1、1-1機(jī)械動力學(xué)機(jī)械動力學(xué)第二章第二章 振動分析基礎(chǔ)振動分析基礎(chǔ)第二章第二章 振動分析基礎(chǔ)振動分析基礎(chǔ)21 概述概述 振動分析的研究思路：振動分析的研究思路：一一 動力學(xué)模型動力學(xué)模型 任何實(shí)際的振動系統(tǒng)是無限復(fù)雜的任何實(shí)際的振動系統(tǒng)是無限復(fù)雜的,為了便于分析為了便于分析,要作簡化要作簡化,在簡化的基礎(chǔ)上在簡化的基礎(chǔ)上 建立建立 動力學(xué)模型動力學(xué)模型 模型由三種理想化元件組成：質(zhì)量模型由三種理想化元件組成：質(zhì)量m 阻尼阻尼c 彈性彈性k 系統(tǒng)簡化的程度取決于考慮問題的復(fù)雜程度、計(jì)算精度、計(jì)算條件系統(tǒng)簡化的程度取決于考慮問題的復(fù)雜程度、計(jì)算精度、計(jì)算條件 實(shí)際結(jié)構(gòu)兩種簡化處理方式：對實(shí)際結(jié)構(gòu)質(zhì)量

2、、剛度、阻尼線性化處理實(shí)際結(jié)構(gòu)兩種簡化處理方式：對實(shí)際結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度、阻尼線性化處理 對其分布規(guī)律作離散化處理對其分布規(guī)律作離散化處理 動力學(xué)模型采用的正確與否要由實(shí)踐檢驗(yàn)動力學(xué)模型采用的正確與否要由實(shí)踐檢驗(yàn) 動力學(xué)模型分三類：動力學(xué)模型分三類： a 集中參數(shù)模型集中參數(shù)模型(常微分方程常微分方程) b 有限元模型有限元模型 (常微分方程常微分方程) c 連續(xù)彈性體模型連續(xù)彈性體模型 (偏微分方程偏微分方程) 1-18EIPl3333lEIk 33lEIk 1彈性元件：彈性元件：只有彈性只有彈性,無慣性、阻尼無慣性、阻尼 (理想化元件理想化元件) 彈簧所受外力彈簧所受外力Fx是位移是位移x的函

3、數(shù)：的函數(shù)：Fx =f(x) 在線性范圍內(nèi)在線性范圍內(nèi)Fx =kx (對彈簧的線性化處理對彈簧的線性化處理) 通常假定彈簧沒有質(zhì)量通常假定彈簧沒有質(zhì)量 若：若： 彈簧質(zhì)量相對小彈簧質(zhì)量相對小,可忽略可忽略 彈簧質(zhì)量相對較大彈簧質(zhì)量相對較大,一定要處理一定要處理實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中許多構(gòu)件實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中許多構(gòu)件 在一定范圍內(nèi)所受作用力在一定范圍內(nèi)所受作用力 與變形是線性關(guān)系與變形是線性關(guān)系,可作線性彈性元件處理可作線性彈性元件處理. 例例 圖示懸臂梁圖示懸臂梁 根據(jù)材力根據(jù)材力P與變形與變形的關(guān)系的關(guān)系 桿長桿長 E 材料彈性模量材料彈性模量 I 抗彎截面慣性矩抗彎截面慣性矩 設(shè)設(shè) 則則 P=k 因此

4、懸臂梁相當(dāng)一個(gè)剛度為因此懸臂梁相當(dāng)一個(gè)剛度為 的線性彈簧的線性彈簧 1-19GJML 角振動系統(tǒng)：彈簧為扭轉(zhuǎn)彈簧角振動系統(tǒng)：彈簧為扭轉(zhuǎn)彈簧 M=k M 外力矩外力矩 轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 k剛度剛度 扭振系統(tǒng)扭振系統(tǒng) G軸材料剪切模量軸材料剪切模量 J 軸截面極慣性矩軸截面極慣性矩 M扭矩扭矩 因此因此 扭轉(zhuǎn)剛度扭轉(zhuǎn)剛度 ： 從能量角度：不消耗能量從能量角度：不消耗能量, 以勢能方式貯存能量以勢能方式貯存能量. 等效剛度：復(fù)雜彈性元件組合形式等效剛度：復(fù)雜彈性元件組合形式,可用等效彈簧取代可用等效彈簧取代 等效彈簧的剛度等效彈簧的剛度 用等效剛度用等效剛度 表示表示(等于組合彈簧的剛度等于組合彈簧的剛度)

5、并聯(lián)彈簧：并聯(lián)彈簧： 比各組成彈簧比各組成彈簧”硬硬” 共位移共位移 串聯(lián)彈簧：串聯(lián)彈簧： 比各組成彈簧比各組成彈簧”軟軟” 共力共力 確定彈性元件組合方式是確定彈性元件組合方式是”并聯(lián)并聯(lián)”還是還是”串聯(lián)串聯(lián)”關(guān)鍵看是關(guān)鍵看是”共位移共位移”還是還是”共共力力”1-20見下例：見下例： 例例1 a. 兩彈簧共位移兩彈簧共位移(x) 并聯(lián)并聯(lián) b. 兩彈簧共力兩彈簧共力(Fs) 串聯(lián)串聯(lián) 例例2 確定階梯軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度確定階梯軸的等效扭轉(zhuǎn)剛度 解解 共力矩共力矩M， 為串聯(lián)為串聯(lián) 由扭振由扭振LGJM2221111JGLJGLkeq2阻尼元件阻尼元件: 只有阻尼只有阻尼 無慣性無慣性,彈性彈

6、性 (理想元件理想元件) 振動系統(tǒng)的阻尼特性及模型是振動分析最困難問題之一振動系統(tǒng)的阻尼特性及模型是振動分析最困難問題之一, 也是最活躍的研究方向之一也是最活躍的研究方向之一 阻尼力阻尼力 是振動速度是振動速度 的函數(shù)的函數(shù) 對線性阻尼器對線性阻尼器 C:阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) 阻尼元件消耗能量阻尼元件消耗能量 以熱能聲能等方式耗散系統(tǒng)的機(jī)械能以熱能聲能等方式耗散系統(tǒng)的機(jī)械能 角振動系統(tǒng)角振動系統(tǒng): 有以上類似關(guān)系有以上類似關(guān)系 為阻尼力矩為阻尼力矩)(xfFdx xcFdcMddM1-21例例 1 ( a ) ( b ) 例例 2非粘性阻尼非粘性阻尼: 與速度成正比的阻尼為粘性與速度成正比的阻尼為

7、粘性(Viscous)阻尼阻尼,又稱線性阻尼又稱線性阻尼 其它性質(zhì)的阻尼統(tǒng)稱非粘性阻尼其它性質(zhì)的阻尼統(tǒng)稱非粘性阻尼 工程中將非粘性阻尼折算成等效工程中將非粘性阻尼折算成等效 粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)Ceq 折算原則折算原則: 一個(gè)振動周期內(nèi)非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周一個(gè)振動周期內(nèi)非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周 期所消耗的能量期所消耗的能量 非粘性阻尼種類：非粘性阻尼種類： a. 庫侖庫侖(Coulemb)阻尼阻尼 即干磨擦阻尼即干磨擦阻尼 b. 流體阻尼流體阻尼: 物體以較大速度在粘性很小的流體物體以較大速度在粘性很小的流體(空氣空氣 液體液體)中運(yùn)動中運(yùn)動.阻尼阻

8、尼 力與速度平方成正比力與速度平方成正比: c. 結(jié)構(gòu)阻尼：結(jié)構(gòu)阻尼： 材料內(nèi)磨擦產(chǎn)生的阻尼材料內(nèi)磨擦產(chǎn)生的阻尼(又稱材料阻尼又稱材料阻尼) 由結(jié)構(gòu)各部件連接面之間相對滑移而產(chǎn)生的阻尼由結(jié)構(gòu)各部件連接面之間相對滑移而產(chǎn)生的阻尼:滑移阻滑移阻 尼尼 結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼=材料阻尼材料阻尼+滑移阻尼滑移阻尼 (兩項(xiàng)統(tǒng)稱兩項(xiàng)統(tǒng)稱) 3. 質(zhì)量元件質(zhì)量元件 只有慣性只有慣性 無彈性和阻尼的理想元件無彈性和阻尼的理想元件. (略略)1-22. 二二. 動力學(xué)模型的建立動力學(xué)模型的建立 舉例說明舉例說明: 南京工學(xué)院南京工學(xué)院(東南大學(xué)東南大學(xué))為無錫機(jī)床廠外園磨床作振動分析為無錫機(jī)床廠外園磨床作振動分析:1

9、-2322 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)一一. 自由振動自由振動自由振動的基本振動特性只決定系統(tǒng)本身的參數(shù)自由振動的基本振動特性只決定系統(tǒng)本身的參數(shù),因此是在理論上十分重要的一因此是在理論上十分重要的一種振動形式種振動形式.系統(tǒng)自由振動所表現(xiàn)出的一些規(guī)律能反映出系統(tǒng)本身的一些系統(tǒng)自由振動所表現(xiàn)出的一些規(guī)律能反映出系統(tǒng)本身的一些”固有特固有特性性”或或”固有參數(shù)固有參數(shù)”.反映了系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的所有信息反映了系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的所有信息,是研究強(qiáng)迫振動的基礎(chǔ)是研究強(qiáng)迫振動的基礎(chǔ).單自由度自由振動概述單自由度自由振動概述 當(dāng)外界對系統(tǒng)沒有持續(xù)的激勵(lì)當(dāng)外界對系統(tǒng)沒有持續(xù)的激勵(lì) 即即F(t)=0 但系統(tǒng)仍可以在初

10、速度或但系統(tǒng)仍可以在初速度或初位移的作用下發(fā)生振動初位移的作用下發(fā)生振動,稱為自由振動稱為自由振動 其運(yùn)動微分方程為其運(yùn)動微分方程為: 二階常系數(shù)齊次微分方程二階常系數(shù)齊次微分方程, 方程還可方程還可 其中其中 （衰減系數(shù)）（衰減系數(shù)） （固有頻率）（固有頻率） 方程特征方程方程特征方程 通解通解 其中其中: 022xwxxn 0kxxcxm mc2mkwn20222nwss)()(222221nnsststseBeBx212121,SS21,BB 為特征方程的二個(gè)特征根為特征方程的二個(gè)特征根 為積分常數(shù)為積分常數(shù),由初始條件定由初始條件定 1-24系統(tǒng)的運(yùn)動情況隨系統(tǒng)的運(yùn)動情況隨(衰減系數(shù)衰

11、減系數(shù))不同值不同值,分五種情況：分五種情況： (1) =0 (無阻尼情況無阻尼情況) 0 (正阻尼情況正阻尼情況) (2) (弱阻尼情況弱阻尼情況) (3) (強(qiáng)阻尼情況強(qiáng)阻尼情況) (4) = (臨界阻尼情況臨界阻尼情況) (5) 0 (負(fù)阻尼情況負(fù)阻尼情況) 首先從無阻尼情況首先從無阻尼情況(最簡單最簡單)介紹介紹nnn2. 無阻尼系統(tǒng)的自由振動無阻尼系統(tǒng)的自由振動 運(yùn)動方程為運(yùn)動方程為 （C=0, F(t)=0） 或或 式中式中 其通解其通解: x(t)=Asin( t+) 是系統(tǒng)自由振動的角頻率是系統(tǒng)自由振動的角頻率, 也稱為系統(tǒng)無阻尼固有頻率也稱為系統(tǒng)無阻尼固有頻率 單位單位:Hz

12、 或或1/s A 振動幅值振動幅值 初相角初相角 (由初始條件確定由初始條件確定)0)(tkxxm 0)()(2txtxn nmkfnn212mkn1-25n若記初始位移若記初始位移 初始速度初始速度 則則 因因 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)時(shí) 得得 分析：分析： 單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是正弦或余弦函數(shù)單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動是正弦或余弦函數(shù),可用諧波函數(shù)表示可用諧波函數(shù)表示, 故稱簡諧振動故稱簡諧振動0)0(xx0)0(vx)()()()(tAContxtASintxnnn00;)0(xASinxASinxnnvAConvAConx00;)0()(2020nvxA001xvtgnmkn自由振動的角

13、頻率即為自由振動的角頻率即為 僅由系統(tǒng)本身參數(shù)確定僅由系統(tǒng)本身參數(shù)確定,與外界激勵(lì)與外界激勵(lì), 初始條件均無關(guān)初始條件均無關(guān).反映了系統(tǒng)內(nèi)在的特征反映了系統(tǒng)內(nèi)在的特征. 自由振動的振幅自由振動的振幅A和初相角和初相角 由初始條件確定由初始條件確定 無阻尼自由振動是等幅振動無阻尼自由振動是等幅振動 研究無阻尼自由振動時(shí)研究無阻尼自由振動時(shí),常用到常用到“能量法能量法”1-263.能量法：能量法：(1) 用能量的觀點(diǎn)研究振動有時(shí)很方便用能量的觀點(diǎn)研究振動有時(shí)很方便.例只需計(jì)算系統(tǒng)固有頻率時(shí)例只需計(jì)算系統(tǒng)固有頻率時(shí),可避免寫微分方可避免寫微分方 程程,直接得結(jié)果直接得結(jié)果. (也可用能量法寫系統(tǒng)微分

14、方程也可用能量法寫系統(tǒng)微分方程) 在無阻尼又無外作用力時(shí)在無阻尼又無外作用力時(shí),系統(tǒng)的動量系統(tǒng)的動量T和勢能和勢能U是守恒的是守恒的.即即 T+U=恒量恒量 (2-1) 對上式時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)：對上式時(shí)間取一次導(dǎo)數(shù)： （2-2） 式中式中: T 為系統(tǒng)中運(yùn)動質(zhì)量所具有的動能為系統(tǒng)中運(yùn)動質(zhì)量所具有的動能 U 為系統(tǒng)的彈性勢能或重力勢能為系統(tǒng)的彈性勢能或重力勢能 由由(2-1)式式,有：有： 任意選兩個(gè)瞬時(shí)位置任意選兩個(gè)瞬時(shí)位置1和和2機(jī)械能總和應(yīng)相等機(jī)械能總和應(yīng)相等 對簡諧振動：通常選質(zhì)量塊經(jīng)過平衡位置為第一瞬時(shí)位置對簡諧振動：通常選質(zhì)量塊經(jīng)過平衡位置為第一瞬時(shí)位置,此時(shí)速度最大此時(shí)速度最大 ,

15、動能動能 此時(shí)此時(shí) 再選質(zhì)量塊達(dá)最大位移時(shí)為第二瞬時(shí)位置再選質(zhì)量塊達(dá)最大位移時(shí)為第二瞬時(shí)位置,此時(shí)速度為此時(shí)速度為0, 而勢能而勢能 （2-3） 利用利用(2-3)式可直接得系統(tǒng)固有頻率式可直接得系統(tǒng)固有頻率0)( UTdtd2211UTUTmax1TT 01Umax2UU max21:UTUTMAX或有02T1-270I)()(tAContASinnnnnAAmaxmax2202max0max2121nAIITmax例例 如圖測量低頻振幅用的傳感器中的一個(gè)元件如圖測量低頻振幅用的傳感器中的一個(gè)元件無無定向擺的示意圖定向擺的示意圖,擺輪擺輪2上鉸接一搖桿上鉸接一搖桿1, 搖桿另搖桿另一端有敏感

16、質(zhì)量一端有敏感質(zhì)量M，在搖桿離轉(zhuǎn)軸，在搖桿離轉(zhuǎn)軸0距離為距離為a處處左右各聯(lián)一剛度為左右各聯(lián)一剛度為k的平衡彈簧的平衡彈簧,以保持?jǐn)[的垂直以保持?jǐn)[的垂直方向的穩(wěn)定位置方向的穩(wěn)定位置.已知系統(tǒng)對已知系統(tǒng)對0的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為解：以搖桿偏離平衡位置的解：以搖桿偏離平衡位置的 角位移角位移為為 參數(shù)并設(shè)參數(shù)并設(shè): 則則 搖桿通過靜平衡位置時(shí)系統(tǒng)動能最大搖桿通過靜平衡位置時(shí)系統(tǒng)動能最大 在搖桿擺到最大角位移在搖桿擺到最大角位移 處時(shí)系統(tǒng)最大勢處時(shí)系統(tǒng)最大勢 能包能包 括兩部分括兩部分:222max2max1212AkakaU2121)1 (22maxmaxmax2mglAmglconmglUma

17、xmaxUT2121222220mglAAkaAIn)2(02Imglkan 彈性變形后儲存的彈性勢能彈性變形后儲存的彈性勢能: 質(zhì)量塊質(zhì)量塊m的重心下降后重力勢能的重心下降后重力勢能: 由于由于 得得 :1-28（2）能量法求系統(tǒng)振動微分方程）能量法求系統(tǒng)振動微分方程 例例 圖示一半徑為圖示一半徑為r,重量為重量為w的園柱體在一個(gè)半徑為的園柱體在一個(gè)半徑為R的園柱面內(nèi)作無滑動的園柱面內(nèi)作無滑動 的滾動的滾動, 在園柱面最低位置在園柱面最低位置0點(diǎn)左右微擺動點(diǎn)左右微擺動.推導(dǎo)園柱體擺動的微分方程推導(dǎo)園柱體擺動的微分方程.解解: 園柱體有兩種運(yùn)動園柱體有兩種運(yùn)動: 園柱體質(zhì)心的線位移園柱體質(zhì)心的

18、線位移 (Rr), 線速度為線速度為 園柱體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動園柱體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動,因無滑動因無滑動,角速度為角速度為(以以A點(diǎn)為瞬心點(diǎn)為瞬心) 在任一瞬時(shí)位置在任一瞬時(shí)位置, 園柱體的動能為園柱體的動能為: 為園柱體的質(zhì)量，為園柱體的質(zhì)量， 為園柱體繞質(zhì)點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為園柱體繞質(zhì)點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量 園柱體的勢能為相對最低點(diǎn)園柱體的勢能為相對最低點(diǎn)O的重力勢能，在同一瞬時(shí)園柱體質(zhì)心升高了的重力勢能，在同一瞬時(shí)園柱體質(zhì)心升高了)(rRv)1(rRrv2222222)(431221212121rRgwrRrgwrRgwImvTgwm 22rgwI conrR1conrRWU11023143222 SinrRwrR

19、gwconrRwrRgwdtdUTdtd 故按（故按（2-2）式）式對于微幅擺動對于微幅擺動: 上式可簡化為上式可簡化為 :Sin032rRg 1-29（3）用能量法計(jì)算彈簧的）用能量法計(jì)算彈簧的等效質(zhì)量等效質(zhì)量用能量法原理，可把彈簧的分布質(zhì)量對系統(tǒng)振動頻率的影響加以估計(jì)用能量法原理，可把彈簧的分布質(zhì)量對系統(tǒng)振動頻率的影響加以估計(jì).得頻率準(zhǔn)確值。得頻率準(zhǔn)確值。下面介紹用等效質(zhì)量下面介紹用等效質(zhì)量進(jìn)行折算的一種近似方法。進(jìn)行折算的一種近似方法。 先假定彈簧各截面的位移與其距固定端處的原始距離成正比。設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量先假定彈簧各截面的位移與其距固定端處的原始距離成正比。設(shè)彈簧在聯(lián)結(jié)質(zhì)量塊的一端位移

20、為塊的一端位移為X，彈簧軸向長為，彈簧軸向長為L,則距固定端則距固定端處，位移為處，位移為 ，因此，當(dāng)質(zhì)量，因此，當(dāng)質(zhì)量塊塊m在某一瞬時(shí)的速度為在某一瞬時(shí)的速度為 時(shí)時(shí),彈簧在彈簧在處的微段處的微段d,相對速度為相對速度為 。設(shè)。設(shè) 為彈為彈簧單位長度的質(zhì)量，則彈簧簧單位長度的質(zhì)量，則彈簧d段的動能為段的動能為 整個(gè)彈簧的動能為整個(gè)彈簧的動能為: （整個(gè)彈簧質(zhì)量）（整個(gè)彈簧質(zhì)量）系統(tǒng)總動能為質(zhì)量塊系統(tǒng)總動能為質(zhì)量塊m的動能和彈簧質(zhì)量的動能之和，在質(zhì)量塊經(jīng)過靜平衡位置時(shí)的動能和彈簧質(zhì)量的動能之和，在質(zhì)量塊經(jīng)過靜平衡位置時(shí),系統(tǒng)最大動能為系統(tǒng)最大動能為:xlxldlx221222032132121

21、xmxldxlTl彈ml2max2max2maxmax32132121xmmxmxmT2maxmax21kxUmaxmaxUT2max321xmm2max21kxx 系統(tǒng)的勢能仍與忽略彈簧質(zhì)量時(shí)一樣系統(tǒng)的勢能仍與忽略彈簧質(zhì)量時(shí)一樣: 由由對簡諧振動對簡諧振動:得得:=nnAxAxtAxmaxmax,:sin代入代入:32223mnnmkkAAmm稱為系統(tǒng)等效質(zhì)量稱為系統(tǒng)等效質(zhì)量.3mm1-30 0tkxtxctxm 022xwxxn 0222nwsststseBeBx2121)()(222221nnss10n且22ndnnii2222titiddeBeBx21tidetidetitconeddtsin4有阻尼系統(tǒng)的自由振動有阻尼系統(tǒng)的自由振動 圖示圖示 系統(tǒng)的運(yùn)動方程系統(tǒng)的運(yùn)動方程: 前面已述前面已述: 特征方程特征方程: 通解通解: 其中其中: （1） 弱阻尼狀態(tài)弱阻尼狀態(tài) 為虛數(shù)為虛數(shù), 令令方程通解方程通解: 若若 為方程的復(fù)解為方程的復(fù)解,數(shù)學(xué)上可證明數(shù)學(xué)上可證明,它的實(shí)部和虛部也是方程的解它的實(shí)部和虛部也是方程的解, 由歐拉公式；由歐拉公式； =實(shí)部實(shí)部: 虛部虛部: 均為方程解均為方程解,且是線性無關(guān)解且是線性無關(guān)解.由此由此,方程的通解為方程的通解為:tconedttedtsin1-31tSINAAAtCONAAAAAet