1、五五. 動量定理與動量守恒定律（矢量角度）動量定理與動量守恒定律（矢量角度） (conservation of momentum) （1.5.1）Fma1212過程過程力作用的積累力作用的積累按時間按時間按空間按空間沖量沖量功功過程過程*. 動量定理與動量守恒定律動量定理與動量守恒定律 (conservation of momentum) *. 動能定理與能量（機械能）守恒定律動能定理與能量（機械能）守恒定律 (conservation of mechanical energy *. 角動量定理與角動量守恒定律角動量定理與角動量守恒定律 (conservation of angular mom

2、entum) 三個定理與三個守恒定律（過程）三個定理與三個守恒定律（過程）1. 質點動量定理與動量守恒質點動量定理與動量守恒Principal of partical momentum()d mvFdt)( vmddtF1221vmvmdtFItt沖量（沖量（Impulse)（力的時間積累效應（力的時間積累效應, , Ns ）dI質點動量定理質點動量定理例例1. 質量為質量為m的質點，以不變速率的質點，以不變速率v沿圖中正三角形沿圖中正三角形ABC的水平光滑軌道運動質點越過的水平光滑軌道運動質點越過A角時，軌道作角時，軌道作用于質點的沖量為用于質點的沖量為 A C B 3Imvjxy例例2 圖

3、示一圓錐擺，質量為圖示一圓錐擺，質量為m的小球在水平面的小球在水平面內以角速度內以角速度w勻速轉動在小球轉動一周的過程勻速轉動在小球轉動一周的過程中，中， (1) 小球動量增量等于小球動量增量等于_ (2) 小球所受重力的沖量小球所受重力的沖量_ (3) 小球所受繩子拉力的沖量大小等于小球所受繩子拉力的沖量大小等于_ 0y2mgImgj 2TImgjIG+IT=P例例3. 一物體質量為一物體質量為10 kg，受到方向不變的力，受到方向不變的力F3040t (SI)作用，在開始的兩秒內，此力沖量的大作用，在開始的兩秒內，此力沖量的大小等于小等于_；2120d(3040 )d140( N s)tt

4、IFttt2140 =10(-10)21I = mv -mvv24( m/s)2v2. 質點系動量定理與動量守恒質點系動量定理與動量守恒質點系的內力與外力質點系的內力與外力 質點系質點系質點系的動量質點系的動量 iiPp12mm（）由由分立質點分立質點 mi 組成組成mi由由質量元質量元 dm 組成組成dm 質點系質點系mj內力：內力： 系統(tǒng)系統(tǒng)各質點間的相互作用力各質點間的相互作用力ijf成對出現(xiàn)；成對出現(xiàn)；大小相等方向相反。大小相等方向相反。iF外jFj外1iF外外力：外力：系統(tǒng)系統(tǒng)對質點系對質點系 內部質點的作用力內部質點的作用力0ifi內mijif 質點系的內力與外力質點系的內力與外力

5、111.m v1f內2f內221.mv1F外2F外I111.m v222.mv1F外2F外112.m v1f內1drII2dr過程過程2222()()iiiiiPpm v系1111()()iiiiiPpm v系 質點系的動量質點系的動量 質點系動量定理質點系動量定理 1:m2:m1 11,)()fFdtd mv外1內（2 22,)()fFdtd m v外2內（20dIffdt內1 內內（）1,21 122,()()外外FFdtd m vm v12():mm()iidIFdtdP外外系21IPP外系系質點系動量定理質點系動量定理內力不改變系統(tǒng)的動量但可改變系統(tǒng)內質點的動量內力不改變系統(tǒng)的動量但可

6、改變系統(tǒng)內質點的動量1230,0,0,iixxxiiiyyyiiizzziFmvPCFmvPCFmvPC外外外iiiiiPpm v系常矢量常矢量 質點系的動量守恒定律質點系的動量守恒定律 ：0iiF外()iidIFdtdP外外系三個方向必三個方向必須同時滿足須同時滿足時系統(tǒng)動量時系統(tǒng)動量守恒守恒vm人在船上行走人在船上行走例例. 質量為質量為M1.5 kg的物體，用一根長為的物體，用一根長為l1.25 m的的細繩細繩懸掛在天花板上今有一質量為懸掛在天花板上今有一質量為m10 g的子彈的子彈以以v0500 m/s的水平速度射穿物體，剛穿出物體時子的水平速度射穿物體，剛穿出物體時子彈的速度大小彈的

7、速度大小v 30 m/s，設穿透時間極短求：，設穿透時間極短求： (1) 子彈剛穿出時繩中張力的大??；子彈剛穿出時繩中張力的大?。?(2) 子彈在穿透過程中所受的沖量子彈在穿透過程中所受的沖量 lMm0v vxy解：解：(1)子彈、物體系統(tǒng)：穿透過程水平向未受外力子彈、物體系統(tǒng)：穿透過程水平向未受外力系統(tǒng)在水平方向動量守恒。設子彈穿出時物體的水系統(tǒng)在水平方向動量守恒。設子彈穿出時物體的水平速度為平速度為v201.0 10(30500)4.7(N s)xImvmv (2)0:0 x mvmvMV3.13(/ )26.5()Vm sTN2：VyTMgMlMgTVMyx六六. 動能定理與機械能守恒定

8、律（標量角度）動能定理與機械能守恒定律（標量角度）(Kinetic energy theorem) (convercation of mechenical energy ) （1.5.2）1. 功（功（work)（1）力對質點的功）力對質點的功中學：直線位移常力的功中學：直線位移常力的功cosAF x大學：曲線、變力的功大學：曲線、變力的功F？BABASrdFdAAAFdrBrdFrdFdAcos微分、積分微分、積分元過程力的功：元過程力的功：dAF dr宏觀過程力的功：宏觀過程力的功：例例1 1：如果一質點位置的時間函數(shù)是如果一質點位置的時間函數(shù)是 （m），質點受到的力中有一個力是，質點受到

9、的力中有一個力是 （N）。求：當質點從）。求：當質點從 秒位置運動到秒位置運動到 秒位置過程中這個力的功。秒位置過程中這個力的功。j tir32 i tF21t2t解：解：(2 ) (3)0dAF drtidtj0AdA例例2：一力一力3()Fxi N而質點運動函數(shù)而質點運動函數(shù)33( )rxiyj m求質點在求質點在(0,0)(2,3)空間位置變化過程中力的功?？臻g位置變化過程中力的功。解：解：(3) (33)9dAF drxidxidyjxdx222009918( )2AxdxxJa=(X1,Y1),b=(X2,Y2)則a.b=X1X2+Y1Y2（2）力對質點系做功）力對質點系做功111.

10、m v1f內2f內221.mv1F外2F外I111.m v222.mv1F外2F外112.m v1f內1drII2dr過程過程1111neidA( F +f) dr外1211221122(inindAdAdAFdr+Fdr )+(fdr+fdr外外）2222neidA(F +f) dr外inAAA外indA=dAdA外（3）一對內力對質點系做的功）一對內力對質點系做的功12ff 1212112121222211)()(rdfrrdfrdfrrdfrdfrdfdA 22211Afdr1f2f21r1m2mO1r2r21121Afdr一對內力做的功與參照系選擇無關，一對內力做的功與參照系選擇無關，

11、只決定于兩質點間的相對路徑。只決定于兩質點間的相對路徑。 無論慣性系還是非慣性系。無論慣性系還是非慣性系。1212112121222211)()(rdfrrdfrdfrrdfrdfrdfdA 一個參照系一個參照系一個參照系一個參照系一個參照系一個參照系例例1：求求A、B之間一對摩擦力的功之間一對摩擦力的功FFrAB一對摩擦力的功為零，每個摩擦力的功不為零。一對摩擦力的功為零，每個摩擦力的功不為零。例例2: 有一面為有一面為1/4凹圓柱面（半徑凹圓柱面（半徑R）的物體（質量）的物體（質量M）放置在）放置在 光滑水平面，一小球（質量光滑水平面，一小球（質量m），從靜），從靜止開始沿圓面從頂端無摩擦

12、下落（如圖），小球從止開始沿圓面從頂端無摩擦下落（如圖），小球從水平方向飛離大物體時速度水平方向飛離大物體時速度 v ，求：小球和物體內，求：小球和物體內力所做的功。力所做的功。RMm（零）（零）（4）保守力與保守力的功）保守力與保守力的功 如果力作用在物體上，當物體沿閉合路徑移動如果力作用在物體上，當物體沿閉合路徑移動一周時，力做的功為零，這樣的力叫保守力。一周時，力做的功為零，這樣的力叫保守力。0f drmbafff 保守力保守力 如果一對內力的功與相對路徑無關如果一對內力的功與相對路徑無關,只決定于相只決定于相互作用的質點的始末位置互作用的質點的始末位置,這樣一對力叫保守內力。這樣一對力

13、叫保守內力。Mmff Mmbafff 一對保守內力的功一對保守內力的功0rr(t)drf 引引drBrr(tdt)A Mm recosrredredrdr02rA Bm MrMmrGmMAfdredrr引例例1： 質點系內質點系內一對萬有引力的功一對萬有引力的功02rA BrdrAGmMr0()() MmMmGGrr一對萬有引力是保守內力一對萬有引力是保守內力例例2: （k+m)系統(tǒng)內一對彈性內力的功系統(tǒng)內一對彈性內力的功x自然長度自然長度彈簧彈簧XF0m12由由 1 到到 2彈力的功彈力的功Fkx 22221111()22kAkxdxkxkx 彈性力是保守力，彈性內力是保守內力彈性力是保守力

14、，彈性內力是保守內力彈簧原長位置建立原點彈簧原長位置建立原點摩擦力是非保守力，系統(tǒng)內一對摩擦摩擦力是非保守力，系統(tǒng)內一對摩擦內力是非保守內力。內力是非保守內力。2. 質點動能定理質點動能定理 2222() ()()1()21()2xzxyzyxxyyzzxyzdvdAF drmdrmdv vdtm dv idv jdv kv iv jv km v dvv dvv dvmd vvvdmv 合外力對質點所做的功等于質點動能的增量。合外力對質點所做的功等于質點動能的增量。21()2dAF drdmv2122212121mvmvArdF （力的空間積累效應）（力的空間積累效應）質點動能定理質點動能定理

15、 LLxeAdxAeA0)1(解解： mvmeAvL/ ) 1(2 質量為質量為m的物體，在原點從靜止開始在力的物體，在原點從靜止開始在力F=Aex 的作用下，沿的作用下，沿X軸正向運動。求物體移動到軸正向運動。求物體移動到L時時 質點的速度。（質點的速度。（A，a是常量）是常量）例例.3. 質點系的動能定理質點系的動能定理（1 1） 系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能iivm221iiikvmE 系系111.m v1f內2f內221.mv1F外2F外I111.m v222.mv1F外2F外112.m v1f內1drII2dr過程過程（2）系統(tǒng)動能定理）系統(tǒng)動能定理21111 112nei(F +f) dr

16、d(mv )外1:m2:m12():mm11222211221 1221122inin( Fdr+Fdr )+(fdr+fdrd(m vm v )外外）in()kdAdAd E外系22222212nei( F +f) drd(m v )外inkkAAEE外系系I II II I質點質點系系動能定理動能定理4. 系統(tǒng)機械能守恒定律系統(tǒng)機械能守恒定律（1） 勢能的引入勢能的引入用系統(tǒng)勢能表示系統(tǒng)保守內力的功用系統(tǒng)勢能表示系統(tǒng)保守內力的功pEkE0()() 萬有引力MmMmAGGrr系統(tǒng)能量的增量的負值系統(tǒng)能量的增量的負值決定于質點間的始末相對位置決定于質點間的始末相對位置(位形位形)所以叫勢能或位

17、能所以叫勢能或位能,(0) pp rMmEGEr兩質點間的引力勢能兩質點間的引力勢能功功 萬有引力內力功與系統(tǒng)（萬有引力內力功與系統(tǒng)（M+m)引力勢引力勢能能 00P0()0 rMmEGr地面地面mhh0(0,0)pphEghEm,(0) ，php rMmEGERh00P0()0 rMmEGr0,(0) ，php rMmEGER,02()()() ，phP hMmMmEEGGRhRHMmGMmGhmghR RhR例：例： 彈性力的功與系統(tǒng)（彈性力的功與系統(tǒng)（k+m)彈性勢能彈性勢能 22212111()22()kpppAkxkxEEE 21(0,02EkxxEp彈p彈）系統(tǒng)（系統(tǒng)（k+m)彈性

18、勢能彈性勢能 彈簧原長位置建立原點彈簧原長位置建立原點豎直彈簧振子豎直彈簧振子0y22012()pEk yy重力勢能重力勢能求：求： 0y 勢能的變化勢能的變化mk（地球）1 pEmgy212pEky(0)0pEy 設勢能零點：設勢能零點：:y彈性勢能彈性勢能222001122()pEk yyky:mk（地球）例：例：e000e()ypggyyEffdrfdrfdr 系統(tǒng)勢能等于保守內力從此狀態(tài)到系統(tǒng)勢能系統(tǒng)勢能等于保守內力從此狀態(tài)到系統(tǒng)勢能零點所做的功零點所做的功m1yy2y0()k yymg求：求：y1y2 時的時的 勢能變化勢能變化mk（地地球球）: :例：例：平衡位置作為勢能零點（參考

19、點）平衡位置作為勢能零點（參考點）2110112220221:()21:()2ppyEk yymgyyEk yymgy21222102121222111()()221122pppEEEkykykyyymg yykykym+k: 勢能勢能m+地地:勢能勢能m+k+地地:勢能勢能0yyo例：例： 豎直彈簧振子。彈簧的勁度系數(shù)為豎直彈簧振子。彈簧的勁度系數(shù)為kA。平衡位平衡位置為勢能零點時不同系統(tǒng)的勢能。置為勢能零點時不同系統(tǒng)的勢能。 由勢能求保守力由勢能求保守力 pdAdE xEFpx yEFpy zEFpz ()pxyzdEF drF dxF dyF dz （2 2）系統(tǒng)的功能原理：系統(tǒng)的功能原

20、理：質點系的動能定理質點系的動能定理()外系inkdAdAd E ()外非保守力保守力系ininkdAdAdAd E ()()外非保守力系inpkdAdAdEd E()()()外非保守力系系inpkpkdAdAd Ed Ed EE ()外非保守力系機械能indAdAd E系統(tǒng)的功能原理系統(tǒng)的功能原理系機械能系 機械能IIIEE 非非保保守守內內外外AA（3） 系統(tǒng)的機械能守恒定律系統(tǒng)的機械能守恒定律只有保守內力做功只有保守內力做功E系機械能常量0 非非保保守守內內外外若若：AA則：則：0) pIkIpIIkIIEEEE（）（)pIkIpIIkIIEEEE （）（系統(tǒng)初末狀態(tài)機械能相等系統(tǒng)初末狀

21、態(tài)機械能相等系統(tǒng)的機械能守恒定律系統(tǒng)的機械能守恒定律dAdAd E外非保守內系機械能（）in0外非保守dAdA例例：質量為：質量為m的小珠子系在長為的小珠子系在長為L的細線的一端，的細線的一端， 細線的另一端固定。起始線與小珠子水平靜細線的另一端固定。起始線與小珠子水平靜 止，當珠子自由下擺止，當珠子自由下擺角時小珠子的速率是角時小珠子的速率是 多少？多少？mL21sin22sinmgLmvvgL質點動能定理：質點動能定理：m系統(tǒng)功能原理：（系統(tǒng)功能原理：（m+地）地）0pE sinpEmgl 2100(sin )2mvmgl 系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒 ： (m+地地)2100(sin )

22、2mvmgl mL C 例例1. 考慮下列四個實例你認為哪一個實例中物體考慮下列四個實例你認為哪一個實例中物體和地球構成的系統(tǒng)的機械能不守恒和地球構成的系統(tǒng)的機械能不守恒? (A) 物體作圓錐擺運動物體作圓錐擺運動 (B) 拋出的鐵餅作斜拋運動（不計空氣阻力）拋出的鐵餅作斜拋運動（不計空氣阻力） (C) 物體在拉力作用下沿光滑斜面勻速上升物體在拉力作用下沿光滑斜面勻速上升 (D) 物體在光滑斜面上自由滑下物體在光滑斜面上自由滑下 例例2. 一人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓運動，近地點為一人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓運動，近地點為A，遠地點為，遠地點為BA、B兩點距地心分別為兩點距地心分別為r1 、r2

23、。設。設衛(wèi)星質量為衛(wèi)星質量為m，地球質量為，地球質量為M，萬有引力常量為，萬有引力常量為G則衛(wèi)星在則衛(wèi)星在A、B兩點處地球衛(wèi)星的萬有引力勢能之差兩點處地球衛(wèi)星的萬有引力勢能之差EPB - EPA=_；衛(wèi)星在；衛(wèi)星在A、B兩點的動能之差兩點的動能之差EPBEPA_ABr1r2地心2112rrrrGMm2121rrrrGMm七七. 角動量定理與角動量守恒定律角動量定理與角動量守恒定律(Angular momentum) （1.5.3）1. 質點的角動量定理與角動量守恒質點的角動量定理與角動量守恒（1） 力矩：力矩： (點力矩點力矩)OFrMrFsinMFr取決于固定點取決于固定點 的選擇（點力矩）

24、的選擇（點力矩）sinMrF力矩方向力矩方向Fr 單位單位:mN 右手螺旋法右手螺旋法在講力矩時一定指明對那一個點而言在講力矩時一定指明對那一個點而言.點力矩：點力矩：(Torgue)MrFMrF oMrFdpFdtdprdt()d rpdLdtdtdLMdtvmrL 動量矩動量矩MrF點力矩：點力矩：牛頓定理另一種形式牛頓定理另一種形式 （2） 質點角動量質點角動量 LvmrL 取決于固定點的選擇取決于固定點的選擇sinLmvr角動量方向角動量方向pr sJsmkg 12MdtLd LddtM1221LLdtMttLrmv常矢量常矢量 質點角動量守恒定律質點角動量守恒定律 質點角動量定理質點角動量定理 （過程中對某一固定點質點的角動量保持不變）（過程中對某一固定點質點的角動量保持不變）0 M(F,r,)沖量矩沖量矩（3） 質點角動量定理與守恒質點角動量定理與守恒勻速圓周運動質點相對圓心的角動量守恒勻速圓周運動質點相對圓心的角動量守恒.行星圍繞太陽的橢圓運動中行星圍繞太陽的橢圓運動中,相對于太陽的角動量相對于太陽的角動量 保持不變保持不變. 因為受到的是有心力因為受到的是有心力