)值);0110(,;f xf aa xb bf xf ba a

3、b xa b0101112、若)與)同號，則令 = , = ; 若)與)同號，則令 = , = ; 新的有根區(qū)間變?yōu)? ,*lim2kkkkka ba ba babx113、如此反復，可得一系列有根區(qū)間： 方程的根：。東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院6*1*1220,2(ln()ln )/ln2, kkkkkkbabaxxxxbakba由于: ，對任意給定的要使 只需令： 即： 其中表示取整。優(yōu)點優(yōu)點：計算簡單，收斂性可保證，函數(shù)要求低。：計算簡單，收斂性可保證，函數(shù)要求低。缺點缺點：收斂速度慢，不能求重根和復根。：收斂速度慢，不能求重根和復根。二分法的精度二分法的精度東北林業(yè)大學理學院東

4、北林業(yè)大學理學院761( )101,2f xxx 例 .求方程在區(qū)間上的一個實根，允許誤 差 =0.03。解：解：(ln(2 1)ln0.03)/ln25.k 迭代次數(shù) 計算結果計算結果4.3 4.3 迭代法迭代法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院8v迭代法迭代法：基本思想是通過構造一個遞推關系式，即迭代格式，計算出一個根的近似值序列，并希望該序列能收斂。v不動點不動點：將方程 改寫成等價的形式( )0f x ( )xx*( *),*( )xxxxx若滿足稱為的 不動點。v不動點迭代法不動點迭代法：選擇一個初始值 ，可得0 x10()xx1() (0,1,2)kkxxk反復迭代可得：稱此方法

5、為 不動點迭代法。不動點迭代法的幾何意義不動點迭代法的幾何意義東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院9111( )( )*(, ()( (), ()( )(, ()kkkkkkkkxxyxyxxpxxxxxyyxpxx求的不動點，就是求和的交點。從點出發(fā)，沿平行 軸方向前進到點，從該點沿 軸前進交與點。東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院10302( )10*f xxxxx 例 .求方程在=1.5附近的根。解：解：3311.1 (0,1,2,)kkxxxxk將方程改寫成：建立迭代公式：計算結果計算結果不動點不動點存在性存在性東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院11 , ( );(2)1, , (

6、 )( )( ) , xa baxbLx ya bxyL xyxa b(1)對任意有存在正常數(shù)對都有：.則在上存在唯一的不動點。定理定理1 1( ) , xC a b設滿足下面兩個條件：*kxx到的迭代序列收斂到，并有誤差估計：定理定理2 20( ) , , xC a bxC a b設滿足定理1中的兩個條件則對1101*1*1kkkkkxxxxLLxxxxL注注1 1：若：若L L已知，由定理已知，由定理2 2，根據(jù)誤差可估計迭代次數(shù)；，根據(jù)誤差可估計迭代次數(shù)；注注2 2：當：當L L1 1時，上述方法不可靠。時，上述方法不可靠。不動點迭代法不動點迭代法收斂性收斂性東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大

7、學理學院120( ), , ,kxxxa bx對于迭代公式若對迭代序列都收斂，這種收斂稱為 全局收斂。全局收斂全局收斂：0( )*,( ),*kxxxxxxxxRx設有不動點，若存在R:,對于任意R 迭代產(chǎn)生的序列且收斂到，則稱此迭代法 局部收斂。局部收斂局部收斂：*( )( )*( )1,( )xxxxxxx設為的不動點，在某臨域連續(xù)，且在迭代法局部收斂。定理定理3 3不動點迭代法不動點迭代法收斂速度收斂速度東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院1311()( )*,*,lim0,kkkkkkkxxxxxexxece設迭代收斂到的根若則稱該迭代方程為 P階收斂的。P P階收斂階收斂：C稱為 漸

8、進誤差常數(shù)。漸進誤差常數(shù)漸進誤差常數(shù)：(1)(1)( )*( )*( *)( *)( *)0,( *)0ppxxxxxPxxxx設在附近有充分多階連續(xù)導數(shù)，則迭代公式關于是 階收斂的充分必要條件是：。定理定理4 41P 時稱 線性收斂。線性收斂：線性收斂：1P 時稱 超線性收斂。超線性收斂：超線性收斂：2P 時稱 平方收斂。平方收斂：平方收斂：2430 *3xx例 .用不同的方法求方程。解：解：2211( )4141( )1,( 3)0.1341,2令 (-3)迭代格式：(-3)所以迭代格式為 線性收斂。kkkxxxxxxxx 121( )21213( )(1),( 3)0,2( 3)03令

9、()3迭代格式：()所以迭代格式為 平方收斂。kkkxxxxxxxx方法方法1 1方法方法2 2東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院14東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院15兩種方法計算結果比較兩種方法計算結果比較(x(x* *=1.7320508)=1.7320508)注注1 1：迭代方法：迭代方法2 2 比比 方法方法1 1收斂快收斂快注注2 2：迭代方程的：迭代方程的 收斂速度收斂速度 依賴于依賴于 迭代函數(shù)迭代函數(shù) 的選取。的選取。4.4 Newton4.4 Newton迭代法迭代法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院16v基本思想：基本思想：是將非線性方程 逐步歸結為某種線性方程來

10、求解。v計算公式：計算公式：設函數(shù) 具有二階連續(xù)導數(shù)，由泰勒公式可得略去余項，得到：( )0f x ( )f x ()( )kkkf xf xfxxxR x ()kkkf xf xfxxx從而得到Newton迭代公式：1()(0,1,2,)()kkkkf xxxkfxNewtonNewton迭代法的幾何意義迭代法的幾何意義東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院171111( )0( )0*(,()0(,()0kkkkkkf xyf xyxxf xyxxf xyx方程的根，就是求和的交點橫坐標。從點做切線，與的交點的橫坐標為,再從點做切線與的交點的橫坐標為，注注1 1：只有初值充分接近根：只有初值

11、充分接近根x x* *，迭代序列才能很快收斂到，迭代序列才能很快收斂到x x* *。注注2 2：NewtonNewton迭代法迭代法 實際是一種實際是一種 單點迭代法。單點迭代法。NewtonNewton迭代法收斂定理迭代法收斂定理東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院1801( )*( *)0,0,*lim0*kkkf xxfxxxxxxxx設在附近連續(xù)可導,則存在當時,Newton迭代序列超線性收斂于，即：定理定理5 5證明：證明：( )( *)( )( *)*( )( *)f xf xxxxxfxfx( )( *)( )( )(*)(*)( )( )f xf xfxfxxxxfxfx( )

12、( *)( )( )*( )xxfxfxxxxfx介于 和之間。故故兩邊令兩邊令*( *)0.xxx，可得證畢。( )( )( )f xxxfx注：為迭代函數(shù)。東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院19012( )*( *)0,0,*( *)lim2( *)*kkkf xxfxxxxxxfxfxxx設在附近二次連續(xù)可導,則存在當時,Newton迭代序列至少二階收斂于,即:定理定理6 6證明：證明：1()*()kkkkf xxxxxfx(*)()()( *)()kkkkxxfxf xf xfx由由TaylorTaylor展開：展開：得得21()*2()kkkkkkfxxxxxxfx介于 和之間。2

13、()( *)()()( *)( *)2!kkkkkff xf xfxxxxx兩邊對兩邊對 k k 取極限得證。取極限得證。注注1 1：當：當f (xf (x* *)=0)=0 時，時，NewtonNewton迭代法是超二階收斂的。迭代法是超二階收斂的。注注2 2：定理：定理5 5 和定理和定理6 6 說明說明NewtonNewton迭代法迭代法 收斂與否收斂與否 與初值有關。與初值有關。東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院200015020aaxxa例 .建立求的Newton迭代格式，要求不含除法；并證明：當初值 滿足時，此迭代格式收斂。解：解：11( ),(2).kkkf xaxxaxx令得

14、Newton迭代公式：1kkrax 記 表征迭代誤差，則221111(2)(1)kkkkkkraxaxaxaxr 20000201,lim0kkkkrrxxrra故 當初值 滿足時，所以。1limkkxa即 ， 迭代法收斂。東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院21000( ) , ( ) ( )0;( )0, , ;( ) , ; , () ()0;( )0 , kf xa bf a f bfxxa bfxxa bxa bfxf xxf xa b設在有根區(qū)間上二階導數(shù)存在,且滿足：(1)(2)(3)不變號,(4)初值且使則Newton迭代序列收斂于在內的唯一根。定理定理7 7幾幾何何解解釋釋東

15、北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院226cos0,0,1xxx例 .用Newton迭代法求解方程。解：解：00( )cos ,(0) (1)0,0,1( )0,( )cos0,7,0,1,()0,( )00,1f xxx fffxfxxxf xf x令：在上,由定理只有Newton迭代序列一定收斂到在內的唯一根。計算結果計算結果0(01)x .NewtonNewton迭代法的變形迭代法的變形簡化簡化NewtonNewton迭代法迭代法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院231()(0,1,)kkkf xxxkCv簡化簡化NewtonNewton迭代法：迭代法：其中C為常數(shù)，一般可取C= ，此方

16、法也稱平行弦法。0()fx注：一般的簡注：一般的簡化化NewtonNewton迭代迭代法為一階收斂。法為一階收斂。NewtonNewton迭代法的變形迭代法的變形NewtonNewton下山法下山法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院241()(0,1,)()kkkkf xxxkfxvNewtonNewton下山法：下山法：其中 稱為 下山因子下山因子。(01)v選擇下山因子的原則：選擇下山因子的原則：要使1()()(0,1,)kkf xf xk下山因子在計算過程中可以變動，一般選擇下山因子時從 開始，逐次將減半進行試算，直到能使下降條件成立為止。若當計算到某步時取不到滿足要求的值（或值小到無

17、法容忍），這時稱“下山失敗”，需要另取初值 重新算起。10 x東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院25701.5xxx3例 .用Newton下山法求解方程-1在附近的實根。解：解：計算結果計算結果0(0.6)x 取初值x0=0.6,分別用Newton法和Newton下山法計算重根情形重根情形東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院26(1)()( )()( )2, ()0,( )0()()()0()0mmmf xxxg xmg xxf xmf xfxfxfx設,整數(shù)則稱 為方程重根。此時，故故兩邊令兩邊令()1()12()11()2( )( )( )1( *)( *)(*)()(*)!1( *)(

18、 *)(*)()(*)(1)!( )1(*)*()mmmmmmf xxxfxf xfxxxfxxmxfxfxxxfxxmfxxxxxmf2迭代函數(shù)： 和在 和之間東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院27*( )( *)1()lim102,()1*Newton*xxxxxmxxxmmx 則，由故，從而迭代法對 重根是線性收斂的。+1Newton()=(0 1)()( )( )( )( )02kkkkf xxxmkfxf xxxmfxx此時可將迭代公式改為：，即取迭代函數(shù)：容易得到：，從而上述迭代格式具有 階收斂。修正的修正的 NewtonNewton迭代公式迭代公式東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學

19、理學院28( )( )*( )0( )( )()( )() ( )( )( )0( )() ( )mf xxxf xmfxf xxxg xxxg xxxxmg xxxg x定義：，假設為的 重根，即：則：，故 為的單根。212Newton( )( )( )( )( )( )( ) ( )()()(0 1)()() ()kkkkkkkxf x fxxxxxfxf x fxf xfxxxkfxf xfx由迭代法，其迭代函數(shù)為從而構造迭代法：，它是二階收斂的稱為 修正的修正的NewtonNewton迭代公式迭代公式。東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院292sin02xx例8.求解方程的正根。解：解

20、：分別采取三種迭代公式111sin212(cos)2sin21cos24sincos2sin2cos4cos2sin5kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（1）（2）（3）東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院30計算結果計算結果0()2x1x2x3x4x5x14x15x可見，方法（可見，方法（2 2）和方法（）和方法（3 3）比方法（）比方法（1 1）收斂得快）收斂得快4.5 4.5 迭代的加速方法迭代的加速方法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院31v迭代加速：迭代加速：對于收斂的迭代過程，只要迭代足夠多次，就可以使結果達到任意的精度，但有時迭

21、代過程收斂緩慢，從而使計算量變得很大，因此迭代方程的加速是個重要的課題。v迭代加速的主要方法：迭代加速的主要方法：（1 1）Aitken 加速方法加速方法（2 2）Steffensen 迭代法迭代法AitkenAitken加速收斂方法加速收斂方法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院32 kxv基本思想：基本思想：通過序列 構造一個更快收斂的序列 11( )*(0)*kkkkkxxxxxxxxCC Cxxxx設是一個線性收斂的序列，收斂于方程的根。故：， kx121221212121*22kkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx從而：即： 21210 1 22

22、*kkkkkkkkkxxxxkxxxxxx定義：， ，下面的定理說明序列比更快地收斂到。東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院33 1*lim01*.kkkkkkxxxxCCxxxxx設序列線性收斂于，即，則序列比更快地收斂于定理定理8 8證明：證明：212*limlim*kkkkkkxxxxCCxxxx， 21*21*2*kkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx從而：212122*1*1*21*1*lim10*21kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxCxxxxCC 即：從而：。SteffensenSteffensen迭代方法迭代方法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院34v

23、基本思想：基本思想：將不動點迭代法與Aitken方法結合起來可建立如下SteffensonSteffenson（斯蒂芬森）迭代方法：21()()()0 1 22kkkkkkkkkkkyxzyyxxxkzyx， ( )( )0( *)*kxxxxx可以證明，當?shù)瘮?shù)連續(xù)可微，或存在，則上式產(chǎn)生的序列局部收斂于。東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院350cos0,xxx例9.分別利用不動點迭代法和Steffensen迭代法求解方程 =0。解：解：計算結果（計算結果（SteffensenSteffensen迭代法）迭代法）東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院36計算結果（不動點迭代法）計算結果（不

24、動點迭代法）00 x 11x 20.54030230586814x 30.857553215846393x 40.654289790497779x 12 0.735604740436347x13 0.741425086610109x170.739567202212256x18 0.738760319874211x19 0.739303892396906x4.6 4.6 多點迭代法多點迭代法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院37v基本思想：基本思想：在計算新的迭代值 時，充分利用函數(shù) 及 在點 的信息，從而減少計算量，提高迭代收斂速度。v最簡單的多點迭代法：最簡單的多點迭代法：（1 1）弦截法

25、）弦截法（2 2）拋物線法）拋物線法1kx( )f x( )fx12,kkxxv多點迭代法的迭代格式：多點迭代法的迭代格式：111(,),(0 1)kkkk nxxxxk ，弦截法弦截法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院38v迭代公式：迭代公式：11111()()()()()()kkkkkkkkkf xf xxxxf xf xf xf xv幾何意義：幾何意義：拋物線法拋物線法東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院39v拋物線法拋物線法 迭代公式：迭代公式：12122 ()4 () ,kkkkkkkf xxxf xf xxxv弦截法弦截法 和和 拋物線法的收斂速度：拋物線法的收斂速度：1121,

26、()kkkkkkkf xxf xxxxx其中：15( )0( )1.618*2fxfxpx若，連續(xù)，則弦截法按階收斂到。1.840*px而拋物線法可按階收斂到。4.7 4.7 數(shù)值實驗及程序數(shù)值實驗及程序東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院40v二分法實驗二分法實驗vNewtonNewton下山法實驗下山法實驗vNewtonNewton迭代法實驗：迭代法實驗：v弦截法實驗弦截法實驗二分法實驗二分法實驗東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院41matlab程序如下：（程序如下：（Dichotomy.m）% % 二分法求解方程二分法求解方程f_name(x)=0f_name(x)=0在區(qū)間在區(qū)間a,

27、ba,b的解的解% eps% eps為誤差限，區(qū)間端點為誤差限，區(qū)間端點a a和和b b由鍵盤輸入，由鍵盤輸入，% % 函數(shù)函數(shù)f_namef_name在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b連續(xù)，且連續(xù)，且f_name(a)f_name(a)* *f_name(b)0f_name(b)0% % 逐次將有根區(qū)間長度縮半，當區(qū)間長度小于逐次將有根區(qū)間長度縮半，當區(qū)間長度小于epseps時，區(qū)間中點為近似解時，區(qū)間中點為近似解function x,it= Dichotomy(f_name,eps)if nargin0 % % 兩端點函數(shù)值同號，重新輸入兩端點函數(shù)值同號，重新輸入 fprintf(n兩端點函數(shù)值同號

28、，請重新輸兩端點函數(shù)值同號，請重新輸n); a=input(輸入左端點輸入左端點a=：); b=input(輸入右端點輸入右端點b=：); 東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院42fa=feval(f_name,a); fb=feval(f_name,b);End% % 二分法計算方程的根二分法計算方程的根while b-a=eps it=it+1; % % 循環(huán)次數(shù)循環(huán)次數(shù) xm=(b+a)/2; % % 計算中點計算中點 fxm=feval(f_name,xm); % % 中點的函數(shù)值中點的函數(shù)值 if fxm*fa0 a=xm; fa=fxm; else b=xm; fb=fxm; en

29、dendx=(b+a)/2;fprintf(n二分次數(shù)：二分次數(shù)：%dn,it);fprintf(方程的近似解：方程的近似解：%fn,x); matlab程序（程序（f3.m） % %求根函數(shù)求根函數(shù)function y=f3(x)y=x3-x-1;東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院433( )101.0,1.5f xxx 例11.計算方程在區(qū)間內的一個實根。解：解：計算過程如下：輸入：x,it= Dichotomy(f3)；輸出：輸入左端點a=：1輸入右端點b=：1.5 二分次數(shù)：9，方程的近似解：1.324707NewtonNewton法實驗法實驗東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院44

30、matlab程序如下：（程序如下：（Newton.m）% % 牛頓法求解方程牛頓法求解方程f_name(x)=0f_name(x)=0在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b的解的解% eps% eps為誤差限，區(qū)間端點為誤差限，區(qū)間端點a a和和b b由鍵盤輸入，由鍵盤輸入，% % 函數(shù)函數(shù)f_name(x)f_name(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b連續(xù)，連續(xù)，fd_name(x)fd_name(x)為函數(shù)為函數(shù)f_name(x)f_name(x)的導函數(shù)的導函數(shù)% fd_name(x)% fd_name(x)不為不為0 0；% % 逐次迭代，當相鄰兩次計算出的點之間距離小于逐次迭代，當相鄰兩次計算出的點之

31、間距離小于epseps時，迭代結束時，迭代結束function x,it= Newton(f_name,fd_name,eps)if nargin=eps it=it+1; % % 循環(huán)次數(shù)循環(huán)次數(shù) x0=x1; x1=x0-feval(f_name,x0)/feval(fd_name,x0);endx=x1;fprintf(n迭代次數(shù)：迭代次數(shù)：%dn,it);fprintf(方程的近似解：方程的近似解：%fn,x);matlab程序：（程序：（f4.m）% %求根函數(shù)求根函數(shù)function y=f4(x)y=x.*exp(x)-1; matlab程序：（程序：（f5.m）function

32、 y=f5(x) % % 函數(shù)函數(shù)f4f4的導函數(shù)的導函數(shù)y=(x+1).*exp(x);東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院46( )10 xf xxe 例12.利用Newton法計算方程的實根。解：解：計算過程如下：輸入： x,it= Newton(f4,f5)；輸出： 輸入左端點a=：-1輸入右端點b=：1是否重新輸入?yún)^(qū)間端點YES（輸入非0），NO（輸入0）：0輸入起始點:x0=0.5迭代次數(shù)：3方程的近似解：0.567143NewtonNewton下山法實驗下山法實驗東北林業(yè)大學理學院東北林業(yè)大學理學院47matlab程序如下：（程序如下：（Newton_Down.m）% % 牛頓法

33、下山法求解方程牛頓法下山法求解方程f_name(x)=0f_name(x)=0在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b的解的解% eps% eps為誤差限，初始點可以任意選取為誤差限，初始點可以任意選取% % 函數(shù)函數(shù)f_name(x)f_name(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b連續(xù)，連續(xù)，fd_name(x)fd_name(x)為函數(shù)為函數(shù)f_name(x)f_name(x)的導函數(shù)的導函數(shù)% fd_name(x)% fd_name(x)不為不為0 0；% % 逐次迭代，當相鄰兩次計算出的點之間距離小于逐次迭代，當相鄰兩次計算出的點之間距離小于epseps時，迭代結束時，迭代結束function x,it=

34、Newton_Down(f_name,fd_name,eps)if nargin=f0; k=k/2; x1=x0-k*feval(f_name,x0)/feval(fd_name,x0); f1=abs(feval(f_name,x1);endfprintf(n迭代次數(shù)迭代次數(shù) 下山因子下山因子k x1 f(x1)n)fprintf( %5d %8f %8f %14fn,it,k,x1,feval(f_name,x1);while abs(x1-x0)=eps it=it+1; % % 循環(huán)次數(shù)循環(huán)次數(shù) k=1; x0=x1; f0=f1; x1=x0-k*feval(f_name,x0)/feval(fd_name,x0); f1=abs(feval(f_name,x1); while f1=f0; k=k/2; x1=x0-k*feval(f_name,x0)/feval(fd_name,x0); f1=abs(feval(f_name,x1)